Найдите предел $$\underset{\mathrm{n}\to \infty }{...

Пусть

$$S_n=\sum_{k=1}^{n}\bigl\lfloor k\pi\bigr\rfloor,\qquad a_k=\{k\pi\}=k\pi-\lfloor k\pi\rfloor\in[0,1),$$

где $\{x\}$ — дробная часть. Тогда

$$S_n=\sum_{k=1}^{n}\bigl(k\pi-a_k\bigr)=\pi\frac{n(n+1)}2-\sum_{k=1}^{n}a_k.$$

---

1. Оценка суммы дробных частей

Числа $k\pi\pmod 1$ образуют равномерно-распределённую последовательность на $[0,1)$, потому что $\pi$ — иррациональное число. Поэтому среднее значение дробной части стремится к $1/2$:

$$\frac1n\sum_{k=1}^{n}a_k\;\longrightarrow\;\frac12\qquad(n\to\infty).$$

Следовательно

$$\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac n2+o(n).$$

---

2. Асимптотика $S_n$

$$S_n=\pi\frac{n(n+1)}2-\frac n2+o(n) =\frac{\pi}{2}n^{2}+\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac12\Bigr)n+o(n).$$

---

3. Предел искомой последовательности

$$\frac{S_n}{n^{2}} =\frac{\pi}{2} +\frac{\frac{\pi}{2}-\frac12}{n}+o\!\bigl(\tfrac1n\bigr) \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\boxed{\dfrac{\pi}{2}}.$$