فصل ۴: توابع مثلثاتی شامل زاویه، درجه و رادیان، ز...

بر اساس PDF ریاضی صنف دهم، فصل چهارم درباره «توابع مثلثاتی» است و موضوعاتی مانند زاویه، درجه و رادیان، حالت معیاری زاویه، زوایای کوترمینل، نسبت‌های مثلثاتی، زوایای خاص، روابط بین نسبت‌ها و گراف‌های مثلثاتی را دربر می‌گیرد (G10-Dr-Math.pdf). فصل پنجم هم «تطبیقات مثلثات» است و فورمول‌های مجموع و تفاضل زاویه‌ها، دوچند و سه‌چند زاویه، تبدیل جمع به ضرب، تبدیل ضرب به جمع، طول قوس، مساحت قطاع، مساحت مثلث، فورمول هیرون و شعاع دایره‌های مثلث را شامل می‌شود (G10-Dr-Math.pdf).

فصل چهارم: توابع مثلثاتی

۱. زاویه، جهت زاویه و حالت معیاری

زاویه در مثلثات تنها یک شکل هندسی ساده نیست، بلکه می‌توان آن را نتیجهٔ دوران یک نیم‌خط دانست. اگر نیم‌خط خلاف جهت عقربه‌های ساعت دوران کند، زاویه مثبت است؛ اگر مطابق جهت عقربه‌های ساعت دوران کند، زاویه منفی گفته می‌شود. کتاب ضلع اول را «ضلع ابتدایی» و ضلع دوم را «ضلع نهایی» زاویه معرفی می‌کند (G10-Dr-Math.pdf).

اگر رأس زاویه در مبدأ مختصات باشد و ضلع ابتدایی آن روی جهت مثبت محور $x$ قرار گیرد، زاویه در حالت معیاری است. این حالت برای تشخیص ربع زاویه، علامت نسبت‌های مثلثاتی و رسم گراف‌ها بسیار مهم است.

۲. درجه، گراد و رادیان

زاویه را می‌توان با درجه، گراد و رادیان اندازه کرد. در کتاب آمده است که زاویه‌ها توسط درجه، گراد و رادیان اندازه‌گیری می‌شوند، و رادیان واحد مهمی در ریاضیات عالی است (G10-Dr-Math.pdf).

رادیان چنین تعریف می‌شود: اگر طول قوس مقابل یک زاویهٔ مرکزی برابر با شعاع دایره باشد، اندازهٔ آن زاویه یک رادیان است (G10-Dr-Math.pdf).

رابطه‌های مهم:

$$180^\circ = \pi \text{ rad}$$ $$\frac{\text{درجه}}{180}=\frac{\text{گراد}}{200}=\frac{\text{رادیان}}{\pi}$$

همچنین اگر طول قوس $s$ و شعاع دایره $r$ باشد:

$$\theta=\frac{s}{r}$$

که در آن $\theta$ بر حسب رادیان است. کتاب نیز در خلاصهٔ فصل می‌گوید یک رادیان زاویه‌ای است که طول قوس مقابل آن برابر شعاع باشد و $\theta=\frac{s}{r}$ است (G10-Dr-Math.pdf).

۳. زوایای کوترمینل یا هم‌نهایت

دو زاویه زمانی کوترمینل اند که در حالت معیاری، ضلع نهایی آن‌ها بر هم منطبق شود. مثلاً $60^\circ$، $420^\circ$ و $-300^\circ$ کوترمینل اند، چون:

$$60^\circ+360^\circ=420^\circ$$ $$60^\circ-360^\circ=-300^\circ$$

در کتاب نیز گفته شده است که اگر ضلع‌های دوم دو یا چند زاویه در حالت معیاری باهم منطبق باشند، آن‌ها زوایای کوترمینل هستند (G10-Dr-Math.pdf).

فرمول عمومی:

$$\theta+360^\circ k$$

یا بر حسب رادیان:

$$\theta+2k\pi$$

که $k$ یک عدد صحیح است. کتاب نیز اشاره می‌کند که زاویه‌های $\theta$ و $\theta+2k\pi$ کوترمینل اند و نسبت‌های مثلثاتی آن‌ها باهم مساوی است (G10-Dr-Math.pdf).

