Разбери подробно вычисление ширины распада pi_0 ме...

Question

Разбери подробно вычисление ширины распада pi_0 мезона в два гамма-кванта. Проводи последовательно и подробно все математические расчеты. Покажи все используемые диаграммы и объясни, как они получаются. Объясняй связь этого распада с киральной квантовой аномалией.

Answer 1

Разберу распад двумя независимыми путями: сначала через кварковую треугольную диаграмму и аксиальную аномалию, затем через эффективное взаимодействие $\pi^0 F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}$ . После этого подробно выведу квадрат амплитуды, двухчастичное фазовое пространство и численную ширину. Отдельно покажу диаграммы и объясню, почему обычное сохранение аксиального тока здесь нарушается.

Answer 2

Подробный вывод ширины распада $\pi^0\to\gamma\gamma$ и её связи с киральной аномалией

Распад нейтрального пиона на два фотона — один из важнейших примеров того, как квантовые эффекты изменяют классические законы сохранения в квантовой теории поля.

На первый взгляд этот процесс представляет собой обычный электромагнитный распад. Однако его амплитуда определяется особым явлением — аксиальной, или киральной, квантовой аномалией Адлера — Белла — Джекива (ABJ).

Главный результат, который мы последовательно получим:

\boxed{ \Gamma(\pi^0\to\gamma\gamma) = \frac{\alpha^2m_{\pi^0}^3} {64\pi^3f_\pi^2} }

Подставляя физические значения констант, получаем в ведущем приближении:

\boxed{\Gamma_{\gamma\gamma}^{\mathrm{LO}}\simeq 7.750\ \text{эВ}.}

Экспериментальное измерение PrimEx даёт $7.802\pm0.052_{\rm stat}\pm0.105_{\rm syst}$ эВ. (doi.org)

Для понимания результата нам потребуется пройти всю цепочку:

\text{КХД и киральная симметрия} \longrightarrow \text{аксиальный ток} \longrightarrow \text{кварковый треугольник}

\longrightarrow \text{квантовая аномалия} \longrightarrow \mathcal M(\pi^0\to\gamma\gamma) \longrightarrow \Gamma.

Мы будем использовать натуральные единицы $\hbar=c=1$ и метрику $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$ .

1. Физический смысл процесса и диаграммы Фейнмана

Нейтральный пион имеет квантовые числа

J^{PC}(\pi^0)=0^{-+}.

В простейшей кварковой модели его состояние записывается как

|\pi^0\rangle\simeq \frac{|u\bar u\rangle-|d\bar d\rangle}{\sqrt2}.

Заряды кварков:

Q_u=\frac23,\qquad Q_d=-\frac13,

где физический электрический заряд кварка равен $eQ_q$ .

Хотя пион электрически нейтрален, его кварковые составляющие взаимодействуют с электромагнитным полем.

Поэтому пион может переходить в два фотона через замкнутую кварковую петлю.

Четыре диаграммы, необходимые для нашего вывода

Две кварковые треугольные диаграммы, AVV-диаграмма аномалии и эффективная вершина распада нейтрального пиона

Здесь:

(а) — кварковый треугольник с первым порядком присоединения фотонов;
(б) — такой же треугольник с переставленными внешними фотонами;
** $в)** — треугольник с аксиальным током \(A_3^\lambda$ , позволяющий вычислить киральную аномалию;
** $г)** — эффективная локальная вершина \(\pi^0\gamma\gamma$ , возникающая после перехода к низкоэнергетическому описанию.

В диаграммах (а), (б), (в) сплошные линии со стрелками соответствуют кварковым пропагаторам, волнистые линии — фотонам, а пунктирная линия обозначает пионное поле или внешнюю вставку аксиального тока.

Как получаются эти диаграммы?

В фундаментальном лагранжиане КХД с электромагнитным взаимодействием имеется кварк-фотонная вершина

\mathcal L_{\mathrm{int}}^{\mathrm{em}} =-e\bar q Q\gamma^\mu q A_\mu.

По правилам Фейнмана ей соответствует множитель

-ieQ_q\gamma^\mu.

Чтобы из пиона получить два фотона, необходимо две такие вершины. Кварковые линии соединяются в замкнутую петлю, а пион присоединяется к ней через псевдоскалярный оператор $\bar q i\gamma_5q$ .

Получается треугольник с тремя вершинами. Поскольку два внешних фотона тождественны, нужно включить оба порядка их присоединения.

Затем требуется просуммировать вклады $u$ - и $d$ -кварков и трёх цветов каждого кварка.

В диаграмме (в) вместо пионной вершины используется вершина аксиального тока $\gamma^\lambda\gamma_5$ . Именно эта замена позволяет непосредственно исследовать аномальное нарушение закона сохранения аксиального тока.

Наконец, диаграмма (г) не является дополнительным фундаментальным процессом. Она представляет собой низкоэнергетическое описание суммы эффектов кварковой петли.

2. Киральная симметрия КХД

2.1. Лагранжиан и левые и правые кварки

Возьмём два лёгких кварка:

q=\begin{pmatrix}u\\d\end{pmatrix}.

Кварковая часть лагранжиана КХД:

\mathcal L_{\mathrm{QCD}} = \bar q(i\gamma^\mu D_\mu-M_q)q -\frac14G_{\mu\nu}^aG^{a\mu\nu},

где

M_q= \begin{pmatrix} m_u&0\\ 0&m_d \end{pmatrix}.

Введём проекторы киральности:

P_L=\frac{1-\gamma_5}{2}, \qquad P_R=\frac{1+\gamma_5}{2}.

Они удовлетворяют

P_L^2=P_L,\quad P_R^2=P_R,\quad P_LP_R=0.

Разложим кварковое поле:

q=q_L+q_R,

q_L=P_Lq,\qquad q_R=P_Rq.

В пределе $m_u=m_d=0$ лагранжиан допускает независимые глобальные преобразования левых и правых кварков:

q_L\to Lq_L,\qquad q_R\to Rq_R,

где $L,R\in SU(2)$ .

Таким образом, появляется классическая киральная симметрия

SU(2)_L\times SU(2)_R.

2.2. Спонтанное нарушение симметрии

Вакуум КХД содержит кварковый конденсат

\langle0|\bar qq|0\rangle\ne0.

Он нарушает киральную симметрию по схеме

SU(2)_L\times SU(2)_R \longrightarrow SU(2)_V.

По теореме Голдстоуна возникают три безмассовых бозона. В реальной КХД им соответствуют три пиона:

\pi^+,\qquad \pi^-,\qquad\pi^0.

Поскольку реальные кварковые массы малы, но отличны от нуля, пионы не безмассовы. Они являются псевдоголдстоуновскими бозонами.

Именно это обстоятельство позволяет связать нейтральный пион с аксиальным током.

2.3. Аксиальный ток и константа $f_\pi$

Изотриплетный аксиальный ток:

A_a^\mu= \bar q\gamma^\mu\gamma_5\frac{\tau_a}{2}q,

где $\tau_a$ — матрицы Паули.

Для нейтрального пиона важна третья компонента:

\boxed{ A_3^\mu= \frac12\left( \bar u\gamma^\mu\gamma_5u - \bar d\gamma^\mu\gamma_5d \right). }

Константа распада пиона определяется матричным элементом

\boxed{ \langle0|A_3^\mu(0)|\pi^0(p)\rangle =if_\pi p^\mu. }

Используем нормировку

f_\pi\simeq92.277\ \text{МэВ}.

В другой распространённой нормировке слабых токов используется $f_\pi\simeq130.5$ МэВ. Эти определения отличаются множителем $\sqrt2$ ; при последовательном использовании обоих соглашений физическая ширина одинакова.

2.4. Классическое уравнение для дивергенции тока

Сначала не будем учитывать аномалию.

Из уравнений движения кварков

(i\slashed D-m_q)q=0

и сопряжённого уравнения следует

\partial_\mu(\bar q\gamma^\mu\gamma_5q) = 2im_q\bar q\gamma_5q.

Чтобы увидеть коэффициент $2m_q$ , используем антикоммутацию

\{\gamma^\mu,\gamma_5\}=0.

Производная тока даёт два слагаемых:

\begin{aligned} \partial_\mu(\bar q\gamma^\mu\gamma_5q) ={}& (\partial_\mu\bar q)\gamma^\mu\gamma_5q\\ &+\bar q\gamma^\mu\gamma_5(\partial_\mu q). \end{aligned}

После подстановки уравнений Дирака каждое массовое слагаемое даёт $im_q\bar q\gamma_5q$ . Их сумма равна $2im_q\bar q\gamma_5q$ .

Для третьей компоненты изотриплетного тока:

\boxed{ \partial_\mu A_3^\mu = im_u\bar u\gamma_5u - im_d\bar d\gamma_5d. }

Поэтому в идеальном киральном пределе $m_u=m_d=0$

\partial_\mu A_3^\mu=0 \qquad \text{(классически)}.

При ненулевых массах кварков возникает соотношение PCAC — частичное сохранение аксиального тока:

\partial_\mu A_3^\mu \simeq f_\pi m_\pi^2\pi^0.

Это соотношение описывает пионный вклад в низкоэнергетическое разложение тока. Оно не означает, что в полной квантовой теории дивергенция тока содержит только пионное поле.

Ключевой факт: после квантования и включения электромагнитного поля в дивергенции появляется ещё один член, который остаётся ненулевым даже при $m_u=m_d=0$ .

Это и есть киральная квантовая аномалия.

3. Прямой расчёт кваркового треугольника

Теперь вычислим диаграммы (а) и (б).

Важное замечание: пион — связанное состояние сильно взаимодействующих кварков, поэтому в фундаментальной КХД его нельзя считать элементарной частицей с произвольной юкавской вершиной. Для явного вычисления интеграла мы воспользуемся киральной кварковой моделью. Она позволяет увидеть происхождение коэффициента треугольной амплитуды.

Затем мы независимо получим универсальный результат с помощью аномалии. Именно второй подход является модельно-независимым.

3.1. Эффективная вершина взаимодействия пиона с кварками

В киральной кварковой модели в приближении изоспиновой симметрии

m_u^{\mathrm{const}}=m_d^{\mathrm{const}}=m_q

можно использовать взаимодействие

\mathcal L_{\pi qq} = -i\frac{m_q}{f_\pi}\pi^0 \left( \bar u\gamma_5u-\bar d\gamma_5d \right).

Здесь $m_q$ — эффективная, или конституентная, масса кварка, возникающая вследствие динамического нарушения киральной симметрии. Её нельзя отождествлять с малыми токовыми массами кварков в лагранжиане фундаментальной КХД.

Введём

t_u=+1,\qquad t_d=-1.

Тогда

\mathcal L_{\pi qq} = -i\frac{m_q}{f_\pi} \sum_{q=u,d}t_q\pi^0\bar q\gamma_5q.

Коэффициент взаимодействия удовлетворяет киральному соотношению типа Голдбергера — Треймана на кварковом уровне:

g_{\pi qq}=\frac{m_q}{f_\pi}.

Для построения петли нужны следующие множители:

Элемент	Множитель
Пропагатор кварка	$\displaystyle S_q(\ell)=\frac{i(\slashed\ell+m_q)}{\ell^2-m_q^2+i0}$
Кварк-фотонная вершина	$-ieQ_q\gamma^\mu$
Пион-кварковая вершина	$t_qm_q\gamma_5/f_\pi$ , с точностью до общего фазового соглашения
Замкнутая фермионная петля	$-1$
Сумма по цветам	$N_c=3$

В дальнейшем общий знак и общая фаза амплитуды несущественны, поскольку ширина зависит от $|\mathcal M|^2$ .

3.2. Записываем петлевой интеграл

Обозначим

\pi^0(p)\to\gamma(k_1,\varepsilon_1)+\gamma(k_2,\varepsilon_2),

причём

p=k_1+k_2,\qquad k_1^2=k_2^2=0,\qquad p^2=m_\pi^2.

В треугольнике выбираем внутренние импульсы

\ell,\qquad \ell+k_1,\qquad \ell-k_2.

Это согласуется с законом сохранения четырёхимпульса в каждой вершине.

Для первого порядка присоединения фотонов амплитуда имеет вид

\begin{aligned} i\mathcal M_q^{(12)} ={}&-N_c\int\frac{d^4\ell}{(2\pi)^4} \operatorname{Tr}\Bigg[ \left(\frac{t_qm_q}{f_\pi}\gamma_5\right) S_q(\ell)\\ &\times(-ieQ_q\gamma^\mu) S_q(\ell+k_1) (-ieQ_q\gamma^\nu) S_q(\ell-k_2) \Bigg]\\ &\times\varepsilon_{1\mu}^{*}\varepsilon_{2\nu}^{*}. \end{aligned}

Вторая диаграмма получается заменой

(k_1,\mu)\longleftrightarrow(k_2,\nu).

Полная амплитуда для данного кварка равна

\mathcal M_q = \mathcal M_q^{(12)} + \mathcal M_q^{(21)}.

3.3. Вычисляем след гамма-матриц

В числителе интеграла присутствует

\begin{aligned} N^{\mu\nu} =\operatorname{Tr}\big[ &\gamma_5(\slashed\ell+m_q) \gamma^\mu (\slashed\ell+\slashed k_1+m_q)\\ &\times\gamma^\nu (\slashed\ell-\slashed k_2+m_q) \big]. \end{aligned}

Используем тождества:

\operatorname{Tr}\gamma_5=0,

\operatorname{Tr}(\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu)=0,

\operatorname{Tr} (\gamma_5\gamma^\alpha\gamma^\beta \gamma^\gamma\gamma^\delta) = \pm4i\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}.

Знак последнего равенства зависит от принятого определения $\gamma_5$ и тензора Леви-Чивиты. В нашем расчёте важен абсолютный коэффициент.

Чтобы след был ненулевым, необходимо выбрать ровно два оператора $\slashed a$ из трёх числителей пропагаторов: ещё две гамма-матрицы уже стоят в фотонных вершинах.

Значит, каждое ненулевое слагаемое содержит ровно одну массу $m_q$ .

Обозначим

a=\ell,\qquad b=\ell+k_1,\qquad c=\ell-k_2.

Тогда след состоит из трёх слагаемых:

\begin{aligned} N^{\mu\nu} =\pm4im_q\Big[ &\epsilon^{\mu\alpha\nu\beta}b_\alpha c_\beta\\ &+\epsilon^{\alpha\mu\nu\beta}a_\alpha c_\beta\\ &+\epsilon^{\alpha\mu\beta\nu}a_\alpha b_\beta \Big]. \end{aligned}

Переставляя индексы антисимметричного тензора, получаем

N^{\mu\nu} =\pm4im_q\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta} \left( -b_\alpha c_\beta +a_\alpha c_\beta -a_\alpha b_\beta \right).

Подставим значения $a,b,c$ :

\begin{aligned} -b_\alpha c_\beta ={}&-(\ell_\alpha+k_{1\alpha}) (\ell_\beta-k_{2\beta}),\\ a_\alpha c_\beta ={}&\ell_\alpha(\ell_\beta-k_{2\beta}),\\ -a_\alpha b_\beta ={}&-\ell_\alpha(\ell_\beta+k_{1\beta}). \end{aligned}

Раскрывая скобки и используя антисимметричность $\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$ , замечаем, что все слагаемые с петлевым импульсом $\ell$ сокращаются.

Остаётся

\boxed{ N^{\mu\nu} = \pm4im_q\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} k_{1\rho}k_{2\sigma}. }

Это важный результат: вся тензорная структура амплитуды уже определена следом гамма-матриц.

В частности, $\gamma_5$ приводит к появлению тензора Леви-Чивиты. Это отражает отрицательную чётность пиона.

3.4. Объединяем три знаменателя

После вычисления следа остаётся скалярный петлевой интеграл

I_q= \int\frac{d^4\ell}{(2\pi)^4} \frac1{D_0D_1D_2},

где

\begin{aligned} D_0&=\ell^2-m_q^2+i0,\\ D_1&=(\ell+k_1)^2-m_q^2+i0,\\ D_2&=(\ell-k_2)^2-m_q^2+i0. \end{aligned}

Используем параметризацию Фейнмана:

\boxed{ \frac1{ABC} = 2\int_0^1dx\int_0^{1-x}dy\, \frac1{[zA+xB+yC]^3}, \quad z=1-x-y. }

Это тождество следует из более общей формулы

\frac1{A_1^{n_1}\cdots A_r^{n_r}} = \frac{\Gamma(n_1+\cdots+n_r)} {\prod_j\Gamma(n_j)} \int_{\sum x_j=1} \frac{\prod_jx_j^{n_j-1}\,d^{r-1}x} {(\sum_jx_jA_j)^{\sum_jn_j}}.

В нашем случае $r=3$ и все $n_j=1$ , поэтому

\frac{\Gamma(3)}{\Gamma(1)^3}=2.

Подставим $A=D_0,\ B=D_1,\ C=D_2$ :

\begin{aligned} zD_0+xD_1+yD_2 ={}&\ell^2+2x\ell\cdot k_1 -2y\ell\cdot k_2\\ &-m_q^2+xk_1^2+yk_2^2. \end{aligned}

Поскольку реальные фотоны безмассовы,

k_1^2=k_2^2=0.

Выделим полный квадрат:

\begin{aligned} &\ell^2+2\ell\cdot(xk_1-yk_2)-m_q^2\\ &= (\ell+xk_1-yk_2)^2 -(xk_1-yk_2)^2-m_q^2. \end{aligned}

Учитывая

(xk_1-yk_2)^2=-2xy\,k_1\cdot k_2

и

2k_1\cdot k_2 =(k_1+k_2)^2=m_\pi^2,

получаем после сдвига интеграционной переменной

L=\ell+xk_1-yk_2:

zD_0+xD_1+yD_2=L^2-\Delta_q+i0,

где

\boxed{\Delta_q=m_q^2-m_\pi^2xy.}

Таким образом,

I_q= 2\int_0^1dx\int_0^{1-x}dy \int\frac{d^4L}{(2\pi)^4} \frac1{(L^2-\Delta_q+i0)^3}.

3.5. Вычисляем интеграл по четырёхимпульсу

Используем поворот Вика $L^0\to iL_E^0$ . Евклидов интеграл имеет вид

I_E(\Delta)= \int\frac{d^4L_E}{(2\pi)^4} \frac1{(L_E^2+\Delta)^3}.

В четырёхмерных сферических координатах

d^4L_E=\Omega_3 r^3dr, \qquad \Omega_3=2\pi^2.

Следовательно,

I_E(\Delta) = \frac{2\pi^2}{(2\pi)^4} \int_0^\infty\frac{r^3dr}{(r^2+\Delta)^3}.

Упростим числовой коэффициент:

\frac{2\pi^2}{(2\pi)^4} =\frac1{8\pi^2}.

Подставим

t=r^2,\qquad r^3dr=\frac12t\,dt.

Тогда

I_E(\Delta) = \frac1{16\pi^2} \int_0^\infty\frac{t\,dt}{(t+\Delta)^3}.

Вычислим оставшийся интеграл:

\begin{aligned} \int_0^\infty\frac{t\,dt}{(t+\Delta)^3} &=\int_\Delta^\infty \frac{(u-\Delta)\,du}{u^3}\\ &=\int_\Delta^\infty \left(\frac1{u^2}-\frac{\Delta}{u^3}\right)du\\ &=\left[-\frac1u+\frac{\Delta}{2u^2}\right]_\Delta^\infty\\ &=\frac1{2\Delta}. \end{aligned}

Поэтому

\boxed{ I_E(\Delta)=\frac1{32\pi^2\Delta}. }

Возвращаясь в пространство Минковского,

\boxed{ \int\frac{d^4L}{(2\pi)^4} \frac1{(L^2-\Delta+i0)^3} = -\frac{i}{32\pi^2\Delta}. }

Итак,

\boxed{ I_q= -\frac{i}{16\pi^2} \int_0^1dx\int_0^{1-x}dy\, \frac1{m_q^2-m_\pi^2xy}. }

Мы выполнили петлевое интегрирование полностью. Остались два интеграла по параметрам Фейнмана.

3.6. Получаем амплитуду кваркового треугольника

Собираем множители:

два электромагнитных взаимодействия дают $e^2Q_q^2$ ;
пионная вершина даёт $t_qm_q/f_\pi$ ;
след Дирака даёт ещё один множитель $m_q$ и коэффициент $4$ ;
два порядка присоединения фотонов дают множитель $2$ ;
интеграл даёт $1/(16\pi^2)$ после объединения знаменателей;
цветовая сумма даёт $N_c$ .

