Удвоенная сумма корней

Domanda

Дан приведённый кубический многочлен P(x). Известно, что

P(24)+P(27)=P(25)+P(26).

Найдите удвоенную сумму всех корней P(x).

Pensiero

Summing the roots

I'm working through a cubic polynomial $P(x)$ and found that the sum of the roots is $-a$ . Thus, doubling the sum leads to $-2a$ .

Breaking down the equation

I’m isolating terms from the equation $P(24) + P(27) = P(25) + P(26)$ , canceling out $2c$ , and substituting values for $x^3$ terms to simplify.

Simplifying

I’m finalizing the sums for $L$ and $R$ , incorporating squared and linear terms, and ensuring coefficients for $b$ are accurately matched. Progress is steady in refining these expressions.

Ensuring accuracy

I’m meticulously verifying the sums for $L$ and $R$ by recalculating the addition of $x^3$ terms, avoiding errors, and ensuring coefficients for $b$ align precisely.

Isolating the terms

I’m simplifying $L$ and $R$ , canceling identical terms, and grouping $a$ and constants to form a clear expression for isolating $a$ .

Revisiting arithmetic errors

I'm re-examining the sums for $L$ and $R$ to spot any mistakes or differences. Ensuring $a$ results in an integer or rational number is crucial.

Confirming calculations

I’m meticulously checking the sums of $x^3$ terms to ensure the arithmetic is spot on. The difference found equals 306, indicating consistent progress towards isolating $a$ .

Breaking down the details

I’m calculating the differences in squared terms, simplifying the expression, and isolating $a$ to verify its accuracy. The result is $-76.5$ , a fraction, which is acceptable.

Confirming accuracy

I’m working through the arithmetic and verifying the consistency of the differences in squares and cubes. The final result is 153, which aligns perfectly with the problem's requirements.

23 सेकंड के लिए Thought about кубический многочлен

Risposta

Найдём сначала общую форму кубического многочлена $P(x)$ . Раз он «приведённый», то

P(x) \;=\; x^3 \;+\; a\,x^2 \;+\; b\,x \;+\; c,

где $a,b,c$ — некоторые коэффициенты (при этом старший коэффициент равен 1).

Шаг 1. Запись условия

По условию дана равенство:

P(24) + P(27) \;=\; P(25) + P(26).

Подставим в него явный вид $P(x)$ .

Левая часть:

P(24) + P(27) = \bigl(24^3 + a\,24^2 + b\,24 + c\bigr) + \bigl(27^3 + a\,27^2 + b\,27 + c\bigr).

Сгруппируем:

= \bigl(24^3 + 27^3\bigr) + a\bigl(24^2 + 27^2\bigr) + b\bigl(24 + 27\bigr) + 2c.

Правая часть:

P(25) + P(26) = \bigl(25^3 + a\,25^2 + b\,25 + c\bigr) + \bigl(26^3 + a\,26^2 + b\,26 + c\bigr).

Сгруппируем аналогично:

= \bigl(25^3 + 26^3\bigr) + a\bigl(25^2 + 26^2\bigr) + b\bigl(25 + 26\bigr) + 2c.

Условие $P(24)+P(27)=P(25)+P(26)$ даёт:

\bigl(24^3 + 27^3\bigr) + a\,\bigl(24^2 + 27^2\bigr) + b\,\bigl(24 + 27\bigr) + 2c \;=\; \bigl(25^3 + 26^3\bigr) + a\,\bigl(25^2 + 26^2\bigr) + b\,\bigl(25 + 26\bigr) + 2c.

Свободные члены $2c$ сокращаются, остаётся:

24^3 + 27^3 \;+\; a\,\bigl(24^2 + 27^2\bigr) \;+\; b\,(24 + 27) \;=\; 25^3 + 26^3 \;+\; a\,\bigl(25^2 + 26^2\bigr) \;+\; b\,(25 + 26).

Шаг 2. Подсчитаем числовые части

Кубы:
$24^3 = 13824, \quad 27^3 = 19683, \quad 25^3 = 15625, \quad 26^3 = 17576.$
Тогда
$24^3 + 27^3 = 13824 + 19683 = 33507, \quad 25^3 + 26^3 = 15625 + 17576 = 33201.$
Квадраты:
$24^2 = 576, \quad 27^2 = 729, \quad 25^2 = 625, \quad 26^2 = 676.$
Тогда
$24^2 + 27^2 = 576 + 729 = 1305, \quad 25^2 + 26^2 = 625 + 676 = 1301.$
Линейные суммы:
$24+27 = 51, \quad 25+26 = 51.$

Подставляя эти значения, получаем:

(33507) + a\,(1305) + b\,(51) \;=\; (33201) + a\,(1301) + b\,(51).

Сразу видно, что слагаемые $b \cdot 51$ взаимно уничтожаются, и остаётся:

33507 \;+\; 1305\,a \;=\; 33201 \;+\; 1301\,a.

Шаг 3. Находим $a$

Перенесём всё, что связано с $a$ , в одну сторону, а числа — в другую:

33507 - 33201 = 1301\,a \;-\; 1305\,a,

33507 - 33201 = 306, \quad 1301\,a - 1305\,a = -4\,a.

Отсюда

306 = -4\,a \quad\Longrightarrow\quad a = -\frac{306}{4} = -76{,}5.

Шаг 4. Сумма корней и ответ

Для приведённого кубического многочлена

x^3 \;+\; a\,x^2 \;+\; b\,x \;+\; c

сумма всех его корней равна $-a$ (по теореме Виета).

Мы нашли $a = -76{,}5$ . Значит,

\text{сумма корней} = -a = -\bigl(-76{,}5\bigr) = 76{,}5.

Задача просит найти удвоенную сумму корней, то есть $2 \times (\text{сумма корней})$ . Следовательно,

2 \cdot 76{,}5 \;=\; 153.

Ответ

\boxed{153}.