Реши подробно

Условия беру из загруженного файла. (bb0e0ed9643b8d0fc7d29afd40af6189.docx)
Обозначения: $\varphi=\dfrac{p_{\text{п}}}{p_{\text{н}}}$, где $p_{\text{п}}$ — парциальное давление водяного пара, $p_{\text{н}}$ — давление насыщенного пара при данной температуре.

---

1

Дано:

$$\frac{V_2}{V_1}=3,\qquad \varphi_1=80\%,\qquad \varphi=50\%.$$

Температура одинакова, значит $p_{\text{н}}$ в обеих частях одинаково.

Пусть влажность во второй части $\varphi_2$. Тогда количество пара пропорционально $p_{\text{п}}V$, то есть после смешивания:

$$\varphi=\frac{\varphi_1 V_1+\varphi_2 V_2}{V_1+V_2}.$$

Так как $V_2=3V_1$, получаем:

$$0{,}5=\frac{0{,}8V_1+3\varphi_2V_1}{4V_1}.$$ $$2=0{,}8+3\varphi_2.$$ $$3\varphi_2=1{,}2.$$ $$\varphi_2=0{,}4=40\%.$$

Ответ: $\boxed{40\%}$.

---

2

Дано:

$$V=10\text{ л}=0{,}01\text{ м}^3,$$ $$m=18\text{ г}=0{,}018\text{ кг},$$ $$T=80+273=353\text{ К},$$ $$p=2\cdot 10^5\text{ Па}.$$

Влажный воздух состоит из сухого воздуха и водяного пара:

$$p=p_{\text{в}}+p_{\text{п}}.$$

Масса смеси:

$$m=m_{\text{в}}+m_{\text{п}}.$$

Для каждого газа:

$$m=\frac{pVM}{RT}.$$

Поэтому:

$$m=\frac{p_{\text{в}}VM_{\text{в}}}{RT}+\frac{p_{\text{п}}VM_{\text{п}}}{RT}.$$

Так как

$$p_{\text{в}}=p-p_{\text{п}},$$

то

$$m=\frac{V}{RT}\left((p-p_{\text{п}})M_{\text{в}}+p_{\text{п}}M_{\text{п}}\right).$$

Берём:

$$M_{\text{в}}=29\cdot10^{-3}\text{ кг/моль},$$ $$M_{\text{п}}=18\cdot10^{-3}\text{ кг/моль}.$$

Подставим:

$$0{,}018=\frac{0{,}01}{8{,}31\cdot353}\left((2\cdot10^5-p_{\text{п}})\cdot0{,}029+p_{\text{п}}\cdot0{,}018\right).$$

Отсюда:

$$p_{\text{п}}\approx 4{,}69\cdot10^4\text{ Па}.$$

Теперь найдём массу водяного пара:

$$m_{\text{п}}=\frac{p_{\text{п}}VM_{\text{п}}}{RT}.$$ $$m_{\text{п}}=\frac{4{,}69\cdot10^4\cdot0{,}01\cdot0{,}018}{8{,}31\cdot353}.$$ $$m_{\text{п}}\approx 2{,}9\cdot10^{-3}\text{ кг}.$$ $$m_{\text{п}}\approx 2{,}9\text{ г}.$$

Ответ: $\boxed{2{,}9\text{ г}}$.

---

3

Дано:

$$p_1=120\text{ кПа},$$ $$t=80^\circ C,$$ $$\varphi=70\%,$$ $$p_{\text{н}}=47{,}3\text{ кПа}.$$

Парциальное давление водяного пара вначале:

$$p_{\text{п1}}=\varphi p_{\text{н}}.$$ $$p_{\text{п1}}=0{,}7\cdot47{,}3=33{,}11\text{ кПа}.$$

Давление сухого воздуха:

$$p_{\text{в1}}=p_1-p_{\text{п1}}.$$ $$p_{\text{в1}}=120-33{,}11=86{,}89\text{ кПа}.$$

Объём уменьшают в 3 раза, температура постоянная. Давление сухого воздуха увеличится в 3 раза:

$$p_{\text{в2}}=3p_{\text{в1}}.$$ $$p_{\text{в2}}=3\cdot86{,}89=260{,}67\text{ кПа}.$$

Если бы пар не конденсировался, его давление стало бы:

$$3p_{\text{п1}}=3\cdot33{,}11=99{,}33\text{ кПа}.$$

Но это больше давления насыщенного пара:

$$99{,}33>47{,}3.$$

Значит, часть пара сконденсируется, а пар останется насыщенным:

$$p_{\text{п2}}=p_{\text{н}}=47{,}3\text{ кПа}.$$

Итоговое давление:

$$p_2=p_{\text{в2}}+p_{\text{п2}}.$$ $$p_2=260{,}67+47{,}3=307{,}97\text{ кПа}.$$ $$p_2\approx 308\text{ кПа}.$$

Ответ: $\boxed{308\text{ кПа}}$.

