Конечно. Здесь действительно одна тема: индуктивность и самоиндукция. Разберу так, чтобы можно было решать похожие задачи по шаблону.

Короткая теория перед задачами

Главная идея: катушка с индуктивностью $L$ сопротивляется изменению тока.

Если ток через катушку меняется, возникает ЭДС самоиндукции:

$$\boxed{\mathcal E_{\text{си}}=-L\frac{dI}{dt}}$$

Минус означает правило Ленца: ЭДС самоиндукции направлена так, чтобы мешать изменению тока.

• ток растёт → катушка мешает ему расти;
• ток уменьшается → катушка пытается его поддержать.

Для конечного промежутка времени:

$$\boxed{|\mathcal E_{\text{си}}|=L\frac{|\Delta I|}{\Delta t}}$$

Если известен магнитный поток через один виток $\Phi$, то потокосцепление катушки:

$$\Psi=N\Phi$$

и

$$\boxed{L=\frac{N\Phi}{I}}$$

Поэтому при изменении потока и тока:

$$\boxed{L=\frac{N\Delta\Phi}{\Delta I}}$$

Также непосредственно из закона Фарадея:

$$\boxed{|\mathcal E|=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}}$$

Для участка, содержащего сопротивление $R$ и катушку $L$:

$$\boxed{U=IR+L\frac{dI}{dt}}$$

если ток направлен от начала участка к концу.

---

1. Зависимость тока от времени при размыкании ключа

До размыкания ключа цепь долго была в установившемся режиме.

Это важная фраза.

При постоянном токе

$$\frac{dI}{dt}=0,$$

поэтому ЭДС самоиндукции равна нулю и катушка фактически ведёт себя как обычный провод.

Следовательно, до размыкания:

$$I_0=\frac{\mathcal E}{R}.$$

То есть непосредственно перед переключением:

$$\boxed{I(0)=\frac{\mathcal E}{R}}$$

Что происходит после размыкания?

Катушка не позволяет току мгновенно исчезнуть. Возникает ЭДС самоиндукции, которая некоторое время поддерживает ток.

Для свободного затухания тока в $RL$-цепи:

$$L\frac{dI}{dt}+RI=0.$$

Переносим:

$$L\frac{dI}{dt}=-RI.$$

Делим на $L$:

$$\frac{dI}{dt}=-\frac{R}{L}I.$$

Разделим переменные:

$$\frac{dI}{I}=-\frac RLdt.$$

Интегрируем:

$$\ln I=-\frac RLt+C.$$

Отсюда

$$I=Ce^{-Rt/L}.$$

При $t=0$:

$$I(0)=C=\frac{\mathcal E}{R}.$$

Поэтому

$$\boxed{ I(t)=\frac{\mathcal E}{R}e^{-Rt/L} }$$

Ответ

$$\boxed{\displaystyle I(t)=\frac{\mathcal E}{R}e^{-Rt/L}}$$

Ток убывает экспоненциально.

Удобно вводить время релаксации:

$$\boxed{\tau=\frac LR}.$$

Тогда

$$\boxed{I(t)=I_0e^{-t/\tau}}.$$

Через время $t=\tau$:

$$I=\frac{I_0}{e}\approx0.37I_0.$$

Замечание к рисунку: буквально при разрыве идеального последовательного контура ток не имеет пути для протекания, а на ключе в идеальной модели возникло бы очень большое напряжение. В стандартной учебной постановке этой задачи подразумевают затухание тока в оставшемся $RL$-контуре; именно для него получается формула выше. В реальной цепи ток после размыкания может некоторое время течь через искру, паразитную ёмкость и т. п.

---

13.290

Дано

$$I_1=2.5\text{ А}$$ $$I_2=14.5\text{ А}$$ $$\Delta\Phi=2.4\text{ мВб} =2.4\cdot10^{-3}\text{ Вб}$$ $$N=800$$ $$\Delta t=0.15\text{ с}$$

Найти среднюю ЭДС самоиндукции.

