**提示词：** “你是一个资深的高中数学老师。请帮我收集 8 道经典的**排列问题**。 **核心...

下面给你一套可直接用于训练的 8 道“定序问题”经典排列题。
统一约定：都按“从左到右”理解，且 $A_n^n=n!$。

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1.【基础】
7 本不同的书排成一排，其中甲、乙、丙三本书必须满足：甲在乙左边，乙在丙左边。求排法数。

解法一（除法/消序法）
先把 7 本书全排列：

$$A_7^7$$

甲、乙、丙这 3 本书内部本来有

$$A_3^3$$

种排法，但只有 1 种符合“甲、乙、丙”的相对顺序，所以

$$\frac{A_7^7}{A_3^3} =\frac{7!}{3!} =840$$

解法二（选位法/空位法）
先从 7 个位置中选出 3 个位置给甲、乙、丙：

$$C_7^3$$

位置选定后，甲、乙、丙只能按固定顺序放入；其余 4 本书任意排：

$$C_7^3\cdot A_4^4 =35\cdot24 =840$$

答案： $840$ 种。

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2.【基础】
8 名同学站成一排，其中甲、乙、丙、丁 4 人必须从左到右按身高递增顺序站立。求排法数。

解法一（除法/消序法）
8 人全排列共有

$$A_8^8$$

种。甲、乙、丙、丁这 4 人内部原有

$$A_4^4$$

种次序，但只有 1 种符合题意，所以

$$\frac{A_8^8}{A_4^4} =\frac{8!}{4!} =1680$$

解法二（选位法/空位法）
先给甲、乙、丙、丁选 4 个位置：

$$C_8^4$$

选好后只能按固定顺序站入；其余 4 人任意排：

$$C_8^4\cdot A_4^4 =70\cdot24 =1680$$

答案： $1680$ 种。

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3.【中等】
7 名同学站成一排，其中甲、乙、丙满足：甲在乙左边，乙在丙左边；另外 丁不能站在两端。求排法数。

解法一（除法/消序法）
先只看甲、乙、丙的定序，排法数为

$$\frac{A_7^7}{A_3^3}$$

再减去丁站在两端的情况。若丁站左端或右端，共 2 种选法，此时剩下 6 人中甲、乙、丙仍需定序：

$$2\cdot \frac{A_6^6}{A_3^3}$$

所以

$$\frac{A_7^7}{A_3^3}-2\cdot \frac{A_6^6}{A_3^3} =\frac{7!}{3!}-2\cdot\frac{6!}{3!} =840-240 =600$$

解法二（选位法/空位法）
先给丁选位置，丁只能站中间 5 个位置之一：

$$C_5^1$$

再从剩下 6 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_6^3$$

其余 3 人任意排：

$$C_5^1\cdot C_6^3\cdot A_3^3 =5\cdot20\cdot6 =600$$

答案： $600$ 种。

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4.【中等】
8 名同学站成一排，其中甲、乙、丙满足：甲在乙左边，乙在丙左边；另外 丁、戊必须相邻。求排法数。

解法一（除法/消序法）
把“丁、戊”看成一个整体，这个整体内部有

$$A_2^2$$

种排法。此时共有 7 个单位排列，而甲、乙、丙仍需定序，所以

$$A_2^2\cdot \frac{A_7^7}{A_3^3} =2\cdot\frac{7!}{3!} =1680$$

解法二（选位法/空位法）
先把“丁、戊”并成一个单位，此时共有 7 个单位。
从这 7 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_7^3$$

选好后甲、乙、丙按固定顺序放入；其余 4 个单位任意排，再乘“丁、戊”内部的 $A_2^2$：

$$C_7^3\cdot A_4^4\cdot A_2^2 =35\cdot24\cdot2 =1680$$

答案： $1680$ 种。

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5.【中等】
8 本不同的书排成一排，其中甲、乙、丙满足：甲在乙左边，乙在丙左边；同时 丁必须在戊左边。求排法数。

