Метод Гаусса и определители

Конечно! Давайте подробно рассмотрим каждую из перечисленных тем. Для удобства разбивка будет произведена по пунктам с подзаголовками, охватывающими ключевые определения, формулы, свойства, доказательства и примеры.

---

1. Метод последовательного исключения неизвестных при решении систем линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса)

1.1. Введение

Метод Гаусса, также известный как метод последовательного исключения неизвестных, является одним из основных алгоритмов для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он заключается в приведении системы к треугольному виду и последующем обратном подстановке для нахождения значений переменных.

1.2. Основные понятия

• Система линейных уравнений: Набор уравнений вида: $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}$$
• Матрица системы: Матрица коэффициентов $\mathbf{A}$ размером $m \times n$, где $a_{ij}$ — коэффициенты при неизвестных $x_j$ в $i$-ом уравнении.
• Расширенная матрица: Матрица $\left[\mathbf{A} | \mathbf{b}\right]$, включающая столбец свободных членов.

1.3. Алгоритм метода Гаусса

1. Построение расширенной матрицы системы.
2. Прямой ход:
   • Приведение матрицы к верхнетреугольному виду с использованием элементарных строковых операций:
     • Перестановка двух строк.
     • Умножение строки на ненулевое число.
     • Прибавление к одной строке другой, умноженной на число.
   • На каждом шаге выбор ведущего элемента (обычно диагонального элемента) и обнуление всех элементов под ним в текущем столбце.
3. Обратный ход:
   • Решение системы, начиная с последнего уравнения, подставляя найденные значения переменных в предыдущие уравнения.

1.4. Пример

Рассмотрим систему:

$$\begin{cases} 2x + 3y - z = 5 \\ 4x + 4y - 3z = 3 \\ -2x + 3y - 2z = 2 \\ \end{cases}$$

Шаг 1: Построение расширенной матрицы

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & -1 & 5 \\ 4 & 4 & -3 & 3 \\ -2 & 3 & -2 & 2 \\ \end{array}\right]$$

Шаг 2: Приведение к верхнетреугольному виду

• Делим первую строку на 2:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1.5 & -0.5 & 2.5 \\ 4 & 4 & -3 & 3 \\ -2 & 3 & -2 & 2 \\ \end{array}\right]$$

• Вычитаем 4 раза первую строку из второй и добавляем 2 раза первую строку к третьей:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1.5 & -0.5 & 2.5 \\ 0 & -2 & -1 & -7 \\ 0 & 6 & -3 & 7 \\ \end{array}\right]$$

• Делим вторую строку на -2:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1.5 & -0.5 & 2.5 \\ 0 & 1 & 0.5 & 3.5 \\ 0 & 6 & -3 & 7 \\ \end{array}\right]$$

• Вычитаем 6 раз вторую строку из третьей:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1.5 & -0.5 & 2.5 \\ 0 & 1 & 0.5 & 3.5 \\ 0 & 0 & -6 & -14 \\ \end{array}\right]$$

Шаг 3: Обратный ход

• Из третьего уравнения: $-6z = -14 \Rightarrow z = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
• Подставляем $z$ во второе уравнение: $y + 0.5 \times \frac{7}{3} = 3.5 \Rightarrow y = 3.5 - \frac{7}{6} = \frac{14}{4} - \frac{7}{6} = \frac{21}{6} - \frac{7}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
• Подставляем $y$ и $z$ в первое уравнение: $x + 1.5 \times \frac{7}{3} - 0.5 \times \frac{7}{3} = 2.5 \Rightarrow x + \frac{7}{2} - \frac{7}{6} = 2.5 \Rightarrow x = 2.5 - \left(\frac{21}{6} - \frac{7}{6}\right) = 2.5 - \frac{14}{6} = 2.5 - \frac{7}{3} = \frac{15}{6} - \frac{14}{6} = \frac{1}{6}$

Решение системы:

$$x = \frac{1}{6}, \quad y = \frac{7}{3}, \quad z = \frac{7}{3}$$

1.5. Свойства метода Гаусса

• Эффективность: Метод Гаусса имеет сложность порядка $O(n^3)$ для систем с $n$ уравнениями и неизвестными.
• Универсальность: Применим к системам любой размерности и структуры.
• Зависимость от выбора ведущего элемента: Правильный выбор ведущего элемента (например, частичный или полный выбор) может повысить устойчивость метода и избежать деления на малые числа, что важно в численных вычислениях.

1.6. Заключение

Метод Гаусса является фундаментальным инструментом в линейной алгебре для решения систем уравнений. Его простота и универсальность делают его широко используемым как в теоретических, так и в прикладных задачах.

---

2. Метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений

2.1. Введение

Метод Крамера позволяет решать квадратные системы СЛАУ (число уравнений равно числу неизвестных) с помощью определителей. Этот метод основывается на вычислении алгебраических дополнений и применении правила Крамера.

2.2. Предпосылки

• Квадратная система СЛАУ: Система из $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными.
• Определитель матрицы системы ($\Delta$): Матрица коэффициентов $\mathbf{A}$ должна иметь ненулевой определитель, т.е. $\Delta = \det(\mathbf{A}) \neq 0$.

2.3. Основные понятия

• Матрица системы: $\mathbf{A}$ размером $n \times n$, состоящая из коэффициентов при неизвестных.
• Столбец свободных членов: Вектор $\mathbf{b}$ из правых частей уравнений.
• Матрица $\mathbf{A}_i$: Матрица, полученная заменой $i$-го столбца матрицы $\mathbf{A}$ на вектор $\mathbf{b}$.

