جواب این سوالات رو بفرست بر اساس فهرست کتاب ریاضی ...

در ادامه جواب‌های تشریحی فصل‌های ۱ تا ۵ را به‌صورت منظم آورده‌ام.

فصل اول: پولینوم

1. پولینوم چیست؟

پولینوم یک افاده الجبری است که از جمع، تفریق و ضرب عددها و متحول‌ها ساخته می‌شود. در پولینوم توان متحول باید عدد صحیح غیرمنفی باشد، متحول نباید در مخرج کسر قرار داشته باشد، و متحول نباید زیر جذر یا در توان منفی باشد.
مثال:

$$3x^2-5x+7$$

2. فرق افاده الجبری ناطق، غیرناطق و پولینومی

افاده ناطق افاده‌ای است که به شکل کسر دو پولینوم نوشته شود، مانند:

$$\frac{x+1}{x-2}$$

افاده غیرناطق افاده‌ای است که در آن متحول زیر جذر یا رادیکال باشد، مانند:

$$\sqrt{x+3}$$

افاده پولینومی افاده‌ای است که توان‌های متحول در آن صحیح غیرمنفی باشند، مانند:

$$2x^3+4x-1$$

3. مونوم، باینوم، ترینوم و مولتینوم

مونوم پولینومی است که یک حد دارد، مانند:

$$5x^2$$

باینوم دو حد دارد، مانند:

$$x+3$$

ترینوم سه حد دارد، مانند:

$$x^2+2x+1$$

مولتینوم بیشتر از سه حد دارد، مانند:

$$x^3+2x^2-x+4$$

4. درجه پولینوم یک‌متحوله و چندمتحوله

در پولینوم یک‌متحوله، درجه بزرگ‌ترین توان متحول است. مثلاً درجه

$$4x^5-2x^3+x-7$$

برابر ۵ است.
در پولینوم چندمتحوله، درجه هر حد از جمع توان‌های متحول‌های همان حد به دست می‌آید و درجه پولینوم برابر بزرگ‌ترین درجه حدها است. مثلاً در

$$3x^2y^3+2xy+5$$

درجه حد اول $2+3=5$ است؛ پس درجه پولینوم ۵ می‌باشد.

5. پولینوم مکمل و ناقص

پولینوم مکمل پولینومی است که تمام توان‌ها از درجه بلند تا صفر در آن موجود باشند. پولینوم ناقص بعضی توان‌ها را ندارد.
مثلاً:

$$x^4+3x^2+5$$

ناقص است، چون حدهای $x^3$ و $x$ را ندارد. شکل مکمل آن:

$$x^4+0x^3+3x^2+0x+5$$

6. پیدا کردن قیمت پولینوم

برای پیدا کردن قیمت پولینوم، به جای متحول، عدد داده‌شده را قرار می‌دهیم و محاسبه می‌کنیم.
مثلاً اگر:

$$P(x)=x^2+2x+1$$

و $x=3$، پس:

$$P(3)=3^2+2(3)+1=9+6+1=16$$

7. مجموع ضرایب پولینوم

مجموع ضرایب یک پولینوم با قرار دادن $x=1$ به دست می‌آید. دلیل آن این است که تمام توان‌های ۱ برابر ۱ هستند.
مثلاً:

$$P(x)=3x^2-2x+5$$ $$P(1)=3-2+5=6$$

پس مجموع ضرایب ۶ است.

8. قضیه باقی‌مانده

قضیه باقی‌مانده می‌گوید اگر پولینوم $P(x)$ را بر $x-a$ تقسیم کنیم، باقی‌مانده برابر $P(a)$ است.
مثلاً اگر $P(2)=0$، باقی‌مانده تقسیم $P(x)$ بر $x-2$ صفر است. این قضیه برای پیدا کردن باقی‌مانده بدون انجام تقسیم کامل استفاده می‌شود.

