Пластилиновый шарик массы M, двигаясь вертикально ...

Ответ:

$$v = g\sqrt{\frac{6M}{k}}$$

(скорость шарика перед ударом, направлена вверх).

---

Решение

Обозначим:

• масса шарика и кубика: $M$;
• жёсткость пружины: $k$;
• ускорение свободного падения: $g$;
• скорость шарика перед ударом: $v$ (вверх);
• скорость системы после неупругого удара: $u$ (вверх).

1. Положение кубика до удара

Кубик висит в положении равновесия, значит сила пружины уравновешивает его вес:

$$k x_0 = Mg \quad\Rightarrow\quad x_0 = \frac{Mg}{k},$$

где $x_0$ — растяжение пружины относительно её естественной длины (вниз положительно).

2. Неупругий удар

Шарик слепляется с кубиком, удар абсолютно неупругий. Закон сохранения импульса (верх — положительное направление):

$$Mv + M\cdot 0 = (2M)u \quad\Rightarrow\quad u = \frac{v}{2}.$$

Сразу после удара:

• общая масса: $2M$,
• пружина всё ещё растянута на $x_0 = \dfrac{Mg}{k}$.

Новая точка равновесия для массы $2M$:

$$k x_{\text{eq}} = 2Mg \quad\Rightarrow\quad x_{\text{eq}} = \frac{2Mg}{k}.$$

Смещением от нового равновесия возьмём

$$\xi = x - x_{\text{eq}}.$$

Сразу после удара:

$$\xi_0 = x_0 - x_{\text{eq}} = \frac{Mg}{k} - \frac{2Mg}{k} = -\frac{Mg}{k},$$ $$\dot{\xi}_0 = u = \frac{v}{2}.$$

Движение — гармоническое:

$$2M \ddot{\xi} + k\xi = 0 \quad\Rightarrow\quad \ddot{\xi} + \omega^2 \xi = 0,\quad \omega^2 = \frac{k}{2M}.$$

Амплитуда колебаний:

$$A^2 = \xi_0^2 + \frac{\dot{\xi}_0^2}{\omega^2} = \left(\frac{Mg}{k}\right)^2 + \frac{\left(\dfrac{v}{2}\right)^2}{k/(2M)} = \frac{M^2 g^2}{k^2} + \frac{Mv^2}{2k}.$$

3. Условие задачи при максимальном подъёме

Верхняя точка движения — это крайнее положение, где скорость равна нулю. В гармоническом движении в крайнем положении:

• $\xi = \pm A$,
• ускорение $\ddot{\xi} = -\omega^2 \xi$, по модулю $|\ddot{\xi}| = \omega^2 A$.

По условию, в момент максимального подъёма ускорение равно ускорению свободного падения по модулю:

$$\omega^2 A = g.$$

Подставляем $\omega^2 = \dfrac{k}{2M}$:

$$\frac{k}{2M} A = g \quad\Rightarrow\quad A = \frac{2Mg}{k}.$$

Тогда:

$$A^2 = \left(\frac{2Mg}{k}\right)^2 = \frac{4M^2 g^2}{k^2}.$$

С другой стороны, мы уже нашли выражение для $A^2$, значит:

$$\frac{4M^2 g^2}{k^2} = \frac{M^2 g^2}{k^2} + \frac{Mv^2}{2k}.$$

Вычитаем первый член:

$$\frac{Mv^2}{2k} = \frac{3M^2 g^2}{k^2}.$$

Отсюда:

$$v^2 = \frac{3M^2 g^2}{k^2} \cdot \frac{2k}{M} = \frac{6Mg^2}{k},$$ $$v = g\sqrt{\frac{6M}{k}}.$$

Это и есть скорость шарика непосредственно перед соударением (направлена вверх).