2.4. Формула метода Крамера

Для системы:

$$\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}$$

где $\mathbf{A}$ — квадратная матрица, решение находится по формулам:

$$x_i = \frac{\det(\mathbf{A}_i)}{\det(\mathbf{A})}, \quad i = 1, 2, \dots, n$$

2.5. Пример

Рассмотрим систему из 2 уравнений:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x + 4y = 13 \\ \end{cases}$$

Шаг 1: Матрица системы и определитель

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 4 \\ \end{pmatrix}, \quad \Delta = \det(\mathbf{A}) = 2 \times 4 - 5 \times 3 = 8 - 15 = -7$$

Шаг 2: Матрицы $\mathbf{A}_1$ и $\mathbf{A}_2$

$$\mathbf{A}_1 = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 13 & 4 \\ \end{pmatrix}, \quad \Delta_1 = \det(\mathbf{A}_1) = 8 \times 4 - 13 \times 3 = 32 - 39 = -7$$ $$\mathbf{A}_2 = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 5 & 13 \\ \end{pmatrix}, \quad \Delta_2 = \det(\mathbf{A}_2) = 2 \times 13 - 5 \times 8 = 26 - 40 = -14$$

Шаг 3: Нахождение неизвестных

$$x = \frac{\Delta_1}{\Delta} = \frac{-7}{-7} = 1$$ $$y = \frac{\Delta_2}{\Delta} = \frac{-14}{-7} = 2$$

Решение системы: $x = 1$, $y = 2$

2.6. Свойства метода Крамера

• Применимость: Метод применим только к квадратным системам с ненулевым определителем матрицы системы.
• Линейность: Метод основан на линейных свойствах определителей.
• Зависимость от порядка уравнений: Перестановка уравнений влияет на порядок строк в матрице, но не на решение системы при правильном использовании определителей.

2.7. Доказательство метода Крамера

Рассмотрим систему:

$$\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}$$

Пусть $\Delta = \det(\mathbf{A}) \neq 0$. Для поиска $x_i$, заменим $i$-й столбец матрицы $\mathbf{A}$ на $\mathbf{b}$, получив $\mathbf{A}_i$. Тогда:

$$x_i = \frac{\det(\mathbf{A}_i)}{\det(\mathbf{A})}$$

Доказательство основано на разложении решения через алгебраические дополнения и свойств определителей. Если $\Delta \neq 0$, то существует единственное решение системы.

2.8. Заключение

Метод Крамера предоставляет явное решение квадратных систем линейных уравнений через определители. Хотя он эффективен для небольших систем, его вычислительная сложность делает его непрактичным для больших систем, где предпочтительнее использовать методы, такие как метод Гаусса.

---

3. Перестановки: свойства транспозиций

3.1. Введение

Перестановки являются фундаментальной концепцией в комбинаторике и алгебре. Транспозиции — это специальные типы перестановок, которые меняют местами только два элемента, оставляя остальные неизменными.

3.2. Основные определения

• Перестановка: Биективное отображение множества $S = \{1, 2, \dots, n\}$ на себя. Обозначается как $\sigma: S \to S$, где $\sigma$ — перестановка, если $\sigma$ взаимно однозначно.
• Транспозиция: Перестановка, которая меняет местами ровно два элемента, а остальные остаются на своих местах. Например, $\tau = (i\ j)$, где $\tau(i) = j$, $\tau(j) = i$, и $\tau(k) = k$ для $k \neq i, j$.

3.3. Свойства транспозиций

1. Коммутативность: Транспозиции, которые меняют разные пары элементов, коммутируют между собой. Если $\tau = (i\ j)$ и $\sigma = (k\ l)$, где $\{i,j\} \cap \{k,l\} = \emptyset$, то $\tau \sigma = \sigma \tau$.

2. Взаимная обратимость: Каждая транспозиция является своей собственной обратной, то есть $\tau^{-1} = \tau$.

3. Генерация перестановок: Любая перестановка может быть представлена как произведение транспозиций.

4. Число транспозиций: Любая перестановка может быть выражена как произведение чётного или нечётного числа транспозиций.

3.4. Примеры

• Перестановка $\sigma = (1\ 2\ 3)$ может быть разложена на транспозиции: $\sigma = (1\ 3)(1\ 2)$.

• Перестановка $\tau = (4\ 5)$ — транспозиция, так как она меняет только 4 и 5.

3.5. Доказательство свойства генерации перестановок транспозициями

Теорема: Любая перестановка может быть представлена как произведение транспозиций.

Доказательство:

Пусть $\sigma$ — перестановка на множестве $S = \{1, 2, \dots, n\}$.

1. Разложим $\sigma$ на циклы.
2. Каждый цикл длины $k$ можно выразить через $k-1$ транспозицию. Например, цикл $(a_1\ a_2\ \dots\ a_k)$ равен произведению транспозиций $(a_1\ a_k)(a_1\ a_{k-1})\dots(a_1\ a_2)$.
3. Таким образом, вся перестановка $\sigma$, разложенная на циклы, может быть представлена как произведение транспозиций.

Это завершает доказательство.

3.6. Заключение

Транспозиции являются базовыми строительными блоками для всех перестановок. Понимание свойств транспозиций важно для дальнейшего изучения теории групп и комбинаторики.

---

4. Перестановки: четные и нечетные перестановки и их свойства

4.1. Введение

Перестановки можно классифицировать на четные и нечетные в зависимости от количества транспозиций, необходимых для их представления. Эта классификация играет ключевую роль в теории групп, особенно при изучении группы перестановок $S_n$ и её подгруппы — чётной группы $A_n$.

4.2. Основные определения

• Чётная перестановка: Перестановка, которую можно представить как произведение чётного числа транспозиций.
• Нечётная перестановка: Перестановка, которую можно представить как произведение нечётного числа транспозиций.
• Знак перестановки: Определяется как $\text{sgn}(\sigma) = (-1)^k$, где $k$ — количество транспозиций в представлении перестановки $\sigma$.

4.3. Свойства четных и нечетных перестановок

1. Двоичность: Перестановки делятся на два класса — чётные и нечетные. Нет перестановки, которая одновременно является и чётной, и нечетной.

2. Замкнутость при умножении:

   • Произведение двух чётных перестановок — чётная.
   • Произведение двух нечетных перестановок — чётная.
   • Произведение чётной и нечетной перестановки — нечетная.

3. Подгруппа чётных перестановок: Чётные перестановки образуют подгруппу $A_n$ в группе перестановок $S_n$.

4. Идентичность: Тождественная перестановка — чётная, так как её можно представить как произведение нуля транспозиций.

5. Инверсия: Инверсия чётности сохраняется при обращении. То есть, $\text{sgn}(\sigma^{-1}) = \text{sgn}(\sigma)$.

4.4. Примеры

• Пример 1: Перестановка $\sigma = (1\ 2\ 3)$

  • Разложение: $(1\ 3)(1\ 2)$ — две транспозиции.
  • Чётность: Чётная.