9. قضیه فکتور

قضیه فکتور می‌گوید اگر $P(a)=0$ باشد، آنگاه $x-a$ فکتور پولینوم $P(x)$ است.
برای معلوم کردن اینکه $x-a$ فکتور است یا نه، کافی است $a$ را در پولینوم قرار دهیم. اگر نتیجه صفر شد، $x-a$ فکتور است.

10. تقسیم ترکیبی

تقسیم ترکیبی روشی کوتاه برای تقسیم پولینوم بر عبارت‌هایی به شکل $x-a$ است. این روش به جای نوشتن تقسیم طولانی، فقط با ضرایب پولینوم کار می‌کند و برای پیدا کردن خارج‌قسمت و باقی‌مانده بسیار سریع است.

---

فصل دوم: رابطه

1. جوره مرتب چیست؟

جوره مرتب عبارت است از دو عنصر که ترتیب آن‌ها مهم است و به شکل $(a,b)$ نوشته می‌شود. در اینجا $a$ عضو اول و $b$ عضو دوم است.
دو جوره مرتب وقتی مساوی اند که اعضای متناظر آن‌ها مساوی باشند:

$$(a,b)=(c,d) \Rightarrow a=c,\ b=d$$

2. مستوی کارتیزینی چیست؟

مستوی کارتیزینی صفحه‌ای است که از دو محور عمود برهم، یعنی محور $x$ و محور $y$، ساخته شده است. این دو محور صفحه را به چهار قسمت تقسیم می‌کنند که به آن‌ها ربع گفته می‌شود.

3. نقش محورهای $x$ و $y$

محور $x$ موقعیت افقی نقطه را نشان می‌دهد و محور $y$ موقعیت عمودی نقطه را. در جوره مرتب $(x,y)$، عدد اول فاصله نقطه از محور $y$ و عدد دوم فاصله نقطه از محور $x$ را نشان می‌دهد.

4. فاصله و ترتیب یک نقطه

در جوره مرتب $(x,y)$، عدد اول را فاصله یا ابسیسا و عدد دوم را ترتیب یا اوردینات می‌گویند. فاصله نشان می‌دهد نقطه چند واحد به راست یا چپ رفته و ترتیب نشان می‌دهد چند واحد بالا یا پایین رفته است.

5. حاصل‌ضرب کارتیزینی دو ست

حاصل‌ضرب کارتیزینی دو ست $A$ و $B$، مجموعه تمام جوره‌های مرتب $(a,b)$ است که $a$ از ست $A$ و $b$ از ست $B$ گرفته می‌شود.
اگر:

$$A=\{1,2\},\quad B=\{3,4\}$$

آنگاه:

$$A\times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}$$

6. رابطه در ریاضی

رابطه یک زیرمجموعه از حاصل‌ضرب کارتیزینی دو ست است. یعنی اگر $A$ و $B$ دو ست باشند، هر زیرمجموعه‌ای از $A\times B$ یک رابطه از $A$ به $B$ است.

7. معکوس رابطه

برای به دست آوردن معکوس یک رابطه، جای اعضای هر جوره مرتب را عوض می‌کنیم.
اگر:

$$R=\{(1,2),(3,4)\}$$

پس:

$$R^{-1}=\{(2,1),(4,3)\}$$

8. رابطه معادل

رابطه معادل رابطه‌ای است که سه خاصیت داشته باشد: انعکاسی، تقارنی و انتقالی.
انعکاسی یعنی هر عضو با خودش رابطه داشته باشد. تقارنی یعنی اگر $a$ با $b$ رابطه دارد، $b$ هم با $a$ رابطه داشته باشد. انتقالی یعنی اگر $a$ با $b$ و $b$ با $c$ رابطه دارد، پس $a$ با $c$ نیز رابطه داشته باشد.

9. فرق رابطه و حاصل‌ضرب کارتیزینی

حاصل‌ضرب کارتیزینی شامل تمام جوره‌های ممکن از دو ست است، اما رابطه فقط یک بخش یا زیرمجموعه‌ای از آن است. یعنی هر رابطه از حاصل‌ضرب کارتیزینی گرفته می‌شود، ولی همیشه تمام آن نیست.