Получаем, с точностью до общей фазы,

\boxed{ \mathcal M_q= \frac{e^2N_ct_qQ_q^2}{2\pi^2f_\pi} m_q^2 \int_0^1dx\int_0^{1-x}dy \frac{ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \varepsilon_{1\mu}^* \varepsilon_{2\nu}^* k_{1\rho}k_{2\sigma} }{ m_q^2-m_\pi^2xy }. }

Вынесем тензорную структуру и определим функцию

F_q(m_\pi^2) = 2m_q^2 \int_0^1dx\int_0^{1-x}dy \frac1{m_q^2-m_\pi^2xy}.

Тогда

\boxed{ \mathcal M_q= \frac{e^2N_ct_qQ_q^2}{4\pi^2f_\pi} F_q(m_\pi^2) \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \varepsilon_{1\mu}^* \varepsilon_{2\nu}^* k_{1\rho}k_{2\sigma}. }

3.7. Киральный и мягкий предел

В киральном пределе физическая масса пиона стремится к нулю:

m_\pi^2\to0.

Тогда при фиксированной ненулевой динамической массе кварка

F_q(0)= 2m_q^2 \int_0^1dx\int_0^{1-x}dy \frac1{m_q^2}.

Массы сокращаются:

F_q(0)= 2\int_0^1dx\int_0^{1-x}dy.

Вычислим площадь области интегрирования:

\begin{aligned} \int_0^1dx\int_0^{1-x}dy &=\int_0^1(1-x)\,dx\\ &=\left[x-\frac{x^2}{2}\right]_0^1\\ &=\frac12. \end{aligned}

Следовательно,

\boxed{F_q(0)=1.}

Поэтому

\boxed{ \mathcal M_q^{(0)}= \frac{e^2N_ct_qQ_q^2}{4\pi^2f_\pi} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \varepsilon_{1\mu}^* \varepsilon_{2\nu}^* k_{1\rho}k_{2\sigma}. }

Замечательный результат: масса кварка полностью исчезла из коэффициента амплитуды.

Это важный признак связи с аномалией: в мягком пределе результат определяется не конкретной динамической массой кварка, а электрическими зарядами, числом цветов и $f_\pi$ .

3.8. При желании интеграл можно получить и при ненулевой массе пиона

Для полноты выполним оставшиеся интегралы без перехода к $m_\pi^2=0$ .

Пусть

s=m_\pi^2.

Интегрирование по $y$ даёт

\begin{aligned} &\int_0^{1-x}\frac{dy}{m_q^2-sxy}\\ &\qquad= \frac1{sx} \ln\frac{m_q^2}{m_q^2-sx(1-x)}. \end{aligned}

Поэтому

F_q(s)= \frac{2m_q^2}{s} \int_0^1\frac{dx}{x} \ln\frac1{1-\frac{s}{m_q^2}x(1-x)}.

Обозначим $a=s/m_q^2$ и

J(a)=\int_0^1\frac{dx}{x} \ln\frac1{1-ax(1-x)}.

Дифференцируя по $a$ , получаем

J'(a)= \int_0^1dx\, \frac{1-x}{1-ax(1-x)}.

В силу симметрии знаменателя относительно $x\leftrightarrow1-x$

J'(a)= \frac12\int_0^1 \frac{dx}{1-ax(1-x)}.

Выделим квадрат:

1-ax(1-x) = 1-\frac a4+a\left(x-\frac12\right)^2.

После элементарного интегрирования

J'(a)= \frac{\arcsin(\sqrt a/2)} {\sqrt{a(1-a/4)}}.

Поскольку $J(0)=0$ ,

J(a)=2\arcsin^2\left(\frac{\sqrt a}{2}\right).

Следовательно, при $0<s<4m_q^2$

\boxed{ F_q(s)= \frac{4m_q^2}{s} \arcsin^2\left(\frac{\sqrt s}{2m_q}\right). }

Введём

r=\frac{s}{4m_q^2}.

Тогда

F_q(r)=\frac{\arcsin^2\sqrt r}{r}.

Её разложение:

F_q(r)=1+\frac r3+\frac{8r^2}{45}+O(r^3).

В пределе $r\to0$ снова получаем $F_q\to1$ .

Это точная функция внутри выбранной локальной кварковой модели, но не точная формула фундаментальной КХД при физической массе пиона. Физические поправки требуют учёта непертурбативной динамики, изоспинового нарушения и киральной теории возмущений.

3.9. Суммируем вклады кварков и цветов

Полная амплитуда в мягком пределе:

\mathcal M^{(0)} = \mathcal M_u^{(0)}+\mathcal M_d^{(0)}.

Используем

t_u=+1,\quad t_d=-1,

Q_u^2=\frac49,\qquad Q_d^2=\frac19.

Тогда зарядовый и цветовой коэффициент равен

\begin{aligned} C_{\mathrm{flavor,color}} &=N_c(t_uQ_u^2+t_dQ_d^2)\\ &=3\left(\frac49-\frac19\right)\\ &=3\cdot\frac39\\ &=\boxed{1}. \end{aligned}

Следовательно,

\boxed{ \mathcal M^{(0)} = \frac{e^2}{4\pi^2f_\pi} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \varepsilon_{1\mu}^* \varepsilon_{2\nu}^* k_{1\rho}k_{2\sigma}. }

Так как

\alpha=\frac{e^2}{4\pi},

то

\boxed{ \mathcal M^{(0)} = \frac{\alpha}{\pi f_\pi} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \varepsilon_{1\mu}^* \varepsilon_{2\nu}^* k_{1\rho}k_{2\sigma}. }

Таким образом, коэффициент взаимодействия нейтрального пиона с двумя фотонами:

\boxed{ g_{\pi\gamma\gamma}=\frac{\alpha}{\pi f_\pi}. }

Теперь принципиальный вопрос: почему коэффициент оказывается универсальным и почему он сохраняется за пределами конкретной кварковой модели?

Ответ даёт аксиальная квантовая аномалия.

4. Киральная квантовая аномалия: откуда она возникает?

4.1. Треугольная диаграмма AVV

Вернёмся к диаграмме (в).

Она описывает корреляционную функцию трёх токов:

одного аксиального тока $A_3^\lambda$ ;
двух электромагнитных векторных токов $J_{\mathrm{em}}^\mu$ и $J_{\mathrm{em}}^\nu$ .

Именно поэтому диаграмму называют AVV-треугольником (Axial–Vector–Vector).

Определим

\begin{aligned} T^{\lambda\mu\nu}(p,k_1,k_2) ={}&i^2\int d^4x\,d^4y\, e^{ik_1x+ik_2y}\\ &\times\langle0|T\{ A_3^\lambda(0) J_{\mathrm{em}}^\mu(x) J_{\mathrm{em}}^\nu(y) \}|0\rangle. \end{aligned}

Здесь

J_{\mathrm{em}}^\mu =e\bar qQ\gamma^\mu q.

Для одного сорта кварка соответствующая однопетлевая функция содержит интеграл вида

\begin{aligned} T_q^{\lambda\mu\nu} \propto\int\frac{d^4\ell}{(2\pi)^4} \operatorname{Tr}\Big[ &\gamma^\lambda\gamma_5 S_q(\ell)\gamma^\mu\\ &\times S_q(\ell+k_1)\gamma^\nu S_q(\ell-k_2) \Big]\\ &+(1\leftrightarrow2). \end{aligned}

Наивно можно было бы ожидать, что при $m_q=0$

p_\lambda T_q^{\lambda\mu\nu}=0.

Однако после корректного регуляризованного вычисления это равенство не выполняется.

4.2. Почему нельзя просто использовать классический закон сохранения?

Рассмотрим ультрафиолетовое поведение интеграла.

При больших $\ell$

S_q(\ell)\sim\frac{\slashed\ell}{\ell^2}.

В числителе произведения трёх пропагаторов может появляться третья степень петлевого импульса, а в знаменателе — шестая:

T_{AVV}\sim \int d^4\ell\,\frac{\ell^3}{\ell^6}.

По степенному подсчёту это линейно расходящийся интеграл:

\int^\Lambda d\ell\,\ell^0\sim\Lambda.

Реальная тензорная структура приводит к дополнительным сокращениям, но для определения амплитуды всё равно необходима регуляризация.

Это существенно, потому что для расходящегося интеграла нельзя безоговорочно выполнять замену

\ell\longrightarrow\ell+a.

В зависимости от способа регуляризации возникает конечная неоднозначность в тензорной амплитуде.

Перед нами три потенциальных тождества Уорда:

k_{1\mu}T^{\lambda\mu\nu}=0,

k_{2\nu}T^{\lambda\mu\nu}=0,

p_\lambda T^{\lambda\mu\nu}=0 \qquad(m_q=0).

Первые два выражают сохранение электромагнитного тока и необходимы для калибровочной инвариантности.

Третье выражает классическое сохранение аксиального тока.

Квантовый расчёт показывает, что все три условия одновременно выполнить нельзя.

Электромагнитная калибровочная инвариантность должна сохраняться, поэтому мы выбираем регуляризацию, удовлетворяющую первым двум тождествам:

\boxed{ k_{1\mu}T^{\lambda\mu\nu} = k_{2\nu}T^{\lambda\mu\nu}=0. }

Тогда аксиальное тождество приобретает дополнительный член.

Этот результат не зависит от произвольного выбора модели пиона. Он следует из структуры квантовой теории фермионов. (web2.ph.utexas.edu pure.uva.nl)

4.3. Явное происхождение аномального коэффициента: регуляризация Паули — Вилларса

Покажем, как аномалия появляется математически.

Сначала рассмотрим один дираковский фермион $\psi$ с зарядом $eQ$ и аксиальным током

j_5^\lambda=\bar\psi\gamma^\lambda\gamma_5\psi.

В методе Паули — Вилларса вводится вспомогательный фермион большой массы $M$ , вклад которого вычитается из исходной петли:

T_{\mathrm{reg}}=T(m)-T(M).

При этом сохраняются электромагнитные тождества Уорда.

Для регуляризованной функции дивергенция аксиального тока содержит разность псевдоскалярных треугольников:

p_\lambda T_{\mathrm{reg}}^{\lambda\mu\nu} = 2m\,P^{\mu\nu}(m) - 2M\,P^{\mu\nu}(M).

Здесь $P^{\mu\nu}(M)$ — треугольная амплитуда с псевдоскалярной вставкой $\bar\psi i\gamma_5\psi$ .

Из интеграла, уже вычисленного в разделе 3, получаем

P^{\mu\nu}(M) = \frac{e^2N_cQ^2M}{2\pi^2} \int_0^1dx\int_0^{1-x}dy\, \frac{\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}k_{1\rho}k_{2\sigma}} {M^2-sxy},

где $s=(k_1+k_2)^2$ . Общий знак определяется соглашениями о $\gamma_5$ .

Теперь вычислим вклад регулятора:

\begin{aligned} 2M P^{\mu\nu}(M) ={}& \frac{e^2N_cQ^2}{\pi^2} \int_0^1dx\int_0^{1-x}dy\\ &\times\frac{M^2}{M^2-sxy} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} k_{1\rho}k_{2\sigma}. \end{aligned}

Перейдём к пределу $M\to\infty$ .

Поскольку

\frac{M^2}{M^2-sxy} = \frac1{1-sxy/M^2} \longrightarrow1,

получаем

\begin{aligned} \lim_{M\to\infty}2M P^{\mu\nu}(M) ={}&\frac{e^2N_cQ^2}{\pi^2} \left(\int_0^1dx\int_0^{1-x}dy\right)\\ &\times \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}k_{1\rho}k_{2\sigma}. \end{aligned}

Мы уже вычислили

\int_0^1dx\int_0^{1-x}dy=\frac12.

Поэтому

\boxed{ \lim_{M\to\infty}2M P^{\mu\nu}(M) = \frac{e^2N_cQ^2}{2\pi^2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}k_{1\rho}k_{2\sigma}. }

Это конечное ненулевое выражение.

Обратите внимание на принципиальный момент: хотя масса регулятора $M$ стремится к бесконечности, его вклад в дивергенцию аксиального тока не исчезает.

Причина в том, что матричный элемент псевдоскалярной плотности содержит вклад порядка $1/M$ , а в тождестве Уорда он умножается на $2M$ .

Именно оставшийся конечный член и становится аномалией.

4.4. Переходим к локальному оператору $F\widetilde F$

Введём электромагнитный тензор

F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu

и дуальный тензор

\boxed{ \widetilde F^{\mu\nu} =\frac12\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}. }

Между двухфотонным состоянием и вакуумом оператор $F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}$ имеет матричный элемент

\begin{aligned} \langle\gamma_1\gamma_2| F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu} |0\rangle ={}&\pm4 \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \varepsilon_{1\mu}^* \varepsilon_{2\nu}^*\\ &\times k_{1\rho}k_{2\sigma}. \end{aligned}

Модуль коэффициента $4$ получается из антисимметризации каждого $F_{\mu\nu}$ и двух перекрёстных произведений полей первого и второго фотонов.

Сопоставляя этот результат с вычисленной дивергенцией треугольника, получаем для одного дираковского кварка

\boxed{ \partial_\mu j_{5,q}^\mu = 2im_q\bar q\gamma_5q + \frac{e^2N_cQ_q^2}{8\pi^2} F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}. }

Здесь выбран знак тензора Леви-Чивиты, согласованный с последующим эффективным лагранжианом; противоположная конвенция меняет общий знак аномального члена, но не наблюдаемую ширину.

Это локальное уравнение аномалии ABJ.

4.5. Применяем результат к нейтральному пиону

Напомним:

A_3^\mu = \frac12(j_{5,u}^\mu-j_{5,d}^\mu).

Поэтому аномальный член в дивергенции $A_3^\mu$ равен

\frac12 \frac{e^2N_c}{8\pi^2} (Q_u^2-Q_d^2) F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}.

То есть

\boxed{ \begin{aligned} \partial_\mu A_3^\mu ={}&im_u\bar u\gamma_5u -im_d\bar d\gamma_5d\\ &+ \frac{e^2N_c}{16\pi^2} (Q_u^2-Q_d^2) F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}. \end{aligned} }

Подставим зарядовый множитель:

N_c(Q_u^2-Q_d^2) =3\left(\frac49-\frac19\right)=1.

Окончательно

\boxed{ \partial_\mu A_3^\mu = im_u\bar u\gamma_5u -im_d\bar d\gamma_5d + \frac{e^2}{16\pi^2} F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}. }

В киральном пределе:

\boxed{ \partial_\mu A_3^\mu = \frac{e^2}{16\pi^2} F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu} \ne0. }

Это центральное уравнение всего вывода.

Классически аксиальный ток сохранялся бы, но в квантовой теории он имеет ненулевую дивергенцию даже при нулевых массах кварков.

4.6. Физическая интерпретация аномалии

В обычных обозначениях электромагнитных полей

F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu} =-4\mathbf E\cdot\mathbf B

при соответствующем определении $\mathbf E,\mathbf B$ .

Следовательно, аномалия связана с величиной

\mathbf E\cdot\mathbf B.

Для одной свободной плоской электромагнитной волны

\mathbf E\cdot\mathbf B=0.

Но при суперпозиции двух фотонных полей появляются перекрёстные слагаемые

\mathbf E_1\cdot\mathbf B_2 + \mathbf E_2\cdot\mathbf B_1,

которые могут быть ненулевыми.

Поэтому оператор $F\widetilde F$ может создавать двухфотонное состояние.

Есть и более глубокая интерпретация: в формализме функционального интеграла квантовая мера

\mathcal D\bar q\,\mathcal Dq

не является инвариантной относительно локального кирального вращения. Этот факт лежит в основе метода Фудзикавы и даёт ту же аномалию.

Важное различие. Здесь рассматривается электромагнитная аномалия несинглетного изовекторного аксиального тока. Она отличается от глюонной $U(1)_A$ -аномалии, связанной, в частности, с большой массой $\eta'$ -мезона. Для тока $A_3^\mu$ чисто глюонный аномальный член сокращается между $u$ - и $d$ -кварками.

5. Как аномалия определяет взаимодействие $\pi^0\gamma\gamma$

5.1. Связь аксиального тока с пионным полюсом

Мы определили

\langle0|A_3^\mu|\pi^0(p)\rangle =if_\pi p^\mu.

Поэтому в корреляционной функции AVV должен присутствовать вклад промежуточного пионного состояния.

Схематически

T^{\lambda\mu\nu} = \frac{if_\pi p^\lambda}{p^2-m_\pi^2+i0} \mathcal M^{\mu\nu}_{\pi\gamma\gamma} + T_{\mathrm{reg}}^{\lambda\mu\nu},

где $T_{\mathrm{reg}}$ обозначает часть без пионного полюса.

В киральном пределе $m_\pi\to0$ рассмотрим дивергенцию:

p_\lambda T^{\lambda\mu\nu} \simeq if_\pi\frac{p^2}{p^2+i0} \mathcal M^{\mu\nu}_{\pi\gamma\gamma} + p_\lambda T_{\mathrm{reg}}^{\lambda\mu\nu}.

В мягком пределе, при стандартном предположении об отсутствии дополнительных массовых полюсов в регулярной части,

p_\lambda T_{\mathrm{reg}}^{\lambda\mu\nu}\to0.

Тогда аномальное тождество Уорда приводит к соотношению

f_\pi\mathcal M^{\mu\nu}_{\pi\gamma\gamma} = \frac{e^2}{4\pi^2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} k_{1\rho}k_{2\sigma},

где общая фаза опущена.

Следовательно,

\boxed{ \mathcal M^{\mu\nu}_{\pi\gamma\gamma} = \frac{e^2}{4\pi^2f_\pi} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} k_{1\rho}k_{2\sigma}. }

После свёртки с поляризациями фотонов:

\boxed{ \mathcal M_{\pi\to\gamma\gamma} = \frac{\alpha}{\pi f_\pi} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \varepsilon_{1\mu}^* \varepsilon_{2\nu}^* k_{1\rho}k_{2\sigma}. }

Это в точности результат прямого расчёта кваркового треугольника в разделе 3.

Но теперь мы получили его из аномального тождества Уорда и связи аксиального тока с пионом, без необходимости выбирать динамическую массу кварка.

5.2. Почему результат устойчив к сильным взаимодействиям?

Коэффициент аномалии обладает специальным свойством: он не получает обычных многопетлевых поправок к своей универсальной нормировке. Это содержание теоремы Адлера — Бардина.

Поэтому сильное взаимодействие кварков не меняет коэффициент аномального тождества.

Однако отсюда не следует, что физическая ширина распада при $m_\pi\ne0$ вообще не имеет поправок. Они возникают из-за ненулевых кварковых масс, нарушения изоспина, смешивания мезонов и других низкоэнергетических эффектов.

Универсальность относится прежде всего к аномальной нормировке амплитуды в киральном пределе.

5.3. Эффективный лагранжиан Весса — Зумино — Виттена

В низкоэнергетической теории пионов аномалия воспроизводится специальным членом действия, известным как член Весса — Зумино — Виттена (WZW).

Для одного нейтрального пиона и двух электромагнитных полей он принимает вид

\boxed{ \mathcal L_{\pi\gamma\gamma} = -\frac{e^2}{16\pi^2f_\pi} \pi^0 F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}. }

Используя $e^2=4\pi\alpha$ ,

\boxed{ \mathcal L_{\pi\gamma\gamma} = -\frac{\alpha}{4\pi f_\pi} \pi^0 F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}. }

Часто его записывают как

\boxed{ \mathcal L_{\pi\gamma\gamma} = -\frac{g_{\pi\gamma\gamma}}4 \pi^0 F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}, \qquad g_{\pi\gamma\gamma}=\frac{\alpha}{\pi f_\pi}. }

Связь с аномалией можно понять через киральное преобразование.

В ведущем порядке по полю нейтральный пион при аксиальном вращении с параметром $\theta$ сдвигается:

\delta\pi^0=f_\pi\theta.

Поэтому аномальный член лагранжиана меняется на

\delta\mathcal L_{\pi\gamma\gamma} = -\frac{e^2}{16\pi^2} \theta F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}.

Это именно тот локальный член, который требуется для воспроизведения аномального тождества аксиального тока, с учётом выбранного знака преобразования и соглашений для тока.

Так диаграмма (г) получается из (в): универсальный эффект кваркового треугольника включается в эффективную локальную вершину.

5.4. Вывод амплитуды из эффективного лагранжиана

Выведем эту амплитуду ещё раз непосредственно из WZW-вершины.

Подставляем

\widetilde F^{\mu\nu} =\frac12\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}.

Тогда

\mathcal L_{\pi\gamma\gamma} = -\frac{g_{\pi\gamma\gamma}}8 \pi^0\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}.

Из антисимметричности $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ следует

\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma} = 4\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (\partial_\mu A_\nu)(\partial_\rho A_\sigma).

Следовательно,

\mathcal L_{\pi\gamma\gamma} = -\frac{g_{\pi\gamma\gamma}}2 \pi^0\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (\partial_\mu A_\nu)(\partial_\rho A_\sigma).