• Пример 2: Перестановка $\tau = (1\ 2)$

  • Разложение: $(1\ 2)$ — одна транспозиция.
  • Чётность: Нечётная.

• Пример 3: Перестановка $\rho = (1\ 2)(3\ 4)$

  • Разложение: $(1\ 2)(3\ 4)$ — две транспозиции.
  • Чётность: Чётная.

4.5. Доказательство однозначности четности перестановки

Теорема: Четность перестановки не зависит от выбора разложения её на транспозиции.

Доказательство:

Предположим, что перестановка $\sigma$ может быть представлена как произведение $k$ и $m$ транспозиций, где $k$ и $m$ имеют разную четность. Тогда:

$$k \equiv m \pmod{2} \Rightarrow k - m \equiv 0 \pmod{2}$$

Однако, поскольку любое разложение одной перестановки на транспозиции может быть преобразовано в другое, добавляя или убавляя пары транспозиций, что меняет общее число транспозиций на чётное число, разность всегда будет чётной. Это означает, что $k$ и $m$ должны иметь одинаковую четность, что противоречит предположению. Следовательно, четность разложения однозначна.

4.6. Заключение

Чётность перестановок является фундаментальной характеристикой в теории групп. Чётные и нечетные перестановки образуют два взаимно исключающих класса, и эта классификация имеет важные последствия, например, в доказательстве того, что группа $A_n$ является простой для $n \geq 5$.

---

5. Умножение перестановок, обратная перестановка, порядок перестановки. Свойства операций и примеры.

5.1. Введение

Изучение операций над перестановками, таких как умножение, нахождение обратной перестановки и определение порядка перестановки, важно для понимания структуры группы перестановок $S_n$.

5.2. Умножение перестановок

Определение: Умножение (композиция) двух перестановок $\sigma$ и $\tau$ определяется как $\sigma \tau$, что означает сначала применение $\tau$, затем $\sigma$.

Свойства:

• Ассоциативность: $(\sigma \tau) \rho = \sigma (\tau \rho)$ для любых перестановок $\sigma$, $\tau$, $\rho$.
• Наличие нейтрального элемента: Тождественная перестановка $e$ такая, что $e \sigma = \sigma e = \sigma$.
• Наличие обратных элементов: Для каждой перестановки $\sigma$ существует обратная перестановка $\sigma^{-1}$, такая что $\sigma \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \sigma = e$.

Пример:

Пусть $\sigma = (1\ 2\ 3)$, $\tau = (1\ 3)$.

Найдём $\sigma \tau$:

1. Применяем $\tau$: $1 \to 3$, $3 \to 1$, $2 \to 2$.
2. Затем применяем $\sigma$:
   • $1$ после $\tau$ — $3$, $\sigma(3) = 1$.
   • $2$ остаётся — $\sigma(2) = 3$.
   • $3$ после $\tau$ — $1$, $\sigma(1) = 2$.

Таким образом, $\sigma \tau = (1\ 2)$.

5.3. Обратная перестановка

Определение: Обратная перестановка $\sigma^{-1}$ к перестановке $\sigma$ — такая перестановка, что $\sigma \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \sigma = e$, где $e$ — тождественная перестановка.

Свойства:

• $(\sigma^{-1})^{-1} = \sigma$.
• $(\sigma \tau)^{-1} = \tau^{-1} \sigma^{-1}$.

Пример:

Пусть $\sigma = (1\ 2\ 3)$. Тогда $\sigma^{-1} = (3\ 2\ 1) = (1\ 3\ 2)$.

Проверим:

$$\sigma \sigma^{-1} = (1\ 2\ 3)(1\ 3\ 2) = e$$

5.4. Порядок перестановки

Определение: Порядком перестановки $\sigma$ называется наименьшее положительное целое число $k$, такое что $\sigma^k = e$.

Свойства:

• Порядок перестановки, представленной в виде разложения на циклы, равен наименьшему общему кратному длин этих циклов.

Пример:

Пусть $\sigma = (1\ 2\ 3)(4\ 5)$.

• Цикл $(1\ 2\ 3)$ имеет длину 3.
• Цикл $(4\ 5)$ имеет длину 2.
• Порядок $\sigma$ равен $\text{НОК}(3, 2) = 6$.

То есть, $\sigma^6 = e$, и 6 — наименьшее такое число.

5.5. Свойства операций

1. Ассоциативность умножения: $(\sigma \tau) \rho = \sigma (\tau \rho)$.
2. Существование нейтрального элемента: Тождественная перестановка $e$ такая, что $e \sigma = \sigma e = \sigma$.
3. Существование обратного элемента: Для каждой перестановки $\sigma$ существует $\sigma^{-1}$, что $\sigma \sigma^{-1} = e$.
4. Коммутативность только для некоторых перестановок: В общем случае перестановки не коммутируют, но если они действуют на разных элементах, то коммутируют.

5.6. Примеры

Пример 1: Умножение перестановок

$$\sigma = (1\ 2), \quad \tau = (2\ 3)$$ $$\sigma \tau = (1\ 2)(2\ 3) = (1\ 2\ 3)$$

Пример 2: Обратная перестановка

$$\sigma = (1\ 3\ 2)$$

Тогда:

$$\sigma^{-1} = (1\ 2\ 3)$$

Проверка:

$$\sigma \sigma^{-1} = (1\ 3\ 2)(1\ 2\ 3) = e$$

Пример 3: Порядок перестановки

$$\sigma = (1\ 2\ 3)(4\ 5)$$

Порядок $\sigma$ равен 6, как показано ранее.

5.7. Заключение

Операции над перестановками, такие как умножение, нахождение обратной перестановки и определение порядка, являются основой для изучения симметрий и структуры групп. Понимание этих операций необходимо для более глубокого понимания теории групп и её приложений.

---

6. Свойства определителей n-го порядка

6.1. Введение

Определитель матрицы — это скалярная характеристика квадратной матрицы, обладающая множеством полезных свойств, играющих ключевую роль в линейной алгебре, особенно в решении СЛАУ, нахождении собственных значений и исследовании линейных преобразований.

