**提示词：** “你是一个资深的高中数学老师。请帮我收集 8 道经典的**排列问题**。 **核心...

设 $A_n^n=n!$，$C_n^m=\binom{n}{m}$。以下各题都默认“若干个不同元素排成一行”。

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1.【基础】纯一对定序

5 名同学甲、乙、丙、丁、戊排成一行，要求甲必须在乙的左边，共有多少种不同排法？

解法一（除法/消序法）
5 人全排列共有

$$A_5^5=5!$$

在甲、乙的内部两种次序中，只有 1 种满足“甲在乙左边”，所以除以

$$A_2^2=2!$$

故排法数为

$$\frac{A_5^5}{A_2^2}=\frac{5!}{2!}=60$$

解法二（选位法/空位法）
先从 5 个位置中选出 2 个给甲、乙：

$$C_5^2$$

一旦位置选定，按从左到右依次放“甲、乙”即可；其余 3 人全排列：

$$A_3^3$$

故排法数为

$$C_5^2\cdot A_3^3=10\cdot 6=60$$

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2.【基础】纯三元素定序

7 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚排成一行，要求甲、乙、丙从左到右的顺序固定为“甲在乙左，乙在丙左”，共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
7 人全排列共有

$$A_7^7=7!$$

甲、乙、丙内部原本有

$$A_3^3=3!$$

种次序，其中只有 1 种符合要求，所以

$$\frac{A_7^7}{A_3^3}=\frac{7!}{3!}=840$$

解法二（选位法/空位法）
先从 7 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_7^3$$

然后按从左到右固定放入甲、乙、丙；其余 4 人全排列：

$$A_4^4$$

故

$$C_7^3\cdot A_4^4=35\cdot 24=840$$

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3.【中等】定序 + 某人不能站两端

6 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己排成一行，要求甲在乙左边，且丙不能站在两端，共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
先安排丙。丙只能在中间 4 个位置之一，所以有 4 种选法。
固定丙后，其余 5 人全排列：

$$A_5^5$$

再对甲、乙的定序消序，除以

$$A_2^2$$

所以

$$\frac{4\cdot A_5^5}{A_2^2} =\frac{4\cdot 5!}{2!} =240$$

解法二（选位法/空位法）
先给丙选位置：

$$4\text{ 种}$$

再从剩下 5 个位置中选 2 个给甲、乙：

$$C_5^2$$

并按从左到右放“甲、乙”；最后其余 3 人全排列：

$$A_3^3$$

故

$$4\cdot C_5^2\cdot A_3^3 =4\cdot 10\cdot 6 =240$$

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4.【中等】定序 + 另外两人相邻

7 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚排成一行，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，且丁与戊必须相邻，共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
把“丁、戊”看成一个整体，则共有 6 个单位排列：

$$A_6^6$$

而“丁、戊”整体内部还有

$$A_2^2$$

种排法。
再对“甲、乙、丙”的定序消序，除以

$$A_3^3$$

所以

$$\frac{A_6^6\cdot A_2^2}{A_3^3} =\frac{6!\cdot 2!}{3!} =240$$

解法二（选位法/空位法）
先给丁、戊选一对相邻位置：共有

$$6\text{ 种}$$

再安排丁、戊内部顺序：

$$A_2^2$$

接着从剩下 5 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_5^3$$

并按固定顺序放入；最后己、庚全排列：

$$A_2^2$$

故

$$6\cdot A_2^2\cdot C_5^3\cdot A_2^2 =6\cdot 2\cdot 10\cdot 2 =240$$

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5.【中等】两组定序

8 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛排成一行，要求甲在乙左边，且丙在丁左边，共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
8 人全排列共有

