докажи предел в точке функции максимально подробно

Докажем строго:

$$\lim_{x\to 3}\frac{2x^2-18}{x-3}=12$$

Для $x\neq 3$:

$$\frac{2x^2-18}{x-3} =\frac{2(x^2-9)}{x-3} =\frac{2(x-3)(x+3)}{x-3} =2(x+3)$$

Тогда разность с пределом:

$$\left|\frac{2x^2-18}{x-3}-12\right| = |2(x+3)-12| = |2x+6-12| = |2x-6| = 2|x-3|$$

По определению предела нужно доказать:

для любого $\varepsilon>0$ найдётся $\delta>0$, что если

$$0<|x-3|<\delta,$$

то

$$\left|\frac{2x^2-18}{x-3}-12\right|<\varepsilon.$$

Мы получили:

$$\left|\frac{2x^2-18}{x-3}-12\right|=2|x-3|.$$

Чтобы это было меньше $\varepsilon$, достаточно потребовать:

$$2|x-3|<\varepsilon.$$

Отсюда:

$$|x-3|<\frac{\varepsilon}{2}.$$

Поэтому выбираем

$$\delta=\frac{\varepsilon}{2}.$$

Тогда если

$$0<|x-3|<\delta,$$

то

$$\left|\frac{2x^2-18}{x-3}-12\right| = 2|x-3| < 2\delta = 2\cdot \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Значит,

$$\boxed{\lim_{x\to 3}\frac{2x^2-18}{x-3}=12}$$

Доказано по определению предела.

Предпоследняя строчка была такой:

$$2|x-3| < 2\delta = 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$

Разберём её по шагам.

Мы выбрали

$$\delta=\frac{\varepsilon}{2}.$$

По условию определения предела предполагается, что

$$0<|x-3|<\delta.$$

Из неравенства

$$|x-3|<\delta$$

можно умножить обе части на положительное число $2$, знак неравенства не изменится:

$$2|x-3|<2\delta.$$

Теперь подставляем выбранное значение $\delta$:

$$2\delta=2\cdot\frac{\varepsilon}{2}.$$

Двойки сокращаются:

$$2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.$$

Поэтому получаем

$$2|x-3|<\varepsilon.$$

А так как

$$\left|\frac{2x^2-18}{x-3}-12\right|=2|x-3|,$$

то сразу следует

$$\left|\frac{2x^2-18}{x-3}-12\right|<\varepsilon.$$

Именно это и требовалось доказать по определению предела.

Смысл выбора $\delta=\frac{\varepsilon}{2}$ в том, чтобы после умножения на $2$ получилось ровно $\varepsilon$. Это самый удобный выбор в данном доказательстве.