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7*7的方格，每格最多放一个棋子，至少需要几枚，才能保证必有两行两列所有棋子加起来>=7.两行两列求...

Creato il: 19 agosto 2026

Risposto usando GPT-5.6 Thinking da Chat01

Domanda

7*7的方格，每格最多放一个棋子，至少需要几枚，才能保证必有两行两列所有棋子加起来>=7.两行两列求并再数棋子。

Python

python
import scipy, numpy as np, math, itertools, sys, os, statistics
print(scipy.__version__)
try:
    from scipy.optimize import milp, LinearConstraint, Bounds
    print("milp available")
except Exception as e:
    print(e)

Python

python
x=np.zeros((7,7),int)
edges=[(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,0),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)]
for a,b in edges:x[a,b]=1
mx=0; arg=None
for rs in pairs:
    for cs in pairs:
        u=sum(x[i,j] for i in range(7) for j in range(7) if i in rs or j in cs)
        if u>mx: mx=u;arg=(rs,cs)
mx,arg


(np.int64(6), ((0, 1), (0, 2)))

Pensiero

Validated a 7×7 grid construction

Worked for 2m 24s

Risposta

答案是 11 枚。

把棋盘上的棋子看成一个 7×77\times7 的 0-1 表。我们要证明两件事：11 枚一定能找到两行两列，其并集里至少有 7 枚；而 10 枚还不一定。

1. 证明 11 枚一定够

反设放了 11 枚，但任取两行两列，它们的并集都至多有 6 枚。

取棋子最多的两行，设这两行共有 ss 枚。显然 s≤6s\le6，否则随便再取两列就已经至少 7 枚。

如果 s≥5s\ge5，那么取这两行后，再取任意两列时，这两列在这两行以外最多只能再贡献

6−s≤16-s\le1

枚棋子。因此两行以外总共至多有 1 枚棋子，于是全盘至多

s+1≤7,s+1\le7,

与 11 枚矛盾。

另一方面，如果 s≤3s\le3，由于这是棋子最多的两行，第二多的一行至多有 1 枚，所以全盘最多

2+1+1+1+1+1+1=8,2+1+1+1+1+1+1=8,

也不可能有 11 枚。

所以只能是

s=4.s=4.

删掉这两行，还剩

11−4=711-4=7

枚。对任意两列，这两列在所删两行之外的棋子数至多为

6−4=2.6-4=2.

7 枚棋子分布在 7 列中，而且任意两列合计至多 2 枚。这迫使每列恰好有 1 枚剩余棋子。

完全对称地分析列，可以得到：棋盘上每行、每列最多都是 2 枚，而且行的度数必为

2,2,2,2,1,1,1.2,2,2,2,1,1,1.

因此有 4 行各有 2 枚棋子。

现在任取其中两条“2 枚行”。前面的论证告诉我们：删去这两行后，每一列恰好还剩 1 枚。因此这两行不能在同一列都有棋子，否则该列会有

2+1=32+1=3

枚，与“每列最多 2 枚”矛盾。

所以这 4 条“2 枚行”中，任意两条所占的列都必须完全不相交。

但它们一共需要

4×2=84\times2=8

个互不相同的列，而棋盘只有 7 列，矛盾。

所以放 11 枚时，一定存在两行两列，其并集中至少有 7 枚棋子。

2. 为什么 10 枚还不够？

下面这个摆法有 10 枚：

12345671∙∙2∙∙3∙∙4∙5∙6∙7∙\begin{array}{c|ccccccc} &1&2&3&4&5&6&7\\ \hline 1&\bullet&\bullet&&&&&\\ 2&&\bullet&\bullet&&&&\\ 3&\bullet&&\bullet&&&&\\ 4&&&&\bullet&&&\\ 5&&&&&\bullet&&\\ 6&&&&&&\bullet&\\ 7&&&&&&&\bullet \end{array}

前三行、前三列中放成一个 6 环，另外四枚分别放在 (4,4),(5,5),(6,6),(7,7)(4,4),(5,5),(6,6),(7,7)。

可以检查：

  • 每行、每列最多 2 枚；
  • 若选两条“2 枚行”和两条“2 枚列”，四条线简单相加最多 88，但它们的 2×22\times2 交叉处至少有 2 枚被重复计算，所以并集至多 8−2=68-2=6；
  • 其他选法更不可能超过 6。

因此这 10 枚棋子中，任何两行两列的并集都不满 7 枚。

所以最少需要

11\boxed{11}

枚。

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