۴. نسبت‌های مثلثاتی

در یک مثلث قائم‌الزاویه، نسبت‌های اصلی چنین اند:

$$\sin \theta=\frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}}$$ $$\cos \theta=\frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}}$$ $$\tan \theta=\frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}}$$

سه نسبت دیگر معکوس این‌ها اند:

$$\csc \theta=\frac{1}{\sin\theta}, \quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}, \quad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}$$

در دایرهٔ مثلثاتی، مختصات نقطه روی دایره معمولاً به صورت $(\cos\theta,\sin\theta)$ نوشته می‌شود. کتاب نیز محور $x$ را محور کوساین و محور $y$ را محور ساین معرفی کرده و نقطه را به صورت $(\cos\theta,\sin\theta)$ نشان می‌دهد (G10-Dr-Math.pdf).

۵. علامت نسبت‌ها در ربع‌ها

علامت نسبت‌های مثلثاتی به ربعی بستگی دارد که ضلع نهایی زاویه در آن قرار گرفته است. خلاصهٔ ساده:

ربع	نسبت‌های مثبت
ربع اول	همه مثبت
ربع دوم	$\sin$، $\csc$
ربع سوم	$\tan$، $\cot$
ربع چهارم	$\cos$، $\sec$

در کتاب نیز آمده است که در ربع اول همه نسبت‌ها مثبت اند؛ در ربع دوم ساین و کسیکانت، در ربع سوم تانجانت و کوتانجانت، و در ربع چهارم کوساین و سیکانت مثبت اند (G10-Dr-Math.pdf).

۶. زوایای خاص

برای حل سریع سوال‌ها، باید نسبت‌های مثلثاتی زوایای خاص را حفظ کرد:

زاویه	$\sin$	$\cos$	$\tan$
$0^\circ$	0	1	0
$30^\circ$	$\frac12$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt3}{3}$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	1
$60^\circ$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac12$	$\sqrt3$
$90^\circ$	1	0	تعریف‌نشده

در امتحان، معمولاً اول زاویه را به زاویهٔ مرجع تبدیل می‌کنیم، سپس با توجه به ربع، علامت آن را تعیین می‌نماییم.

۷. روابط مهم مثلثاتی

چند رابطهٔ اساسی که همیشه استفاده می‌شوند:

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$ $$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$$ $$1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$$ $$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

کتاب این روابط را «مطابقت‌های مثلثاتی» می‌نامد، چون برای هر مقدار مجاز زاویه درست هستند (G10-Dr-Math.pdf).

۸. گراف‌های $sin$، $cos$، $tan$ و غیره

برای گراف‌ها چند نکته مهم است:

تابع‌های $\sin x$ و $\cos x$:
ناحیهٔ تعریف آن‌ها تمام اعداد حقیقی است و برد آن‌ها $[-1,1]$ می‌باشد. دورهٔ تناوب هر دو $2\pi$ است. کتاب نیز همین را برای domain و range ساین و کوساین بیان کرده است (G10-Dr-Math.pdf).

تابع $y=\sin x$:
از صفر شروع می‌شود، تا 1 بالا می‌رود، سپس به صفر برمی‌گردد، بعد تا $-1$ پایین می‌رود و دوباره به صفر می‌رسد.

تابع $y=\cos x$:
از 1 شروع می‌شود، به صفر، سپس $-1$، دوباره صفر و بعد 1 می‌رسد.

تابع $y=\tan x$:
برد آن تمام اعداد حقیقی است، دورهٔ آن $\pi$ است و در بعضی نقاط تعریف‌نشده می‌شود، مانند:

$$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$

کتاب در خلاصه فصل می‌گوید دورهٔ تناوب $sin$، $cos$، $sec$، $csc$ برابر $2\pi$ و دورهٔ $tan$ و $cot$ برابر $\pi$ است؛ همچنان $tan$ متزاید و $cot$ متناقص معرفی شده‌اند (G10-Dr-Math.pdf).

---

فصل پنجم: تطبیقات مثلثات

فصل پنجم بیشتر کاربردی است؛ یعنی از روابط فصل چهارم برای ساده‌سازی، محاسبهٔ زاویه‌ها، طول قوس، مساحت‌ها و شعاع دایره‌های مربوط به مثلث استفاده می‌شود.

