수열 조건 만족값 합

문제 분석 및 해결 방법 모색

주어진 정수 순열을 분석하며 첫 번째 m이 3일 때, |a_m| = |a_{m+2}| 조건을 충족하는 모든 경우의 합을 구하는 방법을 찾고 있어.

조건 확인하기

a_3과 a_5를 a_1에 따라 계산하고, 주어진 조건을 충족하는 a_1을 찾아내는 과정이야. 이를 통해 모든 가능한 a_1 값을 계산하고 있어.

계산 과정 살펴보기

a3와 a5을 a1에 따라 계산하고, 다양한 a1의 경우를 살펴보며 주어진 조건을 충족하는 모든 가능성을 분석하고 있어.

패턴 파악하기

a1이 짝수일 때와 홀수일 때의 패턴을 파악하고, 절대값이 조건에 영향을 미치는지 살펴보고 있어.

a1의 짝과 홀 수에 따른 변환

a1의 짝과 홀 수에 따라 a3와 a5를 표현하고 있어. a1의 짝수와 홀수에 따른 세부 변환을 생각 중이야.

짝수 시작하기

a1이 짝수일 때, a2는 a1 / 2로 계산되고, a3는 a1 / 4로 계산되고 있어. 이 패턴을 계속 추적하면 조건을 충족하는 다른 세부사항이 나올 수 있어.

짝수 분석

a1이 8의 배수일 때 a3는 짝수로 나타나고, a1이 4 mod 8일 때 a3는 홀수로 나타나고 있어. 이를 통해 a1의 패턴을 추적할 수 있어.

짝수와 홀수 구분하기

a1이 8의 배수가 아니고 4의 배수라면, |a3|와 |a5|가 같은 값을 갖기 위해서는 x의 값이 해결돼야 해. 그것을 통해 a1의 패턴을 파악하고 있어.

확인 중 발견

|x| = |x-3|를 풀고, a1이 4의 배수로 나타나는 경우를 살펴하는 중이야. m=1과 m=2 조건이 충족되지 않아서 a1=4는 유효하지 않다는 결론에 이르고 있어.

짝수와 홀수 구분하기

a1이 4의 배수가 아니면, a2는 짝수로 나타나고 a3는 홀수로 계산되고 있어. a4는 a2에서 3을 뺀 값의 절반으로 나오고 있어.

짝수와 홀수 찾기

a1이 6일 때 a2=a1/2, a3=a2-3, a4=a3/2, a5=a4-3이 되고 모든 m의 조건을 충족하고 있어.

짝수와 홀수의 패턴

x가 3 이상 9 미만일 때, x가 5일 때 조건을 충족하고 있는 것을 발견하고 있어. 이를 통해 다양한 경우를 검토하고 있네.

짝수와 홀수의 관계

X가 5일 때 조건을 충족하고 있어. 다르게 풀이할 때 X가 5와 -1에서만 조건을 만족하고 있네.

짝수와 홀수 판별하기

a1이 -6일 때, m=1 조건을 만족하지 못하고 있어. 그래서 결국 a1=10만이 유효하다는 결론에 이르고 있네.

값의 유효성 살펴보기

a1이 6이면 a2=3, a3=0, a4=0, a5=0이 되고 있어. m=1 조건을 만족하지만, a1=6은 유효하지 않다는 결론에 이르고 있어.

짝수와 홀수 분석

a1이 6일 때, a2는 3, a3는 0, a4는 0이 되고 있어. m=1 조건을 만족하지만, a1=6은 유효하지 않다는 결론에 이르고 있네.

다양한 방법의 접근

모든 조건을 만족하는 a1을 찾고 있어. a1이 짝수와 홀수일 때의 a2, a3, a4, a5 변환을 탐색하며 가능한 a1을 분류 중이야.

조건 충족 확인

|a3|=|a5|이고, |a1|≠|a3| 및 |a2|≠|a4|인 모든 가능한 순열을 살펴보고 있어. a1의 조건을 차례로 검토 중이야.

짝수와 홀수의 관계

a1이 짝수와 홀수일 때 a3를 어떻게 정의할지 살펴보고 있어. 이를 통해 a1의 조건을 더 잘 이해할 수 있겠네.

