Задача: выбрать объём выпечки $q$, чтобы максимизировать ожидаемую прибыль за день.

Цена: 370 ₽.
Себестоимость: 200 ₽, а если $q\ge 40$ — 180 ₽.
Непроданное выбрасывается (ликвидационной стоимости нет).
Плотность спроса задаётся выборкой (всего 59 наблюдений):
30,35,40,45,50,55,60,65,70 шт с частотами 2,3,5,8,10,11,12,6,2.

Модель

Прибыль при спросе $D$ и выпуске $q$:

$$\pi(q,D)=370\cdot \min(q,D) - c(q)\cdot q,\quad c(q)=\begin{cases} 200,& q<40\\ 180,& q\ge 40 \end{cases}$$

Ожидаемая прибыль:

$$\mathbb E[\pi(q,D)]=370\cdot \mathbb E[\min(q,D)]-c(q)\,q,$$

где вероятности берём как «случаев/59».

Результат (ключевые $q$)

$q$	Ожид. прибыль, ₽
40	7 381
45	8 017
50	8 403
55	8 475
60	8 202
65	7 553
70	6 715

(Лучшее среди $q<40$ ≈ 6 442 ₽ — заметно хуже, из-за высокой себестоимости 200 ₽.)

Оптимальное решение

Выпекать 55 тортов в день.
Ожидаемая прибыль ≈ 8 475 ₽/день (с учётом себестоимости 180 ₽ за штуку).

Дополнительно (для понимания рисков при $q=55$):

• Средний спрос ≈ 52.2 торта/день.
• Вероятность дефицита $P(D>55)$ ≈ 0.339.
• Ожидаемые списания $\mathbb E[(q-D)_+]$ ≈ 5.34 торта/день.

Если нужно, могу показать детальный расчёт для любого другого $q$ или построить график «ожидаемая прибыль vs. выпуск».

Ниже — всё, что нужно.

1) Таблица выигрышей-потерь

Параметры

Цена $p=370$ ₽. Себестоимость:

• $c=200$ ₽ за шт., если $q<40$;
• $c=180$ ₽ за шт., если $q\ge 40$.

Прибыль при спросе $D$ и выпуске $q$:

$$\pi(q,D)=p\cdot \min(q,D)-c(q)\,q.$$

Спрос (частоты → вероятности, всего 59 наблюдений):

D	30	35	40	45	50	55	60	65	70
случаев	2	3	5	8	10	11	12	6	2
$P(D)$	0.0339	0.0508	0.0847	0.1356	0.1695	0.1864	0.2034	0.1017	0.0339

(а) Таблица выигрышей (прибылей $\pi(q,D)$, ₽)

Строки — объём выпечки $q$, столбцы — спрос $D$.

q\D	30	35	40	45	50	55	60	65	70
30	5100	5100	5100	5100	5100	5100	5100	5100	5100
35	4100	5950	5950	5950	5950	5950	5950	5950	5950
40	3900	5750	7600	7600	7600	7600	7600	7600	7600
45	3750	5600	7450	8550	8550	8550	8550	8550	8550
50	3600	5450	7300	8400	9500	9500	9500	9500	9500
55	3450	5300	7150	8250	9350	10450	10450	10450	10450
60	3300	5150	7000	8100	9200	10300	11400	11400	11400
65	3150	5000	6850	7950	9050	10150	11250	12350	12350
70	3000	4850	6700	7800	8900	10000	11100	12200	13300

(б) Таблица потерь (упущенная выгода, «regret», ₽)

Потеря = (максимальная прибыль в столбце при данном $D$) – $\pi(q,D)$.

q\D	30	35	40	45	50	55	60	65	70
30	0	850	2500	3450	4400	5350	6300	7250	8200
35	1000	0	1650	2600	3550	4500	5450	6400	7350
40	1200	200	0	950	1900	2850	3800	4750	5700
45	1350	350	150	0	1000	1900	2850	3800	4750
50	1500	500	300	150	0	950	1900	2850	3800
55	1650	650	450	300	150	0	950	1900	2850
60	1800	800	600	450	300	150	0	950	1900
65	1950	950	750	600	450	300	150	0	950
70	2100	1100	900	750	600	450	300	150	0