10. نمایش رابطه در مستوی کارتیزینی

برای نمایش رابطه در مستوی کارتیزینی، هر جوره مرتب $(x,y)$ را به صورت یک نقطه رسم می‌کنیم. عدد اول جای نقطه را روی محور افقی و عدد دوم جای آن را روی محور عمودی مشخص می‌کند.

---

فصل سوم: تابع

1. تابع چیست؟

تابع رابطه‌ای است که در آن هر عضو ناحیه تعریف فقط به یک عضو ناحیه قیمت مربوط شود. فرق تابع با رابطه این است که در رابطه ممکن است یک عضو اول با چند عضو دوم رابطه داشته باشد، اما در تابع برای هر $x$ فقط یک $y$ وجود دارد.

2. ناحیه تعریف و ناحیه قیمت

ناحیه تعریف مجموعه تمام قیمت‌های ممکن $x$ است که تابع برای آن‌ها تعریف شده است. ناحیه قیمت مجموعه تمام قیمت‌های خروجی $y$ است که از تابع به دست می‌آید.

3. تشخیص تابع از روی گراف

برای تشخیص تابع بودن از روی گراف، از آزمون خط عمودی استفاده می‌کنیم. اگر هر خط عمودی گراف را حداکثر در یک نقطه قطع کند، رابطه تابع است. اگر در بیشتر از یک نقطه قطع کند، تابع نیست.

4. تابع متزاید و متناقص

تابع متزاید تابعی است که با زیاد شدن $x$، قیمت $y$ نیز زیاد شود. مثال:

$$f(x)=2x+1$$

تابع متناقص تابعی است که با زیاد شدن $x$، قیمت $y$ کم شود. مثال:

$$f(x)=-x+3$$

5. تابع جفت و تابع تاق

تابع جفت تابعی است که:

$$f(-x)=f(x)$$

گراف آن نسبت به محور $y$ متقارن است. مثال:

$$f(x)=x^2$$

تابع تاق تابعی است که:

$$f(-x)=-f(x)$$

گراف آن نسبت به مبدأ مختصات متقارن است. مثال:

$$f(x)=x^3$$

6. انتقال عمودی و افقی گراف تابع

اگر به تابع عددی اضافه شود، گراف به بالا انتقال می‌کند:

$$f(x)+k$$

اگر عددی از آن کم شود، گراف به پایین می‌رود.
اگر داخل تابع $x-h$ باشد، گراف به راست انتقال می‌کند:

$$f(x-h)$$

و اگر $x+h$ باشد، گراف به چپ می‌رود:

$$f(x+h)$$

7. عملیات روی توابع

اگر دو تابع $f(x)$ و $g(x)$ داشته باشیم:

$$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$$ $$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$$ $$(fg)(x)=f(x)g(x)$$ $$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},\quad g(x)\neq0$$

8. ترکیب توابع

ترکیب توابع یعنی خروجی یک تابع را به عنوان ورودی تابع دیگر قرار دهیم.
اگر:

$$f(x)=x+2,\quad g(x)=x^2$$

آنگاه:

$$(g\circ f)(x)=g(f(x))=(x+2)^2$$

9. تابع یک‌به‌یک

تابع یک‌به‌یک تابعی است که دو ورودی مختلف، خروجی مساوی نداشته باشند. یعنی اگر:

$$f(a)=f(b)$$

آنگاه:

$$a=b$$

این خاصیت برای تابع معکوس مهم است، چون فقط تابع یک‌به‌یک می‌تواند معکوس تابعی داشته باشد.

10. مجانب‌ها در توابع نسبتی

مجانب عمودی خطی است که گراف به آن نزدیک می‌شود ولی معمولاً آن را قطع نمی‌کند؛ معمولاً وقتی مخرج صفر شود به وجود می‌آید.
مجانب افقی خطی است که گراف در بی‌نهایت به آن نزدیک می‌شود.
مجانب مایل زمانی به وجود می‌آید که درجه صورت یک واحد بیشتر از درجه مخرج باشد.

