點到直線距離計算

Calculating the distance

I'm converting the line equation to standard form and applying the distance formula to find the distance from the point (1, $\sqrt{3}$) to the line $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$.

Thought about point-line distance calculation 花的時間為 15 秒

要計算點 $(1, \sqrt{3})$ 到直線 $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x$ 的距離，可以按照以下步驟：

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1. 將直線方程式轉為一般式

給定直線：

$$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$$

可以寫成：

$$-\frac{\sqrt{3}}{3}x + y = 0$$

為了計算方便，將上式兩邊同乘以 3，可得：

$$-\sqrt{3} \, x + 3y = 0$$

因此，直線的一般式為：

$$A x + B y + C = 0 \quad \text{(其中 } A = -\sqrt{3},\, B = 3,\, C = 0\text{)}$$

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2. 使用「點到直線距離公式」

對於一條直線 $Ax + By + C = 0$ 與一個點 $(x_0, y_0)$，其距離 $d$ 為：

$$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

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3. 代入數值計算

點 $(x_0, y_0) = (1, \sqrt{3})$，直線參數 $A = -\sqrt{3}, B = 3, C = 0$。

1. 計算分子：

$$|A x_0 + B y_0 + C| = \bigl|(-\sqrt{3})(1) + 3(\sqrt{3}) + 0\bigr| = \bigl|-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}\bigr| = |2\sqrt{3}| = 2\sqrt{3}.$$

2. 計算分母：

$$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.$$

3. 計算距離：

$$d = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1.$$

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4. 結論

$$\boxed{ \text{距離為 } 1 }$$