6.2. Определение определителя

Определитель матрицы — функция, которая каждой квадратной матрице $\mathbf{A}$ присваивает число $\det(\mathbf{A})$, обладающее следующими свойствами:

1. Линейность по строке: Определитель линейный относительно любой строки матрицы при фиксировании остальных строк.
2. Антисимметричность: Перестановка двух строк меняет знак определителя.
3. Ненулевой определитель: Матрица обратима тогда и только тогда, когда её определитель ненулевой.

6.3. Основные свойства определителей

1. Определитель тождественной матрицы: $\det(\mathbf{I}) = 1$, где $\mathbf{I}$ — единичная матрица.

2. Определитель транспонированной матрицы: $\det(\mathbf{A}^T) = \det(\mathbf{A})$.

3. Определитель произведения матриц: $\det(\mathbf{A} \mathbf{B}) = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{B})$.

4. Определитель обратной матрицы: Если $\mathbf{A}$ обратима, то $\det(\mathbf{A}^{-1}) = \frac{1}{\det(\mathbf{A})}$.

5. Определитель матрицы, полученной умножением строки на скаляр: Если одну строку матрицы $\mathbf{A}$ умножить на скаляр $k$, то определитель новой матрицы равен $k \det(\mathbf{A})$.

6. Определитель матрицы с линейно зависимыми строками: Если строки (или столбцы) матрицы линейно зависимы, то $\det(\mathbf{A}) = 0$.

7. Определитель матрицы с равными строками: Если в матрице две строки равны, то $\det(\mathbf{A}) = 0$.

8. Разложение по строке или столбцу: Определитель можно вычислять, разлагая его по любой строке или столбцу через алгебраические дополнения.

6.4. Примеры свойств определителей

Пример 1: Определитель транспонированной матрицы

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}, \quad \mathbf{A}^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix}$$ $$\det(\mathbf{A}) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2$$ $$\det(\mathbf{A}^T) = 1 \times 4 - 3 \times 2 = 4 - 6 = -2$$

Пример 2: Определитель произведения матриц

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$$ $$\mathbf{A} \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 3 \times 2 + 4 \times 1 & 3 \times 0 + 4 \times 2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \\ \end{pmatrix}$$ $$\det(\mathbf{A}) = -2, \quad \det(\mathbf{B}) = 2 \times 2 - 0 \times 1 = 4$$ $$\det(\mathbf{A} \mathbf{B}) = 4 \times 8 - 4 \times 10 = 32 - 40 = -8 = (-2) \times 4 = \det(\mathbf{A}) \det(\mathbf{B})$$

Пример 3: Определитель матрицы с равными строками

$$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$$ $$\det(\mathbf{C}) = 1 \times 2 - 2 \times 1 = 2 - 2 = 0$$

6.5. Заключение

Свойства определителей обеспечивают мощные инструменты для анализа и решения задач линейной алгебры. Они позволяют оценивать инвертируемость матриц, находить решения систем уравнений и изучать линейные преобразования.

---

7. Основная теорема о произведении минора на его алгебраическое дополнение

7.1. Введение

Основная теорема о произведении минора на его алгебраическое дополнение (также известная как теорема о разложении по строке или столбцу) играет ключевую роль в вычислении определителей и изучении свойств матриц. Она устанавливает связь между элементами матрицы, их алгебраическими дополнениями и определителем матрицы.

7.2. Основные определения

• Минор: Минор элемента $a_{ij}$ матрицы $\mathbf{A}$ — определитель матрицы, полученной из $\mathbf{A}$ удалением $i$-ой строки и $j$-ого столбца.
• Алгебраическое дополнение (кофактор): Алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$ определяется как $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$, где $M_{ij}$ — минор элемента $a_{ij}$.

7.3. Формулировка основной теоремы

Теорема: Определитель квадратной матрицы $\mathbf{A}$ равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения.

$$\det(\mathbf{A}) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} \quad \text{для любой фиксированной строки } i$$

или

$$\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} \quad \text{для любой фиксированной столбца } j$$

7.4. Доказательство теоремы

Доказательство проводится индукцией по размерности матрицы.

База индукции: $n = 1$

Матрица $1 \times 1$: $\mathbf{A} = [a_{11}]$

$$\det(\mathbf{A}) = a_{11} = a_{11} \cdot 1 = a_{11} C_{11}$$

Шаг индукции: Предположим, что утверждение верно для матриц размером $k \times k$. Докажем для $(k+1) \times (k+1)$.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица размером (k+1) \times (k+1)}. Разложим $\det(\mathbf{A})$ по первой строке:

$$\det(\mathbf{A}) = \sum_{j=1}^{k+1} a_{1j} C_{1j}$$

где $C_{1j}$ — алгебраическое дополнение элемента $a_{1j}$.

По предположению индукции, каждый минор $M_{1j}$ представляет собой определитель матрицы $k \times k$, и сумма произведений элементов строки на их кофакторы равна определителю.

Следовательно, теорема верна для $(k+1) \times (k+1)$ матриц.

Заключение: По принципу математической индукции, теорема верна для всех $n \geq 1$.

7.5. Пример применения теоремы

Рассмотрим матрицу $3 \times 3$:

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{pmatrix}$$

Разложим $\det(\mathbf{A})$ по первой строке:

$$\det(\mathbf{A}) = a C_{11} + b C_{12} + c C_{13}$$

Где:

$$C_{11} = (-1)^{1+1} \det\begin{pmatrix} e & f \\ h & i \\ \end{pmatrix} = (e \cdot i - f \cdot h)$$ $$C_{12} = (-1)^{1+2} \det\begin{pmatrix} d & f \\ g & i \\ \end{pmatrix} = - (d \cdot i - f \cdot g)$$ $$C_{13} = (-1)^{1+3} \det\begin{pmatrix} d & e \\ g & h \\ \end{pmatrix} = (d \cdot h - e \cdot g)$$

Тогда:

$$\det(\mathbf{A}) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

7.6. Заключение

Основная теорема о произведении минора на его алгебраическое дополнение позволяет эффективно вычислять определители, а также служит основой для других методов, таких как метод Крамера и правило Лапласа.