---

2) Критерий EMV (макс. ожидаемой монетарной ценности)

Ожидаемая прибыль $\mathrm{EMV}(q)=\sum_D \pi(q,D)\,P(D)$:

$q$	EMV, ₽
30	5 100.00
35	5 887.29
40	7 380.51
45	8 016.95
50	8 402.54
55	8 474.58
60	8 201.69
65	7 552.54
70	6 715.25

Решение по EMV: выпускать $q=55$ тортов в день.
Ожидаемая прибыль ≈ 8 474.6 ₽.

Проверка через ожидаемую упущенную выгоду (EOL): минимальна также при $q=55$ (EOL≈1 388.14 ₽), что согласуется с EMV.

Разберём «военный госпиталь» как EOQ с по-ассортиментными (all-units) скидками.

Дано

• Годовой спрос $D=2600$ комплектов.
• Постоянные издержки на заказ $S=800$ руб./заказ.
• Хранение — $i=15\%$ от закупочной цены в год $\Rightarrow h(P)=0.15P$.
• Сетка скидок (за размер одного заказа $Q$):

интервал $Q$	цена
$1\ldots 99$	$P_0=350$
$100\ldots 399$	$P_1=330$
$400\ldots 999$	$P_2=320$
$\ge 1000$	$P_3=300$

---

a) Оптимальный размер заказа, число заказов и полная годовая стоимость

Для каждого ценового уровня считаем классический $\text{EOQ}(P)=\sqrt{\dfrac{2DS}{h(P)}}$ и проверяем, попадает ли он в соответствующий интервал.
Если не попадает — рассматриваем нижнюю границу интервала (минимум, чтобы получить цену). Полная годовая стоимость:

$$TC(Q,P)=D\,P+\frac{SD}{Q}+\frac{h(P)\,Q}{2}.$$

Расчёты (руб.):

• $P_0=350$, $h=52.5$, $EOQ\approx 281.5\notin[1,99]$ → не рассматриваем (доминирует уровень $P_1$).
• $P_1=330$, $h=49.5$, $EOQ\approx 289.9\in[100,399]$:
  $TC(289.9,330)\approx 872\,350$.
• $P_2=320$, $h=48$: нужен минимум $Q=400$:
  $TC(400,320)\approx 846\,800$.
• $P_3=300$, $h=45$: нужен минимум $Q=1000$:
  $TC(1000,300)\approx \mathbf{804\,580}$.

Вывод (a): оптимально брать $Q^\*=1000$ (получаем цену 300 руб.),
число заказов в среднем $D/Q^\*=2.6$ (≈ 3 поставки в год),
минимальная полная годовая стоимость $\approx 804\,580$ руб.

---

b) План заказов с целым числом поставок и нулевым остатком в конце года

Требование: $\sum Q_k = 2600$ и количество заказов — целое.
Поскольку цена 300 руб. действует при $Q_k\ge 1000$, выгодно закупать только с этой ценой, а для минимизации складских затрат — равными партиями (суммарные годовые издержки хранения при разных $Q_k$ равны $\tfrac{1}{2D}\sum h(P_k)Q_k^2$, минимум — при равных $Q_k$ внутри уровня цены).

Лучший план: 2 заказа по 1300 (оба $\ge 1000$ → цена 300).

Проверка затрат:

• Закупка: $2600\times 300=780\,000$.
• Оформление: $2\times 800=1\,600$.
• Хранение: $h=0.15\times 300=45$, годовые $= \dfrac{45\cdot 1300}{2}=29\,250$.

Итого $TC=780\,000+1\,600+29\,250=\mathbf{810\,850}$ руб.