---

فصل چهارم: توابع مثلثاتی

1. تعریف زاویه در هندسه و مثلثات

در هندسه، زاویه از دو نیم‌خط با مبدأ مشترک ساخته می‌شود. در مثلثات، زاویه بیشتر به عنوان مقدار چرخش یک نیم‌خط از حالت ابتدایی تا حالت نهایی بررسی می‌شود. بنابراین در مثلثات جهت چرخش نیز اهمیت دارد.

2. درجه و رادیان

درجه و رادیان دو واحد اندازه‌گیری زاویه هستند. یک دور کامل برابر است با:

$$360^\circ=2\pi$$

پس:

$$180^\circ=\pi$$

برای تبدیل درجه به رادیان:

$$\text{رادیان}=\text{درجه}\times \frac{\pi}{180}$$

برای تبدیل رادیان به درجه:

$$\text{درجه}=\text{رادیان}\times \frac{180}{\pi}$$

3. حالت معیاری زاویه

زاویه در حالت معیاری زمانی است که رأس آن در مبدأ مختصات و ضلع ابتدایی آن روی محور مثبت $x$ قرار داشته باشد. ضلع نهایی زاویه با چرخش از ضلع ابتدایی مشخص می‌شود.

4. زوایای کوترمینل

زوایای کوترمینل زاویه‌هایی هستند که ضلع ابتدایی و ضلع نهایی مشترک دارند، اما اندازه آن‌ها به اندازه چند دور کامل فرق می‌کند.
مثلاً:

$$30^\circ,\quad 390^\circ$$

کوترمینل هستند. نسبت‌های مثلثاتی آن‌ها برابر است، چون ضلع نهایی آن‌ها در یک جایگاه قرار دارد.

5. نسبت‌های مثلثاتی زاویه حاده

در مثلث قائم‌الزاویه برای زاویه حاده:

$$\sin\theta=\frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}}$$ $$\cos\theta=\frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}}$$ $$\tan\theta=\frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}}$$

همچنین:

$$\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$$

6. اهمیت زاویه‌های خاص

زاویه‌های خاص مانند $0^\circ$، $30^\circ$، $45^\circ$، $60^\circ$ و $90^\circ$ در حل مسائل بسیار مهم‌اند، چون مقدار نسبت‌های مثلثاتی آن‌ها ثابت و پرکاربرد است. با دانستن این مقادیر، بسیاری از مسائل بدون ماشین حساب حل می‌شوند.

7. نسبت‌های مثلثاتی در ربع‌های مختلف

علامت نسبت‌های مثلثاتی به ربعی بستگی دارد که ضلع نهایی زاویه در آن قرار دارد. در ربع اول همه مثبت‌اند. در ربع دوم فقط سینوس مثبت است. در ربع سوم فقط تانجنت مثبت است. در ربع چهارم فقط کسینوس مثبت است. مقدار نسبت‌ها با زاویه مرجع ارتباط دارد.

8. دامنه و برد $\sin x$ و $\cos x$

دامنه هر دو تابع:

$$(-\infty,\infty)$$

یعنی برای همه اعداد حقیقی تعریف شده‌اند.
برد هر دو تابع:

$$[-1,1]$$

چون مقدار سینوس و کسینوس هیچ‌گاه از ۱ بیشتر و از منفی ۱ کمتر نمی‌شود.

9. چرا $\sin x$ تاق و $\cos x$ جفت است؟

تابع سینوس تاق است، چون:

$$\sin(-x)=-\sin x$$

یعنی گراف آن نسبت به مبدأ مختصات متقارن است.
تابع کسینوس جفت است، چون:

$$\cos(-x)=\cos x$$

یعنی گراف آن نسبت به محور $y$ متقارن است.