숫자 패턴 파악

a1이 홀수일 때, a3는 (a1 - 3)/2로 나타나고, a4는 대수적으로 두 가지 가능성을 가지고 있어. 이를 통해 a1의 조건을 더 잘 이해하고, 패턴을 인식하고 있어.

짝수와 홀수 분석

a1이 짝수일 때, 경우에 따라 a3와 a5의 값이 달라지며, 이를 통해 a1의 조건을 더 잘 이해하고 있어. 예를 들어, a1=10일 때 a3는 2, a5는 1이야.

짝수와 홀수 분석

a1이 8의 배수일 때, a3는 짝수로 나오고 a5는 a1 /4로 계산되고 있어. a1이 4의 배수라면 a3는 홀수이고 a5는 a3 /2에서 3을 뺀 값이 되고 있어.

짝수와 홀수의 관계

a1이 8의 배수일 때 a3는 짝수로 나오고 a5는 a4 /2에서 3을 뺀 값이 되고 있어. a1이 4의 배수라면 a3는 홀수이고 a5는 a3 /2에서 3을 뺀 값이 되고 있어.

짝수와 홀수의 관계

a1이 8의 배수일 때, -24와 8이 조건을 만족하고 있어. a1=8일 때, 나머지 조건도 충족하며, a1=24는 조건을 충족하지 못하고 있어.

규칙 찾기

a1이 8의 배수일 때, 가능한 a1 값을 -24와 8로 좁히고 있어. a1이 4의 배수인데 8의 배수는 아니면, a1 값을 -4, 4, 20 등으로 살펴보고 있어.

단계별 분석

a1이 4의 배수일 때, 가능한 a1 값을 -12와 4로 좁히고 있어. a1 = 4는 조건을 만족하지 않고 있어. Hm, 다른 방법을 시도해봐야겠다.

분석 중인 가능성

a1을 8, -24, -12로 좁히고 있어. a1=6과 10은 4의 배수는 아니니까 다루고 있어야 하는 상황이야.

분석 중인 조건

a1이 6과 10일 때 조건을 맞추는 방법을 찾아보고 있어. a1이 6일 때는 두 번째와 세 번째 조건을 충족하고, a1이 10일 때는 네 번째 조건을 충족해.

조건 충족하기

a1이 -24일 때, m=1과 m=2 조건을 만족하고 있어. a1=8과 a1=-12도 같은 조건을 맞추고 있네. 이걸 통해 여러 가능성을 검토하고 있어.

짝수와 홀수의 관계

a1이 짝수일 때, a1=3 mod4이기 때문에 a3은 짝수로 나오고, a4와 a5의 값은 k의 홀수 여부에 따라 달라지고 있어.

짝수와 홀수의 관계

k가 홀수일 때 a1은 -9와 7이 되고 있어. m=1과 m=2 조건을 만족하는지 확인 중이야. k=-3과 k=1에서 조건을 충족하는 a1을 찾고 있어.

짝수와 홀수 분석하기

a1이 짝수일 때와 홀수일 때, a3의 매개변수가 다르다는 것을 발견하고 있어. 이를 통해 a1의 가능한 값들을 좁혀가고 있어.

짝수와 홀수의 관계

a1이 홀수일 때 a3와 a5의 값이 달라지며, m=1과 m=2 조건을 충족하지 않고 있어. a1이 4의 배수는 아니지만 4의 배수 플러스 1인 경우다.

분석 중 발견

a1=6, 8, 10, -12, -24이 조건을 충족하고 있어. a1=7과 -9은 m=1과 m=2 조건을 맞추지 못하고 있어.

유효한 값 찾기

a1이 -12이면 m=2 조건을 충족하지 못해 유효하지 않아. a1이 6, 8, 10, -24, 7, -9일 때 조건을 맞추고 있어.

확인 중인 유효성

a1=6, 7, 8, 10, -9, -24가 조건을 충족하고 있어요. 이 값을 합산해 보니 64가 나오네요.

1m 43s 동안 생각

문제를 해결하기 위해 모든 가능한 정수 $a_1$ 값을 찾아 조건을 만족시키는지 확인해 보겠습니다.

조건 정리

1. 수열의 정의: $$a_{n+1} = \begin{cases} a_n - 3 & (a_n \text{이 홀수인 경우}) \\ \frac{1}{2}a_n & (a_n \text{이 짝수인 경우}) \end{cases}$$
2. 조건 (나): $|a_m| = |a_{m+2}|$인 자연수 $m$의 최솟값이 3이어야 한다.
   • 즉, $m = 1$과 $m = 2$에서는 조건이 성립하지 않아야 하고, $m = 3$에서 조건이 성립해야 합니다.

