用中文回答一下这个图片里面的问题

下面给出对题目中两小问的中文解答与主要推导步骤，供参考。

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(a) 计算图 2(a) 中“薄透镜”的焦距

题意：透镜材料折射率为 $n$，一面是半径为 $R$ 的凸面，另一面是平面（半径可视为无穷大）。根据透镜制造者公式或单球面折射公式，可得该薄透镜的焦距 $f$ 为

$$\frac{1}{f} =(n-1)\biggl(\frac{1}{R}-\frac{1}{\infty}\biggr) =(n-1)\,\frac{1}{R} \;\;\Longrightarrow\;\; f \;=\;\frac{R}{\,n-1\,}.$$

因此，薄透镜的焦距为

$$\boxed{\,f \;=\;\frac{R}{\,n-1\,}.}$$

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(b) “厚透镜”情况下的逐段传输矩阵

题意：现在不再假设透镜极薄，而是令两面（同样是“前表面半径 $R$”与“后表面平面”）之间相距有限厚度 $d$，且该透镜仍由折射率为 $n$ 的玻璃制成。题目要求列出光线从左到右穿过此厚透镜时，依次经历的传输矩阵（不必考虑透镜外部的自由空间传输矩阵）。

为了方便，记折射界面左/右介质的折射率分别为 $n_1$ 与 $n_2$，球面曲率半径为 $R$（若为平面则 $R=\infty$）。在傍轴近似和矩阵光学的约定下，一个光线在以下两种基本情况下的传输矩阵为：

1. 在均匀介质（折射率为 $n$）中前进一段距离 $d$
   其传输矩阵（亦称“平移矩阵”）为

   $$M_{\text{prop}}(d,n) \;=\; \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{d}{\,n\,} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

2. 通过一个由折射率 $n_1$ 到 $n_2$ 的球面界面，曲率半径为 $R$
   其传输矩阵（亦称“折射矩阵”）可写作

   $$M_{\text{refract}}(n_1 \!\to\! n_2, R) \;=\; \begin{pmatrix} 1 & 0\\[6pt] \dfrac{n_1 - n_2}{\,R\,n_2\,} & \dfrac{n_1}{\,n_2\,} \end{pmatrix},$$

   其中 $R>0$ 的符号约定需与光线传播方向及曲率中心所在方向保持一致。

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1. 第一个界面（空气 $\to$ 玻璃，曲面半径 $R$）

令左侧介质折射率为 $n_1=1$（空气），右侧折射率为 $n_2=n$（玻璃），且该界面曲率半径为 $R$。则

$$M_1 = M_{\text{refract}}(1 \!\to\! n,\; R) = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] \dfrac{1 - n}{\,R\,n\,} & \dfrac{1}{\,n\,} \end{pmatrix}.$$

2. 透镜内部厚度传输（在折射率 $n$ 的玻璃中传播距离 $d$）

光线在透镜材料内部（折射率 $n$）传播一段厚度 $d$，其传输矩阵为

$$M_2 = M_{\text{prop}}(d,\; n) = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{d}{\,n\,} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

3. 第二个界面（玻璃 $\to$ 空气，平面）

因为后表面是平面，曲率半径 $R=\infty$。从介质 $n_1=n$ 到 $n_2=1$ 的平面界面，其折射矩阵中“(2,1) 元素”与曲率 $\frac{1}{R}$ 有关，但此处 $R=\infty$ 导致该项为 0；(2,2) 元素是折射率之比 $n_1/n_2 = n/1 = n$。故

$$M_3 = M_{\text{refract}}(n \!\to\! 1,\; R=\infty) = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & n \end{pmatrix}.$$