10. دوره تناوب توابع مثلثاتی

دوره تناوب کوچک‌ترین عدد مثبت $T$ است که برای آن:

$$f(x+T)=f(x)$$

برای سینوس و کسینوس:

$$T=2\pi$$

یا:

$$360^\circ$$

یعنی گراف بعد از هر $2\pi$ دوباره تکرار می‌شود.

---

فصل پنجم: تطبیقات مثلثات

1. فورمول $\sin(A+B)$

فورمول مجموع دو زاویه برای سینوس چنین است:

$$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$

این فورمول برای پیدا کردن سینوس زاویه‌هایی استفاده می‌شود که به صورت مجموع دو زاویه معروف نوشته می‌شوند، مانند:

$$\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)$$

2. فورمول‌های مجموع و تفاضل سینوس و کسینوس

$$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$ $$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$$ $$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$$ $$\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$$

3. نسبت‌های مثلثاتی زاویه دوچند

زاویه دوچند یعنی زاویه‌ای به شکل $2A$. فورمول‌های آن از فورمول‌های مجموع زاویه‌ها به دست می‌آیند:

$$\sin2A=2\sin A\cos A$$ $$\cos2A=\cos^2A-\sin^2A$$

همچنین:

$$\cos2A=1-2\sin^2A$$ $$\cos2A=2\cos^2A-1$$

4. نسبت‌های مثلثاتی زاویه سه‌چند

زاویه سه‌چند یعنی زاویه‌ای به شکل $3A$. این فورمول‌ها برای ساده‌سازی افاده‌های مثلثاتی و حل معادلات مثلثاتی استفاده می‌شوند:

$$\sin3A=3\sin A-4\sin^3A$$ $$\cos3A=4\cos^3A-3\cos A$$

5. تبدیل مجموع یا تفاضل به حاصل‌ضرب

در این روش جمع یا تفاضل دو نسبت مثلثاتی به شکل حاصل‌ضرب تبدیل می‌شود. مثلاً:

$$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$ $$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

این تبدیل برای ساده‌سازی و حل معادلات مثلثاتی مفید است.

6. تبدیل حاصل‌ضرب به مجموع یا تفاضل

گاهی حاصل‌ضرب نسبت‌های مثلثاتی را به جمع یا تفاضل تبدیل می‌کنیم تا محاسبه آسان‌تر شود. مثلاً:

$$2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B)$$

این روش در ساده‌سازی، اثبات هویت‌ها و حل مسائل مثلثاتی کاربرد دارد.

7. طول قوس دایره

طول قوس دایره با فورمول زیر محاسبه می‌شود:

$$s=r\theta$$

در این فورمول $r$ شعاع دایره و $\theta$ زاویه مرکزی به رادیان است. هرچه زاویه مرکزی بزرگ‌تر باشد، طول قوس نیز بیشتر می‌شود.

8. قطاع دایره و مساحت آن

قطاع دایره بخشی از دایره است که بین دو شعاع و یک قوس قرار دارد. مساحت قطاع با فورمول زیر محاسبه می‌شود:

$$A=\frac{1}{2}r^2\theta$$

در این فورمول $\theta$ باید به رادیان باشد.

9. مساحت مثلث از روی دو ضلع و زاویه بین آن‌ها

اگر دو ضلع مثلث و زاویه بین آن‌ها معلوم باشد، مساحت مثلث چنین پیدا می‌شود:

$$A=\frac{1}{2}ab\sin C$$

در اینجا $a$ و $b$ دو ضلع و $C$ زاویه بین آن‌ها است.

10. فورمول هیرون

فورمول هیرون برای پیدا کردن مساحت مثلث زمانی استفاده می‌شود که طول هر سه ضلع معلوم باشد.
اگر ضلع‌ها $a$، $b$ و $c$ باشند، ابتدا نیم‌محیط را پیدا می‌کنیم:

$$s=\frac{a+b+c}{2}$$

سپس مساحت:

$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$