$$A_8^8$$

对“甲、乙”消序一次，除以

$$A_2^2$$

对“丙、丁”再消序一次，再除以

$$A_2^2$$

所以

$$\frac{A_8^8}{A_2^2\cdot A_2^2} =\frac{8!}{2!\cdot 2!} =10080$$

解法二（选位法/空位法）
先从 8 个位置中选 2 个给甲、乙：

$$C_8^2$$

并按从左到右放“甲、乙”；
再从剩下 6 个位置中选 2 个给丙、丁：

$$C_6^2$$

并按从左到右放“丙、丁”；
最后其余 4 人全排列：

$$A_4^4$$

故

$$C_8^2\cdot C_6^2\cdot A_4^4 =28\cdot 15\cdot 24 =10080$$

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6.【中等】三元素定序 + 某人不能站两端

7 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚排成一行，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，且丁不能站在两端，共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
先给丁选位置，丁只能在中间 5 个位置：

$$5\text{ 种}$$

固定丁后，其余 6 人全排列：

$$A_6^6$$

再对甲、乙、丙的定序消序，除以

$$A_3^3$$

所以

$$\frac{5\cdot A_6^6}{A_3^3} =\frac{5\cdot 6!}{3!} =600$$

解法二（选位法/空位法）
先给丁选中间位置：

$$5\text{ 种}$$

再从剩下 6 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_6^3$$

按从左到右固定放入；最后其余 3 人全排列：

$$A_3^3$$

故

$$5\cdot C_6^3\cdot A_3^3 =5\cdot 20\cdot 6 =600$$

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7.【中等】一对定序 + 另一对相邻

8 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛排成一行，要求甲在乙左边，且丙与丁必须相邻，共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
把“丙、丁”看成一个整体，则共有 7 个单位排列：

$$A_7^7$$

“丙、丁”整体内部有

$$A_2^2$$

种排法；
而“甲在乙左边”要消序一次，除以

$$A_2^2$$

所以

$$\frac{A_7^7\cdot A_2^2}{A_2^2}=A_7^7=7!=5040$$

解法二（选位法/空位法）
先给丙、丁选一对相邻位置：

$$7\text{ 种}$$

再排丙、丁内部顺序：

$$A_2^2$$

从剩下 6 个位置中选 2 个给甲、乙：

$$C_6^2$$

并按从左到右放“甲、乙”；最后其余 4 人全排列：

$$A_4^4$$

故

$$7\cdot A_2^2\cdot C_6^2\cdot A_4^4 =7\cdot 2\cdot 15\cdot 24 =5040$$

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8.【中等】两组三元素定序

9 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬排成一行，要求甲、乙、丙从左到右顺序固定，且丁、戊、己从左到右顺序也固定，共有多少种排法？

解法一（除法/消序法）
9 人全排列共有

$$A_9^9$$

对第一组三元素消序，除以

$$A_3^3$$

对第二组三元素再消序，除以

$$A_3^3$$

所以

$$\frac{A_9^9}{A_3^3\cdot A_3^3} =\frac{9!}{3!\cdot 3!} =10080$$

解法二（选位法/空位法）
先从 9 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_9^3$$

按固定顺序放入；
再从剩下 6 个位置中选 3 个给丁、戊、己：

$$C_6^3$$

按固定顺序放入；
最后其余 3 人全排列：

$$A_3^3$$

故

$$C_9^3\cdot C_6^3\cdot A_3^3 =84\cdot 20\cdot 6 =10080$$

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这类题的统一结论

若 $n$ 个不同元素排成一行，其中有 $m$ 个元素的相对顺序固定，那么常见两种想法本质等价：

$$\frac{A_n^n}{A_m^m} \qquad\text{与}\qquad C_n^m\cdot A_{n-m}^{n-m}$$

如果有两组、三组定序要求，就继续“除以各组内部全排列数”；
若叠加“相邻、不能站两端”等条件，就先处理这些常规限制，再做“消序”或“选位”。

你这套提示词很适合直接拿去做讲义。若你愿意，我可以继续把这 8 题整理成“题目版 + 答案版”两份课堂资料。