Для выходящего фотона

A_\mu^{(i)}(x) =\varepsilon_{i\mu}^*e^{ik_i x},

так что

\partial_\rho A_\mu^{(i)} =ik_{i\rho}\varepsilon_{i\mu}^*e^{ik_ix}.

В произведении двух электромагнитных полей возможны два перекрёстных слагаемых — $A^{(1)}A^{(2)}$ и $A^{(2)}A^{(1)}$ . Поэтому появляется множитель $2$ , сокращающий $1/2$ в лагранжиане.

После учёта множителей $i$ получаем

\boxed{ \mathcal M = g_{\pi\gamma\gamma} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \varepsilon_{1\mu}^* \varepsilon_{2\nu}^* k_{1\rho}k_{2\sigma}. }

Проверим калибровочную инвариантность.

Если заменить поляризацию первого фотона на его импульс,

\varepsilon_{1\mu}\to k_{1\mu},

то

\mathcal M \propto \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} k_{1\mu}k_{1\rho} \varepsilon_{2\nu}^*k_{2\sigma}=0.

Это происходит потому, что произведение $k_{1\mu}k_{1\rho}$ симметрично по $\mu,\rho$ , а тензор Леви-Чивиты антисимметричен.

То же самое справедливо для второго фотона.

Таким образом, амплитуда удовлетворяет обоим электромагнитным тождествам Уорда.

6. Вычисляем квадрат амплитуды и суммируем поляризации

Теперь переходим непосредственно к ширине.

Обозначим для краткости

g\equiv g_{\pi\gamma\gamma}.

Амплитуда:

\mathcal M= g\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \varepsilon_{1\mu}^* \varepsilon_{2\nu}^* k_{1\rho}k_{2\sigma}.

Необходимо вычислить

\sum_{\lambda_1,\lambda_2}|\mathcal M|^2.

Здесь сумма проводится по двум физическим поляризациям каждого конечного фотона. Усреднять по спину пиона не требуется: его спин равен нулю.

6.1. Записываем произведение амплитуд

\begin{aligned} |\mathcal M|^2 ={}&g^2 \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \epsilon^{\mu'\nu'\rho'\sigma'}\\ &\times \varepsilon_{1\mu}^*\varepsilon_{1\mu'} \varepsilon_{2\nu}^*\varepsilon_{2\nu'}\\ &\times k_{1\rho}k_{2\sigma} k_{1\rho'}k_{2\sigma'}. \end{aligned}

Для суммирования по поляризациям используем

\sum_\lambda \varepsilon_\mu^{(\lambda)} \varepsilon_\nu^{(\lambda)*} = -g_{\mu\nu} +\text{калибровочные члены}.

Калибровочные члены пропорциональны импульсам фотонов и не дают вклада благодаря доказанной выше калибровочной инвариантности амплитуды.

Поэтому в данном вычислении можно положить

\sum_\lambda \varepsilon_\mu^{(\lambda)} \varepsilon_\nu^{(\lambda)*} \to-g_{\mu\nu}.

Следовательно,

\begin{aligned} \sum|\mathcal M|^2 ={}&g^2 \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \epsilon_{\mu\nu}{}^{\rho'\sigma'}\\ &\times k_{1\rho}k_{2\sigma} k_{1\rho'}k_{2\sigma'}. \end{aligned}

6.2. Сворачиваем два тензора Леви-Чивиты

Используем тождество

\boxed{ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \epsilon_{\mu\nu\alpha\beta} = -2\left( \delta^\rho_{\alpha}\delta^\sigma_{\beta} - \delta^\rho_{\beta}\delta^\sigma_{\alpha} \right). }

Подставляем:

\begin{aligned} \sum|\mathcal M|^2 ={}&-2g^2 \left[ (k_1\cdot k_1)(k_2\cdot k_2)\right.\\ &\left.\qquad-(k_1\cdot k_2)^2 \right]. \end{aligned}

Так как фотоны реальные,

k_1^2=k_2^2=0.

Следовательно,

\boxed{ \sum|\mathcal M|^2 = 2g^2(k_1\cdot k_2)^2. }

6.3. Используем кинематику распада

Из сохранения четырёхимпульса

p=k_1+k_2.

Возведём в квадрат:

p^2=(k_1+k_2)^2 =k_1^2+k_2^2+2k_1\cdot k_2.

С учётом

p^2=m_\pi^2,\qquad k_1^2=k_2^2=0

имеем

\boxed{ k_1\cdot k_2=\frac{m_\pi^2}{2}. }

Подставляем в квадрат амплитуды:

\begin{aligned} \sum|\mathcal M|^2 &=2g^2\left(\frac{m_\pi^2}{2}\right)^2\\ &=2g^2\frac{m_\pi^4}{4}. \end{aligned}

Таким образом,

\boxed{ \sum_{\mathrm{pol}}|\mathcal M|^2 = \frac{g_{\pi\gamma\gamma}^2m_\pi^4}{2}. }

Это результат, который необходимо подставить в формулу ширины распада.

7. Вычисляем двухчастичное фазовое пространство

Общая формула для ширины распада частицы массы $m_\pi$ :

\Gamma = \frac1{2m_\pi} \int d\Phi_2\,\sum|\mathcal M|^2 \times\frac1{2!}.

Множитель

\frac1{2!}=\frac12

необходим, поскольку два конечных фотона тождественны.

Без него мы дважды посчитали бы одно и то же физическое конечное состояние.

7.1. Определение фазового пространства

\boxed{ d\Phi_2 = (2\pi)^4\delta^{(4)}(p-k_1-k_2) \frac{d^3k_1}{(2\pi)^3\,2E_1} \frac{d^3k_2}{(2\pi)^3\,2E_2}. }

Перейдём в систему покоя пиона:

p=(m_\pi,\mathbf0).

Из пространственной части закона сохранения импульса

\mathbf k_1+\mathbf k_2=0.

Следовательно,

\mathbf k_2=-\mathbf k_1.

Так как фотоны безмассовы,

E_1=|\mathbf k_1|, \qquad E_2=|\mathbf k_2|.

Обозначив общий модуль импульса через $k$ , из сохранения энергии получаем

m_\pi=2k.

Таким образом,

\boxed{ E_1=E_2=k=\frac{m_\pi}{2}. }

При физической массе пиона

E_1=E_2\simeq67.4884\ \text{МэВ}.

7.2. Интегрируем дельта-функцию импульса

Интеграл по фазовому пространству:

\begin{aligned} \int d\Phi_2 ={}&\int \frac{d^3k_1d^3k_2} {(2\pi)^2\,4E_1E_2}\\ &\times\delta^{(3)}(\mathbf k_1+\mathbf k_2) \delta(m_\pi-E_1-E_2). \end{aligned}

Интегрируем по $d^3k_2$ с помощью трёхмерной дельта-функции:

\int d^3k_2\, \delta^{(3)}(\mathbf k_1+\mathbf k_2)=1.

Получаем

\int d\Phi_2 = \frac1{(2\pi)^2} \int\frac{d^3k}{4k^2} \delta(m_\pi-2k).

В сферических координатах

d^3k=k^2dk\,d\Omega.

Тогда

\int d\Phi_2 = \frac1{4(2\pi)^2} \int_0^\infty dk\, \delta(m_\pi-2k) \int d\Omega.

Интеграл по полному телесному углу равен

\int d\Omega=4\pi.

А интеграл по модулю импульса:

\int_0^\infty dk\, \delta(m_\pi-2k) = \frac12.

Последнее следует из свойства

\delta(ax)=\frac1{|a|}\delta(x).

Следовательно,

\begin{aligned} \int d\Phi_2 &=\frac1{4(2\pi)^2}\cdot4\pi\cdot\frac12\\ &=\frac{2\pi}{16\pi^2}. \end{aligned}

Окончательно

\boxed{ \int d\Phi_2=\frac1{8\pi}. }

7.3. Собираем формулу для ширины

Подставим

\sum|\mathcal M|^2=\frac{g^2m_\pi^4}{2}

и

\int d\Phi_2=\frac1{8\pi}

в общую формулу:

\Gamma = \frac1{2m_\pi}\, \frac12\, \frac{g^2m_\pi^4}{2}\, \frac1{8\pi}.

Последовательно упрощаем:

\Gamma = \frac{g^2m_\pi^4}{64\pi m_\pi}.

Поэтому

\boxed{ \Gamma(\pi^0\to\gamma\gamma) = \frac{g_{\pi\gamma\gamma}^2m_\pi^3}{64\pi}. }

Мы ранее получили из киральной аномалии

g_{\pi\gamma\gamma}=\frac{\alpha}{\pi f_\pi}.

Подставляем:

\begin{aligned} \Gamma &= \frac{m_\pi^3}{64\pi} \left(\frac{\alpha}{\pi f_\pi}\right)^2\\ &= \frac{m_\pi^3}{64\pi} \frac{\alpha^2}{\pi^2f_\pi^2}. \end{aligned}

И наконец,

\boxed{ \displaystyle \Gamma^{\mathrm{LO}}(\pi^0\to\gamma\gamma) = \frac{\alpha^2m_\pi^3} {64\pi^3f_\pi^2}. }

Это искомая формула.

8. Численный расчёт ширины распада

Используем следующие значения:

m_{\pi^0}=134.9768\ \text{МэВ},

f_\pi=92.277\ \text{МэВ},

\alpha^{-1}=137.035999084.

Масса согласуется с данными PDG 2026. (ccwww.kek.jp)

Сначала вычислим

\alpha =\frac1{137.035999084} \simeq7.29735257\times10^{-3},

\alpha^2\simeq5.32513545\times10^{-5}.

Далее,

m_\pi^3 =(134.9768)^3 \simeq2.45910676\times10^6\ \text{МэВ}^3,

f_\pi^2=(92.277)^2 \simeq8515.0447\ \text{МэВ}^2.

Также

64\pi^3\simeq1984.40171.

Подставляем:

\Gamma = \frac{ (5.32513545\times10^{-5}) (2.45910676\times10^6) }{ 1984.40171\times8515.0447 }\ \text{МэВ}.

В результате

\Gamma\simeq7.749818\times10^{-6}\ \text{МэВ}.

Поскольку

1\ \text{МэВ}=10^6\ \text{эВ},

имеем

\boxed{ \Gamma^{\mathrm{LO}}(\pi^0\to\gamma\gamma) \simeq7.750\ \text{эВ}. }

ИТОГ РАСЧЁТА В ВЕДУЩЕМ ПОРЯДКЕ

7.750 эВ

\Gamma_{\gamma\gamma} =\frac{\alpha^2m_\pi^3}{64\pi^3f_\pi^2}

Это ширина именно двухфотонного канала, а не полная ширина всех каналов распада нейтрального пиона.

8.1. Время жизни

Ширина распада связана со временем жизни формулой

\tau=\frac{\hbar}{\Gamma}.

В обычных единицах

\hbar=6.582119569\times10^{-16}\ \text{эВ}\cdot\text{с}.

Поэтому соответствующее двухфотонной ширине время

\tau_{\gamma\gamma} = \frac{6.582119569\times10^{-16}} {7.749818}\ \text{с}

равно

\boxed{ \tau_{\gamma\gamma}^{\mathrm{LO}} \simeq8.49\times10^{-17}\ \text{с}. }

Физическое время жизни нейтрального пиона определяется полной шириной, включающей и другие каналы:

\Gamma_{\mathrm{tot}}=\sum_i\Gamma_i.

Согласно PDG 2026,

\tau_{\mathrm{exp}} =(8.43\pm0.13)\times10^{-17}\ \text{с},

а вероятность двухфотонного распада составляет

\operatorname{Br}(\pi^0\to2\gamma) =(98.823\pm0.034)\%.

(ccwww.kek.jp)

Поэтому двухфотонный распад практически полностью определяет время жизни пиона.

8.2. Сравнение с экспериментом

Аномалия, ведущий порядок 7.750 эВ

PrimEx, прямое измерение 7.802 эВ

PDG 2026, из $\tau$ и доли распада ≈7.72 эВ

Для визуального сравнения показаны центральные значения в общей шкале 0–8.2 эВ; неопределённости в длинах полос не отражены.

В частности, из табличных значений PDG можно получить

\Gamma_{\mathrm{tot}} = \frac{\hbar}{\tau} \simeq7.81\ \text{эВ},

\Gamma_{\gamma\gamma} = \Gamma_{\mathrm{tot}}\operatorname{Br}(\pi^0\to2\gamma) \simeq7.72\ \text{эВ}.

Это согласуется с ведущим аномальным результатом в пределах экспериментальной погрешности.

9. Какие поправки остаются за пределами ведущего расчёта?

Полученная формула является универсальным результатом в киральном пределе. Для реального пиона приходится учитывать дополнительные эффекты.

Прежде всего, массы $u$ - и $d$ -кварков неодинаковы:

m_u\ne m_d.

Поэтому физический нейтральный пион не является абсолютно чистым изовекторным состоянием. Он немного смешивается с другими нейтральными псевдоскалярными мезонами, в частности с $\eta$ и $\eta'$ .

Схематически можно записать

|\pi^0_{\mathrm{phys}}\rangle = |\pi_3\rangle +\epsilon_{\pi\eta}|\eta\rangle +\epsilon_{\pi\eta'}|\eta'\rangle +\cdots.

Следовательно, физическая амплитуда получает дополнительные вклады:

\mathcal M_{\mathrm{phys}} = \mathcal M_{\mathrm{anomaly}} +\delta\mathcal M_{\mathrm{mixing}} +\delta\mathcal M_{\mathrm{other}}.

Удобно записать

\mathcal M_{\mathrm{phys}} = \mathcal M_{\mathrm{LO}}(1+\delta).

Тогда

\Gamma_{\mathrm{phys}} = \Gamma_{\mathrm{LO}}|1+\delta|^2.

При малой вещественной $\delta$

\Gamma_{\mathrm{phys}} \simeq\Gamma_{\mathrm{LO}}(1+2\delta).

То есть даже сравнительно небольшая поправка к амплитуде может приводить к заметной поправке к ширине.

Например, расчёты в киральной теории возмущений с учётом смешивания мезонов давали результаты порядка $8.06$ – $8.10$ эВ с теоретическими неопределённостями. Разные методы учёта высших порядков дают несколько отличающиеся значения; эти поправки не меняют универсального коэффициента самой аномалии. (doi.org link.springer.com)

10. Что именно доказывает этот распад?

Здесь полезно разделить несколько утверждений.

Первое. В классической КХД при нулевых массах лёгких кварков изовекторный аксиальный ток сохраняется.

Второе. После квантования в электромагнитном поле у этого тока появляется аномальная дивергенция:

\partial_\mu A_3^\mu = \frac{e^2}{16\pi^2}F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}

в киральном пределе.

Третье. Пион связан с аксиальным током посредством

\langle0|A_3^\mu|\pi^0\rangle=if_\pi p^\mu.

Четвёртое. Поэтому аномальный коэффициент фиксирует низкоэнергетическое взаимодействие

\mathcal L_{\mathrm{eff}} = -\frac{\alpha}{4\pi f_\pi}\pi^0F_{\mu\nu}\widetilde F^{\mu\nu}.

Пятое. Это взаимодействие даёт наблюдаемый двухфотонный распад с шириной

\Gamma_{\gamma\gamma}^{\mathrm{LO}} = \frac{\alpha^2m_\pi^3}{64\pi^3f_\pi^2}.

Особенно важно, что аномалия не нарушает электромагнитную калибровочную инвариантность. Векторные токи продолжают удовлетворять своим тождествам Уорда. Нарушается сохранение именно глобального аксиального тока.

Можно также понять, почему без аномалии распад был бы сильно подавлен. В киральном пределе голдстоуновское поле обладает сдвиговой симметрией. Прямой член $\pi^0F\widetilde F$ не был бы разрешён этой точной симметрией без аномалии. Его появление не подавляется малыми массами кварков именно благодаря квантовому аномальному члену.

Итоговая цепочка вывода

Киральная симметрия и аксиальный ток

A_3^\mu=\frac12(\bar u\gamma^\mu\gamma_5u-\bar d\gamma^\mu\gamma_5d)

AVV-треугольник и аномалия

\partial_\mu A_3^\mu\supset \frac{e^2}{16\pi^2}F\widetilde F

Эффективная пион-фотонная вершина

g_{\pi\gamma\gamma}=\frac{\alpha}{\pi f_\pi}

Сумма поляризаций и фазовое пространство

\sum|\mathcal M|^2=\frac{g^2m_\pi^4}{2}, \qquad \int d\Phi_2=\frac1{8\pi}

Ширина распада

\boxed{\Gamma_{\gamma\gamma}^{\mathrm{LO}}= \frac{\alpha^2m_\pi^3}{64\pi^3f_\pi^2} \simeq7.750\ \text{эВ}}

Главный физический вывод: распад $\pi^0\to\gamma\gamma$ является экспериментально доступным проявлением того, что классическая киральная симметрия не обязательно сохраняется после квантования. Универсальный коэффициент этого процесса определяется аномалией ABJ, а характерная ширина порядка $8$ эВ получается из него после вычисления двухфотонной амплитуды и фазового пространства.

Answer 3

Разберу формулы (A1)–(A9) по шагам, но отдельно проверю один тонкий момент: переход (A6) → (A7) не является просто возведением интеграла в квадрат. Для него нужно различать вероятность попасть в конкретную суперпозицию состояний и вероятность распада в любое состояние заданной области импульсов. Также выведу фактор $T$ из конечного времени взаимодействия, чтобы было ясно, откуда возникает именно скорость распада.

Answer 4

Text version

Подробный вывод вероятности и ширины распада из S-матрицы: разбор формул (A1)–(A9)

В приложении, которое вы прислали, выводится одна из основных формул квантовой теории поля:

\boxed{ d\Gamma= \frac{1}{2E_i} |\mathcal M_{fi}|^2 (2\pi)^4\delta^{(4)} \left(P_i-\sum_{j=1}^{r}p_j\right) \prod_{j=1}^{r} \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} }

Здесь $E_i=\sqrt{M^2+\mathbf k^2}$ , а все формулы записаны в единицах $\hbar=c=1$ . При вычислении собственной ширины распада мы переходим в систему покоя исходной частицы, где $E_i=M$ .

Эта формула объединяет три принципиально разные вещи:

Квантовую амплитуду $\mathcal M_{fi}$ — она определяет, насколько сильно взаимодействие связывает начальное и конечное состояния.
Фазовое пространство — оно определяет, сколько конечных состояний доступно распаду и как их нужно суммировать.
Нормировку по времени и начальному состоянию — именно она превращает квадрат амплитуды в вероятность распада одной частицы за единицу времени.

Последний пункт особенно важен. Из одного только числа $|\mathcal M|^2$ нельзя получить вероятность в единицу времени. Необходимо учесть, что S-матрица описывает эволюцию системы, происходящую в течение некоторого времени $T$ .

Важное замечание о вашем приложении

В формулах (A1)–(A6) используется стандартная релятивистская нормировка состояний.

Однако переход от (A6) к (A7) записан несколько сокращённо. В общем случае квадрат интеграла не равен интегралу от квадрата:

\boxed{ \left|\int_G d\mu(p)\,A(p)\right|^2 \ne \int_G d\mu(p)\,|A(p)|^2. }

Для получения (A7) необходимо дополнительно использовать приближение малой области $G$ либо, что математически правильнее для инклюзивной вероятности, просуммировать вероятности перехода по ортогональным конечным состояниям.

Мы подробно рассмотрим это различие. Оно позволяет понять, что именно означает «вероятность распада в некоторую область фазового пространства».

Часть I. Нормировка одночастичных и многочастичных состояний

1. Что представляет собой состояние $|\mathbf p\rangle$ ?

Начнём с квантовой механики.

Если частица находится в состоянии с определённым импульсом $\mathbf p$ , её пространственная волновая функция пропорциональна

\psi_{\mathbf p}(\mathbf x)\sim e^{i\mathbf p\cdot\mathbf x}.

Такая волна распространена по всему пространству.

Поэтому она не нормируется обычным условием

\int_{\mathbb R^3}d^3x\,|\psi(\mathbf x)|^2=1.

Действительно,

|e^{i\mathbf p\cdot\mathbf x}|^2=1,

и

\int_{\mathbb R^3}d^3x=\infty.

Это обычная проблема плоских волн.

Для её устранения можно действовать двумя способами: использовать дельта-нормировку или временно поместить систему в конечный объём $V$ .

В квантовой теории поля особенно удобно первое соглашение, причём в релятивистски-инвариантной форме.

2. Вывод формулы (A1)

В вашем тексте используется нормировка

\boxed{ \langle\mathbf p'|\mathbf p\rangle = (2\pi)^3\,2E_{\mathbf p}\, \delta^{(3)}(\mathbf p'-\mathbf p). } \tag{1}

Это называется ковариантной нормировкой одночастичных состояний.

