卫星在椭圆轨道上的近地点受到的万有引力等于向心力吗？

Domanda

Pensiero

Analyzing elliptical orbits

Interestingly enough, in an elliptical orbit, the gravitational force always acts as the net centripetal force, ensuring the orbit's stability. This confirms that the gravitational force equals the centripetal force at any point along the orbit.

Understanding force dynamics

In an elliptical orbit, the gravitational force consistently points towards the focus, providing the centripetal force. Comparing centripetal and gravitational forces clarifies their radial acceleration relationship.

Revealing force dynamics

In an elliptical orbit, the gravitational force equates to the centripetal force. This balance ensures the orbit's stability as the net radial force.

Tracking orbital forces

OK, let's think it through: In an elliptical orbit, the gravitational force consistently acts as the centripetal force, ensuring the balance of forces at all points, including perigee and apogee.

Unraveling orbital dynamics

OK, let me see. In elliptical orbits, the relationship between gravitational and centripetal forces is more complex, as tangential acceleration also plays a significant role, unlike in circular orbits.

Understanding orbital dynamics

In an elliptical orbit, differentiating between radial and tangential acceleration reveals a clear distinction in their directions, especially since the curvature center diverges from the Earth.

Visualizing gravitational force

Taking a closer look at the elliptical orbit, the gravitational force has radial and tangential components. The radial component serves to maintain circular motion's centripetal force, while the tangential component directly impacts the object's speed.

Analyzing orbital forces

OK, let me see. At perigee, the satellite's tangential velocity renders the radial component of gravitational force zero, making the entire gravitational force act as the centripetal force.

Confirming the link

The gravitational force at perigee acts as the centripetal force, as tangential acceleration becomes zero due to the satellite's purely tangential velocity.

Confirming the link

OK, let me clarify. The gravitational force at perigee aligns with the centripetal force, since the satellite's velocity is purely tangential, negating any tangential acceleration.

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Risposta

在只有地心引力作用的理想情形下，整个轨道上的万有引力始终都是“提供向心加速度”的唯一力源。但如果从“向心力”这一术语所强调的“垂直于速度、使物体转弯”的含义来严格区分的话，只有在某些瞬间，万有引力的方向与速度方向完全垂直，这时我们才可以说“万有引力全部充当了向心力”。在椭圆轨道上，这种典型时刻便是近地点和远地点。

1. 为何说“万有引力提供向心力”？

在纯粹的牛顿引力两体问题中，除引力外并没有其他外力。
卫星所受到的合力就是引力，它指向地球中心。
卫星之所以能围绕地球做曲线运动（无论是椭圆、圆还是抛物线/双曲线），都需要一个指向轨道曲率中心的加速度——也即“向心加速度” $a_c$ 。对行星/卫星运动而言，这个向心加速度就是由引力提供。

因此，从“净力=向心力”的广义概念出发，可以说任何时刻的净向心力都来自万有引力。

2. 椭圆轨道上速度与引力方向的关系

然而，在一般椭圆轨道的绝大多数位置上，速度矢量并不与“地心—卫星”连线垂直。这就意味着：

万有引力尽管恒指向地心，但它在“与速度垂直的方向”(法向、指向心)和“与速度平行的方向”(切向)上，都可以分解出分量。
因为速度和半径之间存在一定夹角，引力不只是改变方向（提供向心加速度），同时还会有改变速度大小（切向加速度）的作用，使得卫星在轨道不同位置加速或减速。

只有在近地点和远地点这两个特殊位置，卫星的速度方向恰好与半径方向（地心—卫星连线）垂直。此时，引力对速度的切向分量为零，不再改变卫星速度的大小，因此整条引力就充当“向心力”。

近地点：卫星线速度最大，且与半径向量垂直；此时引力全部指向轨道曲率中心，无切向加速度。
远地点：卫星线速度最小，且同样与半径向量垂直；万有引力也只提供向心加速度。

换言之，在近地点（和远地点）这一瞬间，万有引力的确等于向心力；在轨道上其他位置，万有引力除了提供“向心分量”之外，还会有一部分“切向分量”来改变卫星速度的大小。

3. 结论

椭圆轨道上任意时刻：卫星受的唯一外力是万有引力，且它总是“提供使轨道弯曲的那部分力”（向心分量）。
近地点/远地点时刻：万有引力方向与速度方向完全垂直，故此时“万有引力=向心力”；这一刻并无切向分量来加速或减速。
其他时刻：万有引力要同时分解为向心分量和切向分量，以便既改变卫星的速度方向，又改变速度大小，从而满足椭圆轨道规律。

所以，题目所问的“卫星在椭圆轨道近地点时，万有引力是否等于向心力？”——答案是“是”，但需要注意它只在近地点（和远地点）那一瞬间完全充当向心力；在轨道上其他位置则同时还会有切向加速度的分量存在。