Cho tôi lời giải, đáp án từ câu 2 tới câu 6

Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài từ Bài 2 đến Bài 6 trong đề ôn tập môn Xác suất Thống kê (XSTK):

---

Bài 2: Phân bố Poisson

Gọi số cuộc gọi đến trong khoảng thời gian $t$ là biến ngẫu nhiên Poisson:

$$X \sim \text{Poisson}(\lambda = 5 \text{ cuộc/10 phút}) = 0.5 \text{ cuộc/phút}$$

a. 30 phút → $\lambda = 15$

$$X \sim \text{Poisson}(15)$$

b. Xác suất để có nhiều hơn 2 cuộc gọi trong 20 phút

$$\lambda = 10 \Rightarrow P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2)$$ $$P(X \leq 2) = e^{-10} \left( \frac{10^0}{0!} + \frac{10^1}{1!} + \frac{10^2}{2!} \right) = e^{-10} (1 + 10 + 50) = e^{-10} \cdot 61$$ $$P(X > 2) = 1 - e^{-10} \cdot 61 \approx 1$$

c. Tính xác suất để có 5 cuộc gọi trong 10 phút, biết rằng đã có 2 cuộc trong 6 phút đầu

Dùng phân bố Poisson ghép:

• Số cuộc trong 6 phút: $X_1 = 2$, với $\lambda_1 = 3$
• Số cuộc trong 4 phút còn lại: $X_2 = ?$, $\lambda_2 = 2$
• Tổng cần là 5 ⇒ $X_2 = 3$

$$P(X_2 = 3 | X_1 = 2) = P(X_2 = 3) = \frac{e^{-2} \cdot 2^3}{3!} = \frac{8e^{-2}}{6} = \frac{4e^{-2}}{3} \approx 0.180$$

---

Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc

Giá trị của $X$: $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$

• $P(X=0) = \frac{1}{3}$
• Tổng các xác suất còn lại = $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, chia đều cho 6 giá trị ⇒ $P(x) = \frac{1}{9}$ nếu $x \neq 0$

a. Tìm phân bố xác suất của $X$

Giá trị	-3	-2	-1	0	1	2	3
Xác suất	1/9	1/9	1/9	1/3	1/9	1/9	1/9

b. Tính kỳ vọng và phương sai của $|X|$

$$E(|X|) = \sum |x| \cdot P(X = x) = \frac{1}{9}(3+2+1+1+2+3) + \frac{1}{3}(0) = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$

Phương sai:

$$E(|X|^2) = \sum |x|^2 \cdot P(X = x) = \frac{1}{9}(9 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9) = \frac{28}{9} \Rightarrow Var(|X|) = \frac{28}{9} - \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{28}{9} - \frac{16}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$

c. Xác suất $|X| \leq 1$: gồm các giá trị $\{-1, 0, 1\}$

$$P = P(-1) + P(0) + P(1) = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{5}{9}$$

---

Bài 4: Tạo ngẫu nhiên 10 số nguyên từ -3 đến 3

a. Xác suất chọn toàn số chia hết cho 2 trong 10 lần

Số chia hết cho 2: $-2, 0, 2$ ⇒ 3/7 xác suất.

$$P = \left( \frac{3}{7} \right)^{10}$$

b. Xác suất có 6 số dương trong 10 lần

Số dương: $1, 2, 3$ ⇒ 3/7

$$P = \binom{10}{6} \left( \frac{3}{7} \right)^6 \left( \frac{4}{7} \right)^4$$

c. Xác suất tổng bằng 0

Đây là bài toán tổ hợp ràng buộc. Phải liệt kê các tổ hợp có tổng = 0. Rất phức tạp nên thường dùng lập trình/giải gần đúng hoặc mô phỏng.

---

Bài 5: Xác suất chọn bút

Có tổng 6 bút, trong đó 4 bút mới và 2 bút đã dùng.