---

Способ 1 — самый короткий

По закону электромагнитной индукции:

$$|\mathcal E|=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}.$$

Подставляем:

$$|\mathcal E| = 800\cdot \frac{2.4\cdot10^{-3}}{0.15}.$$

Сначала:

$$800\cdot2.4\cdot10^{-3}=1.92.$$

Поэтому

$$|\mathcal E|=\frac{1.92}{0.15}=12.8\text{ В}.$$

Ответ

$$\boxed{|\mathcal E_{\text{си}}|=12.8\text{ В}}$$

Знак ЭДС зависит от выбранного направления отсчёта. По правилу Ленца она направлена против увеличения тока.

---

Почему тогда в условии даны $I_1$ и $I_2$?

Можно решить и через индуктивность.

Изменение тока:

$$\Delta I=I_2-I_1=14.5-2.5=12\text{ А}.$$

Связь:

$$L=\frac{N\Delta\Phi}{\Delta I}.$$

Подставляем:

$$L= \frac{800\cdot2.4\cdot10^{-3}}{12} =\frac{1.92}{12} =0.16\text{ Гн}.$$

Теперь:

$$|\mathcal E_{\text{си}}| =L\frac{\Delta I}{\Delta t}.$$ $$|\mathcal E_{\text{си}}| = 0.16\cdot\frac{12}{0.15} =12.8\text{ В}.$$

То же самое.

Итак:

$$\boxed{L=0.16\text{ Гн}}$$ $$\boxed{\mathcal E_{\text{си}}=12.8\text{ В по модулю}}$$

---

13.295*

На участке $AB$ последовательно соединены сопротивление и катушка.

Дано:

$$R=0.1\ \Omega$$ $$L=10^{-2}\text{ Гн}=0.01\text{ Гн}$$

Ток изменяется по закону

$$\boxed{I=2t}.$$

Найти:

1. $U_{AB}(t)$;
2. $U_{AB}$ при $t=1\text{ с}$.

---

Шаг 1. Напряжение на резисторе

Для сопротивления:

$$U_R=IR.$$

Так как

$$I=2t,$$

то

$$U_R=(2t)\cdot0.1.$$

Получаем:

$$\boxed{U_R=0.2t}.$$

---

Шаг 2. Напряжение на катушке

Для катушки:

$$U_L=L\frac{dI}{dt}.$$

У нас

$$I=2t.$$

Следовательно:

$$\frac{dI}{dt}=2\text{ А/с}.$$

Поэтому

$$U_L=0.01\cdot2=0.02\text{ В}.$$

То есть

$$\boxed{U_L=0.02\text{ В}}.$$

Обрати внимание: оно здесь постоянное, потому что ток растёт с постоянной скоростью.

---

Шаг 3. Разность потенциалов между $A$ и $B$

Ток на рисунке идёт от $A$ к $B$, поэтому

$$U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B = U_R+U_L.$$

Следовательно:

$$U_{AB}=0.2t+0.02.$$

Закон изменения напряжения

$$\boxed{U_{AB}(t)=0.2t+0.02\text{ В}}$$

---

Шаг 4. При $t=1\text{ с}$

$$U_{AB}(1)=0.2\cdot1+0.02.$$ $$U_{AB}(1)=0.22\text{ В}.$$

Ответ

$$\boxed{U_{AB}(t)=0.2t+0.02\text{ В}}$$ $$\boxed{U_{AB}(1\text{ с})=0.22\text{ В}}$$

---

Главное, что нужно запомнить по этой теме

Для этих задач фактически достаточно четырёх формул:

$$\boxed{\mathcal E_{\text{си}}=-L\frac{dI}{dt}}$$ $$\boxed{U_L=L\frac{dI}{dt}}$$ $$\boxed{\mathcal E=-N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}}$$

и для затухания тока:

$$\boxed{I=I_0e^{-Rt/L}}$$

Причём перед размыканием установившейся $RL$-цепи:

$$\boxed{I_0=\frac{\mathcal E}{R}}.$$

Самый полезный способ думать о катушке: она не любит, когда ток меняется. При постоянном токе она почти никак себя не проявляет; как только ток начинает расти или падать, появляется ЭДС самоиндукции.