函数零点个数分析

分析函数行为

观察g(x) = 2 ln x + 2x + 5在x接近0和无限大时的变化。将函数g(x)与0比较，利用间值定理推测函数可能至少有一个零点。

要判断函数 $g(x) = 2\ln x + 2x + 5$ 的零点个数，我们需要分析其在定义域 $x > 0$ 上的行为。

1. 定义域

首先，函数 $g(x)$ 的定义域是 $x > 0$，因为对数函数 $\ln x$ 仅在 $x > 0$ 时有定义。

2. 函数值的极限分析

• 当 $x \to 0^+$ 时：

  $$\ln x \to -\infty \Rightarrow 2\ln x \to -\infty$$

  同时，$2x + 5 \to 5$。 因此，

  $$g(x) = 2\ln x + 2x + 5 \to -\infty$$

• 当 $x \to +\infty$ 时：

  \ln x \) 增长速度远小于 $ x $，所以 $ 2\ln x + 2x + 5 $ 随 $ x $ 的增大而趋向 $ +\infty $。

3. 函数的单调性

计算 $g(x)$ 的导数： [ g'(x) = \frac{2}{x} + 2

对于 $ x > 0 $，$ \frac{2}{x} > 0 $，因此 $ g'(x) = \frac{2}{x} + 2 > 0 $。 这意味着 $ g(x) $ 在其定义域上是严格递增的。 ### 4. 零点个数的确定 由于 $ g(x) $ 在 $ x > 0 $ 上严格递增，并且当 $ x \to 0^+ $ 时 $ g(x) \to -\infty $，当 $ x \to +\infty $ 时 $ g(x) \to +\infty $，根据介值定理，$ g(x) $ 必存在且仅存在一个零点。 ### 结论 函数 $ g(x) = 2\ln x + 2x + 5 $ 在 $ x > 0 $ 上有 **唯一一个零点**。 **答**：函数 $ g(x) = 2\ln x + 2x + 5 $ 在其定义域内仅有一个零点。因为 $ g(x) $ 在 $ x > 0 $ 上严格递增，从负无穷趋向正无穷，故只有一个交于 $ x $ 轴的点。

寻找公共切线

我要找出 y = f(x) 和 y = g(x) 的公共切线。注意，g(x) 只有一个零点。这暗示着有唯一的公共切线。

寻找切线

我正在寻找一条线 y = kx + b，它分别与两个曲线 y = f(x) 和 y = g(x) 只有一个交点。这意味着每个曲线上的切线都有唯一的交点。

平衡斜率与截距

我设定了两个函数的斜率和截距，找到了它们的关系式。然后，确定了平衡斜率，最后求解了方程以确定 b 的值。

替代方案探索

我们考虑了一种替代方法。用户提到只有一行可能需要数字方法。所以我们需要找到这个唯一的表达式，并显示出近似值。

发展方案

我们正在寻找函数 h(b) = 2 ln b + 1 / b^2 -1 的零点。测试 b=1 这一历史解，发现它符合要求。接下来，可能会有其他解，值得深入研究。

验证独特零点

我在分析 h(b) 的导数，确实找到了一个临界点。检查 b<1 和 b>1 的情况，发现 h(b) 在这两个区间都不为零，进一步确认了它的独特性。

计算斜率和截距

我正在分析h(b)函数的导数，发现b=1是唯一的极小值点，并计算出m=4和c=3，从而确定了共同切线y=4x +3。

要求函数 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 的所有公切线方程，我们需要找到一条直线同时与这两个函数的图像在某点相切。根据题目提示，存在唯一一条这样的公切线。以下是详细的推导过程：

已知函数

$$f(x) = x^2 + 2x + 4$$ $$g(x) = 2\ln x + 2x + 5 \quad (\text{定义域: } x > 0)$$

公切线的一般形式

设公切线的方程为：

$$y = m x + c$$

其中，$m$ 为斜率，$c$ 为截距。

条件1：直线与 $f(x)$ 相切

设直线与 $f(x)$ 在 $x = a$ 处相切，则满足以下条件：

1. 函数值相等： $$m a + c = f(a) = a^2 + 2a + 4$$
2. 斜率相等（导数相等）： $$m = f'(a) = 2a + 2$$

从斜率相等的条件，可以得到：

$$m = 2a + 2 \quad \Rightarrow \quad c = f(a) - m a = a^2 + 2a + 4 - (2a + 2)a = -a^2 + 4$$

条件2：直线与 $g(x)$ 相切

设直线与 $g(x)$ 在 $x = b$ 处相切，则满足以下条件：

1. 函数值相等： $$m b + c = g(b) = 2\ln b + 2b + 5$$
2. 斜率相等（导数相等）： $$m = g'(b) = \frac{2}{b} + 2$$

从斜率相等的条件，可以得到：

$$m = 2 + \frac{2}{b} \quad \Rightarrow \quad c = g(b) - m b = 2\ln b + 2b + 5 - \left(2 + \frac{2}{b}\right)b = 2\ln b + 3$$

联立条件

为了使直线同时满足与 $f(x)$ 和 $g(x)$ 相切，需要满足：

1. 斜率相等： $$2a + 2 = 2 + \frac{2}{b} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{b}$$
2. 截距相等： $$-a^2 + 4 = 2\ln b + 3 \quad \Rightarrow \quad -\left(\frac{1}{b}\right)^2 + 4 = 2\ln b + 3$$ 化简得： $$2\ln b + \frac{1}{b^2} = 1$$

求解方程 $2\ln b + \frac{1}{b^2} = 1$

我们需要在 $b > 0$ 的范围内求解该方程。观察当 $b = 1$ 时：

$$2\ln 1 + \frac{1}{1^2} = 0 + 1 = 1$$

因此，$b = 1$ 是一个解。进一步分析该方程的导数：

$$h(b) = 2\ln b + \frac{1}{b^2} - 1$$ $$h'(b) = \frac{2}{b} - \frac{2}{b^3}$$

令 $h'(b) = 0$：

$$\frac{2}{b} - \frac{2}{b^3} = 0 \quad \Rightarrow \quad b^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad b = 1$$

由于 $b > 0$，且 $h(b)$ 在 $b = 1$ 处取得最小值 $h(1) = 0$，故 $b = 1$ 是唯一的解。

确定公切线方程

由 $b = 1$，得到：

$$a = \frac{1}{b} = 1$$

代入斜率公式：

$$m = 2a + 2 = 4$$

代入截距公式（任一方程均可，这里选用与 $f(x)$ 相切的截距）：

$$c = -a^2 + 4 = 3$$

因此，唯一的公切线方程为：

$$y = 4x + 3$$

验证

对于 $f(x)$：

$$f(1) = 1^2 + 2(1) + 4 = 7$$ $$y = 4(1) + 3 = 7$$

且导数 $f'(1) = 4$ 与直线斜率一致。

对于 $g(x)$：

$$g(1) = 2\ln 1 + 2(1) + 5 = 7$$ $$y = 4(1) + 3 = 7$$

且导数 $g'(1) = 4$ 与直线斜率一致。

结论

函数 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 的所有公切线方程中，唯一的一条公切线方程为：

$$y = 4x + 3$$