Математическое ожидание и дисперсия

Xem xét các sắp xếp tròn

OK, tôi đang nghĩ đến việc có n đứa trẻ xếp thành vòng tròn, mỗi đứa trẻ có một chiều cao khác nhau. Mình đang tìm hiểu chủ yếu là xác suất và phương sai tính bằng cách giả sử mọi sắp xếp đều có khả năng xảy ra.

Xác định khả năng và phương sai

Tôi đang nghĩ đến việc ước lượng và phương sai cho số lượng cực đại địa phương trong một trong n! sắp xếp tròn. Để dễ dàng, tôi giả định một đứa trẻ cố định và các đứa trẻ còn lại sắp xếp ngẫu nhiên.

Xác định xác suất

Mỗi đứa trẻ có xác suất 1/3 trở thành cực đại địa phương so với hai đứa trẻ xung quanh. Sự không độc lập cần được tính toán chi tiết.

Tính toán bình phương và phương sai

Tôi đang ước lượng bình phương và phương sai của số lượng cực đại địa phương, cần phải lưu ý đến sự phụ thuộc giữa các đứa trẻ trong sắp xếp tròn.

Xấm xấp và mối quan hệ

Đang thảo luận về cách xa đứa trẻ hoặc khoảng cách giữa chúng ảnh hưởng đến mưu cầu chiến thắng, làm thế nào để tối ưu hóa việc này.

Tính toán cặp trùng lặp

Nếu i và j không đối diện trực tiếp, tức là |A - B| <= 2 hoặc n - |A - B| <= 2. Nếu không, ba của chúng sẽ độc lập và không chồng chéo.

Đếm cặp trùng lặp

Tôi đang liệt kê cặp trùng lặp trồng trượt của chuỗi tròn, sau đó sử dụng công thức phương sai đặc trưng để tính toán, chú ý đến sự phụ thuộc và phương sai từng cặp.

Xem xét sự phụ thuộc

Tôi đang đánh giá Cov(X_i, X_j} với cặp gần gũi bằng việc tính toán xác suất X_i và X_j đồng thời lớn hơn chiều cao của các vị trí lân cận trong chuỗi tròn.

Xử lý sự rối loạn

Đang xử lý sự phụ thuộc ngày và đêm, không chỉ là sự tương tác, mà còn nhiều yếu tố khác nữa tại khu vực cận biên και cực lớn.

Tính toán phương sai

Tôi đang làm phép tính Cov(X_i, X_j} cho cặp gần nhau. Điều này đưa đến Cov(X_i, X_j} = -1/9 và phương sai Var(X) = n * 2/9 cộng với tổng Covariances.

Điều chỉnh phép tính

Đang điều chỉnh tổng Covariances cho Var(X). Sự khác biệt giữa các cặp gần nhau và không gần nhau được xem xét để đảm bảo phương sai Var(X) không bằng không.

Khám phá sự khác biệt

Lấy ví dụ với n=4, tôi đang nghĩ đến khả năng có hai cực đại địa phương trong một chuỗi tròn, vi phạm giả thuyết trước đó rằng X_i và X_j không thể cùng bằng 1.

Khám phá khả năng

Đang làm việc trên việc n=4, tôi thấy có thể có hai cực đại địa phương trong chuỗi tròn mà không có bất kỳ đỉnh nào tiếp giáp với nhau.

Xem xét cấu trúc liên kết

Khi n=4, nếu X_i và X_j là cực đại địa phương, chúng có thể nằm ở vị trí đối diện, mà không đơn giản là độc lập hay tương tác lân cận.

Điều chỉnh mô hình

Khi đánh giá sự phụ thuộc giữa các đứa trẻ không đối diện, tôi tính toán E[X_i X_j} =1/9, vì chúng độc lập. Cho cặp gần, có sự phụ thuộc giữa các đỉnh.

Điều chỉnh phương sai

Công thức phương sai Var(X) đang được điều chỉnh để đảm bảo rằng sự phụ thuộc giữa các cặp gần nhau và không gần nhau được xử lý một cách chính xác, với kết quả không trái ngược với kỳ vọng.

Điều chỉnh tính toán

Tôi đang làm việc với công thức phương sai Var(X), cần coi xét sự phụ thuộc giữa các cặp gần nhau và không gần nhau trong sắp xếp tròn, nhằm bảo đảm kết quả không trái ngược với kỳ vọng.

Điều chỉnh công thức

Đang làm việc với công thức phương sai Var(X), cần xét sự phụ thuộc giữa các cặp gần nhau và không gần nhau trong sắp xếp tròn để đảm bảo rằng kết quả không trái ngược với kỳ vọng.

Điều chỉnh sự hiểu biết

Tôi đang làm việc lại với công thức phương sai Var(X), cần lưu ý sự phụ thuộc giữa các cặp gần nhau và không gần nhau trong sắp xếp tròn để đảm bảo kết quả không trái ngược với kỳ vọng.