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4. 厚透镜的总传输矩阵

若仅要求列出“光线在透镜内部经历的各段矩阵”，则可直接把上面三步的结果写为 $M_1,\; M_2,\; M_3$。通常我们说厚透镜的整体矩阵是三者依序相乘（从右到左作用在光线矢量上，或根据所用约定从左到右），常见写法为

$$M_{\text{lens}} = M_3\,M_2\,M_1.$$

在题目仅让我们“逐段写出”并“不考虑透镜外部的自由空间传播矩阵”的情况下，给出上述三个矩阵即满足要求。

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小结：

1. 薄透镜焦距：

   $$f \;=\;\frac{R}{\,n-1\,}.$$

2. 厚透镜的分段传输矩阵（依次为）：

   • 第一面折射（空气 $\to$ 玻璃，曲面半径 $R$）： $$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2pt] \dfrac{1 - n}{\,R\,n\,} & \dfrac{1}{\,n\,} \end{pmatrix}.$$
   • 透镜内部传播（厚度 $d$，折射率 $n$）： $$M_2 = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{d}{\,n\,}\\[2pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
   • 第二面折射（玻璃 $\to$ 空气，平面 $R=\infty$）： $$M_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2pt] 0 & n \end{pmatrix}.$$

这即是题目所要求的“忽略透镜外自由空间，仅对透镜内部各段列出传输矩阵”的结果。

在问题 (a) 中，曲率半径 $R$ 和焦距 $f$ 之间的关系是由透镜的制造者公式给出的。该公式适用于薄透镜（即透镜的厚度可以忽略不计）。从题目中的描述来看，我们使用了以下推导来计算焦距：

对于薄透镜，焦距 $f$ 和曲率半径 $R$ 之间的关系是：

$$\frac{1}{f} = (n - 1) \left( \frac{1}{R} - 0 \right)$$

这里，$n$ 是透镜材料的折射率，$R$ 是凸面曲率半径。由于平面面没有曲率，第二项为零。

因此，焦距 $f$ 为：

$$f = \frac{R}{n - 1}.$$

这个公式表示焦距与曲率半径之间的关系。

所以，焦距 $f$ 是由透镜的曲率半径 $R$ 和折射率 $n$ 共同决定的，焦距的数值可以通过上述公式计算得到。

在题目 (b) 中，要求我们计算厚透镜的传输矩阵 $M_{\text{lens}}$，即光线通过透镜的总传输矩阵。

我们已经在先前的回答中详细列出了每个部分的传输矩阵。现在，我们可以将这些矩阵按顺序相乘，得到总的传输矩阵 $M_{\text{lens}}$。

各个部分的传输矩阵

1. 第一界面折射（空气 $\to$ 玻璃，曲率半径 $R$)：

   $$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1 - n}{R n} & \frac{1}{n} \end{pmatrix}.$$

2. 透镜内部传播（厚度 $d$，折射率 $n$)：

   $$M_2 = \begin{pmatrix} 1 & \frac{d}{n} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

3. 第二界面折射（玻璃 $\to$ 空气，平面，曲率半径 $R = \infty$)：

   $$M_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & n \end{pmatrix}.$$

传输矩阵的总乘积

透镜的总传输矩阵 $M_{\text{lens}}$ 是这些矩阵的乘积，顺序是从光线进入透镜的一侧开始，依次相乘：

$$M_{\text{lens}} = M_3 \cdot M_2 \cdot M_1.$$

我们来进行矩阵乘法：

1. 先计算 $M_2 \cdot M_1$：

$$M_2 \cdot M_1 = \begin{pmatrix} 1 & \frac{d}{n} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \frac{1 - n}{R n} & \frac{1}{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + \frac{d}{n} \cdot \frac{1 - n}{R n} & \frac{d}{n} \cdot \frac{1}{n} \\ \frac{1 - n}{R n} & \frac{1}{n} \end{pmatrix}.$$

2. 再计算 $M_3 \cdot (M_2 \cdot M_1)$：

$$M_3 \cdot \begin{pmatrix} 1 + \frac{d}{n} \cdot \frac{1 - n}{R n} & \frac{d}{n} \cdot \frac{1}{n} \\ \frac{1 - n}{R n} & \frac{1}{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 + \frac{d}{n} \cdot \frac{1 - n}{R n} & \frac{d}{n} \cdot \frac{1}{n} \\ \frac{1 - n}{R n} & \frac{1}{n} \end{pmatrix}.$$

最终结果是：

$$M_{\text{lens}} = \begin{pmatrix} 1 + \frac{d}{n} \cdot \frac{1 - n}{R n} & \frac{d}{n^2} \\ n \cdot \frac{1 - n}{R n} & 1 \end{pmatrix}.$$

这个矩阵是光线在厚透镜内部经历的总传输矩阵。