猴子妈妈采来了一篮桃子，她让小猴子数一数共采了多少桃子。小猴子3个3个地数，最后多出一个，它就把多出...

这是一个典型的“余数问题”/“中国剩余定理”类型的题目。题目叙述可以翻译成如下三个条件：

1. 第一次数（每3个一组）：共有 $N$ 个桃子，分完后还余下 1 个，所以

   $$N \equiv 1 \pmod{3}.$$

   （多出的 1 个被扔掉后，还剩 $N - 1$ 个）

2. 第二次数（每5个一组）：此时篮子里还剩 $N - 1$ 个桃子，把它们分成每5个一组，结果仍然余 1 个，所以

   $$(N - 1) \equiv 1 \pmod{5} \quad \Longrightarrow \quad N \equiv 2 \pmod{5}.$$

   （多出的 1 个又被扔掉后，还剩 $N - 2$ 个）

3. 第三次数（每7个一组）：接着把剩下的 $N - 2$ 个桃子，分成每7个一组，结果还是余 1 个，所以

   $$(N - 2) \equiv 1 \pmod{7} \quad \Longrightarrow \quad N \equiv 3 \pmod{7}.$$

于是我们要同时满足：

下面给出一种简明的解法思路——直接枚举或用同余逐次合并：

1. 与 3 相关的同余：
   $N \equiv 1 \pmod{3}$
   即 $N$ 可能取值为

   $$1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, \dots$$

2. 再满足与 5 相关的同余：
   $N \equiv 2 \pmod{5}$
   即 $N$ 可能取值为

   $$2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, \dots$$

   将这两组数去找公共值，可以发现它们的交集从小到大依次是

   $$7, 22, 37, 52, \dots$$

   也就是满足前两个条件的 $N$ 形如 $N = 7 + 15k$（因为 3 和 5 的最小公倍数是 15）。

3. 最后还要满足与 7 相关的同余：
   $N \equiv 3 \pmod{7}$
   即 $N$ 可能取值为

   $$3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, \dots$$

   那么在前面得到的“候选”交集中，再看哪个数还满足 $N \equiv 3 \pmod{7}$。检查可以发现：

   • 7（对 7 来说余 0），不符合；
   • 22（对 7 来说余 1），不符合；
   • 37（对 7 来说余 2），不符合；
   • 52（对 7 来说余 3），符合！

因此，满足全部三个条件的最小正整数解是 $N = 52$。这也就回答了“小猴子数了三次还没弄清楚，这篮子里至少有多少桃子”——最少有 52 个桃子。