۱. فورمول‌های مجموع و تفاضل دو زاویه

این فورمول‌ها برای محاسبهٔ نسبت‌های زاویه‌هایی مانند $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ یا $15^\circ=45^\circ-30^\circ$ استفاده می‌شوند.

$$\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$ $$\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$$ $$\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$$ $$\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$$ $$\tan(A+B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$$ $$\tan(A-B)=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\tan B}$$

در کتاب، فصل پنجم با محاسبهٔ $Sin(A+B)$ آغاز می‌شود و بعد فورمول‌های مجموع و تفاضل زاویه‌ها در خلاصه فصل آورده شده‌اند (G10-Dr-Math.pdf) (G10-Dr-Math.pdf).

۲. فورمول‌های دوچند زاویه

اگر زاویه $A$ باشد، دوچند آن $2A$ است. مهم‌ترین روابط:

$$\sin 2A=2\sin A\cos A$$ $$\cos 2A=\cos^2 A-\sin^2 A$$ $$\cos 2A=2\cos^2 A-1$$ $$\cos 2A=1-2\sin^2 A$$ $$\tan 2A=\frac{2\tan A}{1-\tan^2 A}$$

کتاب این روابط را زیر عنوان نسبت‌های مثلثاتی $2\alpha$ از جنس نسبت‌های $\alpha$ آورده است (G10-Dr-Math.pdf).

۳. فورمول‌های نصف زاویه و سه‌چند زاویه

فورمول‌های نصف زاویه برای زمانی است که بخواهیم $\sin\frac{A}{2}$، $\cos\frac{A}{2}$ یا $\tan\frac{A}{2}$ را از روی $\cos A$ پیدا کنیم:

$$\sin\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}$$ $$\cos\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}$$ $$\tan\frac{A}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}}$$

علامت مثبت یا منفی به ربع زاویه بستگی دارد. کتاب همین بخش را به عنوان نسبت‌های نصف زاویه از جنس نسبت‌های خود زاویه آورده است (G10-Dr-Math.pdf).

برای سه‌چند زاویه:

$$\sin 3A=3\sin A-4\sin^3 A$$ $$\cos 3A=4\cos^3 A-3\cos A$$ $$\tan 3A=\frac{3\tan A-\tan^3 A}{1-3\tan^2 A}$$

این فورمول‌ها نیز در خلاصه فصل پنجم آمده‌اند (G10-Dr-Math.pdf).

۴. تبدیل جمع به ضرب و ضرب به جمع

این بخش برای ساده‌سازی افاده‌های مثلثاتی بسیار مهم است.

تبدیل جمع به ضرب:

$$\sin P+\sin Q=2\sin\frac{P+Q}{2}\cos\frac{P-Q}{2}$$ $$\sin P-\sin Q=2\cos\frac{P+Q}{2}\sin\frac{P-Q}{2}$$ $$\cos P+\cos Q=2\cos\frac{P+Q}{2}\cos\frac{P-Q}{2}$$ $$\cos P-\cos Q=-2\sin\frac{P+Q}{2}\sin\frac{P-Q}{2}$$

تبدیل ضرب به جمع:

$$\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$$ $$\cos A\sin B=\frac{1}{2}[\sin(A+B)-\sin(A-B)]$$ $$\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]$$ $$\sin A\sin B=\frac{1}{2}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$$

کتاب این بخش را به صورت فورمول‌هایی معرفی می‌کند که مجموع یا تفاضل نسبت‌های مثلثاتی را به حاصل‌ضرب، و حاصل‌ضرب را به مجموع یا تفاضل تبدیل می‌کنند (G10-Dr-Math.pdf).

۵. طول قوس

اگر شعاع دایره $R$ و زاویهٔ مرکزی $\theta$ بر حسب رادیان باشد، طول قوس:

$$L=R\theta$$

اگر زاویه بر حسب درجه باشد:

$$L=\frac{\pi R\theta}{180^\circ}$$

در کتاب نیز آمده است که اگر اندازهٔ زاویه بر حسب رادیان باشد، طول قوس برابر $L=R\theta$ است؛ و برای زاویهٔ درجه‌ای نیز رابطهٔ متناسب با $360^\circ$ و محیط دایره استفاده می‌شود (G10-Dr-Math.pdf).