---

4

Дано:

$$t_1=20^\circ C,\qquad \varphi_1=40\%,$$ $$t_2=34^\circ C,\qquad \varphi_2=100\%,$$ $$p_{\text{н1}}=2{,}34\text{ кПа},$$ $$p_{\text{н2}}=5{,}32\text{ кПа},$$ $$V=15\text{ л/мин}=0{,}015\text{ м}^3/\text{мин}.$$

В комнате парциальное давление водяного пара:

$$p_1=\varphi_1p_{\text{н1}}.$$ $$p_1=0{,}4\cdot2{,}34=0{,}936\text{ кПа}=936\text{ Па}.$$

В выдыхаемом воздухе:

$$p_2=p_{\text{н2}}=5{,}32\text{ кПа}=5320\text{ Па}.$$

Масса водяного пара в объёме $V$:

$$m=\frac{pVM}{RT}.$$

За 1 минуту человек теряет разность масс водяного пара в выдыхаемом и вдыхаемом воздухе:

$$\Delta m=\frac{VM}{R}\left(\frac{p_2}{T_2}-\frac{p_1}{T_1}\right).$$

Температуры:

$$T_1=20+273=293\text{ К},$$ $$T_2=34+273=307\text{ К}.$$

Подставим:

$$\Delta m=\frac{0{,}015\cdot0{,}018}{8{,}31} \left(\frac{5320}{307}-\frac{936}{293}\right).$$ $$\Delta m\approx 4{,}59\cdot10^{-4}\text{ кг/мин}.$$

За 1 час:

$$m=60\Delta m.$$ $$m\approx 60\cdot4{,}59\cdot10^{-4}=2{,}75\cdot10^{-2}\text{ кг}.$$ $$m\approx 27{,}5\text{ г}.$$

Ответ: $\boxed{27{,}5\text{ г}}$.

---

5

Дано:

$$t=100^\circ C,$$ $$p_1=1{,}8\cdot10^5\text{ Па},$$ $$k=4,$$ $$n=3.$$

При $100^\circ C$:

$$p_{\text{н}}\approx 10^5\text{ Па}.$$

Пусть начальная относительная влажность равна $\varphi$. Тогда начальное давление пара:

$$p_{\text{п1}}=\varphi p_{\text{н}}.$$

Давление сухого воздуха:

$$p_{\text{в1}}=p_1-\varphi p_{\text{н}}.$$

Объём уменьшили в $k=4$ раза, значит давление сухого воздуха увеличилось в 4 раза:

$$p_{\text{в2}}=4(p_1-\varphi p_{\text{н}}).$$

Так как при сжатии давление выросло не в 4, а только в 3 раза, значит часть пара сконденсировалась. В конце пар насыщенный:

$$p_{\text{п2}}=p_{\text{н}}.$$

Итоговое давление:

$$p_2=3p_1.$$

С другой стороны:

$$p_2=4(p_1-\varphi p_{\text{н}})+p_{\text{н}}.$$

Приравниваем:

$$3p_1=4p_1-4\varphi p_{\text{н}}+p_{\text{н}}.$$ $$4\varphi p_{\text{н}}=p_1+p_{\text{н}}.$$ $$\varphi=\frac{p_1+p_{\text{н}}}{4p_{\text{н}}}.$$

Подставим:

$$\varphi=\frac{1{,}8\cdot10^5+1\cdot10^5}{4\cdot10^5}.$$ $$\varphi=\frac{2{,}8\cdot10^5}{4\cdot10^5}=0{,}7.$$ $$\varphi=70\%.$$

Ответ: $\boxed{70\%}$.

---

6

Дано:

$$V_1=20\text{ л},$$ $$V_2=30\text{ л},$$ $$\varphi_1=30\%,$$ $$\varphi_2=40\%.$$

Температура постоянна, значит $p_{\text{н}}$ одинаково для обоих сосудов.

После открытия крана влажность станет средней по объёмам:

$$\varphi=\frac{\varphi_1V_1+\varphi_2V_2}{V_1+V_2}.$$ $$\varphi=\frac{0{,}3\cdot20+0{,}4\cdot30}{20+30}.$$ $$\varphi=\frac{6+12}{50}.$$ $$\varphi=0{,}36=36\%.$$

Ответ: $\boxed{36\%}$.

