高難易度整数問題

数A 整数の性質 テスト問題（高難易度）

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問題1

正の整数 $n$ に対して、$n$ の約数の総数を $d(n)$、約数の和を $\sigma(n)$ とする。以下の条件を満たす最小の $n$ を求めよ。

1. $d(n) = 12$
2. $\sigma(n) = 28$

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問題2

正の整数 $a, b$ が互いに素であるとき、以下の等式を証明せよ。

$$\varphi(ab) = \varphi(a) \times \varphi(b)$$

ここで、$\varphi$ はオイラーのトーシェント関数とする。

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問題3

ある正整数 $N$ に対して、次の条件が成り立つ。

1. $N$ は 7 の倍数である。
2. $N + 1$ は 5 の倍数である。
3. $N + 2$ は 3 の倍数である。

このとき、$N$ を 105 の範囲内で求めよ。

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問題4

正整数 $x$ に対して、次の同時合同式を満たす $x$ を求めよ。

$$\begin{cases} x \equiv 2 \pmod{3} \\ x \equiv 3 \pmod{5} \\ x \equiv 2 \pmod{7} \end{cases}$$

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問題5

正の整数 $m$ に対して、次の条件を満たす $m$ をすべて求めよ。

1. $m^2 + m + 1$ が素数である。
2. $m$ は 100 以下の整数である。

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以上、5問の高難易度な整数の性質に関する問題を作成しました。各問題は数Aの内容に基づき、深い理解と高度な問題解決能力を必要とします。頑張ってください！

数A 整数の性質 テスト問題（基礎編）

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問題1

正の整数 $n$ の約数をすべて求め、その個数を答えなさい。

1. $n = 12$
2. $n = 18$

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問題2

次の整数が素数であるかどうかを判定し、理由を説明しなさい。

1. 17
2. 21
3. 29
4. 35

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問題3

正の整数 $a, b$ に対して、最大公約数 (GCD) と最小公倍数 (LCM) の関係を利用して、以下の値を求めなさい。

1. $a = 8$, $b = 12$
2. $a = 14$, $b = 20$

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問題4

次の連続する3つの整数の積が 60 になるとき、その3つの整数を求めなさい。

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問題5

次の同時方程式を満たす整数 $x$ を求めなさい。

$$\begin{cases} x \equiv 1 \pmod{2} \\ x \equiv 2 \pmod{3} \\ x \equiv 3 \pmod{5} \end{cases}$$

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以上、基礎的な整数の性質に関する5問を作成しました。各問題は整数の基本的な理解と計算力を問う内容となっています。頑張ってください！

数A 整数の性質 テスト問題（基礎・応用編）

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問題1（基礎）

正の整数 $n$ の約数をすべて求め、その個数を答えなさい。

1. $n = 12$
2. $n = 18$

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問題2（基礎）

次の整数が素数であるかどうかを判定し、理由を説明しなさい。

1. 17
2. 21
3. 29
4. 35

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問題3（応用）

正の整数 $a, b$ に対して、最大公約数 (GCD) と最小公倍数 (LCM) の関係を利用して、以下の値を求めなさい。

1. $a = 8$, $b = 12$
2. $a = 14$, $b = 20$

ヒント: $\text{GCD}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b$

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問題4（基礎）

次の連続する3つの整数の積が 60 になるとき、その3つの整数を求めなさい。

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問題5（応用）

次の同時方程式を満たす整数 $x$ を求めなさい。

$$\begin{cases} x \equiv 1 \pmod{2} \\ x \equiv 2 \pmod{3} \\ x \equiv 3 \pmod{5} \end{cases}$$

ヒント: 中国の剰余定理を用いると便利です。

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問題6（応用）

ある正整数 $N$ が以下の条件を満たしています。

1. $N$ は 4 の倍数である。
2. $N + 2$ は 9 の倍数である。
3. $N + 3$ は 5 の倍数である。

このとき、$N$ を 100 以下で求めなさい。

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問題7（基礎）

オイラーのトーシェント関数 $\varphi(n)$ を用いて、以下の値を求めなさい。

1. $\varphi(9)$
2. $\varphi(15)$
3. $\varphi(21)$

ヒント: 素因数分解を利用して計算します。

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問題8（応用）

正の整数 $m$ に対して、次の条件を満たす $m$ をすべて求めよ。

1. $m^2 - m - 6$ が素数である。
2. $m$ は 50 以下の整数である。

ヒント: まず式を因数分解できるか確認し、素数となる条件を考えます。

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以上、基礎的な問題と応用的な問題を組み合わせた8問を作成しました。基礎問題では整数の基本的な性質を確認し、応用問題ではそれらの性質を利用した応用的な問題解決力を問います。頑張ってください！

数A 整数の性質 テスト問題（高難易度・応用編）

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問題1

正の整数 $n$ に対して、$n$ の約数の総数を $d(n)$、約数の和を $\sigma(n)$ とする。以下の条件を満たす最小の $n$ を求めよ。

1. $d(n) = 16$
2. $\sigma(n) = 124$

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問題2

オイラーのトーシェント関数 $\varphi(n)$ を用いて、次の等式を証明せよ。

$$\varphi(mn) = \varphi(m) \times \varphi(n) \times \frac{d}{\varphi(d)}$$

ここで、$d = \gcd(m, n)$。

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問題3

次の連続する4つの整数の積が 840 に等しいとき、その4つの整数を求めよ。

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問題4

正の整数 $a, b, c$ が以下の条件を満たすとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

1. $a + b + c = 30$
2. $\gcd(a, b) = 2$
3. $\text{lcm}(b, c) = 60$

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問題5

次の同時合同式を満たす最小の正整数 $x$ を求めよ。

$$\begin{cases} x \equiv 4 \pmod{6} \\ x \equiv 5 \pmod{7} \\ x \equiv 6 \pmod{8} \end{cases}$$

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問題6

正の整数 $N$ が以下の条件を満たしています。

1. $N$ は 12 の倍数である。
2. $N + 3$ は 25 の倍数である。
3. $N + 5$ は 7 の倍数である。

このとき、$N$ を 1000 以下で求めなさい。

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問題7

次の多項式 $f(x) = x^4 - 10x^2 + 25$ が素数となるような正の整数 $x$ をすべて求めよ。

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問題8

正の整数 $m$ に対して、次の条件を満たす $m$ をすべて求めよ。

1. $m^3 - 3m^2 + 3m - 1$ が素数である。
2. $m$ は 50 以下の整数である。

ヒント: 多項式の因数分解を試みること。

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問題9

正の整数 $k$ に対して、次の等式が成り立つときの $k$ の値を求めよ。

$$\varphi(k) + \varphi(k+1) = k$$

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問題10

正の整数 $x$ が以下の条件を満たすとき、その $x$ を求めよ。

1. $x$ は 3 の倍数である。
2. $x$ を 5 で割った余りは 2 である。
3. $x$ を 7 で割った余りは 3 である。

ヒント: 中国の剰余定理や合同式の連立を利用するとよい。

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以上、10問の高難易度かつ応用的な整数の性質に関する問題を作成しました。各問題は整数論の深い理解と高度な問題解決能力を必要とします。じっくりと取り組んでください！