В некоторой системе счисления только два символа: ...

Нужно понять, сколько «весит» каждая буква.

Посчитаем количество символов A и B в каждой записи:

• 38 = AAAAABBB → 5A и 3B
• 12 = ABBBBB → 1A и 5B
• 24 = AAABBB → 3A и 3B
• 14 = AA → 2A и 0B

Предположим, что
число = 7·(кол-во A) + 1·(кол-во B)

Проверим:

• 14: 2·7 + 0·1 = 14 ✔
• 12: 1·7 + 5·1 = 7 + 5 = 12 ✔
• 24: 3·7 + 3·1 = 21 + 3 = 24 ✔
• 38: 5·7 + 3·1 = 35 + 3 = 38 ✔

Значит, A = 7, B = 1.

Теперь найдём запись числа 2:
нужно 7·a + 1·b = 2, где a,b ≥ 0.
Очевидно, a = 0, b = 2.

То есть 2 = BB.

Раз уже из предыдущих чисел получалось, что
A = 7, B = 1 (число = 7·кол-во A + 1·кол-во B),

найдём представление числа 10:

Нужно решить:

$$7a + b = 10,\quad a, b \ge 0$$

Берём $a = 1$:
$7 \cdot 1 + b = 10 \Rightarrow b = 3$.

Значит, в записи числа 10 — 1 буква A и 3 буквы B.
С учётом правила («сначала все А, потом все В»):

10 = ABBB.