Domanda

Найдите все значения параметра
a
𝑎
, при которых уравнение
(
a
−
11
)
9
x
−
2
a
3
x
+
a
+
3

0
(
𝑎

1
)
9
𝑥

2
𝑎
3
𝑥
+
𝑎
+
3

0
имеет единственное решение на [0;1]. В ответе укажите сумму пяти наибольших целых чисел из полученного множества, сложенную с самым большим числом из этого множества.

Pensiero

Verifying solution classification and interpreting the question

The brute check shows that the classification holds for a wide range of values, so the parameter set is $S = (-\infty, 3/2]$ . Now, for $a = 1.5$ , the function has a double root inside $[1, 3]$ , so the count is 1. Regarding the phrase "имеет единственное решение на [0;1]", I think it refers to one solution within that interval, regardless of any roots outside.

Confirming solution set analysis

For $a \leq 1.5$ , the mapping ensures no solutions outside the interval $[0, 1]$ . When $a < 1.5$ , there are two real roots, but only one lies in $[1, 3]$ , which means the equation can satisfy the condition of "one solution in the interval $[0; 1]$ " while allowing others outside that range.

Determining the final solution set and addressing the task

For the equation "уравнение имеет единственное решение на отрезке [0;1]," I interpret it as there being exactly one solution in the interval $[0,1]$ . There can’t be two distinct solutions in $[0,1]$ that would contradict the constraints. Thus, the final set is $S = (-∞, 3/2]$ . To answer the task, we'll compute the sum of the five largest integers from this set and add the largest number, $3/2$ .

Clarifying the equation's structure

It seems like there's a duplication or misreading of the equation. The "11" might be a misinterpretation of "(1)" or maybe it’s from an equation label, like a numbered line. The structure of the equation is confusing, but the second version seems to be a correction or alternative with different formatting.

Analyzing equation variations and plausibility

I'm having trouble figuring out whether the "11" in the equation is a scanning glitch, but it's unlikely to be a constant. I tested an alternative equation, but the results are more complicated. It seems like the problem may involve subtler details. Maybe "11" is meant to be shown differently, with formatting changes.

Choosing between equation variants and cross-checking

Considering the consistent pattern, I’m leaning towards the equation with (a-1). The problem asks for values of "a" where the equation has a single solution on [0;1]. I suspect the result should be a neat integer, but the answers could be rational too. I’ll follow my reasoning and check against the final answer later.

Presenting final answer reasoning in Russian

After analyzing the equation, it's clear that the solution is based on the quadratic equation obtained by substitution. The conditions lead to one solution in [0,1], and we find the sum of the five largest integers, which totals -5. Adding 3/2, the final answer is -7/2 or -

Thought for 6m 26s

Risposta

Пусть уравнение

(a-1)\cdot 9^x - 2a\cdot 3^x + a + 3 = 0

имеет единственное решение на отрезке $[0;1]$ .

1. Подстановка

Положим

t = 3^x,\quad x\in[0;1] \;\Longrightarrow\; t\in[1;3].

Тогда $9^x = (3^x)^2 = t^2$ , и уравнение превращается в квадратное относительно $t$ :

(a-1)t^2 - 2a t + (a+3) = 0. \tag{*}

Ищем количество корней $t$ в отрезке $[1;3]$ .

2. Особый случай $a = 1$

При $a=1$ уравнение (*) вырождается в линейное:

0\cdot t^2 - 2\cdot 1\cdot t + (1+3) = 0 \;\Longrightarrow\; -2t + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; t = 2.

$t=2\in[1;3]$ , значит, есть ровно один корень $t$ , а значит, ровно один корень $x\in[0;1]$ .

Итак, $a=1$ подходит.

3. Случай $a \neq 1$ : анализ квадратика

Для

f(t) = (a-1)t^2 - 2a t + (a+3)

дискриминант:

D = (-2a)^2 - 4(a-1)(a+3) = 4a^2 - 4(a^2 + 2a - 3) = 4(3 - 2a) = 12 - 8a.

Чтобы были действительные корни по $t$ , нужно:

D \ge 0 \;\Longrightarrow\; 12 - 8a \ge 0 \;\Longrightarrow\; a \le \frac{3}{2}.