解法一（除法/消序法）
8 本书全排列有

$$A_8^8$$

种。
甲、乙、丙内部有 $A_3^3$ 种次序；丁、戊内部有 $A_2^2$ 种次序。各自只保留 1 种符合题意，因此

$$\frac{A_8^8}{A_3^3\cdot A_2^2} =\frac{8!}{3!\cdot2!} =3360$$

解法二（选位法/空位法）
先给甲、乙、丙选位置：

$$C_8^3$$

再从剩下 5 个位置中给丁、戊选位置：

$$C_5^2$$

甲、乙、丙按固定顺序放，丁、戊也按固定顺序放；其余 3 本书任意排：

$$C_8^3\cdot C_5^2\cdot A_3^3 =56\cdot10\cdot6 =3360$$

答案： $3360$ 种。

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6.【中等】
8 名同学站成一排，其中甲、乙、丙满足：甲在乙左边，乙在丙左边；另外 丁、戊占据两端（顺序不限）。求排法数。

解法一（除法/消序法）
先安排两端的丁、戊，有

$$A_2^2$$

种。
剩下中间 6 个位置排另外 6 人，其中甲、乙、丙需定序，所以

$$A_2^2\cdot \frac{A_6^6}{A_3^3} =2\cdot\frac{6!}{3!} =240$$

解法二（选位法/空位法）
两端先放丁、戊：

$$A_2^2$$

再从中间 6 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_6^3$$

其余 3 人任意排：

$$A_2^2\cdot C_6^3\cdot A_3^3 =2\cdot20\cdot6 =240$$

答案： $240$ 种。

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7.【中等】
9 面不同的小旗排成一行，其中甲、乙、丙、丁 4 面旗必须满足：甲在乙左边，乙在丙左边，丙在丁左边；另外 戊、己两面旗必须相邻。求排法数。

解法一（除法/消序法）
先把“戊、己”看成一个整体，其内部有

$$A_2^2$$

种排法。于是共有 8 个单位排列。
甲、乙、丙、丁 4 面旗内部本有

$$A_4^4$$

种次序，但只保留 1 种符合题意，所以

$$A_2^2\cdot \frac{A_8^8}{A_4^4} =2\cdot\frac{8!}{4!} =3360$$

解法二（选位法/空位法）
仍把“戊、己”看成一个单位，共有 8 个单位。
先给甲、乙、丙、丁选 4 个位置：

$$C_8^4$$

它们按固定顺序放入；其余 4 个单位任意排，再乘“戊、己”内部的 $A_2^2$：

$$C_8^4\cdot A_4^4\cdot A_2^2 =70\cdot24\cdot2 =3360$$

答案： $3360$ 种。

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8.【中等】
9 名同学站成一排，其中甲、乙、丙满足：甲在乙左边，乙在丙左边；另外 丁、戊、己 3 人必须相邻。求排法数。

解法一（除法/消序法）
把“丁、戊、己”看成一个整体，这个整体内部有

$$A_3^3$$

种排法。此时共有 7 个单位排列；甲、乙、丙仍需定序，所以

$$A_3^3\cdot \frac{A_7^7}{A_3^3} =A_7^7 =7! =5040$$

解法二（选位法/空位法）
把“丁、戊、己”并成一个单位，共 7 个单位。
先从 7 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_7^3$$

它们按固定顺序放入；其余 4 个单位任意排，再乘“丁、戊、己”内部的 $A_3^3$：

$$C_7^3\cdot A_4^4\cdot A_3^3 =35\cdot24\cdot6 =5040$$

答案： $5040$ 种。

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最后帮你提炼一个总规律：

纯定序题的核心公式就是

$$\frac{A_n^n}{A_m^m} \qquad\text{或}\qquad C_n^m\cdot A_{n-m}^{\,n-m}$$

两种思路本质等价。

遇到复合题时，通常先处理“附加条件”（如相邻、占两端、不能站两端、再加一组定序），然后再套这两个定序模板。
这样学生最容易抓住主线，也最不容易做乱。