реши

Рассмотрим сумму

$$C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - \cdots + (-1)^n C_n^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}.$$

По биному Ньютона:

$$(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k.$$

Подставим $x=-1$:

$$(1-1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k.$$

Левая часть равна $0^n$. Поэтому:

• если $n\ge 1$, то $0^n=0$, сумма равна 0;
• если $n=0$, то сумма $\binom00=1$.

Ответ: $\;0$ (для $n\ge 1$; при $n=0$ — $1$).

Докажем тождество

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}$$

через треугольник Паскаля (как через подсчёт путей).

Факт про треугольник Паскаля

Число $\binom{m}{r}$ равно количеству путей из вершины треугольника в клетку $(m,r)$, если на каждом шаге спускаться на одну строку вниз либо влево, либо вправо.
Чтобы попасть в $(m,r)$, нужно сделать ровно $r$ “шагов вправо” из $m$ шагов, значит путей $\binom{m}{r}$.

Считаем пути к центральному элементу строки $2n$

Рассмотрим клетку $(2n,n)$. Путей к ней:

$$\binom{2n}{n}.$$

Теперь разобьём любой путь на две половины по $n$ шагов.

После первых $n$ шагов мы окажемся в некоторой клетке $(n,k)$, где $k=0,1,\dots,n$.

• Число способов дойти из вершины до $(n,k)$ равно $\binom{n}{k}$.
• Далее нужно из $(n,k)$ за ещё $n$ шагов попасть в $(2n,n)$. Для этого во второй половине пути надо сделать ровно $n-k$ шагов вправо (из $n$ шагов), значит способов: $$\binom{n}{\,n-k\,}=\binom{n}{k}.$$

Значит, путей, которые “ломаются” в точке $(n,k)$, ровно

$$\binom{n}{k}\cdot \binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}^2.$$

Суммируем по всем возможным $k$:

$$\binom{2n}{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2.$$

Что и требовалось доказать. ✅