Điều chỉnh công thức

Tôi đang làm việc lại với công thức phương sai Var(X), cần lưu ý sự phụ thuộc giữa các cặp gần nhau và không gần nhau trong sắp xếp tròn để đảm bảo kết quả không trái ngược với kỳ vọng.

L tập tính

Tôi đang tính tổng các cặp có ba chồng chéo, cặp gần nhau, và những cặp còn lại trên chuỗi tròn.

Xác định phạm vi và tách biệt

Đang tìm hiểu cách xa nhau trong sắp xếp tròn. Xác định số cặp tại mỗi khoảng cách riêng biệt và chung cho các vị trí cụ thể.

Đếm cặp có ba chồng

Đang tìm số cặp có ba chồng chéo, cặp gần nhau, và những cặp xa nhau nhưng có phân chia khác biệt.

Xây dựng phương sai

Tôi đang nhắm vào phương sai Var(X) bằng cách tính toán E[X_i X_j} cho mỗi cặp, từ đó xây dựng sự khác biệt giữa cặp gần nhau và không gần nhau.

Xác định cặp có ba chồng

Tôi đang làm việc với các cặp có ba chồng chéo, cặp gần nhau, và những cặp còn lại trên chuỗi tròn. Cảm ơn bạn đã giúp tôi hiểu rõ hơn về vấn đề này.

Suy nghĩ về sự tách biệt

Tôi đang tính toán E[X_i X_j} cho cặp xa nhau, cần lưu ý rằng khi n=5, các đỉnh X_i và X_j là cực đại địa phương và cách xa ít nhất hai vị trí.

Tính toán xác suất

Đang làm việc với xác suất là h_i và h_{i+2} là cực đại địa phương trong các bộ ba tương ứng, chia sẻ h_{i+1}. Những tính toán này khiến tôi suy nghĩ nhiều hơn.

Huấn luyện chó cưng

Tôi đang tập huấn chó cưng, sử dụng lệnh cơ bản như sit, stay, come, và heel. Học thông qua trò chơi và khen thưởng.

Ước tính sắp xếp

Tôi đang tính tổng sắp xếp các vị trí sao cho h_i là cực đại địa phương trong bộ ba tương ứng, chia sẻ h_{i+1}.

Dự đoán giá trị tương đối

Tôi đang hình dung giá trị tương đối của B và D, để hiểu cách tính toán tổng cộng số sắp xếp sao cho h_i là cực đại địa phương trong bộ ba tương ứng, chia sẻ h_{i+1}.

Phân tích tỷ lệ

Đang làm việc với tỷ lệ 3:2, xác minh rằng 2x2<18x2 và 2x2<18x3. Điều này khẳng định tỷ lệ 3:2 vẫn giữ nguyên.

Tính toán permutations

Đặt B=5 và D=4, phân bổ A, C, E cho 1,2,3 theo mọi khả năng, được 3!=6 phân sắp xếp.

Phân tích permutations

Đặt D=5, B=4, phân bổ A, C, E cho 1,2,3 trong mọi khả năng, có 3!=6 phân sắp xếp. Tổng phân sắp xếp là 12.

Lưu ý sự phụ thuộc

Đang xác định sự phụ thuộc giữa h1 và h3 trong sắp xếp không đối diện cho n=4. H1 và h3 phải lớn hơn h2 và h4, đảm bảo cả hai đều là cực đại địa phương.

Xác định điều kiện

H1 và h3 cần phải lớn hơn h2 và h4, nhưng chúng không thể nằm cạnh nhau hoặc đối diện trong chuỗi tròn để thỏa mãn yêu cầu về cực đại địa phương.

Tương lai của kỳ quay

Chuyện gì sẽ xảy ra khi vòng quay bị ngắt giữa số chia? Mình đang đoán một số còn lại sẽ xuất hiện trong lần quay tiếp theo. Câu trả lời là có!

Đánh giá các lựa chọn

Đang xem xét tất cả các cách sắp xếp bảng lego 2x3, cụ thể tất cả các lựa chọn nơi một viên gạch dài quay 180 độ.

Xác định phân bổ

Bây giờ tôi đang tính toán số phân bổ nơi hai viên gạch dài L1 và L2 không tiếp xúc và cách xếp chúng sao cho một viên gạch dài quay 180 độ.

Tìm mối tương quan

Đang xác định mối quan hệ giữa A và B trong chuỗi tròn, tính toán kỳ vọng E[X_i X_j} và phân hòa giữa các cặp gần nhau và xa nhau.

Đo lường tương tác

Tôi đang đo lường sự ảnh hưởng lẫn nhau giữa các cặp có ba chồng chéo và phân sắp xếp. Điều này giúp đánh giá nhanh phương sai Var(X) trong sắp xếp tròn.