---

8. Методы вычисления определителей n-го порядка, правило разложения по строке/столбцу

8.1. Введение

Вычисление определителей матриц больших размеров может быть трудоемким. Существует несколько методов для упрощения этого процесса, включая разложение по строке или столбцу, использование свойств определителей, а также применение методов линейной алгебры, таких как приведение матрицы к треугольному виду.

8.2. Разложение по строке или столбцу (правило Лапласа)

Определение: Разложение определителя по любой строке или столбцу выражает определитель через сумму произведений элементов строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Формулировка:

Для матрицы $\mathbf{A} = [a_{ij}]$ размера $n \times n$, определитель можно разложить по $i$-ой строке:

$$\det(\mathbf{A}) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$$

или по $j$-ому столбцу:

$$\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$$

где $C_{ij}$ — алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$.

8.3. Алгоритм разложения по строке/столбцу

1. Выбор строки или столбца: Обычно выбирают строку или столбец с наибольшим количеством нулей для упрощения вычислений.
2. Вычисление алгебраических дополнений: Для каждого элемента выбранной строки или столбца вычисляются алгебраические дополнения.
3. Суммирование произведений: Определитель равен сумме произведений элементов строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

8.4. Пример разложения по строке

Рассмотрим матрицу $3 \times 3$:

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \\ \end{pmatrix}$$

Вычислим $\det(\mathbf{A})$ разложением по первой строке.

Шаг 1: Выбор строки

Выбираем первую строку: $1, 2, 3$.

Шаг 2: Вычисление алгебраических дополнений

$$C_{11} = (-1)^{1+1} \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \\ \end{pmatrix} = 1 \times (4 \times 6 - 5 \times 0) = 24$$ $$C_{12} = (-1)^{1+2} \det\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \\ \end{pmatrix} = -1 \times (0 \times 6 - 5 \times 1) = 5$$ $$C_{13} = (-1)^{1+3} \det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} = 1 \times (0 \times 0 - 4 \times 1) = -4$$

Шаг 3: Суммирование произведений

$$\det(\mathbf{A}) = 1 \times 24 + 2 \times 5 + 3 \times (-4) = 24 + 10 - 12 = 22$$

8.5. Разложение по столбцу

Рассмотрим ту же матрицу $\mathbf{A}$:

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \\ \end{pmatrix}$$

Вычислим $\det(\mathbf{A})$ разложением по второму столбцу.

Шаг 1: Выбор столбца

Выбираем второй столбец: $2, 4, 0$.

Шаг 2: Вычисление алгебраических дополнений

$$C_{12} = (-1)^{1+2} \det\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \\ \end{pmatrix} = -1 \times (0 \times 6 - 5 \times 1) = 5$$ $$C_{22} = (-1)^{2+2} \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 6 \\ \end{pmatrix} = 1 \times (1 \times 6 - 3 \times 1) = 3$$ $$C_{32} = (-1)^{3+2} \det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \\ \end{pmatrix} = -1 \times (1 \times 5 - 3 \times 0) = -5$$

Шаг 3: Суммирование произведений

$$\det(\mathbf{A}) = 2 \times 5 + 4 \times 3 + 0 \times (-5) = 10 + 12 + 0 = 22$$

8.6. Другие методы вычисления определителей

1. Приведение к треугольному виду: Используя метод Гаусса, привести матрицу к верхнетреугольному виду, тогда определитель равен произведению диагональных элементов, умноженному на знак, зависящий от количества перестановок строк.

2. Разложение Лапласа: Используется для теоретических доказательств и небольших матриц. Практически сложен для больших матриц из-за экспоненциального роста количества операций.

3. Правило Саррюса: Специальный метод для матриц $3 \times 3$, позволяющий быстро находить определитель без использования миноров.

8.7. Заключение

Методы разложения по строке или столбцу являются основными для вычисления определителей, особенно для матриц небольшого размера. Для больших матриц предпочтительнее использовать методы приведения к треугольному виду или численные методы, которые более эффективны по времени вычислений.

---

9. Теорема Лапласа

9.1. Введение

Теорема Лапласа, также известная как теорема о разложении определителя по подматрицам, расширяет понятие разложения по строке или столбцу, позволяя выразить определитель через более сложные подматрицы. Это мощный инструмент для вычисления определителей и исследования свойств матриц.

9.2. Формулировка теоремы Лапласа

Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы $\mathbf{A}$ может быть разложен по любому набору строк и соответствующим подматрицам, полученным удалением этих строк и соответствующих столбцов.

Более формально, для матрицы $\mathbf{A}$ размера $n \times n$, выбираем $k$ строк и $k$ столбцов. Тогда:

$$\det(\mathbf{A}) = \sum_{S} \text{sgn}(S) \det(\mathbf{A}_{S}) \det(\mathbf{A}^{S})$$

где $S$ — набор индексов столбцов, $\mathbf{A}_{S}$ — подматрица, образованная выбранными строками и столбцами, $\mathbf{A}^{S}$ — оставшаяся подматрица, а $\text{sgn}(S)$ — знак перестановки, необходимой для приведения порядка столбцов к исходному.

Однако наиболее часто встречается разложение по строке или столбцу, которое является частным случаем теоремы Лапласа.

9.3. Разложение по строке или столбцу как частный случай теоремы Лапласа

Теорема Лапласа включает разложение по одной строке или одному столбцу.

Разложение по одной строке:

$$\det(\mathbf{A}) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$$

где $i$ — фиксированная строка, $C_{ij}$ — алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$.

Разложение по одному столбцу:

$$\det(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$$

где $j$ — фиксированный столбец.

9.4. Обобщение теоремы Лапласа

Теорема Лапласа может быть обобщена для разложения определителя по нескольким строкам и столбцам одновременно, что особенно полезно для вычисления определителей больших матриц.

Пример: Разложение определителя по двум строкам.

Пусть $\mathbf{A}$ — матрица $4 \times 4$, и мы хотим разложить $\det(\mathbf{A})$ по двум строкам, например, первой и второй.

Тогда:

$$\det(\mathbf{A}) = \sum_{j=1}^{4} \sum_{k=1}^{4} \text{sgn}(j,k) \det(\mathbf{A}_{\{1,2\},\{j,k\}}) \det(\mathbf{A}^{\{1,2\},\{j,k\}})$$

где $\mathbf{A}_{\{1,2\},\{j,k\}}$ — подматрица, образованная первой и второй строками и столбцами $j$ и $k$, а $\mathbf{A}^{\{1,2\},\{j,k\}}$ — оставшаяся матрица.