Здесь

E_{\mathbf p}=\sqrt{m^2+\mathbf p^2}.

В КТП её удобно получить через операторы рождения и уничтожения.

Для свободного скалярного поля введём

|\mathbf p\rangle=a^\dagger(\mathbf p)|0\rangle

и выберем коммутационные соотношения

[a(\mathbf p),a^\dagger(\mathbf p')] = (2\pi)^3\,2E_{\mathbf p}\, \delta^{(3)}(\mathbf p-\mathbf p').

Тогда

\begin{aligned} \langle\mathbf p'|\mathbf p\rangle &= \langle0|a(\mathbf p')a^\dagger(\mathbf p)|0\rangle\\ &= \langle0|[a(\mathbf p'),a^\dagger(\mathbf p)]|0\rangle\\ &= (2\pi)^3\,2E_{\mathbf p}\, \delta^{(3)}(\mathbf p'-\mathbf p). \end{aligned}

Мы получили (1).

Уже сейчас возникает вопрос: почему мы включили именно множитель $2E_{\mathbf p}$ ?

Ответ заключается в лоренц-инвариантности.

2.1. Почему появляется именно $2E_{\mathbf p}$ ?

Рассмотрим четырёхмерный интеграл

I= \int d^4p\, \theta(p^0) \delta(p^2-m^2)F(p).

Каждый из множителей

d^4p,\qquad \delta(p^2-m^2),\qquad \theta(p^0)

инвариантен при собственных ортохронных преобразованиях Лоренца.

Следовательно, весь интеграл лоренц-инвариантен, если $F(p)$ — скалярная функция.

Теперь вычислим интеграл по $p^0$ .

Заметим, что

p^2-m^2 = (p^0)^2-\mathbf p^2-m^2 = (p^0)^2-E_{\mathbf p}^2.

Применим тождество

\delta(f(x)) = \sum_{x_i:f(x_i)=0} \frac{\delta(x-x_i)}{|f'(x_i)|}.

Для

f(p^0)=(p^0)^2-E_{\mathbf p}^2

корни имеют вид

p^0=\pm E_{\mathbf p},

а производная равна

f'(p^0)=2p^0.

Поэтому

\delta((p^0)^2-E_{\mathbf p}^2) = \frac{1}{2E_{\mathbf p}} \left[ \delta(p^0-E_{\mathbf p}) + \delta(p^0+E_{\mathbf p}) \right].

Функция $\theta(p^0)$ выбирает положительную энергию:

\begin{aligned} I &=\int d^3p\,dp^0\, \theta(p^0)\delta((p^0)^2-E_{\mathbf p}^2)F(p)\\ &=\int\frac{d^3p}{2E_{\mathbf p}}\, F(E_{\mathbf p},\mathbf p). \end{aligned}

Следовательно,

\boxed{ \frac{d^3p}{2E_{\mathbf p}} }

— лоренц-инвариантная мера на поверхности массовой оболочки $p^2=m^2,\ p^0>0$ .

Если выбрать стандартные множители $2\pi$ , получаем

\boxed{ d\mu(p)= \frac{d^3p}{(2\pi)^3\,2E_{\mathbf p}}. } \tag{2}

Эта мера называется одночастичной лоренц-инвариантной мерой фазового пространства.

Таким образом, множитель $2E_{\mathbf p}$ в нормировке состояний выбран так, чтобы мера интегрирования по физическим импульсам была релятивистски-инвариантной.

2.2. Проверка инвариантности прямым вычислением

Пусть преобразование Лоренца направлено вдоль оси $z$ .

Тогда

p_z'=\gamma(p_z-\beta E),

E'=\gamma(E-\beta p_z).

Поскольку

E=\sqrt{m^2+p_x^2+p_y^2+p_z^2},

получаем

\frac{\partial E}{\partial p_z}=\frac{p_z}{E}.

Следовательно,

\begin{aligned} \frac{\partial p_z'}{\partial p_z} &=\gamma\left(1-\beta\frac{p_z}{E}\right)\\ &=\frac{\gamma(E-\beta p_z)}{E}\\ &=\frac{E'}{E}. \end{aligned}

Поперечные компоненты импульса не меняются:

p_x'=p_x,\qquad p_y'=p_y.

Поэтому якобиан преобразования равен

d^3p'=\frac{E'}{E}d^3p.

И действительно,

\boxed{ \frac{d^3p'}{2E'} = \frac{d^3p}{2E}. }

Именно это требуется для релятивистской теории.

3. Почему в (A1) возникает $\delta^{(3)}(0)$ ?

Подставим одинаковые импульсы в (1):

\langle\mathbf p|\mathbf p\rangle = 2E_{\mathbf p}(2\pi)^3\delta^{(3)}(0).

Формально $\delta^{(3)}(0)$ бесконечна.

Но вспомним представление дельта-функции Фурье:

(2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf p-\mathbf p') = \int_{\mathbb R^3}d^3x\, e^{i(\mathbf p-\mathbf p')\cdot\mathbf x}.

При $\mathbf p'=\mathbf p$

(2\pi)^3\delta^{(3)}(0) = \int d^3x.

Если временно ограничить пространство объёмом $V$ , то

\boxed{ (2\pi)^3\delta^{(3)}(0)=V. } \tag{3}

Поэтому

\boxed{ \langle\mathbf p|\mathbf p\rangle=2E_{\mathbf p}V. } \tag{4}

Это формулы (A1), (A2) вашего приложения.

Здесь необходимо правильно понимать физический смысл.

В тексте говорится, что $n_{\mathbf p}=2E_{\mathbf p}$ есть число частиц в единице объёма. Буквально это утверждение не следует из (A1).

Физически $|\mathbf p\rangle$ остаётся одночастичным состоянием. Величина $2EV$ — его квадрат нормы в выбранном ковариантном соглашении, а не реальное число частиц. Множитель $2E$ имеет размерность энергии и сам по себе не может быть буквальным числом частиц.

Правильный смысл такой: нормировка плоской волны в объёме $V$ требует поделить состояние на $\sqrt{2EV}$ .

Поэтому

\boxed{ |\mathbf p\rangle_{\mathrm{norm}} = \frac{|\mathbf p\rangle}{\sqrt{2E_{\mathbf p}V}}, }

и

{}_{\mathrm{norm}}\langle\mathbf p|\mathbf p\rangle_{\mathrm{norm}}=1.

Это понадобится, когда мы будем получать вероятность распада одной частицы.

4. Что такое $r$ -частичное состояние?

Теперь рассмотрим конечное состояние из $r$ частиц с импульсами

\mathbf p_1,\mathbf p_2,\ldots,\mathbf p_r.

Для простоты пока считаем частицы различимыми.

В теории поля соответствующее состояние создаётся операторами рождения:

\boxed{ |\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r\rangle = a_1^\dagger(\mathbf p_1) \cdots a_r^\dagger(\mathbf p_r)|0\rangle. } \tag{5}

Его скалярное произведение со вторым таким состоянием имеет вид

\begin{aligned} &\langle\mathbf p'_1,\ldots,\mathbf p'_r| \mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r\rangle\\ &\qquad= \prod_{j=1}^r (2\pi)^3\,2E_j\, \delta^{(3)}(\mathbf p_j-\mathbf p'_j). \end{aligned} \tag{6}

Здесь $E_j=E_{\mathbf p_j}$ .

Если частицы тождественны, в выражение добавляются перестановки одинаковых частиц, поскольку состояние бозонов симметризовано. Для областей импульсов, которые не пересекаются при перестановках, остаётся написанный вклад. Общий случай обсудим отдельно.

4.1. Полнота одночастичных состояний

Оператор единицы в одночастичном секторе равен

\boxed{ \mathbf1_1 = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3\,2E_{\mathbf p}} |\mathbf p\rangle\langle\mathbf p|. } \tag{7}

Проверим.

Возьмём произвольное состояние $|\mathbf q\rangle$ :

\begin{aligned} \mathbf1_1|\mathbf q\rangle &= \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3\,2E_{\mathbf p}} |\mathbf p\rangle \langle\mathbf p|\mathbf q\rangle\\ &= \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3\,2E_{\mathbf p}} |\mathbf p\rangle (2\pi)^3\,2E_{\mathbf p} \delta^{(3)}(\mathbf p-\mathbf q)\\ &= \int d^3p\, |\mathbf p\rangle\delta^{(3)}(\mathbf p-\mathbf q)\\ &=|\mathbf q\rangle. \end{aligned}

То есть (7) действительно есть оператор единицы.

Для $r$ различимых частиц полнота получается тензорным произведением одночастичных полнот:

\boxed{ \mathbf1_r = \prod_{j=1}^{r} \int\frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} |\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r\rangle \langle\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r|. } \tag{8}

Для $r$ одинаковых бозонов при интегрировании по всем упорядоченным наборам импульсов требуется учитывать фактор $1/r!$ .

Это главное математическое основание для меры, которая появляется в вашем приложении.

Она не вводится произвольно: она должна быть согласована с нормировкой импульсных состояний и условием полноты.

5. Почему $r$ -частичное состояние (A4) задано именно так?

В приложении вводится область

G\subset\mathbb R^{3r},

состоящая из наборов импульсов конечных частиц.

Для простоты автор рассматривает прямое произведение малых областей:

G=G_1\times\cdots\times G_r.

Его обычный геометрический объём:

\boxed{ \operatorname{Vol}(G) = \prod_{j=1}^r\Delta^3p_j. } \tag{A3}

Но нам нужна не просто геометрическая область, а квантовое состояние, составленное из импульсов, принадлежащих этой области.

В общем виде произвольное $r$ -частичное состояние можно записать как

\boxed{ |\psi\rangle = \int d\mu_r(\mathbf p)\, \psi(\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r) |\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r\rangle, } \tag{9}

где

d\mu_r(\mathbf p) \equiv \prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}.

Здесь $\psi$ — волновая функция в импульсном представлении.

Используя (6), находим норму:

\boxed{ \langle\psi|\psi\rangle = \int d\mu_r(\mathbf p)\, |\psi(\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r)|^2. } \tag{10}

Это точный аналог привычного условия

\int d^3p\,|\psi_{\mathrm{NR}}(\mathbf p)|^2=1

из нерелятивистской квантовой механики, только с релятивистски-инвариантной мерой.

5.1. Выбор автора: постоянная волновая функция на $G$

Автор выбирает ненормированную волновую функцию

\widetilde\psi_G(\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r) = \begin{cases} 1,&(\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r)\in G,\\ 0,&\text{вне }G. \end{cases}

Тогда формула (9) превращается в

\boxed{ |\widetilde f\rangle = \int_G d\mu_r(\mathbf p) |\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r\rangle. } \tag{11}

Это и есть состояние (A4).

Почему выбрана именно такая форма?

Потому что автор хочет рассмотреть простейший волновой пакет, составленный из импульсов в очень маленькой области $G$ , причём все импульсные компоненты берутся с одинаковой амплитудой.

Но такой выбор не является единственно возможным.

Можно выбрать, например, гауссову волновую функцию

\psi(\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r) = C\exp\left[ -\sum_j\frac{(\mathbf p_j-\mathbf p_{j0})^2}{4\sigma_j^2} \right].

Удобство постоянной функции заключается только в простоте последующего интегрирования.

5.2. Полный расчёт нормы состояния (A4)

Подставим (11) в скалярное произведение:

\begin{aligned} \langle\widetilde f|\widetilde f\rangle ={}& \int_G d\mu_r(\mathbf p') \int_G d\mu_r(\mathbf p)\\ &\times \langle\mathbf p'_1,\ldots,\mathbf p'_r| \mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r\rangle. \end{aligned}

Раскрывая меры,

\begin{aligned} \langle\widetilde f|\widetilde f\rangle ={}& \prod_{j=1}^r \int_{G_j} \frac{d^3p_j'}{(2\pi)^3\,2E_j'}\\ &\times \int_{G_j} \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}\\ &\times \prod_{j=1}^r (2\pi)^3\,2E_j \delta^{(3)}(\mathbf p_j-\mathbf p_j'). \end{aligned}

Рассмотрим один множитель, соответствующий частице $j$ :

\begin{aligned} I_j ={}& \int_{G_j} \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} \int_{G_j} \frac{d^3p'_j}{(2\pi)^3\,2E'_j}\\ &\times (2\pi)^3\,2E_j \delta^{(3)}(\mathbf p_j-\mathbf p'_j). \end{aligned}

Сначала интегрируем по $\mathbf p_j'$ :

\begin{aligned} I_j &= \int_{G_j} \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} \frac{2E_j}{2E_j}\\ &= \int_{G_j} \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. \end{aligned}

Следовательно,

\langle\widetilde f|\widetilde f\rangle = \prod_{j=1}^{r} \int_{G_j} \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}.

Если области достаточно малы, энергии внутри каждой области можно считать приблизительно постоянными:

E_j(\mathbf p_j)\simeq E_j(\mathbf p_{j0}).

Тогда

\int_{G_j}\frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} \simeq \frac{\Delta^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}.

Окончательно

\boxed{ \langle\widetilde f|\widetilde f\rangle \simeq \prod_{j=1}^r \frac{\Delta^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. } \tag{A4}

Мы получили формулу (A4) без пропущенных шагов.

5.3. Вывод (A5)

Обозначим

\mathcal N_G \equiv \langle\widetilde f|\widetilde f\rangle.

Тогда нормированное состояние:

|f\rangle=\frac{|\widetilde f\rangle}{\sqrt{\mathcal N_G}}.

В явном виде:

\boxed{ |f\rangle= \left[ \prod_{j=1}^r \frac{\Delta^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} \right]^{-1/2} |\widetilde f\rangle. } \tag{A5}

Проверка:

\langle f|f\rangle = \frac1{\mathcal N_G} \langle\widetilde f|\widetilde f\rangle =1.

Таким образом, нормировочный множитель в (A5) не является новым физическим взаимодействием.

Он просто обеспечивает выполнение условия

\boxed{\langle f|f\rangle=1.}

Часть II. Как переходят от (A6) к (A7)?

6. Что представляет собой S-матрица?

В квантовой теории поля

S=1+i\mathcal T.

Здесь:

$S$ — оператор эволюции между асимптотическими состояниями;
единица описывает отсутствие перехода;
$\mathcal T$ описывает взаимодействие и возможный переход в другое состояние.

При $f\ne i$

\langle f|S|i\rangle = \langle f|i\mathcal T|i\rangle.

Для определённых импульсов в трансляционно-инвариантной теории стандартное соглашение об инвариантной амплитуде $\mathcal M_{fi}$ имеет вид

\boxed{ \langle p_1,\ldots,p_r|i\mathcal T| k_1,\ldots,k_n\rangle = i(2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i)\mathcal M_{fi}. } \tag{12}

Где

P_i=\sum_{a=1}^n k_a, \qquad P_f=\sum_{j=1}^r p_j.

Почему возникает четырёхмерная дельта-функция?

Потому что сохраняются энергия и импульс:

P_f^\mu=P_i^\mu.

Математически её происхождение связано с интегрированием по пространству-времени расположения вершины взаимодействия. Этот момент мы подробно выведем далее.

7. Подставляем нормированное состояние в (A6)

Напомним:

|f\rangle = \mathcal N_G^{-1/2} \int_Gd\mu_r(\mathbf p) |\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r\rangle.

Поэтому

\langle f| = \mathcal N_G^{-1/2} \int_Gd\mu_r(\mathbf p) \langle\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r|.

Здесь $\mathcal N_G$ вещественно и положительно.

Тогда

\begin{aligned} \langle f|S|i\rangle ={}&\mathcal N_G^{-1/2} \int_Gd\mu_r(\mathbf p)\\ &\times \langle\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r| i\mathcal T|i\rangle. \end{aligned}

Это в точности (A6):

\boxed{ \langle f|S|i\rangle = \mathcal N_G^{-1/2} \int_Gd\mu_r(\mathbf p) \langle\mathbf p|i\mathcal T|i\rangle. } \tag{A6}

Теперь используем (12):

\boxed{ \langle f|S|i\rangle = \frac{i}{\sqrt{\mathcal N_G}} \int_Gd\mu_r(\mathbf p) (2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i) \mathcal M_{fi}(\mathbf p). } \tag{13}

Для краткости введём

A(\mathbf p)= (2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i) \mathcal M_{fi}(\mathbf p).

Тогда

\langle f|S|i\rangle = \frac{i}{\sqrt{\mathcal N_G}} \int_Gd\mu_r(\mathbf p)\,A(\mathbf p).

8. Возводим (A6) в квадрат правильно

Квадрат модуля равен

\begin{aligned} |\langle f|S|i\rangle|^2 ={}& \frac1{\mathcal N_G} \left[\int_Gd\mu_r(\mathbf p)A(\mathbf p)\right]\\ &\times \left[\int_Gd\mu_r(\mathbf p')A^*(\mathbf p')\right]. \end{aligned}

Следовательно,

\boxed{ |\langle f|S|i\rangle|^2 = \frac1{\mathcal N_G} \int_Gd\mu_r(\mathbf p) \int_Gd\mu_r(\mathbf p') A(\mathbf p)A^*(\mathbf p'). } \tag{14}

Это точное формальное выражение для выбранного конечного волнового пакета при надлежащем регуляризованном понимании S-матрицы.

Видно, что возникает двойной интеграл.

Раскроем $A$ :

\begin{aligned} |\langle f|S|i\rangle|^2 ={}&\frac1{\mathcal N_G} \int_Gd\mu_r(\mathbf p) \int_Gd\mu_r(\mathbf p')\\ &\times(2\pi)^8 \delta^{(4)}(P_f-P_i) \delta^{(4)}(P_f'-P_i)\\ &\times\mathcal M_{fi}(\mathbf p) \mathcal M_{fi}^*(\mathbf p'). \end{aligned} \tag{15}

В вашем приложении вместо этого сразу получается

\boxed{ \int_Gd\mu_r(\mathbf p)\, \left|(2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i)\right|^2 |\mathcal M_{fi}|^2. } \tag{A7}

Почему?

8.1. Первый вариант объяснения: приближение очень малой ячейки

Предположим, что внутри области $G$ амплитуда $A(\mathbf p)$ меняется настолько слабо, что её можно считать постоянной:

A(\mathbf p)\simeq A_0.

Здесь для строгости подразумевается амплитуда, вычисленная при конечных времени и объёме: дельта-функции уже заменены сглаженными функциями.

Тогда (13) даёт

\begin{aligned} \langle f|S|i\rangle &\simeq \frac{iA_0}{\sqrt{\mathcal N_G}} \int_Gd\mu_r(\mathbf p)\\ &= \frac{iA_0}{\sqrt{\mathcal N_G}} \mathcal N_G\\ &=i\sqrt{\mathcal N_G}\,A_0. \end{aligned}

Квадрат:

\boxed{ |\langle f|S|i\rangle|^2 \simeq \mathcal N_G|A_0|^2. } \tag{16}

Но по определению

\mathcal N_G=\int_Gd\mu_r(\mathbf p).

Следовательно,

\begin{aligned} |\langle f|S|i\rangle|^2 &\simeq \int_Gd\mu_r(\mathbf p)\,|A_0|^2\\ &\simeq \int_Gd\mu_r(\mathbf p)\,|A(\mathbf p)|^2. \end{aligned}

Это и даёт формулу вида (A7).

Однако такое объяснение работает только тогда, когда весь подынтегральный множитель $A(\mathbf p)$ , включая его фазу и регуляризованную дельта-функцию, можно считать практически постоянным на $G$ . Для произвольной области конечных импульсов это условие обычно не выполняется.

8.2. Более важное объяснение: суммирование по ортогональным конечным состояниям

Существует принципиальная разница между двумя вопросами.

Вопрос 1. Какова вероятность перехода в один конкретный нормированный волновой пакет $|f\rangle$ ?

Ответ:

P_{i\to f}=|\langle f|S|i\rangle|^2

при нормированном $|i\rangle$ .

Вопрос 2. Какова вероятность перехода в любое конечное состояние, импульсы которого принадлежат области $G$ ?

Это другая наблюдаемая величина.

Для неё надо использовать проектор на подпространство конечных состояний:

\boxed{ \Pi_G= \int_Gd\mu_r(\mathbf p) |\mathbf p\rangle\langle\mathbf p|. } \tag{17}

Тогда вероятность обнаружить систему в области $G$ :

\boxed{ P_{i\to G} = \langle i|S^\dagger\Pi_GS|i\rangle, } \tag{18}

где начальное состояние нормировано.

Подставим проектор:

\begin{aligned} P_{i\to G} &= \int_Gd\mu_r(\mathbf p) \langle i|S^\dagger|\mathbf p\rangle \langle\mathbf p|S|i\rangle\\ &= \int_Gd\mu_r(\mathbf p) |\langle\mathbf p|S|i\rangle|^2. \end{aligned}

Таким образом,

\boxed{ P_{i\to G} = \int_Gd\mu_r(\mathbf p)\, |\langle\mathbf p|S|i\rangle|^2. } \tag{19}

Именно эта формула является математически правильным основанием для выражения типа (A7), если речь идёт об инклюзивной вероятности распада в область $G$ .