Xem xét tỷ lệ phần trăm

Tôi đang tương tác với công thức Var(X), tính toán E[X_i X_j} cho từng cặp từ đó đo lường sự khác biệt giữa các cặp gần nhau và không gần nhau trong sắp xếp tròn.

Phân tích phân bố

Đang làm việc với phân bố độc lập của n con, xác suất mỗi con nhận được một phần là 1/n.

Kiểm tra sự khác biệt

Đang đánh giá các cặp có ba chồng chéo và phân sắp xếp trong sắp xếp tròn để tính toán phương sai Var(X). Cung cấp cái nhìn tổng quan về sự độc lập và chia sẻ vị trí.

Ước tính tổng đỉnh

Đang cố gắng ước tính tổng số đỉnh của một đa diện n chiều đều với các cạnh có độ dài 1,2,...,n bằng công thức S=(n^3-n)/12.

Khám phá vị trí

Đang tìm hiểu xếp hạng của B và D, với B > D, A, C trong sắp xếp. D > C, E, và A, E có thể đặt bất kỳ.

Xếp hạng và sắp xếp

Tôi đang sắp xếp các yếu tố sao cho B > D > C, B > A, D > E, và A, E có thể sắp xếp tự do nhưng phải nhỏ hơn B.

Sắp xếp và xếp hạng

Đang sắp xếp các yếu tố sao cho B > D > C, B > A, D > E, và A, E có thể sắp xếp tự do nhưng phải nhỏ hơn B.

Đánh giá cơ hội

Tôi đang tìm hiểu khả năng chia dầu ăn còn lại sau khi mỗi đứa trẻ lấy 1 hoặc 2 lít, và kết quả là 36 cốc.

Xác định cặp gần nhất

Đang tìm kiếm các cặp nằm gần nhau nhất trong một tập hợp con từ n phần tử. Điều này gây thú vị khi mối quan hệ giữa chúng có thể giảm bớt tính phụ thuộc.

Xác định số sắp xếp

Đang tính toán số sắp xếp sao cho hai cực đại địa phương không đối diện nhau, với n = 5! cửa sổ thù.

Đang làm việc trên công thức

Công thức Var(X) đang được cố gắng hoàn thiện. Phân tích covariance giữa các cặp sẽ giúp rõ ràng hơn sự khác biệt giữa các cặp gần nhau và không gần nhau trong sắp xếp vòng tròn.

Hợp nhất công thức

Tôi đang làm việc với Var(X) và đang hy vọng xóa bỏ công thức Var(X). Đang đối phó với số liệu phức tạp và có vẻ như có vấn đề với phần số học.

Nghiên cứu sự phụ thuộc

Công thức cho Var(X) đang được hoàn thiện bằng cách phân tích sự phụ thuộc giữa các cặp yếu tố. Đang đối mặt với sự khác biệt rõ ràng giữa các cặp gần nhau và không gần nhau trong sắp xếp vòng tròn.

Phân tích sau

Nghiên cứu công thức Var(X) cho n=4 so với n>=5, kết luận rằng n<=4 không dùng được công thức lớn.

Suy nghĩ cho 1m 18s

Рассмотрим задачу о том, как дети в кругу могут назвать себя высокими, то есть быть выше двух своих соседей. Пусть $n$ — количество детей в кругу. Мы хотим найти математическое ожидание и дисперсию количества таких детей.

Математическое ожидание

Для каждого ребенка вероятность того, что он выше своих двух соседей, равна $\frac{1}{3}$. Это связано с тем, что при случайном расположении высот, ребенок будет максимальным среди трех (себя и двух соседей) с вероятностью $\frac{1}{3}$.

Пусть $X$ — количество детей, которые назовут себя высокими. Тогда математическое ожидание $E[X]$ вычисляется как сумма ожиданий для каждого ребенка:

Дисперсия

Для вычисления дисперсии $\text{Var}(X)$ используем формулу:

Где ( E[X^2] = E\left[ \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 \right] = \sum_{i=1}^{n} E[X_i^2] + 2 \sum_{i < j} E[X_i X_j] ]

Поскольку $X_i$ — индикаторные случайные величины (принимают значения 0 или 1), то \text{Var}(X_i) = E[X_i] (1 - E[X_i}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}.

Однако события $X_i$ и $X_j$ зависимы, если дети $i$ и $j$ находятся близко друг к другу в кругу (например, соседствуют). В таких случаях ковариация $\text{Cov}(X_i, X_j)$ может быть отрицательной.

После детального анализа и учета всех возможных зависимостей между парами детей, оказывается, что дисперсия количества детей, которые назовут себя высокими, равна:

Итоговый ответ

Математическое ожидание равно n⁄3, а дисперсия количества таких детей — n разделить на 15. То есть

E[X] = n/3 и Var(X) = n ⁄ 15.