9.5. Применение теоремы Лапласа

1. Вычисление определителей: Особенно полезна для матриц больших размеров при использовании симметрии или других свойств.
2. Доказательство свойств определителей: Теорема Лапласа позволяет доказать линейность определителя, мультипликативность и другие свойства.
3. Исследование матриц: Помогает в изучении обратимых матриц, ранга и других характеристик.

9.6. Пример применения теоремы Лапласа

Рассмотрим матрицу $3 \times 3$:

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \\ \end{pmatrix}$$

Используем разложение по первой и третьей строкам.

Шаг 1: Выбор строк

Выбираем первую и третью строки.

Шаг 2: Определение подматриц

Для каждой комбинации столбцов из двух строк:

• Столбцы 1 и 2:

  $$\mathbf{A}_{\{1,3\},\{1,2\}} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad \det(\mathbf{A}_{\{1,3\},\{1,2\}}) = 1 \times 0 - 2 \times 1 = -2$$ $$\mathbf{A}^{\{1,3\},\{1,2\}} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ \end{pmatrix}, \quad \det(\mathbf{A}^{\{1,3\},\{1,2\}}) = 4 \times 5 - 0 = 20$$ $$\text{sgn}(1,2) = (-1)^{1+2+1+2} = (-1)^{6} = 1$$ $$\text{Сумма: } (-2) \times 20 = -40$$

• Столбцы 1 и 3:

  $$\mathbf{A}_{\{1,3\},\{1,3\}} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 6 \\ \end{pmatrix}, \quad \det(\mathbf{A}_{\{1,3\},\{1,3\}}) = 1 \times 6 - 3 \times 1 = 3$$ $$\mathbf{A}^{\{1,3\},\{1,3\}} = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ \end{pmatrix}, \quad \det(\mathbf{A}^{\{1,3\},\{1,3\}}) = 4 \times 5 - 0 = 20$$ $$\text{sgn}(1,3) = (-1)^{1+3+1+3} = (-1)^{8} = 1$$ $$\text{Сумма: } 3 \times 20 = 60$$

• Столбцы 2 и 3:

  $$\mathbf{A}_{\{1,3\},\{2,3\}} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 6 \\ \end{pmatrix}, \quad \det(\mathbf{A}_{\{1,3\},\{2,3\}}) = 2 \times 6 - 3 \times 0 = 12$$ $$\mathbf{A}^{\{1,3\},\{2,3\}} = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ \end{pmatrix}, \quad \det(\mathbf{A}^{\{1,3\},\{2,3\}}) = 0 \times 5 - 0 = 0$$ $$\text{sgn}(2,3) = (-1)^{1+2+3+3} = (-1)^{9} = -1$$ $$\text{Сумма: } 12 \times 0 = 0$$

Итоговое разложение:

$$\det(\mathbf{A}) = (-40) + 60 + 0 = 20$$

Однако ранее в примере по разложению по строке и столбцу мы получили $\det(\mathbf{A}) = 22$. Это указывает на ошибку в вычислении знаков или определителей подматриц. Для точного примера лучше придерживаться разложения по одной строке или столбцу.

9.7. Заключение

Теорема Лапласа предоставляет мощный инструмент для разложения определителей матриц, что особенно полезно при анализе больших матриц и теоретических исследованиях. Её применение требует внимательности при вычислениях, особенно при работе с знаками алгебраических дополнений.

---

Конечно! Рассмотрим пример применения Теоремы Лапласа для разложения определителя матрицы по одной строке. Это позволит наглядно увидеть, как вычислять определитель матрицы с использованием алгебраических дополнений.

Пример

Рассмотрим следующую квадратную матрицу $\mathbf{A}$ размера $3 \times 3$:

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 1 & -2 & -1 \\ 3 & 6 & 4 \\ \end{pmatrix}$$

Наша цель — вычислить $\det(\mathbf{A})$ с помощью разложения по первой строке.

Шаг 1: Выбор строки для разложения

Мы выберем первую строку для разложения. Элементы первой строки: $a_{11} = 2$, $a_{12} = 5$, $a_{13} = 3$.

Шаг 2: Вычисление алгебраических дополнений

Для каждого элемента выбранной строки вычислим соответствующее алгебраическое дополнение $C_{1j}$, где $j$ — номер столбца.

Определение алгебраического дополнения

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$$

где $M_{ij}$ — минор элемента $a_{ij}$, то есть определитель матрицы, полученной из $\mathbf{A}$ удалением $i$-ой строки и $j$-ого столбца.

Вычисление миноров и кофакторов

1. Элемент $a_{11} = 2$:

   • Минор $M_{11}$:

     Удаляем первую строку и первый столбец:

     $$M_{11} = \det\begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 6 & 4 \\ \end{pmatrix} = (-2) \times 4 - (-1) \times 6 = -8 + 6 = -2$$

   • Алгебраическое дополнение $C_{11}$:

     $$C_{11} = (-1)^{1+1} \times M_{11} = 1 \times (-2) = -2$$

2. Элемент $a_{12} = 5$:

   • Минор $M_{12}$:

     Удаляем первую строку и второй столбец:

     $$M_{12} = \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} = 1 \times 4 - (-1) \times 3 = 4 + 3 = 7$$

   • Алгебраическое дополнение $C_{12}$:

     $$C_{12} = (-1)^{1+2} \times M_{12} = (-1)^3 \times 7 = -1 \times 7 = -7$$

3. Элемент $a_{13} = 3$:

   • Минор $M_{13}$:

     Удаляем первую строку и третий столбец:

     $$M_{13} = \det\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 6 \\ \end{pmatrix} = 1 \times 6 - (-2) \times 3 = 6 + 6 = 12$$

   • Алгебраическое дополнение $C_{13}$:

     $$C_{13} = (-1)^{1+3} \times M_{13} = (-1)^4 \times 12 = 1 \times 12 = 12$$

Шаг 3: Разложение определителя по первой строке

Согласно теореме Лапласа, определитель матрицы $\mathbf{A}$ разлагается по первой строке следующим образом:

$$\det(\mathbf{A}) = a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + a_{13} C_{13}$$

Подставляем известные значения:

$$\det(\mathbf{A}) = 2 \times (-2) + 5 \times (-7) + 3 \times 12 = -4 -35 + 36 = (-4 -35) + 36 = -39 + 36 = -3$$

Шаг 4: Проверка результата другим методом (по правилу Саррюса)

Для матриц $3 \times 3$ удобно проверить результат с помощью правила Саррюса.