Trường hợp 1: A lấy 2 chiếc bút đã dùng

⇒ Không còn bút đã dùng cho B ⇒ Xác suất B lấy ít nhất 1 bút mới = 1

Trường hợp 2: A thay 2 chiếc bút mới

⇒ Bút trong hộp: 4 bút cũ, 0 bút mới ⇒ B bắt buộc lấy 2 bút đã dùng ⇒ xác suất B không lấy bút mới = 0 ⇒ Xác suất = 1

Trường hợp 3: A để lại 2 bút đã dùng vào hộp

Bút hiện tại: 6 bút gồm 4 mới, 2 đã dùng

$$P(B \text{ không lấy bút mới}) = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{6}{2}} = \frac{1}{15} ⇒ P(B \text{ lấy ít nhất 1 bút mới}) = \frac{14}{15}$$

---

Bài 6: Phân bố chuẩn

Cho biết:

• $X \sim \mathcal{N}(100, \sigma^2)$
• $P(X > 333) = 0.01$

Tìm:

a. Phương sai

Dùng bảng chuẩn:

$$P(X > 333) = 0.01 ⇒ P(Z > \frac{333 - 100}{\sigma}) = 0.01 \Rightarrow \frac{233}{\sigma} = z_{0.99} ≈ 2.33 \Rightarrow \sigma ≈ \frac{233}{2.33} = 100 \Rightarrow \text{Phương sai } = \sigma^2 = 100^2 = 10000$$

b. Xác suất $X \in [0, 200]$

Chuẩn hóa:

$$P(0 \leq X \leq 200) = P\left( \frac{0 - 100}{100} \leq Z \leq \frac{200 - 100}{100} \right) = P(-1 \leq Z \leq 1) = 2 \cdot P(Z \leq 1) - 1 = 2 \cdot 0.8413 - 1 = 0.6826$$

c. Tìm số nguyên $a$ nhỏ nhất sao cho

$$P(|X - 100| \leq a) \geq 0.9 ⇒ P(|Z| \leq \frac{a}{100}) \geq 0.9 ⇒ 2 \Phi\left(\frac{a}{100}\right) - 1 \geq 0.9 ⇒ \Phi\left(\frac{a}{100}\right) \geq 0.95 ⇒ \frac{a}{100} \geq 1.645 ⇒ a \geq 165$$

---

Nếu bạn cần lời giải tiếp theo cho Bài 7 hoặc muốn giải thích chi tiết thêm về câu nào, cứ nói nhé!

Dưới đây là lời giải chi tiết Bài 5 trong đề ôn tập Xác suất Thống kê – tình huống rút bút:

---

Bài toán gốc

Có một hộp 6 cây bút:

• 4 cây mới
• 2 cây đã dùng

Bạn A đến và lấy 2 cây bút ra sử dụng. Sau đó, B đến và lấy 2 cây bút để dùng.

Ta cần tính xác suất để B lấy được ít nhất 1 cây bút mới trong các trường hợp:

Trường hợp 1: A mang 2 cây bút đã dùng

• Sau khi A lấy đi 2 bút đã dùng, trong hộp còn 4 cây bút mới.
• B rút 2 bút từ 4 cây bút mới ⇒ xác suất B lấy ít nhất 1 cây mới = 1

✅ Kết luận: Xác suất = 1

---

Trường hợp 2: A thay 2 cây bút mới vào sau khi dùng

• Sau khi A dùng xong, A trả lại 2 cây bút mới vào hộp ⇒ hộp bây giờ có:

  • 4 bút mới (ban đầu)
  • +2 bút mới được thêm vào từ A
    ⇒ Tổng cộng 6 bút mới

• Khi B lấy bút, tất cả đều là bút mới, nên chắc chắn sẽ lấy ít nhất 1 bút mới

✅ Kết luận: Xác suất = 1

---

Trường hợp 3: A để lại 2 bút đã dùng vào hộp

• Sau khi A dùng xong, trả lại 2 bút đã dùng vào hộp
• Hộp trở lại trạng thái ban đầu: 4 mới + 2 đã dùng

Tính xác suất để B lấy ít nhất 1 bút mới khi rút 2 cây từ 6 cây trong hộp.

Ta sử dụng xác suất bổ sung:

$$P(\text{ít nhất 1 bút mới}) = 1 - P(\text{không có bút mới}) = 1 - P(\text{lấy 2 bút đã dùng})$$ $$P(\text{lấy 2 bút đã dùng}) = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{6}{2}} = \frac{1}{15}$$ $$\Rightarrow P(\text{ít nhất 1 bút mới}) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$$

✅ Kết luận: Xác suất = 14/15

---

Tóm tắt kết quả từng trường hợp

Trường hợp	Xác suất B lấy ít nhất 1 bút mới
A mang 2 bút đã dùng	1
A thay 2 bút mới vào	1
A để lại 2 bút đã dùng vào hộp	14/15

---

Nếu bạn muốn biểu diễn các xác suất này dưới dạng thập phân hoặc biểu đồ minh họa, mình có thể giúp tiếp nhé!