В отличие от квадрата амплитуды перехода в один волновой пакет, здесь интеграл от квадрата возникает непосредственно из полноты ортогональных конечных состояний.

8.3. Простой пример, показывающий разницу

Пусть имеются два ортонормированных конечных состояния

|f_1\rangle,\qquad |f_2\rangle,

и амплитуды перехода в них

a_1=\langle f_1|S|i\rangle, \qquad a_2=\langle f_2|S|i\rangle.

Вероятность попасть в любое из двух состояний:

P_{\{1,2\}}=|a_1|^2+|a_2|^2.

Но если мы выбрали их когерентную суперпозицию

|f\rangle=\frac{|f_1\rangle+|f_2\rangle}{\sqrt2},

то

P_f=\frac12|a_1+a_2|^2.

Это может отличаться от $P_{\{1,2\}}$ из-за интерференции.

Например, при $a_1=a$ , $a_2=-a$

P_f=0,

в то время как

P_{\{1,2\}}=2|a|^2.

Следовательно, для физического расчёта полной или дифференциальной ширины распада нам нужна именно сумма вероятностей по конечным состояниям, а не вероятность перехода в одну произвольную суперпозицию.

Итог по (A6) → (A7): формула (A7) корректна как выражение для инклюзивной вероятности с суммированием по конечным состояниям или в специальном приближении малой ячейки. Но как строгое равенство для одного произвольного волнового пакета она не следует из (A6). Это важное математическое уточнение к приложению.

Часть III. Откуда появляется время, если в амплитуде $\mathcal M$ его нет?

Это центральный вопрос вашего сообщения.

На него можно ответить совершенно строго, начиная с обычного уравнения Шрёдингера и теории нестационарных возмущений.

9. Вывод вероятности перехода за конечное время $T$

Пусть гамильтониан системы

H=H_0+V,

где $H_0$ — свободный гамильтониан, а $V$ — взаимодействие.

Пусть начальное и конечное состояния являются собственными состояниями $H_0$ :

H_0|i\rangle=E_i|i\rangle,

H_0|f\rangle=E_f|f\rangle.

В представлении взаимодействия оператор эволюции удовлетворяет

i\frac{\partial U_I(t,t_0)}{\partial t} = V_I(t)U_I(t,t_0).

Его формальное решение — ряд Дайсона:

\begin{aligned} U_I(t,t_0) ={}&1-i\int_{t_0}^{t}dt_1\,V_I(t_1)\\ &+(-i)^2\int_{t_0}^{t}dt_1 \int_{t_0}^{t_1}dt_2\,V_I(t_1)V_I(t_2)\\ &+\cdots. \end{aligned}

В первом порядке теории возмущений амплитуда перехода $i\to f$ равна

\boxed{ a_{fi}(T) = -i\int_{-T/2}^{T/2} dt\,\langle f|V_I(t)|i\rangle. } \tag{20}

Вот где явно находится время.

9.1. Вычислим временную зависимость взаимодействия

По определению представления взаимодействия

V_I(t)=e^{iH_0t}Ve^{-iH_0t}.

Следовательно,

\begin{aligned} \langle f|V_I(t)|i\rangle &= \langle f|e^{iH_0t}Ve^{-iH_0t}|i\rangle\\ &= e^{iE_ft}e^{-iE_it} \langle f|V|i\rangle\\ &= V_{fi}e^{i(E_f-E_i)t}, \end{aligned}

где

V_{fi}\equiv\langle f|V|i\rangle.

Введём разность энергий

\omega=E_f-E_i.

Тогда

a_{fi}(T) = -iV_{fi}\int_{-T/2}^{T/2}dt\,e^{i\omega t}.

Интегрируем:

\begin{aligned} \int_{-T/2}^{T/2}e^{i\omega t}dt &= \left[\frac{e^{i\omega t}}{i\omega}\right]_{-T/2}^{T/2}\\ &= \frac{e^{i\omega T/2}-e^{-i\omega T/2}}{i\omega}\\ &= \frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega}. \end{aligned}

Таким образом,

\boxed{ a_{fi}(T) = -iV_{fi}\frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega}. } \tag{21}

Это амплитуда перехода за конечное время $T$ .

Она явно зависит от времени!

9.2. Возводим амплитуду в квадрат

По правилу Борна вероятность перехода в нормированное состояние $|f\rangle$ равна

P_{fi}(T)=|a_{fi}(T)|^2.

Следовательно,

\boxed{ P_{fi}(T) = |V_{fi}|^2 \frac{4\sin^2(\omega T/2)}{\omega^2}. } \tag{22}

Важная особенность: при конечном времени вероятность перехода может быть ненулевой даже при $E_f\ne E_i$ .

Это не означает нарушения фундаментального закона сохранения энергии. При конечном времени наблюдения возникает конечная энергетическая ширина переходной функции. В пределе длительного наблюдения переход становится всё более сосредоточен вблизи $E_f=E_i$ .

9.3. Что происходит при $E_f=E_i$ ?

Если $\omega\to0$ , то

\sin(\omega T/2) \simeq\frac{\omega T}{2}.

Поэтому

\frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega} \simeq T.

И

a_{fi}(T)\simeq-iV_{fi}T,

\boxed{ P_{fi}(T)\simeq|V_{fi}|^2T^2. }

Возникает интересный вопрос: почему здесь вероятность пропорциональна $T^2$ , а ширина распада должна давать вероятность, пропорциональную $T$ ?

Ответ: мы пока рассматривали переход в одно определённое состояние. При распаде же конечные состояния образуют непрерывный спектр, и по ним необходимо проинтегрировать.

Это изменяет зависимость полной вероятности от времени.

10. Как из $T^2$ получается $T$ : золотое правило Ферми

Определим функцию

I_T(\omega)= \frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega}.

Тогда

P_{fi}(T)=|V_{fi}|^2|I_T(\omega)|^2.

Рассмотрим поведение $I_T$ при больших $T$ .

Высота квадрата функции в точке $\omega=0$ :

|I_T(0)|^2=T^2.

Но ширина её главного максимума по энергии имеет порядок

\Delta\omega\sim\frac1T.

Следовательно, площадь под максимумом по порядку величины равна

T^2\cdot\frac1T\sim T.

Вот почему после суммирования по конечным энергиям вероятность растёт линейно со временем.

Посмотрим это на математически точном предельном соотношении.

10.1. Вывод дельта-функции из временного интеграла

Определим

D_T(\omega)= \frac{1}{2\pi T} \left| \frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega} \right|^2.

Это положительная функция.

Вычислим её интеграл по всей оси:

\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}D_T(\omega)d\omega &= \frac1{2\pi T} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{4\sin^2(\omega T/2)}{\omega^2} \,d\omega. \end{aligned}

Сделаем замену

u=\frac{\omega T}{2}.

Тогда

\omega=\frac{2u}{T}, \qquad d\omega=\frac2Tdu.

Подставляя,

\begin{aligned} \int D_T(\omega)d\omega &= \frac1{2\pi T} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{4\sin^2u}{4u^2/T^2} \frac2Tdu\\ &= \frac1{2\pi T} \cdot2T \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2u}{u^2}du\\ &= \frac1\pi \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2u}{u^2}du. \end{aligned}

Из известного интеграла

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin^2u}{u^2}du=\pi

получаем

\boxed{ \int_{-\infty}^{\infty}D_T(\omega)d\omega=1. }

По мере увеличения $T$ функция $D_T(\omega)$ концентрируется около $\omega=0$ , сохраняя интеграл равным единице.

Поэтому в смысле обобщённых функций

\boxed{ D_T(\omega)\underset{T\to\infty}{\longrightarrow} \delta(\omega). }

Иначе говоря,

\boxed{ \lim_{T\to\infty} \frac1T \left[ \frac{2\sin(\omega T/2)}{\omega} \right]^2 = 2\pi\delta(\omega). } \tag{23}

Это равенство нужно понимать под знаком интеграла по энергии, а не как обычное поточечное равенство функций.

Как временной интеграл превращается в энергетическую дельта-функцию

Здесь изображена нормированная функция $D_T(\Delta E)$ . При увеличении времени область разрешённых энергетических отклонений сужается. Именно таким образом в пределе получается закон сохранения энергии в виде $\delta(E_f-E_i)$ .

10.2. Суммируем по конечным состояниям

Теперь допустим, что существует непрерывный спектр конечных состояний.

Обозначим через $\rho(E_f)$ плотность этих состояний по энергии.

Тогда вероятность перехода во все доступные состояния за время $T$ :

P(T) = \int dE_f\, \rho(E_f)|V_{fi}(E_f)|^2 \left[ \frac{2\sin((E_f-E_i)T/2)}{E_f-E_i} \right]^2.

Разделим на $T$ :

\begin{aligned} \frac{P(T)}T ={}& \int dE_f\, \rho(E_f)|V_{fi}(E_f)|^2\\ &\times \frac1T \left[ \frac{2\sin((E_f-E_i)T/2)}{E_f-E_i} \right]^2. \end{aligned}

Используя (23), получаем

\lim_{T\to\infty}\frac{P(T)}T = 2\pi\int dE_f\, \rho(E_f)|V_{fi}(E_f)|^2 \delta(E_f-E_i).

Интегрируем дельта-функцию:

\boxed{ \lim\frac{P(T)}T = 2\pi\,\rho(E_i)|V_{fi}(E_i)|^2. } \tag{24}

Это золотое правило Ферми.

Оно показывает, что вероятность перехода за единицу времени определяется квадратом матричного элемента взаимодействия, умноженным на плотность доступных конечных состояний.

Смысл предела здесь следующий: время должно быть достаточно большим, чтобы сформировалась энергетическая дельта-функция, но вероятность распада должна оставаться малой, чтобы теория возмущений ещё была применима. Формально это промежуточная область

t_{\mathrm{corr}}\ll T\ll\Gamma^{-1}.

Безоговорочно продолжать формулу $P(T)=\Gamma T$ до бесконечных времён нельзя: вероятность не может превысить единицу. Экспоненциальный закон распада мы получим ниже.

Именно такая процедура перехода от временно́й амплитуды к скорости перехода лежит в основе стандартного вывода формулы для ширины распада в КТП. (www.damtp.cam.ac.uk doi.org)

10.3. Главное следствие

Если определить

\boxed{ \Gamma\equiv \left.\frac{dP_{\mathrm{decay}}}{dt}\right|_{\text{начальный линейный режим}}, }

то из золотого правила следует

\boxed{ \Gamma=2\pi\rho(E_i)|V_{fi}|^2 }

после соответствующего суммирования по конечным состояниям.

Итак, зависимость от времени не исчезает из физики.

Она содержится в интеграле эволюции

\int dt\,e^{i(E_f-E_i)t},

который в асимптотической S-матрице обычно уже записан как

2\pi\delta(E_f-E_i).

В формуле для инвариантной амплитуды $\mathcal M$ времени нет, потому что временное интегрирование из неё уже выделено в отдельный множитель — дельта-функцию сохранения энергии.

Часть IV. Подробный переход от (A7) к (A8) и (A9)

11. Почему возникает квадрат четырёхмерной дельта-функции?

Напомним представление матричного элемента S-матрицы:

\langle f|i\mathcal T|i\rangle = i(2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i)\mathcal M_{fi}.

При возведении в квадрат получаем

|\langle f|i\mathcal T|i\rangle|^2 = (2\pi)^8 \left[\delta^{(4)}(P_f-P_i)\right]^2 |\mathcal M_{fi}|^2.

Возникает формально бессмысленное выражение

[\delta^{(4)}(q)]^2.

Дельта-функция — обобщённая функция; её квадрат в обычном смысле не определён.

В физическом выводе его следует рассматривать с конечным временем наблюдения и конечным объёмом.

В формальном сокращённом обозначении пишут

[\delta^{(4)}(q)]^2 = \delta^{(4)}(q)\delta^{(4)}(0).

Теперь выясним смысл $\delta^{(4)}(0)$ .

11.1. Четырёхмерная дельта-функция как пространственно-временной интеграл

Используем преобразование Фурье:

(2\pi)^4\delta^{(4)}(q) = \int d^4x\,e^{iq_\mu x^\mu}.

При $q=0$

(2\pi)^4\delta^{(4)}(0) = \int d^4x.

Пусть взаимодействие рассматривается в пространственном объёме $V$ в течение времени $T$ .

Тогда

\int d^4x = \int_{-T/2}^{T/2}dt \int_Vd^3x = VT.

Следовательно,

\boxed{ (2\pi)^4\delta^{(4)}(0)=VT. } \tag{25}

Отсюда в регуляризованном смысле

\begin{aligned} \left[(2\pi)^4\delta^{(4)}(q)\right]^2 &=(2\pi)^8\delta^{(4)}(q)\delta^{(4)}(0)\\ &=(2\pi)^8\delta^{(4)}(q)\frac{VT}{(2\pi)^4}. \end{aligned}

Итак,

\boxed{ \left[(2\pi)^4\delta^{(4)}(q)\right]^2 \longrightarrow VT(2\pi)^4\delta^{(4)}(q). } \tag{26}

Это ровно тот переход, который автор использует после (A7).

Его физический смысл:

множитель $V$ появляется из пространственной трансляционной инвариантности;
множитель $T$ появляется из временной трансляционной инвариантности;
после вычисления вероятности фактор $T$ позволяет выделить скорость перехода.

В отличие от формального произведения дельта-функций, этот результат можно строго получить с конечными $V,T$ , а затем перейти к большим объёму и времени.

12. Получаем (A8)

Подставим (26) в (A7):

\begin{aligned} P_{\mathrm{formal}}(G;T) ={}& \int_G \prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}\\ &\times VT(2\pi)^4 \delta^{(4)}(P_f-P_i) |\mathcal M_{fi}|^2. \end{aligned}

То есть

\boxed{ P_{\mathrm{formal}}(G;T) = VT \int_G (2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i) |\mathcal M_{fi}|^2 \prod_j\frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. } \tag{27}

В приложении теперь делят на $VT$ :

\boxed{ dw_{fi} = (2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i) |\mathcal M_{fi}|^2 \prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. } \tag{A8}

Здесь $dw_{fi}$ — промежуточная плотность вероятности перехода в используемой ковариантной нормировке внешних состояний.

Важно: она ещё не равна скорости распада одной нормированной исходной частицы. Именно поэтому затем появляется знаменатель $2E_i$ .

12.1. Почему нельзя забывать нормировку начального состояния?

Плоское одночастичное начальное состояние имеет норму

\langle i|i\rangle=2E_iV.

По правилу Борна вероятность перехода из ненормированного состояния должна включать деление на его норму:

P_{\mathrm{physical}} = \frac{ |\langle f|S|i\rangle|^2 }{ \langle i|i\rangle },

если конечное состояние уже нормировано.

Если состояние $i$ нормировано с самого начала, этот знаменатель автоматически включён в матричный элемент.

Поэтому из (27)

\begin{aligned} P_{i\to G}(T) ={}& \frac{VT}{2E_iV} \int_G (2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i)\\ &\times|\mathcal M_{fi}|^2 \prod_j\frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. \end{aligned}

Объём сокращается:

\frac{VT}{2E_iV}=\frac{T}{2E_i}.

Следовательно,

\boxed{ P_{i\to G}(T) \simeq T\frac1{2E_i} \int_G (2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i) |\mathcal M_{fi}|^2 \prod_j\frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. } \tag{28}

Именно эта формула показывает, что физическая вероятность распада за достаточно длительное, но ещё возмущательно малое время пропорциональна $T$ .

Разделив на $T$ , получаем скорость распада:

\boxed{ \Gamma_{i\to G} = \frac1{2E_i} \int_G (2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-P_i) |\mathcal M_{fi}|^2 \prod_j\frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. } \tag{29}

Это и есть содержательный переход от (A8) к (A9).

12.2. Формула (A9) в ваших обозначениях

У автора начальная частица имеет четырёхимпульс

k^\mu=(E_k,\mathbf k), \qquad E_k=\sqrt{M^2+\mathbf k^2}.

Поэтому

\boxed{ d\Gamma = \frac{(2\pi)^4}{2\sqrt{M^2+\mathbf k^2}} \delta^{(4)}(P_f-k) |\mathcal M_{fi}|^2 \prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. } \tag{A9}

В системе покоя исходной частицы

\mathbf k=0,\qquad E_k=M.

Тогда

\boxed{ d\Gamma = \frac1{2M} |\mathcal M_{fi}|^2 (2\pi)^4 \delta^{(4)}\left(k-\sum_jp_j\right) \prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. } \tag{30}

Если среди конечных частиц есть тождественные частицы и интегрирование учитывает каждую их перестановку отдельно, следует добавить статистический множитель $1/S_f$ . Например, для двух одинаковых фотонов $S_f=2!$ .

Эта форма совпадает со стандартной формулой для скоростей распада в релятивистской квантовой теории поля. (pdg.lbl.gov)

Часть V. Независимый вывод (A9) через конечный объём и конечное время

Предыдущий вывод использовал формальную замену квадрата дельта-функции. Теперь получим тот же результат, не возводя дельта-функции Дирака в квадрат.

Это наиболее прозрачный способ увидеть происхождение всех нормировочных множителей.

13. Поместим систему в ящик объёма $V=L^3$

Предположим, что в пространственном ящике наложены периодические граничные условия.

Тогда допустимые импульсы дискретны:

p_x=\frac{2\pi n_x}{L},\qquad p_y=\frac{2\pi n_y}{L},\qquad p_z=\frac{2\pi n_z}{L},

где

n_x,n_y,n_z\in\mathbb Z.

Расстояние между соседними допустимыми значениями импульса:

\Delta p_x=\Delta p_y=\Delta p_z=\frac{2\pi}{L}.

Следовательно, объём одной ячейки в импульсном пространстве:

(\Delta p)^3=\frac{(2\pi)^3}{V}.

Поэтому число одночастичных состояний в элементе $d^3p$ равно

\boxed{ dN=\frac{V}{(2\pi)^3}d^3p. } \tag{31}

В пределе большого объёма:

\boxed{ \sum_{\mathbf p} \longrightarrow \frac{V}{(2\pi)^3}\int d^3p. } \tag{32}

Это первый источник множителя $d^3p/(2\pi)^3$ в фазовом пространстве.

Но он ещё не объясняет $1/(2E)$ . Последний появится из нормировки релятивистских внешних состояний.

14. Нормируем все частицы на единицу

В конечном объёме можно использовать поле с разложением

\phi(x)= \sum_{\mathbf p} \frac1{\sqrt{2E_{\mathbf p}V}} \left[ a_{\mathbf p}e^{-ipx} +a_{\mathbf p}^\dagger e^{ipx} \right],

где

[a_{\mathbf p},a_{\mathbf q}^\dagger] =\delta_{\mathbf p\mathbf q}.

Здесь состояния

|\mathbf p\rangle=a_{\mathbf p}^\dagger|0\rangle

уже имеют норму $1$ .

Каждая внешняя частица при вычислении матричного элемента поля даёт нормировочный множитель

\frac1{\sqrt{2EV}}.

Для распада

1\longrightarrow r

получается произведение

\boxed{ \frac1{ \sqrt{2E_iV} \prod_{j=1}^r\sqrt{2E_jV} }. } \tag{33}

Это важнейшая часть вычисления.

15. Вычислим амплитуду перехода за конечное время

Пусть начальная частица имеет импульс $k$ , а конечные — $p_1,\ldots,p_r$ .

В первом порядке по соответствующей эффективной вершине интегрирование по пространству-времени даёт

\begin{aligned} A_{fi}(T) ={}&i\mathcal M_{fi} \frac1{\sqrt{2E_iV}\prod_j\sqrt{2E_jV}}\\ &\times \int_Vd^3x\,e^{-i(\mathbf P_f-\mathbf k)\cdot\mathbf x}\\ &\times \int_{-T/2}^{T/2}dt\,e^{i(E_f-E_i)t}, \end{aligned} \tag{34}

где

E_f=\sum_jE_j,\qquad \mathbf P_f=\sum_j\mathbf p_j.

Для многопетлевой амплитуды та же пространственно-временная структура следует из трансляционной инвариантности всей связной диаграммы: интегрирование по одному общему положению всех её вершин даёт закон сохранения полного четырёхимпульса.

Пространственный интеграл в нашем ящике:

\int_Vd^3x\,e^{-i(\mathbf P_f-\mathbf k)\cdot\mathbf x} = V\delta_{\mathbf P_f,\mathbf k},

где $\delta_{\mathbf P_f,\mathbf k}$ — символ Кронекера на решётке дискретных импульсов.