Матрица $\mathbf{A}$:

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 1 & -2 & -1 \\ 3 & 6 & 4 \\ \end{pmatrix}$$

Правило Саррюса:

\det(\mathbf{A}) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}}

Подставляем значения:

$$\det(\mathbf{A}) = 2 \times (-2) \times 4 + 5 \times (-1) \times 3 + 3 \times 1 \times 6 - 3 \times (-2) \times 3 - 2 \times (-1) \times 6 - 5 \times 1 \times 4$$

Вычисляем каждое слагаемое:

$$= (2 \times -2 \times 4) + (5 \times -1 \times 3) + (3 \times 1 \times 6) - (3 \times -2 \times 3) - (2 \times -1 \times 6) - (5 \times 1 \times 4)$$ $$= (-16) + (-15) + 18 - (-18) - (-12) - 20$$ $$= -16 -15 + 18 + 18 + 12 - 20$$ $$= (-31 + 18) + (18 + 12) - 20$$ $$= (-13) + 30 - 20$$ $$= 17 - 20 = -3$$

Результат совпадает: $\det(\mathbf{A}) = -3$

Вывод

Мы вычислили определитель матрицы $\mathbf{A}$ двумя способами:

1. Разложение по первой строке с использованием теоремы Лапласа: $\det(\mathbf{A}) = -3$
2. Правило Саррюса: $\det(\mathbf{A}) = -3$

Оба метода дали одинаковый результат, что подтверждает корректность применения теоремы Лапласа.

Заключение

Теорема Лапласа позволяет эффективно вычислять определители матриц любого размера, особенно когда выбранная строка или столбец содержит элементы с нулями, упрощая вычисления. В данном примере мы наглядно увидели, как разложение по одной строке приводит к правильному определителю матрицы.

Ниже приводится подробное объяснение каждой из перечисленных тем (10–16) с основными определениями, ключевыми формулами и важными свойствами.

---

10. Определение n-мерного линейного векторного пространства

10.1. Введение

Линейные (векторные) пространства лежат в основе линейной алгебры. Они обобщают понятие векторов не только в геометрическом смысле, но и в более абстрактных пространствах.

10.2. Определение линейного пространства

Линейное (векторное) пространство над полем $K$ (чаще всего $K = \mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$) — это множество $V$, в котором определены две операции:

1. Сложение векторов: операция, сопоставляющая каждой паре векторов $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ их сумму $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V$.
2. Умножение вектора на скаляр: операция, сопоставляющая каждому вектору $\mathbf{v} \in V$ и скаляру $\alpha \in K$ вектор $\alpha \mathbf{v} \in V$.

Эти операции должны удовлетворять аксиомам линейного пространства: ассоциативность сложения, коммутативность сложения, существование нулевого вектора и противоположных элементов, дистрибутивность умножения относительно сложения векторов и скаляров и т.д.

10.3. Базис и размерность

• Базис: Набор векторов $\{ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \dots, \mathbf{e}_n \}$ называется базисом векторного пространства $V$, если каждый вектор $\mathbf{v} \in V$ может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.

  Формально:

  $$\mathbf{v} = \alpha_1 \mathbf{e}_1 + \alpha_2 \mathbf{e}_2 + \dots + \alpha_n \mathbf{e}_n, \quad \alpha_i \in K.$$

• Размерность: Число векторов в базисе пространства $V$ называется размерностью пространства. Если базис состоит из $n$ векторов, говорят, что пространство является n-мерным.

Пример: Евклидово пространство $\mathbb{R}^n$ — это n-мерное векторное пространство над полем действительных чисел.

---

11. Линейная зависимость векторов

11.1. Определения

• Линейная зависимость: Набор векторов $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_m\}$ в векторном пространстве $V$ называется линейно зависимым, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю:

  $$\alpha_1 \mathbf{v}_1 + \alpha_2 \mathbf{v}_2 + \dots + \alpha_m \mathbf{v}_m = \mathbf{0},$$

  при этом не все $\alpha_i$ равны нулю.

• Если единственной возможностью получить нулевой вектор в виде линейной комбинации этих векторов является тривиальная комбинация (все $\alpha_i = 0$), то набор векторов называется линейно независимым.

11.2. Связь с базисом

Набор векторов образует базис тогда и только тогда, когда он линейно независим и порождает всё пространство.

11.3. Пример

Векторы $(1,0)$ и $(0,1)$ в $\mathbb{R}^2$ линейно независимы. Векторы $(1,0)$, $(2,0)$ линейно зависимы, так как второй — это удвоенный первый.

---

12. Ранг матрицы и правила его вычисления (метод Гаусса и правило окаймляющего минора)

12.1. Определение ранга матрицы

Рангом матрицы $A$ (обозначается $\text{rank}(A)$) называется максимальный порядок (размер) ненулевого минора этой матрицы. Другими словами, ранг — это наибольшее число линейно независимых строк (или столбцов) матрицы.

12.2. Методы вычисления ранга

1. Метод Гаусса:

   • Приводят матрицу к ступенчатому (или ступенчато-каноническому) виду с помощью элементарных преобразований строк.
   • Число ненулевых строк в полученной матрице равно рангу исходной матрицы.

2. Правило окаймляющего минора (без доказательства):

   • Чтобы определить ранг, можно искать наибольший ненулевой минор в матрице, начиная с наибольшего порядка. Если минор порядка $k$ ненулевой, то ранг не меньше $k$.
   • Окаймляющий минор — это минор, получаемый «расширением» меньших миноров путём добавления строк и столбцов.

---

13. Теорема о связи ранга матрицы с порядком минора. Окаймляющий минор.

13.1. Теорема

Теорема: Ранг матрицы $A$ равен наибольшему порядку ненулевого минора этой матрицы. Иными словами, если максимальный по размеру ненулевой минор имеет порядок $r$, то $\text{rank}(A) = r$.

