Реши как 8 классник

Ниже — простые решения, без сложных слов.

8

Пусть в клетке с номером $k$ лежит $a_k$ фишек.

а) Почему операций может быть только конечное число

За одну операцию мы снимаем 2 фишки и кладём 1.
Значит, общее число фишек уменьшается на 1.

Но фишек сначала конечное число.
Значит, бесконечно долго уменьшать их количество нельзя.

Вывод: операций можно сделать только конечное число.

---

б) Почему итог не зависит от порядка операций

Рассмотрим число

$$S=\sum a_k\cdot 2^k.$$

При одной операции из клетки $k$ убирают 2 фишки, а в клетку $k+1$ кладут 1.
Посмотрим, как меняется сумма $S$:

• было: $2\cdot 2^k$,
• стало: $1\cdot 2^{k+1}$.

Но

$$2\cdot 2^k=2^{k+1},$$

значит, $S$ не меняется.

Когда операции закончатся, в каждой клетке будет не больше одной фишки.
Почему? Если бы в какой-то клетке было 2 или больше, можно было бы сделать ещё одну операцию.

Значит, в конце в каждой клетке либо 0, либо 1 фишка.
Это как двоичная запись числа $S$:
0 — фишки нет, 1 — фишка есть.

А двоичная запись числа единственна.
Значит, конечная расстановка определяется только числом $S$, то есть только начальной расстановкой.

Вывод: конечный результат не зависит от порядка операций.

---

9

Нужно расставить знаки так, чтобы каждое число было противоположно по знаку сумме соседей.

Рассмотрим все возможные расстановки знаков. Их конечное число, значит, среди них есть такая, при которой величина

$$P=\text{сумма произведений чисел в соседних клетках}$$

наименьшая.

Теперь посмотрим на любую клетку. Пусть в ней стоит число $x$, а сумма чисел в соседних по стороне клетках равна $y$.

Тогда вклад этой клетки в $P$ равен $x\cdot y$.

Предположим, что $x$ и $y$ одного знака. Тогда

$$xy>0.$$

Если поменять знак у числа $x$, то вместо $x\cdot y$ станет $(-x)\cdot y=-xy$.
То есть величина $P$ уменьшится на

$$2xy>0.$$

Но $P$ у нас уже была минимальной. Противоречие.

Значит, такого быть не может.
То есть в каждой клетке число и сумма соседей имеют разные знаки, либо сумма соседей равна 0.

А это и требовалось.

Вывод: нужную смену знаков всегда можно сделать.

---

10

Пусть на доске в какой-то момент стоят числа $x,y,z$.

Будем следить за величиной

$$I=xy+yz+zx.$$

Покажем, что она не меняется.

Пусть Иван взял числа $a$ и $b$, а третье число — $c$.
Тогда вместо $a,b$ он пишет

$$2a+c \quad \text{и} \quad \frac{b-c}{2}.$$

Новое значение величины $I$:

$$(2a+c)\cdot \frac{b-c}{2}+(2a+c)c+\frac{b-c}{2}\cdot c.$$

Раскроем скобки:

$$=ab-ac+\frac{bc}{2}-\frac{c^2}{2}+2ac+c^2+\frac{bc}{2}-\frac{c^2}{2}.$$

Собираем похожие:

$$=ab+ac+bc.$$

То есть получилось то же самое, что было раньше.

Значит, величина

$$xy+yz+zx$$

всегда сохраняется.

Сначала на доске числа $1,1,-1$. Тогда

$$I=1\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot(-1)=1-1-1=-1.$$

Итак, всегда

$$xy+yz+zx=-1.$$

Теперь предположим, что в какой-то момент все три числа стали неотрицательными.
Тогда произведения $xy,\ yz,\ zx$ тоже неотрицательны, и их сумма не может быть равна $-1$.

Противоречие.

Вывод: на доске всегда есть хотя бы одно отрицательное число.

---

Если хочешь, я могу ещё оформить это совсем “в тетрадном виде”, коротко и аккуратно, как для сдачи учителю.