Временной интеграл мы уже вычислили:

I_T(E_f-E_i) = \frac{2\sin((E_f-E_i)T/2)}{E_f-E_i}.

Таким образом,

\boxed{ A_{fi}(T) = i\mathcal M_{fi} \frac{ V\delta_{\mathbf P_f,\mathbf k}\, I_T(E_f-E_i) }{ \sqrt{2E_iV}\prod_j\sqrt{2E_jV} }. } \tag{35}

В этом выражении явно содержатся и $V$ , и $T$ .

16. Вычислим вероятность распада

Возведём (35) в квадрат:

\begin{aligned} |A_{fi}(T)|^2 ={}&|\mathcal M_{fi}|^2\\ &\times \frac{ V^2\,\delta_{\mathbf P_f,\mathbf k}^2 }{ (2E_iV)\prod_j(2E_jV) }\\ &\times|I_T(E_f-E_i)|^2. \end{aligned}

У символа Кронекера

\delta_{ab}^2=\delta_{ab},

поэтому

\boxed{ |A_{fi}(T)|^2 = |\mathcal M_{fi}|^2 \frac{ V^2\,\delta_{\mathbf P_f,\mathbf k} }{ (2E_iV)\prod_j(2E_jV) } |I_T(E_f-E_i)|^2. } \tag{36}

Здесь мы не получили никакой неопределённости вида $\delta(0)^2$ .

Теперь вероятность попасть в любое конечное состояние с допустимыми импульсами равна

P_G(T)=\sum_{\{p_1,\ldots,p_r\}\in G}|A_{fi}(T)|^2.

Подставляя (36),

\begin{aligned} P_G(T) ={}& \sum_{\{\mathbf p_j\}\in G} |\mathcal M_{fi}|^2\\ &\times \frac{ V^2\delta_{\mathbf P_f,\mathbf k} }{ (2E_iV)\prod_j(2E_jV) } |I_T(E_f-E_i)|^2. \end{aligned} \tag{37}

Пока предположим, что частицы различимы.

16.1. Переход от сумм к интегралам

Для каждого конечного импульса

\sum_{\mathbf p_j}\longrightarrow \frac{V}{(2\pi)^3}\int d^3p_j.

Поэтому $r$ сумм дают множитель $V^r$ :

\prod_j\sum_{\mathbf p_j} \longrightarrow \prod_j\frac{V}{(2\pi)^3}\int d^3p_j.

Внутри суммы дискретный закон сохранения импульса переходит в непрерывный:

\delta_{\mathbf P_f,\mathbf k} \longrightarrow \frac{(2\pi)^3}{V} \delta^{(3)}(\mathbf P_f-\mathbf k).

Наконец, в достаточно длительном временном интервале

\frac{|I_T(E_f-E_i)|^2}{T} \longrightarrow 2\pi\delta(E_f-E_i).

Подставим все три перехода в (37) и сразу разделим вероятность на $T$ :

\begin{aligned} \frac{P_G(T)}T \longrightarrow{}& \int_G \prod_{j=1}^r \left[\frac{Vd^3p_j}{(2\pi)^3}\right] |\mathcal M_{fi}|^2\\ &\times \frac{V^2}{(2E_iV)\prod_j(2E_jV)}\\ &\times \frac{(2\pi)^3}{V} \delta^{(3)}(\mathbf P_f-\mathbf k)\\ &\times 2\pi\delta(E_f-E_i). \end{aligned}

Теперь самое интересное — посмотрим, куда исчезают все множители объёма.

В числителе стоят

V^r\cdot V^2.

В знаменателе:

V^{r+1}\cdot V.

Следовательно,

\boxed{ \frac{V^{r+2}}{V^{r+2}}=1. }

Все объёмы сокращаются.

Это и должно было произойти: физическая вероятность распада одной частицы не может зависеть от размера искусственного ящика, в который мы поместили систему.

После сокращения остаётся

\begin{aligned} \frac{P_G(T)}T \longrightarrow{}& \frac1{2E_i} \int_G \prod_{j=1}^r\frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}\\ &\times (2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf P_f-\mathbf k) \,2\pi\delta(E_f-E_i) |\mathcal M_{fi}|^2. \end{aligned}

Но

(2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf P_f-\mathbf k) \,2\pi\delta(E_f-E_i) = (2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-k).

Поэтому

\boxed{ \lim_{\text{режим золотого правила}} \frac{P_G(T)}T = \frac1{2E_i} \int_G (2\pi)^4\delta^{(4)}(P_f-k) |\mathcal M_{fi}|^2 \prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. } \tag{38}

Мы снова получили (A9).

Но теперь результат получен непосредственно из:

нормированных начального и конечных состояний;
амплитуды эволюции за конечное время;
квадрата этой амплитуды;
подсчёта количества допустимых конечных состояний.

Здесь уже нет необходимости постулировать, что выражение для $\Gamma$ является вероятностью распада в единицу времени. Мы получили именно отношение $P_G(T)/T$ , вычисленное по правилу Борна.

Часть VI. Что такое фазовый объём и почему он имеет именно такой вид?

17. Фазовое пространство как множество доступных конечных состояний

Рассмотрим распад одной частицы:

A\longrightarrow B_1+B_2+\cdots+B_r.

После распада нужно определить, какие импульсы могут иметь конечные частицы.

Для каждой частицы существуют три независимые пространственные компоненты импульса:

\mathbf p_j=(p_{jx},p_{jy},p_{jz}).

Поэтому для $r$ частиц первоначально имеется $3r$ импульсных переменных.

Однако эти переменные не полностью независимы.

Они должны удовлетворять четырём уравнениям сохранения энергии и импульса:

\sum_{j=1}^rE_j=E_i,

\sum_{j=1}^r\mathbf p_j=\mathbf k.

Поэтому для обычного $r$ -частичного распада, где ограничения независимы, размерность физического фазового пространства равна

\boxed{ N_{\mathrm{phase}}=3r-4. }

Например:

Распад	Независимых переменных
$1\to2$	$3\cdot2-4=2$
$1\to3$	$3\cdot3-4=5$
$1\to4$	$3\cdot4-4=8$

Для распада на две частицы в системе покоя исходной частицы остаются два угла, задающих направление вылета одной из них.

Модуль импульса фиксируется сохранением энергии.

Для трёхчастичного распада появляется возможность распределять энергию между тремя частицами различными способами.

Именно поэтому трёхчастичное фазовое пространство значительно сложнее двухчастичного.

18. Почему фазовый объём — произведение одночастичных мер?

Вспомним формулу полноты:

\mathbf1_r= \prod_{j=1}^r \int\frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} |\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r\rangle \langle\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r|.

Это означает: чтобы просуммировать вероятность по всем конечным $r$ -частичным состояниям, нужно интегрировать по $r$ независимым импульсам с мерами

\frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}.

Но нас интересуют только состояния, удовлетворяющие сохранению энергии и импульса.

Поэтому добавляем

(2\pi)^4 \delta^{(4)} \left(P_i-\sum_jp_j\right).

Так возникает определение

\boxed{ d\Phi_r(P_i;p_1,\ldots,p_r) = (2\pi)^4\delta^{(4)} \left(P_i-\sum_{j=1}^rp_j\right) \prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. } \tag{39}

Это стандартное лоренц-инвариантное $r$ -частичное фазовое пространство.

Теперь формула для ширины принимает очень компактный вид:

\boxed{ d\Gamma= \frac1{2M}|\mathcal M_{fi}|^2d\Phi_r } \tag{40}

в системе покоя исходной частицы, если конечные состояния не пересчитываются несколько раз.

18.1. Геометрический смысл каждой части

Разберём (39):

d\Phi_r= \underbrace{ \prod_j d^3p_j }_{\text{все конфигурации импульсов}} \underbrace{ \prod_j\frac1{(2\pi)^3} }_{\text{плотность квантовых состояний}} \underbrace{ \prod_j\frac1{2E_j} }_{\text{релятивистская нормировка}} \underbrace{ (2\pi)^4\delta^{(4)}(P_i-P_f) }_{\text{законы сохранения}}.

Это разложение показывает происхождение каждого множителя.

Ещё одно полезное отличие: геометрический объём области $G$ , введённый в (A3), сам по себе не является лоренц-инвариантным фазовым объёмом.

Лоренц-инвариантной является соответствующая мера с $1/(2E_j)$ , а для физического распада — мера с дельта-функцией сохранения четырёхимпульса.

18.2. Почему фазовое пространство имеет физический смысл?

Предположим, что для некоторого канала распада амплитуда $\mathcal M$ почти постоянна.

Тогда

\Gamma\propto\int d\Phi_r.

Это означает: чем больше допустимых конечных состояний, тем больше скорость распада при одинаковой силе взаимодействия.

Однако даже при большой амплитуде распад невозможен, если для него нет кинематически допустимых конечных состояний.

Например, частица массы $M$ не может распасться на две реальные частицы с массами $m_1,m_2$ , если

M<m_1+m_2.

В этом случае физическое двухчастичное фазовое пространство пусто:

\int d\Phi_2=0.

Следовательно,

\Gamma_{1\to2}=0

для такого канала.

Итак, амплитуда отвечает за динамику, а фазовое пространство — за кинематические возможности.

Важно, что само $d\Phi_r$ не является вероятностью. Вероятность получается только после умножения на $|\mathcal M|^2$ , включения нормировки исходного состояния и соответствующей временной интерпретации.

19. Прямое доказательство лоренц-инвариантности фазового пространства

Мы уже доказали, что

\frac{d^3p_j}{2E_j}

не меняется при преобразовании Лоренца.

Дельта-функция

\delta^{(4)}(P_i-\sum_jp_j)

тоже инвариантна, потому что её аргумент — четырёхвектор, а определитель матрицы собственного преобразования Лоренца равен $1$ .

Поэтому

\boxed{d\Phi_r'=d\Phi_r.}

Это принципиальное свойство: число физически допустимых состояний не должно зависеть от системы отсчёта.

Но есть важное уточнение.

Фазовое пространство $d\Phi_r$ инвариантно, а скорость распада, определённая относительно координатного времени лабораторной системы,

\Gamma_{\mathrm{lab}} = \frac1{2E_i}\int|\mathcal M|^2d\Phi_r,

не является лоренц-скаляром из-за множителя $1/E_i$ .

При инвариантной амплитуде

\boxed{ \Gamma_{\mathrm{lab}} = \frac{M}{E_i}\Gamma_{\mathrm{rest}}. } \tag{41}

Поскольку

E_i=\gamma M,

это означает

\boxed{ \Gamma_{\mathrm{lab}} = \frac{\Gamma_{\mathrm{rest}}}{\gamma}. }

То есть распад движущейся частицы в лабораторной системе происходит медленнее вследствие релятивистского замедления времени.

Собственная ширина распада $\Gamma$ , которую обычно приводят в справочниках, определяется в системе покоя частицы.

20. Полностью вычислим фазовое пространство для распада $1\to2$

Пусть частица массы $M$ распадается на две частицы масс $m_1,m_2$ :

A(M)\longrightarrow B_1(m_1)+B_2(m_2).

В системе покоя начальной частицы

P=(M,\mathbf0).

Определение фазового пространства:

\begin{aligned} d\Phi_2 ={}& (2\pi)^4 \delta^{(4)}(P-p_1-p_2)\\ &\times \frac{d^3p_1}{(2\pi)^3\,2E_1} \frac{d^3p_2}{(2\pi)^3\,2E_2}. \end{aligned}

Разделим дельта-функцию на пространственную и временную части:

\delta^{(4)}(P-p_1-p_2) = \delta(M-E_1-E_2) \delta^{(3)}(\mathbf p_1+\mathbf p_2).

Следовательно,

\begin{aligned} d\Phi_2 ={}& \frac{(2\pi)^4}{(2\pi)^6} \frac{d^3p_1\,d^3p_2}{4E_1E_2}\\ &\times \delta^{(3)}(\mathbf p_1+\mathbf p_2) \delta(M-E_1-E_2). \end{aligned}

Сокращаем степени $2\pi$ :

\frac{(2\pi)^4}{(2\pi)^6} =\frac1{(2\pi)^2}.

Интегрируя по $d^3p_2$ , получаем

\mathbf p_2=-\mathbf p_1.

Обозначим

p=|\mathbf p_1|=|\mathbf p_2|.

Тогда

E_1(p)=\sqrt{p^2+m_1^2},

E_2(p)=\sqrt{p^2+m_2^2}.

Таким образом,

d\Phi_2 = \frac1{(2\pi)^2} \frac{d^3p}{4E_1E_2} \delta(M-E_1-E_2).

Переходим к сферическим координатам:

d^3p=p^2dp\,d\Omega.

Получаем

\boxed{ d\Phi_2 = \frac1{16\pi^2} \frac{p^2dp}{E_1E_2} \delta(M-E_1(p)-E_2(p))\,d\Omega. } \tag{42}

20.1. Интегрируем энергетическую дельта-функцию

Обозначим

f(p)=M-E_1(p)-E_2(p).

Нужно вычислить

\int_0^\infty dp\, \frac{p^2}{E_1E_2}\delta(f(p)).

Пусть $p_*$ — положительное решение уравнения

M=E_1(p_*)+E_2(p_*).

Дифференцируем $f(p)$ :

f'(p) = -\frac{p}{E_1(p)} -\frac{p}{E_2(p)}.

Выносим общий множитель:

f'(p) = -\frac{p(E_1+E_2)}{E_1E_2}.

В точке $p=p_*$

E_1+E_2=M.

Следовательно,

|f'(p_*)| = \frac{p_*M}{E_1^*E_2^*}.

По свойству дельта-функции

\delta(f(p)) = \frac{\delta(p-p_*)}{|f'(p_*)|} = \frac{E_1^*E_2^*}{p_*M}\delta(p-p_*).

Подставляем в интеграл:

\begin{aligned} &\int_0^\infty dp\, \frac{p^2}{E_1E_2} \delta(f(p))\\ &\qquad= \int_0^\infty dp\, \frac{p^2}{E_1E_2} \frac{E_1^*E_2^*}{p_*M} \delta(p-p_*)\\ &\qquad= \frac{p_*^2}{E_1^*E_2^*} \frac{E_1^*E_2^*}{p_*M}\\ &\qquad= \frac{p_*}{M}. \end{aligned}

Поэтому

\boxed{ d\Phi_2 = \frac{p_*}{16\pi^2M}\,d\Omega. } \tag{43}

Это общая формула двухчастичного фазового пространства в системе покоя исходной частицы.

20.2. Вычислим $p_*$ через массы

Из закона сохранения четырёхимпульса

P=p_1+p_2.

Следовательно,

P-p_1=p_2.

Возводим в квадрат:

(P-p_1)^2=p_2^2=m_2^2.

Раскрываем:

P^2+p_1^2-2P\cdot p_1=m_2^2.

В системе покоя

P^2=M^2,\qquad p_1^2=m_1^2,

P\cdot p_1=ME_1^*.

Поэтому

M^2+m_1^2-2ME_1^*=m_2^2.

Отсюда

\boxed{ E_1^*= \frac{M^2+m_1^2-m_2^2}{2M}. }

Аналогично

\boxed{ E_2^*= \frac{M^2+m_2^2-m_1^2}{2M}. }

Теперь используем

p_*^2=(E_1^*)^2-m_1^2.

Получаем

p_*^2= \frac{(M^2+m_1^2-m_2^2)^2}{4M^2}-m_1^2.

Приводим к общему знаменателю:

p_*^2 = \frac{ (M^2+m_1^2-m_2^2)^2-4M^2m_1^2 }{4M^2}.

Раскрываем квадрат:

\begin{aligned} 4M^2p_*^2 ={}&M^4+m_1^4+m_2^4\\ &-2M^2m_1^2 -2M^2m_2^2 -2m_1^2m_2^2. \end{aligned}

Вводим функцию Келлена:

\lambda(a,b,c) = a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc.

Таким образом,

\boxed{ p_*= \frac{\sqrt{\lambda(M^2,m_1^2,m_2^2)}}{2M}. } \tag{44}

Отсюда следует

\boxed{ d\Phi_2 = \frac{\sqrt{\lambda(M^2,m_1^2,m_2^2)}} {32\pi^2M^2}\,d\Omega. } \tag{45}

Интегрируя по углам,

\int d\Omega=4\pi,

получаем

\boxed{ \Phi_2 = \frac{\sqrt{\lambda(M^2,m_1^2,m_2^2)}} {8\pi M^2}. } \tag{46}

Эта формула справедлива в кинематически разрешённой области $M\ge m_1+m_2$ , с соответствующим предельным пониманием в точке порога.

20.3. Пример: два безмассовых фотона

Для фотонов

m_1=m_2=0.

Поэтому

\lambda(M^2,0,0)=M^4.

Следовательно,

p_*=\frac{M}{2}.

А полный фазовый объём

\boxed{ \Phi_2=\frac1{8\pi}. }

Именно этот результат использовался при вычислении распада

\pi^0\to\gamma\gamma.

Теперь видно, откуда он берётся, и понятно, что он представляет собой интеграл по всем кинематически допустимым направлениям вылета двух фотонов.

20.4. Роль тождественности частиц

Для двух тождественных фотонов физическое состояние

|\gamma(\mathbf p_1),\gamma(\mathbf p_2)\rangle

не отличается от состояния с переставленными фотонами

|\gamma(\mathbf p_2),\gamma(\mathbf p_1)\rangle.

Если интегрировать по всем упорядоченным парам $(\mathbf p_1,\mathbf p_2)$ , мы дважды посчитаем каждое физическое состояние.

Поэтому требуется

\frac1{2!}.

В общем случае для $n$ одинаковых частиц одного вида появляется множитель

\frac1{n!},

если выбранная область интегрирования включает все их перестановки.

Общая формула:

\boxed{ \Gamma= \frac1{S_f}\frac1{2M} \int |\mathcal M_{fi}|^2d\Phi_r, } \tag{47}

где $S_f$ — соответствующий комбинаторный фактор.

Часть VII. Почему $\Gamma$ называется шириной распада и как она связана с временем жизни?

Теперь у нас есть формула для скорости перехода, но остаётся концептуальный вопрос:

Почему именно эта скорость определяет время жизни нестабильной частицы, а в эксперименте измеряется как ширина её энергетического распределения?

Это две стороны одного и того же явления.

21. От вероятности распада за короткий интервал к экспоненциальному закону

Предположим, что нестабильная частица характеризуется постоянной скоростью распада $\Gamma$ .

Это означает следующее:

если частица ещё существует в момент времени $t$ , то вероятность её распада за малый последующий интервал $dt$ равна

\boxed{ P(\text{распад за }dt\mid\text{частица дожила до }t) = \Gamma\,dt+o(dt). } \tag{48}

Именно условная вероятность здесь имеет принципиальное значение.

Обозначим через $S(t)$ вероятность того, что частица ещё не распалась к моменту $t$ .

Тогда

S(t+dt)=S(t)(1-\Gamma dt).

Раскрывая левую часть в ряд Тейлора,

S(t+dt) = S(t)+\frac{dS}{dt}dt+o(dt).

Подставляем:

S(t)+\frac{dS}{dt}dt = S(t)-\Gamma S(t)dt.

Вычитаем $S(t)$ :

\frac{dS}{dt}dt=-\Gamma S(t)dt.

Делим на $dt$ :

\boxed{ \frac{dS}{dt}=-\Gamma S(t). } \tag{49}

Решаем дифференциальное уравнение:

\frac{dS}{S}=-\Gamma dt.

Интегрируем:

\ln S=-\Gamma t+C.

При начальном условии

S(0)=1

имеем $C=0$ .

Следовательно,

\boxed{ S(t)=e^{-\Gamma t}. } \tag{50}

Это закон экспоненциального распада.

Полная вероятность того, что частица распалась к моменту $t$ :

\boxed{ P_{\mathrm{decay}}(t)=1-e^{-\Gamma t}. } \tag{51}

А плотность вероятности распада по времени:

\boxed{ \frac{dP_{\mathrm{decay}}}{dt} = \Gamma e^{-\Gamma t}. } \tag{52}

Обратите внимание:

\frac{dP_{\mathrm{decay}}}{dt}\ne\Gamma

при произвольном $t$ .

Постоянной является условная скорость распада для ещё не распавшейся частицы.

При малых временах, когда $\Gamma t\ll1$ ,

e^{-\Gamma t} = 1-\Gamma t+\frac{(\Gamma t)^2}{2}-\cdots.

Поэтому

P_{\mathrm{decay}}(t) \simeq\Gamma t,

и

\frac{P_{\mathrm{decay}}(t)}t\simeq\Gamma.

Именно такую линейную зависимость мы получили из золотого правила Ферми.