Для сравнения, вариант «1000+1000+600» (две партии по 1000 по 300 руб. и одна 600 по 320 руб.) даёт $\approx 815\,031$ руб. — хуже из-за более высокой закупочной цены и больших складских.

---

Ответ

• (a) $Q^\*=1000$ шт., цена 300 руб., EMTC $\approx \mathbf{804\,580}$ руб./год, среднее число поставок $\approx 2.6$.
• (b) С учётом целочисленных поставок и нулевого остатка: 2 заказа по 1300 шт. (оба по 300 руб.); полная годовая стоимость $\approx \mathbf{810\,850}$ руб.

Ниже — расчёт по классической модели (EOQ + точка заказа с нормальным спросом).

Дано

• Средний недельный спрос $d_{\text{нед}}=255$, $\sigma_{\text{нед}}=52$.
• Время поставки $L=4$ недели → спрос за срок поставки:
  $\mu_L= d_{\text{нед}}L=1020$, $\ \sigma_L=\sigma_{\text{нед}}\sqrt{L}=104$.
• Затраты на заказ $S=26$ $.
• Годовые удельные затраты хранения $H=0.93$ $/ед.
• Годовой спрос $D = 52\cdot 255 = 13\,260$ ед.

---

a) EOQ, минимизирующий годовые издержки

$$Q^*=\sqrt{\frac{2DS}{H}} =\sqrt{\frac{2\cdot 13{,}260\cdot 26}{0.93}}\approx \mathbf{861}\ \text{ед.}$$

Дополнительно:

• число заказов в год $N=D/Q^*\approx 15.4$;
• средний цикл между заказами $\approx 52/N \approx 3.4$ недели.

---

b) Точка заказа при уровне обслуживания $P_1=99.4\%$

Для циклового уровня обслуживания:

$$R = \mu_L + z_{P_1}\,\sigma_L,\qquad z_{0.994}\approx 2.512.$$ $$R \approx 1020 + 2.512\cdot 104 \approx \mathbf{1282}\ \text{ед.}$$

(безопасный резерв $SS_{P_1}= z\sigma_L \approx \mathbf{261}$ ед.)

---

c) Стоимость обеспечения уровня $P_1$ и насколько она больше, чем при $P_2=96.5\%$

Затраты, зависящие только от уровня сервиса, — это годовые затраты на поддержание страхового запаса:

$$C_{\text{SS}}(P)=H\cdot SS=H\cdot z_P\,\sigma_L .$$

• $z_{0.994}\approx 2.512$:
  $SS_{P_1}\approx 261$ → $C_{\text{SS}}(P_1)\approx 0.93\cdot 261\approx \mathbf{241.8}\$/год$.
• $z_{0.965}\approx 1.812$:
  $SS_{P_2}\approx 188$ → $C_{\text{SS}}(P_2)\approx 0.93\cdot 188\approx \mathbf{174.8}\$/год$.

Разница: $\Delta C\approx \mathbf{67}\$/год$(за$P_1$сверх$P_2$).

---

d) Какому уровню обслуживания соответствует заданный запас $V=70$ ед.?

$$z=\frac{V}{\sigma_L}=\frac{70}{104}\approx 0.6745,\quad P=\Phi(z)\approx \mathbf{75.0\%}.$$

---

e) Безопасный резерв и риск дефицита при $P_3=91\%$

$$z_{0.91}\approx 1.341,\quad SS_{P_3}=z\sigma_L\approx 1.341\cdot 104\approx \mathbf{139}\ \text{ед.}$$

Риск дефицита на цикл $=1-P_3\approx \mathbf{9\%}$.

---

Итоги (кратко)

• $Q^*\approx 861$ ед.
• Точка заказа для $99.4\%$: $R\approx 1282$ ед.
• Цена повышения сервиса с $96.5\%$ до $99.4\%$: ≈ $67/год дополнительных затрат на страховой запас.
• $V=70$ ед. ↔ уровень обслуживания ≈ 75%.
• Для $91\%$: $SS\approx 139$ ед., риск дефицита ≈ 9%.