Теперь посмотрим значения $f(t)$ на концах отрезка $[1;3]$ :

При $t=1$ :
$f(1) = (a-1)\cdot 1^2 - 2a\cdot 1 + (a+3) = a-1 -2a + a + 3 = 2.$
То есть всегда $f(1) = 2 > 0$ , независимо от $a$ .
При $t=3$ :
$f(3) = (a-1)\cdot 9 - 2a\cdot 3 + (a+3) = 9a - 9 - 6a + a + 3 = 4a - 6.$

Если $a \le \frac{3}{2}$ , то

f(3) = 4a - 6 \le 4\cdot\frac{3}{2} - 6 = 6 - 6 = 0,

то есть $f(3) \le 0$ .

Для $a < \frac{3}{2}$ : $f(1)>0,\ f(3)<0$ ⇒ по теореме о промежуточном значении обязательно есть хотя бы один корень $t\in(1;3)$ .
Для $a = \frac{3}{2}$ : дискриминант $D=0$ , корень один и он как раз $t=3$ (легко проверить подстановкой) ⇒ один корень в $[1;3]$ .

Остаётся проверить, может ли быть два различных корня в $[1;3]$ .

Предположим, что оба корня $t_1$ и $t_2$ лежат в $[1;3]$ . Тогда на концах отрезка $t=1$ и $t=3$ функция квадратичная и, будучи вне промежутка между корнями, должна иметь одинаковый знак, равный знаку старшего коэффициента $(a-1)$ .

Но мы уже знаем, что:

f(1) = 2 > 0,\quad f(3) \le 0 \quad \text{при } a \le \frac{3}{2}.

То есть знаки разные, поэтому два корня внутри $[1;3]$ невозможны.

Итак, при каждом $a \le \frac{3}{2}$ в отрезке $[1;3]$ существует ровно один корень $t$ , следовательно, ровно один корень $x\in[0;1]$ .

Для $a > \frac{3}{2}$ : $D < 0$ , действительных корней нет ⇒ на $[0;1]$ решений нет.

Вывод по параметру:

a \le \frac{3}{2}.

Множество всех подходящих $a$ :

S = (-\infty,\; \tfrac{3}{2}].

4. Что просили в ответе

Нужно:

Взять пять наибольших целых чисел из множества $S$ .
Найти их сумму.
Прибавить к ней самое большое число из множества $S$ .

Самое большое число в $S$ — это

\max S = \frac{3}{2}.

Целые числа, лежащие в $S$ , — это все целые $\le 1$ . Пять наибольших из них:

1,\ 0,\ -1,\ -2,\ -3.

Их сумма:

1 + 0 - 1 - 2 - 3 = -5.

Теперь добавляем $\max S = \frac{3}{2}$ :

-5 + \frac{3}{2} = -\frac{10}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{7}{2}.

Ответ: $\boxed{-\dfrac{7}{2}}$ (то же самое, что $-3{,}5$ ).

Найдите все значения параметра a 𝑎 , при которы...

Domanda

Найдите все значения параметра
a
𝑎
, при которых уравнение
(
a
−
11
)
9
x
−
2
a
3
x
+
a
+
3

0
(
𝑎

1
)
9
𝑥

2
𝑎
3
𝑥
+
𝑎
+
3

Pensiero

Verifying solution classification and interpreting the question

Confirming solution set analysis

Determining the final solution set and addressing the task

Clarifying the equation's structure

Analyzing equation variations and plausibility

Choosing between equation variants and cross-checking

Presenting final answer reasoning in Russian

Risposta

1. Подстановка

2. Особый случай $a = 1$

3. Случай $a \neq 1$ : анализ квадратика

4. Что просили в ответе

Condividi questa Q&A

Domanda

Найдите все значения параметра a 𝑎 , при которых уравнение ( a − 11 ) 9 x − 2 a 3 x + a + 3

0 ( 𝑎

1 ) 9 𝑥

2 𝑎 3 𝑥 + 𝑎 + 3

Pensiero

Verifying solution classification and interpreting the question

Confirming solution set analysis

Determining the final solution set and addressing the task

Clarifying the equation's structure

Analyzing equation variations and plausibility

Choosing between equation variants and cross-checking

Presenting final answer reasoning in Russian

Risposta

1. Подстановка

2. Особый случай a=1a = 1a=1

3. Случай a≠1a \neq 1a=1: анализ квадратика

4. Что просили в ответе

Condividi questa Q&A

Найдите все значения параметра
a
𝑎
, при которых уравнение
(
a
−
11
)
9
x
−
2
a
3
x
+
a
+
3

0
(
𝑎

1
)
9
𝑥

2
𝑎
3
𝑥
+
𝑎
+
3

2. Особый случай $a = 1$

3. Случай $a \neq 1$ : анализ квадратика