Здесь есть важная граница применимости: экспоненциальный закон и постоянная $\Gamma$ описывают обычный режим распада нестабильного состояния в континуум конечных состояний. При чрезвычайно малых временах квантовая вероятность отклоняется от экспоненциального закона (квантовый эффект Зенона), а при очень больших временах тоже могут существовать неэкспоненциальные поправки.

22. Как получить среднее время жизни?

Плотность вероятности распада в момент $t$ :

w(t)=\Gamma e^{-\Gamma t}.

Среднее время жизни:

\tau=\int_0^\infty t\,w(t)\,dt.

Подставляем:

\tau= \Gamma\int_0^\infty t e^{-\Gamma t}\,dt.

Интегрируем по частям:

u=t,\qquad dv=e^{-\Gamma t}dt,

du=dt,\qquad v=-\frac{e^{-\Gamma t}}{\Gamma}.

Тогда

\begin{aligned} \int_0^\infty t e^{-\Gamma t}dt &= \left[-\frac{t e^{-\Gamma t}}{\Gamma}\right]_0^\infty +\frac1\Gamma\int_0^\infty e^{-\Gamma t}dt\\ &= 0+\frac1\Gamma \left[-\frac{e^{-\Gamma t}}{\Gamma}\right]_0^\infty\\ &=\frac1{\Gamma^2}. \end{aligned}

Поэтому

\tau=\Gamma\frac1{\Gamma^2}.

Итак,

\boxed{ \tau=\frac1\Gamma \qquad(\hbar=1). } \tag{53}

Если $\Gamma$ выражена в энергетических единицах, например в эВ, то в обычных единицах

\boxed{ \tau=\frac{\hbar}{\Gamma_{\mathrm{energy}}}. } \tag{54}

Иначе говоря, когда мы говорим «ширина распада 8 эВ», физическая скорость распада в обратных секундах равна

\Gamma_{\mathrm{rate}}= \frac{\Gamma_{\mathrm{energy}}}{\hbar}.

В натуральных единицах $\hbar=1$ , поэтому оба обозначения совпадают.

23. Почему $\Gamma$ имеет смысл именно энергетической ширины?

Пусть амплитуда существования нестабильного состояния во времени имеет вид

a(t)=e^{-iMt}e^{-\Gamma t/2}, \qquad t\ge0.

Тогда вероятность выживания

|a(t)|^2=e^{-\Gamma t}.

Теперь найдём энергетическое представление этой амплитуды через преобразование Фурье:

\widetilde a(E) = \int_0^\infty dt\,e^{iEt}a(t).

Подставим выражение для $a(t)$ :

\widetilde a(E) = \int_0^\infty dt\, e^{i(E-M)t}e^{-\Gamma t/2}.

Объединим экспоненты:

\widetilde a(E) = \int_0^\infty dt\, e^{-[\Gamma/2-i(E-M)]t}.

Используя

\int_0^\infty e^{-at}dt=\frac1a, \qquad \operatorname{Re}a>0,

получаем

\boxed{ \widetilde a(E) = \frac1{\Gamma/2-i(E-M)}. } \tag{55}

Квадрат модуля:

|\widetilde a(E)|^2 = \frac1{(\Gamma/2)^2+(E-M)^2}.

Это форма распределения Брейта — Вигнера, или лоренцева линия.

Её нормированная запись:

\boxed{ \rho(E)= \frac1{2\pi} \frac{\Gamma} {(E-M)^2+\Gamma^2/4}. } \tag{56}

График имеет максимум при

E=M.

В максимуме

\rho(M)=\frac{2}{\pi\Gamma}.

Найдём энергии, при которых высота линии падает вдвое:

\rho(E_\pm)=\frac12\rho(M).

Следовательно,

\frac1{(E_\pm-M)^2+\Gamma^2/4} = \frac12\frac1{\Gamma^2/4}.

Отсюда

(E_\pm-M)^2+\frac{\Gamma^2}{4} = \frac{\Gamma^2}{2}.

Поэтому

(E_\pm-M)^2=\frac{\Gamma^2}{4},

E_\pm=M\pm\frac\Gamma2.

Расстояние между этими точками:

\boxed{ E_+-E_-=\Gamma. } \tag{57}

Таким образом, $\Gamma$ — полная ширина энергетической линии на половине её максимальной высоты, FWHM.

И теперь видно, почему одна и та же величина описывает две характеристики нестабильной частицы:

\boxed{ \text{короткое время жизни} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{большая энергетическая ширина}. }

Это также можно связать с комплексным полюсом пропагатора нестабильной частицы:

E_{\mathrm{pole}}=M-\frac{i\Gamma}{2}.

Временная эволюция такого состояния содержит

e^{-iE_{\mathrm{pole}}t} = e^{-iMt}e^{-\Gamma t/2}.

Тот же параметр $\Gamma$ появляется в затухании амплитуды и в энергетической ширине.

24. Что происходит, если возможны несколько каналов распада?

Пусть частица может распадаться по нескольким каналам:

A\to f_1,\qquad A\to f_2,\qquad A\to f_3,\ldots

Для каждого канала вычисляется собственная частичная ширина

\Gamma_a= \frac1{2M} \int d\Phi_a\,|\mathcal M_a|^2.

Если конечные каналы ортогональны, их вероятности складываются.

Поэтому

\boxed{ \Gamma_{\mathrm{tot}}=\sum_a\Gamma_a. } \tag{58}

Время жизни определяется полной шириной:

\boxed{ \tau=\frac1{\Gamma_{\mathrm{tot}}} }

в натуральных единицах.

Вероятность того, что распад произойдёт именно по каналу $a$ в интервале $[t,t+dt]$ :

dP_a(t) = \Gamma_a e^{-\Gamma_{\mathrm{tot}}t}dt.

Интегрируем по всему времени:

P_a = \int_0^\infty \Gamma_a e^{-\Gamma_{\mathrm{tot}}t}dt = \frac{\Gamma_a}{\Gamma_{\mathrm{tot}}}.

Поэтому доля распадов, или branching ratio,

\boxed{ \operatorname{Br}(A\to f_a) = \frac{\Gamma_a}{\Gamma_{\mathrm{tot}}}. } \tag{59}

Это позволяет правильно интерпретировать, например, двухфотонную ширину нейтрального пиона: она является частичной шириной канала $\pi^0\to\gamma\gamma$ , тогда как время жизни определяется суммой по всем каналам.

Часть VIII. Проверка всего вывода на распаде $\pi^0\to\gamma\gamma$

Теперь соберём полученные формулы на конкретном примере из предыдущего разбора.

Для распада

\pi^0(p)\to\gamma(k_1)+\gamma(k_2)

аномалия даёт амплитуду

\mathcal M= g_{\pi\gamma\gamma} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \varepsilon_{1\mu}^*\varepsilon_{2\nu}^* k_{1\rho}k_{2\sigma},

где

g_{\pi\gamma\gamma} = \frac{\alpha}{\pi f_\pi}.

После суммирования по поляризациям фотонов

\sum_{\mathrm{pol}}|\mathcal M|^2 = \frac{g_{\pi\gamma\gamma}^2m_\pi^4}{2}.

Из нашего расчёта фазового пространства

\int d\Phi_2=\frac1{8\pi}.

Начальный пион находится в покое, поэтому начальный нормировочный множитель

\frac1{2E_i}=\frac1{2m_\pi}.

Остаётся фактор $1/2!$ , поскольку фотоны тождественны.

Итак,

\begin{aligned} \Gamma_{\gamma\gamma} &= \frac1{2!}\frac1{2m_\pi} \int d\Phi_2 \sum_{\mathrm{pol}}|\mathcal M|^2\\ &= \frac12\cdot\frac1{2m_\pi} \cdot\frac1{8\pi} \cdot\frac{g_{\pi\gamma\gamma}^2m_\pi^4}{2}\\ &= \frac{g_{\pi\gamma\gamma}^2m_\pi^3}{64\pi}. \end{aligned}

Следовательно,

\boxed{ \Gamma_{\gamma\gamma}^{\mathrm{LO}} = \frac{\alpha^2m_\pi^3}{64\pi^3f_\pi^2} \simeq7.75\ \text{эВ}. }

Теперь можно точно указать роль каждой части расчёта.

Амплитуда $\mathcal M$ , определяемая киральной аномалией, задаёт силу взаимодействия.

Фазовое пространство $d\Phi_2$ учитывает все возможные направления вылета двух фотонов, удовлетворяющие законам сохранения.

Множитель $1/(2m_\pi)$ возникает из нормировки одной исходной частицы.

Множитель $1/2!$ исключает двойной подсчёт двух тождественных фотонов.

А интерпретация результата именно как скорости распада следует из временной эволюции, квадрата переходной амплитуды и золотого правила Ферми.

Вычисленная величина имеет размерность энергии. При восстановлении $\hbar$ она переводится в обратное время и определяет характерную скорость распада.

Часть IX. Ещё более глубокая связь: унитарность S-матрицы

Полезно понять, почему полученная скорость перехода согласована с потерей вероятности существования начального состояния.

S-матрица унитарна:

S^\dagger S=1.

Запишем

S=1+i\mathcal T.

Тогда

S^\dagger=1-i\mathcal T^\dagger.

Подставим в условие унитарности:

(1-i\mathcal T^\dagger)(1+i\mathcal T)=1.

Раскрывая скобки,

1+i\mathcal T-i\mathcal T^\dagger +\mathcal T^\dagger\mathcal T=1.

Следовательно,

i(\mathcal T-\mathcal T^\dagger) + \mathcal T^\dagger\mathcal T=0.

То есть

\boxed{ -i(\mathcal T-\mathcal T^\dagger) = \mathcal T^\dagger\mathcal T. } \tag{60}

Возьмём диагональный матричный элемент по состоянию $|i\rangle$ :

-i\langle i| (\mathcal T-\mathcal T^\dagger) |i\rangle = \langle i|\mathcal T^\dagger\mathcal T|i\rangle.

Левая часть равна

2\operatorname{Im}\mathcal T_{ii}.

В правой части вставляем оператор полноты:

\mathbf1=\sum_f|f\rangle\langle f|,

где сумма символически включает интегралы по континууму состояний.

Получаем

\begin{aligned} \langle i|\mathcal T^\dagger\mathcal T|i\rangle &= \sum_f \langle i|\mathcal T^\dagger|f\rangle \langle f|\mathcal T|i\rangle\\ &= \sum_f|\mathcal T_{fi}|^2. \end{aligned}

Таким образом,

\boxed{ 2\operatorname{Im}\mathcal T_{ii} = \sum_f|\mathcal T_{fi}|^2. } \tag{61}

Это основа оптической теоремы.

Её физический смысл заключается в том, что мнимая часть амплитуды прямого перехода связана с суммой вероятностей всех разрешённых переходов из начального состояния.

Для нестабильной частицы аналогичное соотношение связывает мнимую часть собственной энергии с полной шириной распада.

Так теория сама обеспечивает согласованность между исчезновением исходной частицы и появлением продуктов распада. Мы не вводим «потерю вероятности» вручную: полная вероятность сохраняется, но перераспределяется между начальными и конечными состояниями.

Ответы на ваши основные вопросы

Вопрос	Ответ
Почему $r$ -частичное состояние определяется через произведение интегралов?	Потому что полный базис конечных состояний строится как тензорное произведение одночастичных импульсных базисов. Мера $d^3p/((2\pi)^3 2E)$ следует из ковариантной нормировки и полноты состояний.
Почему волновой пакет в (A4) имеет именно такой вид?	Это выбор постоянной импульсной волновой функции внутри малой области $G$ . Он удобен, но не единственен.
Как перейти от (A6) к (A7)?	При дополнительном приближении малой ячейки либо через проектор на область $G$ , суммируя вероятности по ортогональным конечным состояниям. Для произвольного одного волнового пакета переход не является строгим.
Почему возникает $\delta^{(4)}$ ?	Из интегрирования по пространству и времени в трансляционно-инвариантной теории; она выражает сохранение полного четырёхимпульса.
Откуда возникает время $T$ ?	Из временного интеграла эволюции. Квадрат его модуля после интегрирования по континууму конечных энергий даёт множитель $T$ .
Почему $\Gamma$ — вероятность в единицу времени?	Потому что расчёт по правилу Борна даёт $P_{\mathrm{decay}}(T)\simeq\Gamma T$ в режиме золотого правила Ферми.
Почему $\Gamma$ называется шириной?	Та же величина является полной шириной на половине максимума энергетического распределения Брейта — Вигнера.
Что означает фазовое пространство?	Это множество кинематически разрешённых конечных состояний с мерой, согласованной с релятивистской нормировкой, и с ограничениями сохранения энергии и импульса.
Почему появляется $1/(2M)$ ?	Из нормировки одной исходной частицы. В произвольной системе отсчёта это $1/(2E_i)$ .

Самое существенное во всём выводе можно выразить одной цепочкой:

\boxed{ \begin{gathered} \text{Унитарная временная эволюция }U(T) \\[3pt]\Downarrow\\[3pt] \text{Амплитуда перехода }A_{fi}(T) \\[3pt]\Downarrow\\[3pt] \text{Вероятность }|A_{fi}(T)|^2 \\[3pt]\Downarrow\\[3pt] \text{Сумма по физическим конечным состояниям} \\[3pt]\Downarrow\\[3pt] P_{\mathrm{decay}}(T)\simeq\Gamma T \\[3pt]\Downarrow\\[3pt] \displaystyle \Gamma= \frac1{2M}\int|\mathcal M|^2d\Phi_r. \end{gathered} }

Таким образом, формула (A9) — не отдельный постулат о вероятности распада. Это следствие обычного правила Борна, релятивистской нормировки квантовых состояний, полноты конечных состояний и временной эволюции квантовой системы.

Answer 5

Нет, фазовый объём в квантовой теории поля не нормирован на единицу. Здесь важно различать три величины: фазовый объём, нормировку квантового состояния и вероятность.

1. Фазовый объём не обязан равняться единице

Для распада на

r

частиц фазовый объём определяется как

\boxed{ d\Phi_r= (2\pi)^4\delta^{(4)} \left(P_i-\sum_{j=1}^rp_j\right) \prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. }

Полный фазовый объём:

\Phi_r=\int d\Phi_r.

Никакого условия $\Phi_r=1$ нет.

Например, для распада на две безмассовые частицы:

\boxed{ \Phi_2=\int d\Phi_2=\frac1{8\pi}\ne1. }

Для двух частиц с ненулевыми массами:

\Phi_2= \frac{\sqrt{\lambda(M^2,m_1^2,m_2^2)}}{8\pi M^2}.

Таким образом, полный фазовый объём зависит от кинематики распада.

Более того, при

r\ne2

фазовый объём вообще имеет размерность:

\boxed{[\Phi_r]=E^{2r-4}.}

Поэтому требовать, чтобы произвольный фазовый объём равнялся безразмерной единице, нельзя.

2. Но в формулах (A4)–(A5) состояние нормировано на единицу!

Вот здесь возникает основная тонкость.

В вашем приложении определяется состояние

|\widetilde f\rangle = \int_G \prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} |\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r\rangle.

Его квадрат нормы:

\langle\widetilde f|\widetilde f\rangle = \int_G\prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} \equiv\mathcal N_G.

Поэтому автор определяет

\boxed{ |f\rangle=\frac{|\widetilde f\rangle}{\sqrt{\mathcal N_G}}. }

И теперь

\begin{aligned} \langle f|f\rangle &= \frac1{\mathcal N_G} \langle\widetilde f|\widetilde f\rangle\\ &=\frac{\mathcal N_G}{\mathcal N_G}\\ &=\boxed{1}. \end{aligned}

То есть нормировано квантовое состояние $|f\rangle$ , а не сам фазовый объём.

Причём

\mathcal N_G

— интеграл произведения одночастичных мер по области

G

, а не полный физический фазовый объём

d\Phi_r

с четырёхмерной дельта-функцией сохранения энергии и импульса.

3. А что именно должно быть нормировано на единицу?

Вероятность.

Например, полная вероятность того, что частица либо ещё существует, либо уже распалась по одному из возможных каналов, равна

\boxed{ P_{\mathrm{survival}}(t) + \sum_aP_{\mathrm{decay},a}(t)=1. }

А фазовый объём в этой формуле сам по себе не является вероятностью.

Для конкретного канала распада

d\Gamma = \frac1{2M}|\mathcal M|^2d\Phi_r.

Если мы хотим получить нормированное распределение вероятности по конечным состояниям при условии, что распад произошёл по данному каналу, то должны разделить на частичную ширину:

\boxed{ dP_{\mathrm{cond}} = \frac{d\Gamma}{\Gamma} = \frac{|\mathcal M|^2d\Phi_r} {\displaystyle\int|\mathcal M|^2d\Phi_r}. }

Здесь подразумевается один фиксированный канал, с одинаковым учётом статистических множителей в числителе и знаменателе.

И вот теперь

\boxed{ \int dP_{\mathrm{cond}}=1. }

Если амплитуда не зависит от импульсов конечных частиц, она сокращается:

dP_{\mathrm{cond}}=\frac{d\Phi_r}{\Phi_r}.

То есть только после деления на полный фазовый объём получается нормированная мера вероятности для равномерного по фазовому пространству распада.

Но в общем случае распределение неравномерно и определяется также

|\mathcal M|^2

.

4. Пример для $\pi^0\to\gamma\gamma$

Для двух безмассовых частиц в системе покоя пиона:

d\Phi_2=\frac1{32\pi^2}d\Omega.

Полный интеграл:

\Phi_2 = \frac1{32\pi^2}\int d\Omega = \frac{4\pi}{32\pi^2} = \frac1{8\pi}.

Если после суммирования по поляризациям амплитуда не зависит от направления фотонов, то нормированное угловое распределение равно

dP_{\mathrm{cond}} = \frac{d\Phi_2}{\Phi_2}.

Подставляем:

dP_{\mathrm{cond}} = \frac{\frac1{32\pi^2}d\Omega}{\frac1{8\pi}}.

Получаем

\boxed{ dP_{\mathrm{cond}}=\frac{d\Omega}{4\pi}. }

Теперь

\int dP_{\mathrm{cond}} = \frac1{4\pi}\int d\Omega = \frac{4\pi}{4\pi} =\boxed{1}.

Это означает, что в системе покоя пиона направление вылета одного из фотонов равномерно распределено по сфере. Второй фотон летит в противоположную сторону. При интегрировании полной ширины двухфотонного канала отдельно учитывается тождественность фотонов.

Таким образом, различие принципиальное:

\boxed{ \underbrace{d\Phi_r}_{\text{фазовый объём, не нормирован}} \quad\longrightarrow\quad \underbrace{|\mathcal M|^2d\Phi_r}_{\text{вес конечных состояний}} \quad\longrightarrow\quad \underbrace{\frac{d\Gamma}{\Gamma}}_{\text{нормированная вероятность}}. }

Именно это различие объясняет, почему в (A5) требуется нормировка состояния на единицу, но в (A9) фазовый объём остаётся ненормированным: (A5) относится к норме вектора состояния, а (A9) — к сумме вероятностей перехода по множеству конечных состояний за единицу времени.

Text version

Нет, фазовый объём в квантовой теории поля не нормирован на единицу. Здесь важно различать три величины: фазовый объём, нормировку квантового состояния и вероятность.

1. Фазовый объём не обязан равняться единице

Для распада на $r$ частиц фазовый объём определяется как

\boxed{ d\Phi_r= (2\pi)^4\delta^{(4)} \left(P_i-\sum_{j=1}^rp_j\right) \prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j}. }

Полный фазовый объём:

\Phi_r=\int d\Phi_r.

Никакого условия $\Phi_r=1$ нет.

Например, для распада на две безмассовые частицы:

\boxed{ \Phi_2=\int d\Phi_2=\frac1{8\pi}\ne1. }

Для двух частиц с ненулевыми массами:

\Phi_2= \frac{\sqrt{\lambda(M^2,m_1^2,m_2^2)}}{8\pi M^2}.

Таким образом, полный фазовый объём зависит от кинематики распада.

Более того, при $r\ne2$ фазовый объём вообще имеет размерность:

\boxed{[\Phi_r]=E^{2r-4}.}

Поэтому требовать, чтобы произвольный фазовый объём равнялся безразмерной единице, нельзя.

2. Но в формулах (A4)–(A5) состояние нормировано на единицу!

Вот здесь возникает основная тонкость.

В вашем приложении определяется состояние

|\widetilde f\rangle = \int_G \prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} |\mathbf p_1,\ldots,\mathbf p_r\rangle.

Его квадрат нормы:

\langle\widetilde f|\widetilde f\rangle = \int_G\prod_{j=1}^r \frac{d^3p_j}{(2\pi)^3\,2E_j} \equiv\mathcal N_G.