۶. مساحت قطاع و قطعهٔ دایره

قطاع دایره بخشی از سطح دایره است که بین دو شعاع قرار می‌گیرد. کتاب نیز همین تعریف را ذکر می‌کند (G10-Dr-Math.pdf).

اگر زاویه $\theta$ بر حسب رادیان باشد:

$$A_{\text{sector}}=\frac{1}{2}R^2\theta$$

کتاب نیز مساحت قطاع را برای زاویهٔ رادیانی با همین رابطه بیان می‌کند (G10-Dr-Math.pdf).

مساحت قطعهٔ دایره معمولاً از تفاضل مساحت قطاع و مساحت مثلث به دست می‌آید:

$$A_{\text{segment}}=A_{\text{sector}}-A_{\triangle}$$

یعنی:

$$A_{\text{segment}}=\frac{1}{2}R^2(\theta-\sin\theta)$$

۷. مساحت مثلث با دو ضلع و زاویهٔ بین آن‌ها

اگر دو ضلع مثلث و زاویهٔ بین آن‌ها معلوم باشد:

$$A=\frac{1}{2}bc\sin A$$

همچنین:

$$A=\frac{1}{2}ac\sin B$$ $$A=\frac{1}{2}ab\sin C$$

کتاب این فورمول را از رسم ارتفاع مثلث به دست می‌آورد و نشان می‌دهد که مساحت مثلث از ضرب دو ضلع و ساین زاویهٔ بین آن‌ها حاصل می‌شود (G10-Dr-Math.pdf).

۸. فورمول هیرون

وقتی سه ضلع مثلث معلوم باشد، از فورمول هیرون استفاده می‌کنیم. اگر اضلاع $a,b,c$ باشند:

$$p=\frac{a+b+c}{2}$$

که $p$ نصف محیط است. سپس:

$$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

کتاب در بخش «مساحت مثلث از روی سه ضلع آن» همین موضوع را به نام فورمول هیرون معرفی می‌کند و $p$ را نصف محیط مثلث می‌داند (G10-Dr-Math.pdf). در ادامه نیز فورمول نهایی مساحت را به صورت $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ به کار می‌برد (G10-Dr-Math.pdf).

۹. شعاع دایرهٔ محیطی و محاطی مثلث

دایرهٔ محیطی دایره‌ای است که از هر سه رأس مثلث می‌گذرد. مرکز آن محل تقاطع عمودمنصف‌های اضلاع مثلث است. کتاب این تعریف را در بخش شعاع دایرهٔ محیطی آورده است (G10-Dr-Math.pdf).

اگر مساحت مثلث $S$ و اضلاع آن $a,b,c$ باشند:

$$R=\frac{abc}{4S}$$

که $R$ شعاع دایرهٔ محیطی است. این رابطه در مثال‌های کتاب نیز استفاده شده است (G10-Dr-Math.pdf).

دایرهٔ محاطی دایره‌ای است که داخل مثلث قرار دارد و با هر سه ضلع مثلث مماس است. مرکز آن محل تقاطع نیمسازهای زاویه‌های مثلث است (G10-Dr-Math.pdf).

شعاع دایرهٔ محاطی:

$$r=\frac{S}{p}$$

که $S$ مساحت مثلث و $p$ نصف محیط است. کتاب همین رابطه را از جمع مساحت سه مثلث کوچک داخل مثلث به دست می‌آورد (G10-Dr-Math.pdf).

جمع‌بندی کوتاه

فصل چهارم پایهٔ مثلثات است: زاویه، رادیان، دایرهٔ مثلثاتی، نسبت‌ها، علامت‌ها، روابط و گراف‌ها. فصل پنجم کاربرد همین مفاهیم است: با فورمول‌های مجموع، تفاضل، دوچند، سه‌چند، تبدیل جمع و ضرب، و روابط هندسی مانند طول قوس، مساحت قطاع، فورمول هیرون و شعاع دایره‌ها، مسائل پیچیده‌تر حل می‌شوند.