가능한 $a_1$ 값 찾기

조건을 만족시키는 $a_1$ 값을 찾기 위해, 가능한 몇 가지 값을 대입해 보겠습니다.

1. $a_1 = 6$인 경우:

   $$\begin{align*} a_2 &= 6 / 2 = 3 \\ a_3 &= 3 - 3 = 0 \\ a_4 &= 0 / 2 = 0 \\ a_5 &= 0 / 2 = 0 \\ \end{align*}$$
   • $|a_1| = 6 \neq |a_3| = 0$ (조건 $m = 1$ 만족)
   • $|a_2| = 3 \neq |a_4| = 0$ (조건 $m = 2$ 만족)
   • $|a_3| = 0 = |a_5| = 0$ (조건 $m = 3$ 만족)
   • 유효한 값입니다.

2. $a_1 = 7$인 경우:

   $$\begin{align*} a_2 &= 7 - 3 = 4 \\ a_3 &= 4 / 2 = 2 \\ a_4 &= 1 \\ a_5 &= -2 \\ \end{align*}$$
   • $|a_1| = 7 \neq |a_3| = 2$ (조건 $m = 1$ 만족)
   • $|a_2| = 4 \neq |a_4| = 1$ (조건 $m = 2$ 만족)
   • $|a_3| = 2 = |a_5| = 2$ (조건 $m = 3$ 만족)
   • 유효한 값입니다.

3. $a_1 = 8$인 경우:

   $$\begin{align*} a_2 &= 8 / 2 = 4 \\ a_3 &= 2 \\ a_4 &= 1 \\ a_5 &= -2 \\ \end{align*}$$
   • $|a_1| = 8 \neq |a_3| = 2$ (조건 $m = 1$ 만족)
   • $|a_2| = 4 \neq |a_4| = 1$ (조건 $m = 2$ 만족)
   • $|a_3| = 2 = |a_5| = 2$ (조건 $m = 3$ 만족)
   • 유효한 값입니다.

4. $a_1 = 10$인 경우:

   $$\begin{align*} a_2 &= 10 / 2 = 5 \\ a_3 &= 5 - 3 = 2 \\ a_4 &= 1 \\ a_5 &= -2 \\ \end{align*}$$
   • $|a_1| = 10 \neq |a_3| = 2$ (조건 $m = 1$ 만족)
   • $|a_2| = 5 \neq |a_4| = 1$ (조건 $m = 2$ 만족)
   • $|a_3| = 2 = |a_5| = 2$ (조건 $m = 3$ 만족)
   • 유효한 값입니다.

5. $a_1 = -9$인 경우:

   $$\begin{align*} a_2 &= -9 - 3 = -12 \\ a_3 &= -12 / 2 = -6 \\ a_4 &= -6 / 2 = -3 \\ a_5 &= -3 - 3 = -6 \\ \end{align*}$$
   • $|a_1| = 9 \neq |a_3| = 6$ (조건 $m = 1$ 만족)
   • $|a_2| = 12 \neq |a_4| = 3$ (조건 $m = 2$ 만족)
   • $|a_3| = 6 = |a_5| = 6$ (조건 $m = 3$ 만족)
   • 유효한 값입니다.

6. $a_1 = -24$인 경우:

   $$\begin{align*} a_2 &= -24 / 2 = -12 \\ a_3 &= -12 / 2 = -6 \\ a_4 &= -6 / 2 = -3 \\ a_5 &= -3 - 3 = -6 \\ \end{align*}$$
   • $|a_1| = 24 \neq |a_3| = 6$ (조건 $m = 1$ 만족)
   • $|a_2| = 12 \neq |a_4| = 3$ (조건 $m = 2$ 만족)
   • $|a_3| = 6 = |a_5| = 6$ (조건 $m = 3$ 만족)
   • 유효한 값입니다.

유효한 $a_1$ 값의 절댓값 합

유효한 $a_1$ 값들은 $6, 7, 8, 10, -9, -24$입니다. 이들의 절댓값을 합하면:

따라서, 모든 $|a_1|$의 합은 $64$입니다.

정답: 64