---

7

Дано:

$$l=76\text{ мм рт. ст.},$$ $$p_{\text{атм}}=760\text{ мм рт. ст.},$$ $$\varphi_1=80\%.$$

Когда трубка лежит горизонтально, столбик ртути не создаёт перепада давления, поэтому:

$$p_1=p_{\text{атм}}=760\text{ мм рт. ст.}$$

Когда трубку поставили вертикально открытым концом вниз, газ оказался выше столбика ртути. Давление газа стало меньше атмосферного на давление столбика ртути:

$$p_2=p_{\text{атм}}-l.$$ $$p_2=760-76=684\text{ мм рт. ст.}$$

Температура постоянна. При расширении газа парциальное давление водяного пара уменьшается во столько же раз, что и общее давление:

$$\frac{p_{\text{п2}}}{p_{\text{п1}}}=\frac{p_2}{p_1}.$$

Так как $p_{\text{н}}$ не меняется, относительная влажность меняется так же:

$$\varphi_2=\varphi_1\frac{p_2}{p_1}.$$ $$\varphi_2=0{,}8\cdot\frac{684}{760}.$$ $$\varphi_2=0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72.$$ $$\varphi_2=72\%.$$

Ответ: $\boxed{72\%}$.

---

8

Дано:

$$t=100^\circ C,$$ $$\varphi=60\%,$$ $$p_1=100\text{ кПа},$$ $$k=2{,}5.$$

При $100^\circ C$:

$$p_{\text{н}}\approx100\text{ кПа}.$$

Начальное давление пара:

$$p_{\text{п1}}=0{,}6\cdot100=60\text{ кПа}.$$

Давление сухого воздуха:

$$p_{\text{в1}}=100-60=40\text{ кПа}.$$

При изотермическом уменьшении объёма в $2{,}5$ раза давление сухого воздуха увеличится в $2{,}5$ раза:

$$p_{\text{в2}}=2{,}5\cdot40=100\text{ кПа}.$$

Пар без конденсации имел бы давление:

$$2{,}5\cdot60=150\text{ кПа}.$$

Но при $100^\circ C$ давление насыщенного пара равно $100\text{ кПа}$, поэтому часть пара сконденсируется:

$$p_{\text{п2}}=100\text{ кПа}.$$

Итоговое давление после сжатия:

$$p_2=p_{\text{в2}}+p_{\text{п2}}.$$ $$p_2=100+100=200\text{ кПа}.$$

Теперь нужно получить такое же давление не сжатием, а нагреванием при постоянном объёме.

При постоянном объёме и неизменном количестве газа:

$$p\sim T.$$

Нужно, чтобы давление выросло с $100\text{ кПа}$ до $200\text{ кПа}$:

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{p_2}{p_1}=2.$$

Ответ: абсолютную температуру надо увеличить в $\boxed{2}$ раза.

---

9

Дано:

$$V=4\cdot5\cdot3=60\text{ м}^3,$$ $$t=10^\circ C,$$ $$\varphi_1=30\%,$$ $$p_{\text{н}}=1{,}23\text{ кПа},$$ $$q=0{,}2\text{ л/ч},$$ $$\tau=1{,}5\text{ ч}.$$

Масса воды, добавленная увлажнителем:

$$m=0{,}2\cdot1{,}5=0{,}3\text{ л}.$$

Так как плотность воды примерно $1\text{ кг/л}$:

$$m=0{,}3\text{ кг}.$$

Начальное парциальное давление водяного пара:

$$p_1=\varphi_1p_{\text{н}}.$$ $$p_1=0{,}3\cdot1{,}23=0{,}369\text{ кПа}.$$

Найдём, насколько увеличится давление пара из-за испарения $0{,}3\text{ кг}$ воды:

$$\Delta p=\frac{mRT}{MV}.$$

Здесь:

$$T=10+273=283\text{ К},$$ $$M=18\cdot10^{-3}\text{ кг/моль}.$$ $$\Delta p=\frac{0{,}3\cdot8{,}31\cdot283}{0{,}018\cdot60}.$$ $$\Delta p\approx654\text{ Па}=0{,}654\text{ кПа}.$$

Конечное давление пара:

$$p_2=p_1+\Delta p.$$ $$p_2=0{,}369+0{,}654=1{,}023\text{ кПа}.$$

Относительная влажность:

$$\varphi_2=\frac{p_2}{p_{\text{н}}}.$$ $$\varphi_2=\frac{1{,}023}{1{,}23}\approx0{,}832.$$ $$\varphi_2\approx83\%.$$

Так как $1{,}023<1{,}23$, насыщения ещё нет.

Ответ: $\boxed{83\%}$.

---

10

Дано:

$$t=36^\circ C,$$ $$\varphi=80\%,$$ $$p_{\text{н}}=5945\text{ Па},$$ $$V=1\text{ м}^3.$$

Парциальное давление водяного пара:

$$p_{\text{п}}=\varphi p_{\text{н}}.$$ $$p_{\text{п}}=0{,}8\cdot5945=4756\text{ Па}.$$

Масса пара:

$$m=\frac{p_{\text{п}}VM}{RT}.$$

Температура:

$$T=36+273=309\text{ К}.$$

Подставим:

$$m=\frac{4756\cdot1\cdot0{,}018}{8{,}31\cdot309}.$$ $$m\approx0{,}0333\text{ кг}.$$ $$m\approx33{,}3\text{ г}.$$

Ответ: $\boxed{33{,}3\text{ г}}$.