Поэтому автор определяет

\boxed{ |f\rangle=\frac{|\widetilde f\rangle}{\sqrt{\mathcal N_G}}. }

И теперь

\begin{aligned} \langle f|f\rangle &= \frac1{\mathcal N_G} \langle\widetilde f|\widetilde f\rangle\\ &=\frac{\mathcal N_G}{\mathcal N_G}\\ &=\boxed{1}. \end{aligned}

То есть нормировано квантовое состояние $|f\rangle$ , а не сам фазовый объём.

Причём $\mathcal N_G$ — интеграл произведения одночастичных мер по области $G$ , а не полный физический фазовый объём $d\Phi_r$ с четырёхмерной дельта-функцией сохранения энергии и импульса.

3. А что именно должно быть нормировано на единицу?

Вероятность.

Например, полная вероятность того, что частица либо ещё существует, либо уже распалась по одному из возможных каналов, равна

\boxed{ P_{\mathrm{survival}}(t) + \sum_aP_{\mathrm{decay},a}(t)=1. }

А фазовый объём в этой формуле сам по себе не является вероятностью.

Для конкретного канала распада

d\Gamma = \frac1{2M}|\mathcal M|^2d\Phi_r.

Если мы хотим получить нормированное распределение вероятности по конечным состояниям при условии, что распад произошёл по данному каналу, то должны разделить на частичную ширину:

\boxed{ dP_{\mathrm{cond}} = \frac{d\Gamma}{\Gamma} = \frac{|\mathcal M|^2d\Phi_r} {\displaystyle\int|\mathcal M|^2d\Phi_r}. }

Здесь подразумевается один фиксированный канал, с одинаковым учётом статистических множителей в числителе и знаменателе.

И вот теперь

\boxed{ \int dP_{\mathrm{cond}}=1. }

Если амплитуда не зависит от импульсов конечных частиц, она сокращается:

dP_{\mathrm{cond}}=\frac{d\Phi_r}{\Phi_r}.

То есть только после деления на полный фазовый объём получается нормированная мера вероятности для равномерного по фазовому пространству распада.

Но в общем случае распределение неравномерно и определяется также $|\mathcal M|^2$ .

4. Пример для $\pi^0\to\gamma\gamma$

Для двух безмассовых частиц в системе покоя пиона:

d\Phi_2=\frac1{32\pi^2}d\Omega.

Полный интеграл:

\Phi_2 = \frac1{32\pi^2}\int d\Omega = \frac{4\pi}{32\pi^2} = \frac1{8\pi}.

Если после суммирования по поляризациям амплитуда не зависит от направления фотонов, то нормированное угловое распределение равно

dP_{\mathrm{cond}} = \frac{d\Phi_2}{\Phi_2}.

Подставляем:

dP_{\mathrm{cond}} = \frac{\frac1{32\pi^2}d\Omega}{\frac1{8\pi}}.

Получаем

\boxed{ dP_{\mathrm{cond}}=\frac{d\Omega}{4\pi}. }

Теперь

\int dP_{\mathrm{cond}} = \frac1{4\pi}\int d\Omega = \frac{4\pi}{4\pi} =\boxed{1}.

Это означает, что в системе покоя пиона направление вылета одного из фотонов равномерно распределено по сфере. Второй фотон летит в противоположную сторону. При интегрировании полной ширины двухфотонного канала отдельно учитывается тождественность фотонов.

Таким образом, различие принципиальное:

\boxed{ \underbrace{d\Phi_r}_{\text{фазовый объём, не нормирован}} \quad\longrightarrow\quad \underbrace{|\mathcal M|^2d\Phi_r}_{\text{вес конечных состояний}} \quad\longrightarrow\quad \underbrace{\frac{d\Gamma}{\Gamma}}_{\text{нормированная вероятность}}. }

Именно это различие объясняет, почему в (A5) требуется нормировка состояния на единицу, но в (A9) фазовый объём остаётся ненормированным: (A5) относится к норме вектора состояния, а (A9) — к сумме вероятностей перехода по множеству конечных состояний за единицу времени.

Answer 6

Сначала покажу, что обе формулы для $\Gamma$ возникают из одного уравнения Шрёдингера: интегрирование по конечным состояниям даёт золотое правило Ферми, а обратное влияние этих состояний на исходное — экспоненциальный закон выживания. Затем разберу реальные измерения $\pi^0$ и мюона и полностью проинтегрирую трёхчастичное фазовое пространство мюонного распада, включая поправку на массу электрона.

Answer 7

Text version

Ширина распада: от квантовой амплитуды до эксперимента и полного расчёта распада мюона

Рассмотрим три вопроса последовательно. Они тесно связаны: первый объясняет, почему расчёт ширины распада из S-матрицы вообще имеет физический смысл; второй показывает, что непосредственно измеряется в эксперименте; третий демонстрирует всю процедуру на конкретной реакции

\boxed{\mu^-\to e^-+\nu_\mu+\bar\nu_e.}

Главная мысль состоит в следующем:

Ширина распада, вычисленная через $|\mathcal M|^2$ и фазовое пространство, и ширина, определяющая экспоненциальное уменьшение числа нестабильных частиц, — это не две независимые величины, которые случайно совпали. Они возникают из одного и того же уравнения Шрёдингера для системы, в которой исходное состояние связано взаимодействием с непрерывным спектром конечных состояний.

Сначала докажем это математически, не предполагая заранее экспоненциального закона.

1. Почему ширина из амплитуды совпадает с обратным временем жизни?

1.1. Аналогия из обычной квантовой механики

Представим атом, имеющий возбуждённое состояние $|i\rangle$ с энергией $E_i$ .

Атом может перейти в нижнее состояние $|g\rangle$ , испустив фотон:

|i\rangle\longrightarrow|g;\gamma\rangle.

На первый взгляд мы имеем два разных способа описать этот процесс.

С одной стороны, можно вычислить матричный элемент взаимодействия атома с электромагнитным полем:

V_{fi}=\langle f|V|i\rangle

и воспользоваться золотым правилом Ферми:

W_{i\to f}=2\pi|V_{fi}|^2\rho(E_f)

в единицах $\hbar=1$ .

С другой стороны, экспериментально можно измерить количество возбуждённых атомов, оставшихся к моменту $t$ :

N(t)=N_0e^{-t/\tau}.

Почему должно выполняться

W=\frac1\tau?

Для ответа нужно не постулировать экспоненту, а получить её из того же взаимодействия $V$ .

1.2. Записываем полный гамильтониан

Пусть имеется одно начальное дискретное состояние $|i\rangle$ и множество конечных состояний $|f\rangle$ , образующих непрерывный спектр.

Гамильтониан:

H=H_0+V,

где

H_0|i\rangle=E_i|i\rangle, \qquad H_0|f\rangle=E_f|f\rangle.

Взаимодействие $V$ связывает начальное состояние с конечными.

Будем считать, что существенны матричные элементы

V_{fi}=\langle f|V|i\rangle, \qquad V_{if}=V_{fi}^*.

Начальное состояние в момент $t=0$ :

|\Psi(0)\rangle=|i\rangle.

В представлении взаимодействия полное состояние можно разложить:

\boxed{ |\Psi_I(t)\rangle = a(t)|i\rangle+ \sum_f b_f(t)|f\rangle. }

Здесь сумма по $f$ включает интегрирование по непрерывным конечным состояниям.

Начальные условия:

a(0)=1,\qquad b_f(0)=0.

Вероятность того, что система всё ещё находится в исходном состоянии:

\boxed{P_{\mathrm{surv}}(t)=|a(t)|^2.}

А вероятность обнаружить её в конечном состоянии $f$ :

P_f(t)=|b_f(t)|^2.

Унитарность эволюции требует

|a(t)|^2+\sum_f|b_f(t)|^2=1.

Теперь получим уравнения для этих амплитуд.

1.3. Уравнения Шрёдингера для $a(t)$ и $b_f(t)$

В представлении взаимодействия

i\frac{d}{dt}|\Psi_I(t)\rangle=V_I(t)|\Psi_I(t)\rangle,

V_I(t)=e^{iH_0t}Ve^{-iH_0t}.

Проецируя уравнение на $\langle i|$ , получаем

\boxed{ i\dot a(t)= \sum_fV_{if}e^{i(E_i-E_f)t}b_f(t). } \tag{1}

А проецируя на $\langle f|$ ,

\boxed{ i\dot b_f(t)= V_{fi}e^{i(E_f-E_i)t}a(t). } \tag{2}

В этих двух уравнениях находится вся физика распада.

Первое показывает, как наличие конечных состояний влияет на вероятность сохранения исходного состояния.

Второе показывает, как из исходного состояния рождаются продукты распада.

Обе задачи описываются одним и тем же матричным элементом $V_{fi}$ .

1.4. Сначала вычисляем амплитуды продуктов распада

Проинтегрируем (2):

b_f(t)= -iV_{fi} \int_0^t e^{i(E_f-E_i)t'}a(t')\,dt'.

Это выражение пока точное в рамках выбранной модели.

В первом порядке теории возмущений можно заменить

a(t')\simeq1.

Тогда

b_f(t)\simeq -iV_{fi}\int_0^te^{i(E_f-E_i)t'}dt'.

Вводим

\omega_f=E_f-E_i.

Получаем

b_f(t)\simeq V_{fi}\frac{1-e^{i\omega_ft}}{\omega_f}.

Следовательно,

|b_f(t)|^2 = |V_{fi}|^2 \frac{4\sin^2(\omega_ft/2)}{\omega_f^2}.

Суммируем по конечным состояниям:

\boxed{ P_{\mathrm{decay}}(t) = \sum_f|V_{fi}|^2 \frac{4\sin^2[(E_f-E_i)t/2]} {(E_f-E_i)^2}. } \tag{3}

В режиме золотого правила Ферми используется предел под интегралом по непрерывному спектру:

\frac1t \frac{4\sin^2(\omega t/2)}{\omega^2} \longrightarrow2\pi\delta(\omega).

Поэтому

P_{\mathrm{decay}}(t)\simeq\Gamma_{\mathrm{QM}}t,

где

\boxed{ \Gamma_{\mathrm{QM}} = 2\pi\sum_f |V_{fi}|^2\delta(E_f-E_i). } \tag{4}

Это золотое правило Ферми.

Оно доказывает, что сумма квадратов амплитуд перехода по энергетически разрешённым конечным состояниям определяет вероятность распада за единицу времени в соответствующем возмущательном режиме.

Но мы хотим получить больше: экспоненциальный закон выживания с тем же $\Gamma_{\mathrm{QM}}$ .

1.5. Теперь получаем экспоненциальный закон из тех же уравнений

Вернёмся к точному выражению

b_f(t)= -iV_{fi} \int_0^t e^{i(E_f-E_i)t'}a(t')dt'.

Подставим его в уравнение (1):

\begin{aligned} i\dot a(t) ={}&-i\sum_f|V_{fi}|^2 e^{i(E_i-E_f)t}\\ &\times \int_0^t e^{i(E_f-E_i)t'}a(t')dt'. \end{aligned}

Сокращаем множители $i$ :

\dot a(t) = -\sum_f|V_{fi}|^2 \int_0^t e^{-i(E_f-E_i)(t-t')}a(t')dt'.

Сделаем замену

s=t-t'.

Тогда

\boxed{ \dot a(t) = -\sum_f|V_{fi}|^2 \int_0^t ds\, e^{-i(E_f-E_i)s}a(t-s). } \tag{5}

Это уравнение с памятью: значение $a(t)$ зависит от его значений в предыдущие моменты времени.

Чтобы получить обычный экспоненциальный закон, сделаем приближение Вайскопфа — Вигнера.

Если связь с континуумом достаточно слабая, а его корреляции затухают значительно быстрее, чем меняется $a(t)$ , то под интегралом можно заменить

a(t-s)\simeq a(t).

А верхнюю границу интегрирования по быстрозатухающему ядру можно продолжить до бесконечности:

\dot a(t) \simeq -a(t)\sum_f|V_{fi}|^2 \int_0^\infty ds\,e^{-i(E_f-E_i)s}.

Используем распределительное тождество

\boxed{ \int_0^\infty ds\,e^{-i\omega s} = \pi\delta(\omega) -i\,\mathcal P\frac1\omega. }

Здесь $\mathcal P$ обозначает главное значение Коши.

После подстановки:

\begin{aligned} \dot a(t) ={}&-a(t)\pi\sum_f |V_{fi}|^2\delta(E_f-E_i)\\ &+ia(t)\sum_f |V_{fi}|^2\mathcal P\frac1{E_f-E_i}. \end{aligned}

Определим

\boxed{ \Gamma= 2\pi\sum_f |V_{fi}|^2\delta(E_f-E_i) } \tag{6}

и сдвиг энергии

\boxed{ \Delta E= \sum_f|V_{fi}|^2 \mathcal P\frac1{E_i-E_f}. } \tag{7}

Тогда

\boxed{ \dot a(t) = -\left(\frac\Gamma2+i\Delta E\right)a(t). } \tag{8}

Это уравнение мы не постулировали — мы получили его из уравнения Шрёдингера и связи дискретного состояния с континуумом.

Его решение при $a(0)=1$ :

\boxed{ a(t)=e^{-i\Delta E t}e^{-\Gamma t/2}. } \tag{9}

Следовательно,

\boxed{ P_{\mathrm{surv}}(t) = |a(t)|^2=e^{-\Gamma t}. } \tag{10}

Среднее время жизни:

\tau= \int_0^\infty P_{\mathrm{surv}}(t)\,dt = \int_0^\infty e^{-\Gamma t}dt = \frac1\Gamma.

Итак,

\boxed{ \Gamma=\frac1\tau = 2\pi\sum_f |V_{fi}|^2\delta(E_f-E_i). } \tag{11}

Мы строго установили связь в рамках приближения Вайскопфа — Вигнера: коэффициент затухания исходного состояния и скорость появления конечных состояний выражаются через один и тот же набор матричных элементов взаимодействия.

Почему коэффициент в амплитуде равен $\Gamma/2$ , а не $\Gamma$ ?

Потому что вероятность — это квадрат модуля амплитуды:

\left|e^{-\Gamma t/2}\right|^2=e^{-\Gamma t}.

Поэтому амплитуда существования нестабильного состояния затухает с коэффициентом $\Gamma/2$ , а вероятность — с коэффициентом $\Gamma$ .

Амплитуда и вероятность выживания во времени

genui{"charts_widget_v2":{"content":{"chartType":"line","xKey":"x","xAxisLabel":"\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f t/\u03c4","series":[{"dataKey":"a","label":"\u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u0430\u043c\u043f\u043b\u0438\u0442\u0443\u0434\u044b |a(t)|"},{"dataKey":"p","label":"\u0412\u0435\u0440\u043e\u044f\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c |a(t)|\u00b2"}],"yAxisMin":0,"yAxisMax":1,"data":[{"x":0,"a":1,"p":1},{"x":0.5,"a":0.7788,"p":0.6065},{"x":1,"a":0.6065,"p":0.3679},{"x":1.5,"a":0.4724,"p":0.2231},{"x":2,"a":0.3679,"p":0.1353},{"x":2.5,"a":0.2865,"p":0.0821},{"x":3,"a":0.2231,"p":0.0498},{"x":3.5,"a":0.1738,"p":0.0302},{"x":4,"a":0.1353,"p":0.0183}],"meta":{"footer":"\u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0436\u0438\u043c. \u0421\u0434\u0432\u0438\u0433 \u044d\u043d\u0435\u0440\u0433\u0438\u0438 \u0394E \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0444\u0430\u0437\u0443 \u0430\u043c\u043f\u043b\u0438\u0442\u0443\u0434\u044b, \u043d\u043e \u043d\u0435 \u0432\u0435\u0440\u043e\u044f\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c."}}}}

Domanda

Pensiero

Risposta

Pensiero

Immagine

Pensiero

Python

Pensiero

Pensiero

Pensiero

Risposta

Подробный вывод ширины распада π0→γγ\pi^0\to\gamma\gammaπ0→γγ и её связи с киральной аномалией

1. Физический смысл процесса и диаграммы Фейнмана

Четыре диаграммы, необходимые для нашего вывода

2. Киральная симметрия КХД

2.1. Лагранжиан и левые и правые кварки

2.2. Спонтанное нарушение симметрии

2.3. Аксиальный ток и константа fπf_\pifπ​

2.4. Классическое уравнение для дивергенции тока

3. Прямой расчёт кваркового треугольника

3.1. Эффективная вершина взаимодействия пиона с кварками

3.2. Записываем петлевой интеграл

3.3. Вычисляем след гамма-матриц

3.4. Объединяем три знаменателя

3.5. Вычисляем интеграл по четырёхимпульсу

3.6. Получаем амплитуду кваркового треугольника

3.7. Киральный и мягкий предел

3.8. При желании интеграл можно получить и при ненулевой массе пиона

3.9. Суммируем вклады кварков и цветов

4. Киральная квантовая аномалия: откуда она возникает?

4.1. Треугольная диаграмма AVV

4.2. Почему нельзя просто использовать классический закон сохранения?

4.3. Явное происхождение аномального коэффициента: регуляризация Паули — Вилларса

4.4. Переходим к локальному оператору FF~F\widetilde FFF

4.5. Применяем результат к нейтральному пиону

4.6. Физическая интерпретация аномалии

5. Как аномалия определяет взаимодействие π0γγ\pi^0\gamma\gammaπ0γγ

5.1. Связь аксиального тока с пионным полюсом

5.2. Почему результат устойчив к сильным взаимодействиям?

5.3. Эффективный лагранжиан Весса — Зумино — Виттена

5.4. Вывод амплитуды из эффективного лагранжиана

6. Вычисляем квадрат амплитуды и суммируем поляризации

6.1. Записываем произведение амплитуд

6.2. Сворачиваем два тензора Леви-Чивиты

6.3. Используем кинематику распада

7. Вычисляем двухчастичное фазовое пространство

7.1. Определение фазового пространства

7.2. Интегрируем дельта-функцию импульса

7.3. Собираем формулу для ширины

8. Численный расчёт ширины распада

7.750 эВ

8.1. Время жизни

8.2. Сравнение с экспериментом

9. Какие поправки остаются за пределами ведущего расчёта?

10. Что именно доказывает этот распад?

Итоговая цепочка вывода

Domanda

Pensiero

Risposta

Pensiero

Risposta

Подробный вывод вероятности и ширины распада из S-матрицы: разбор формул (A1)–(A9)

Важное замечание о вашем приложении

Часть I. Нормировка одночастичных и многочастичных состояний

1. Что представляет собой состояние ∣p⟩|\mathbf p\rangle∣p⟩?

2. Вывод формулы (A1)

2.1. Почему появляется именно 2Ep2E_{\mathbf p}2Ep​?

2.2. Проверка инвариантности прямым вычислением

3. Почему в (A1) возникает δ(3)(0)\delta^{(3)}(0)δ(3)(0)?

4. Что такое rrr-частичное состояние?

4.1. Полнота одночастичных состояний

5. Почему rrr-частичное состояние (A4) задано именно так?

5.1. Выбор автора: постоянная волновая функция на GGG

5.2. Полный расчёт нормы состояния (A4)

5.3. Вывод (A5)

Часть II. Как переходят от (A6) к (A7)?

6. Что представляет собой S-матрица?

7. Подставляем нормированное состояние в (A6)

8. Возводим (A6) в квадрат правильно

8.1. Первый вариант объяснения: приближение очень малой ячейки

Подробный вывод ширины распада $\pi^0\to\gamma\gamma$ и её связи с киральной аномалией

2.3. Аксиальный ток и константа $f_\pi$

4.4. Переходим к локальному оператору $F\widetilde F$

5. Как аномалия определяет взаимодействие $\pi^0\gamma\gamma$

1. Что представляет собой состояние $|\mathbf p\rangle$ ?

2.1. Почему появляется именно $2E_{\mathbf p}$ ?

3. Почему в (A1) возникает $\delta^{(3)}(0)$ ?

4. Что такое $r$ -частичное состояние?

5. Почему $r$ -частичное состояние (A4) задано именно так?

5.1. Выбор автора: постоянная волновая функция на $G$

Часть III. Откуда появляется время, если в амплитуде $\mathcal M$ его нет?

9. Вывод вероятности перехода за конечное время $T$

9.3. Что происходит при $E_f=E_i$ ?

10. Как из $T^2$ получается $T$ : золотое правило Ферми

13. Поместим систему в ящик объёма $V=L^3$

20. Полностью вычислим фазовое пространство для распада $1\to2$

20.2. Вычислим $p_*$ через массы

Часть VII. Почему $\Gamma$ называется шириной распада и как она связана с временем жизни?

23. Почему $\Gamma$ имеет смысл именно энергетической ширины?

Часть VIII. Проверка всего вывода на распаде $\pi^0\to\gamma\gamma$

4. Пример для $\pi^0\to\gamma\gamma$

4. Пример для $\pi^0\to\gamma\gamma$