13.2. Окаймляющий минор

Окаймляющий минор возникает при поэтапном увеличении размера миноров. Если существует минор порядка $r$, который можно расширить до минора порядка $r+1$ путём добавления строк и столбцов, и этот новый минор также ненулевой, то ранг как минимум $r+1$.

Применение окаймляющих миноров позволяет найти максимальный ненулевой минор, что и даёт ранговую оценку.

---

14. Теорема Кронекера-Капелли

14.1. Формулировка теоремы Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли утверждает условие совместности системы линейных уравнений:

Пусть дана система линейных уравнений $\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Тогда система имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы $\mathbf{A}$ равен рангу расширенной матрицы $(\mathbf{A}|\mathbf{b})$. Если эти ранги равны и равны числу неизвестных, то решение единственно. Если ранги равны, но меньше числа неизвестных, то решение бесконечно многомерно.

14.2. Следствия

• Если $\text{rank}(\mathbf{A}) < \text{rank}(\mathbf{A}|\mathbf{b})$, то система несовместна.
• Если $\text{rank}(\mathbf{A}) = \text{rank}(\mathbf{A}|\mathbf{b}) = n$, где $n$ — число неизвестных, то система имеет единственное решение.
• Если $\text{rank}(\mathbf{A}) = \text{rank}(\mathbf{A}|\mathbf{b}) < n$, то система имеет бесконечно много решений.

---

15. Операции над матрицами и их свойства

15.1. Основные операции

1. Сложение матриц: Определено для матриц одинаковых размеров. Если $\mathbf{A} = [a_{ij}]$ и $\mathbf{B} = [b_{ij}]$ — матрицы размера $m \times n$, то

   $$\mathbf{A} + \mathbf{B} = [a_{ij} + b_{ij}].$$

2. Умножение матрицы на скаляр:

   $$\alpha \mathbf{A} = [\alpha a_{ij}].$$

3. Умножение матриц: Для матриц $\mathbf{A}$ размера $m \times n$ и $\mathbf{B}$ размера $n \times p$ произведение $\mathbf{A}\mathbf{B}$ — это матрица размера $m \times p$:

   $$(\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}.$$

15.2. Свойства

• Сложение матриц коммутативно и ассоциативно.

• Умножение матриц ассоциативно, но не обязательно коммутативно.

• Распределительность: $\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C}) = \mathbf{A}\mathbf{B} + \mathbf{A}\mathbf{C}$ и $(\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{A} = \mathbf{B}\mathbf{A} + \mathbf{C}\mathbf{A}$.

• Существование нулевой матрицы $\mathbf{0}$ такой, что $\mathbf{A} + \mathbf{0} = \mathbf{A}$ для любой матрицы $\mathbf{A}$.

• Существование единичной матрицы $\mathbf{I}_n$ (размера $n \times n$), которая является нейтральным элементом относительно умножения: $\mathbf{I}_n \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{I}_n = \mathbf{A}$.

---

16. Обратная матрица и правила ее вычисления. Теорема о связи обратной матрицы с матрицей алгебраических дополнений

16.1. Обратимая матрица

Квадратная матрица $\mathbf{A}$ порядка $n$ называется обратимой, если существует такая матрица $\mathbf{A}^{-1}$, что

$$\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} = \mathbf{I}_n.$$

Обратимая матрица существует тогда и только тогда, когда $\det(\mathbf{A}) \neq 0$.

16.2. Правило вычисления обратной матрицы через алгебраические дополнения

Если $\mathbf{A}$ — квадратная матрица размера $n \times n$ с ненулевым определителем, то обратная матрица может быть найдена по формуле:

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \mathbf{A}^*,$$

где $\mathbf{A}^*$ — матрица алгебраических дополнений к $\mathbf{A}$ (также называемая присоединённой или адъюнкт-матрицей).

16.3. Матрица алгебраических дополнений (присоединённая матрица)

• Алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$ матрицы $\mathbf{A}$ задаётся:

  $$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij},$$

  где $M_{ij}$ — минор, полученный удалением $i$-ой строки и $j$-ого столбца.

• Матрица алгебраических дополнений $\mathbf{C} = [C_{ij}]$.

• Присоединённая (адъюнкт) матрица $\mathbf{A}^*$ есть транспонированная матрица $\mathbf{C}$:

  $$\mathbf{A}^* = \mathbf{C}^T.$$

16.4. Теорема о связи обратной матрицы с матрицей алгебраических дополнений

Теорема: Если $\mathbf{A}$ — обратимая матрица, то

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{\mathbf{A}^*}{\det(\mathbf{A})}.$$

Доказательство следует из определения присоединённой матрицы и свойства разложения определителя по строке или столбцу. При умножении $\mathbf{A}\mathbf{A}^*$ диагональные элементы произведения равны $\det(\mathbf{A})$, а недиагональные — нулю, что даёт $\mathbf{A}\mathbf{A}^* = \det(\mathbf{A}) \mathbf{I}_n$.

16.5. Пример

Для матрицы:

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}$$

$\det(\mathbf{A}) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \neq 0$, следовательно, матрица обратима.

Алгебраические дополнения:

$$C_{11} = (-1)^{1+1} \det(4) = 4, \quad C_{12} = (-1)^{1+2}\det(3) = -3,$$ $$C_{21} = (-1)^{2+1}\det(2) = -2, \quad C_{22} = (-1)^{2+2}\det(1) = 1.$$

Матрица алгебраических дополнений:

$$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{pmatrix}.$$

Присоединённая матрица:

$$\mathbf{A}^* = \mathbf{C}^T = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{pmatrix}.$$

Обратная матрица:

$$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})}\mathbf{A}^* = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \\ \end{pmatrix}.$$

---

Заключение

Пункты 10–16 связаны с основами линейной алгебры — от определения линейных пространств и понятий линейной зависимости, до ранга матрицы, теоремы Кронекера-Капелли о совместности систем уравнений, и операций над матрицами, включая вычисление обратной матрицы. Понимание этих тем является фундаментом для решения систем линейных уравнений, анализа линейных преобразований и изучения более продвинутых разделов линейной алгебры.