Теория игр ЕГЭ

Конечно! Давайте разберём задачи 19-21 из ЕГЭ по информатике 2025 года, посвящённые теории игр. Я постараюсь объяснить всё простыми словами и покажу, как можно использовать Python для решения таких задач.

Основные понятия теории игр

Теория игр в информатике изучает стратегии игроков в различных играх с целью определения оптимальных ходов. Обычно такие задачи включают два игрока, которые по очереди делают ходы, и цель — добиться определённого результата (например, взять последний объект).

Типичные задачи на теорию игр в ЕГЭ

Часто задачи включают игры с кучками объектов (например, камней, конфет), где игроки по очереди берут определённое количество объектов. Побеждает тот, кто сделал последний ход.

Задача 19: Игра с кучками

Условие (примерное): Есть несколько кучек камней. За один ход можно взять любое количество камней из одной кучки. Игрок, взявший последний камень, выигрывает. Определите, кто выиграет при правильной игре обоих игроков.

Решение:

Эта игра известна как игра Ним. Чтобы определить победителя, нужно вычислить XOR-сумму размеров всех кучек. Если сумма равна 0, то выигрывает второй игрок; иначе — первый.

Пример на Python:

python
def determine_winner(n, piles):
    xor_sum = 0
    for pile in piles:
        xor_sum ^= pile
    return "Первый игрок" if xor_sum != 0 else "Второй игрок"

# Пример использования:
n = 3
piles = [3, 4, 5]
print(determine_winner(n, piles))  # Вывод: Первый игрок

Задача 20: Вычисление минимаксного хода

Условие (примерное): В игре два игрока по очереди делают ходы. Каждому ходу соответствует определённое состояние игры. Определите, выиграет ли первый игрок при оптимальной игре обоих.

Решение:

Используется рекурсивный подход с запоминанием уже вычисленных состояний (мемоизация). Проверяем все возможные ходы: если есть хотя бы один ход, после которого второй игрок не может выиграть, то текущий игрок выигрывает.

Пример на Python:

python
def can_win(state, memo={}):
    if state in memo:
        return memo[state]
    # Базовый случай: если нет ходов, проигрывает текущий игрок
    if state == 0:
        memo[state] = False
        return False
    for move in possible_moves(state):
        next_state = state - move
        if not can_win(next_state, memo):
            memo[state] = True
            return True
    memo[state] = False
    return False

def possible_moves(state):
    # Определите возможные ходы. Например, можно взять 1, 2 или 3 объекта
    return [1, 2, 3] if state >= 1 else []

# Пример использования:
initial_state = 4
winner = "Первый игрок" if can_win(initial_state) else "Второй игрок"
print(winner)  # Вывод: Первый игрок

Задача 21: Оптимизация стратегии

Условие (примерное): Игра с ограничениями на ходы. Например, можно взять не более половины текущей кучки. Определите стратегию победы.

Решение:

Здесь необходимо учитывать ограничения на ходы и использовать динамическое программирование или теорию Нима с модификациями. Анализируем возможные ходы и определяем, приводит ли ход к выигрышной позиции.

Пример на Python:

python
def can_win_limited(state, memo={}):
    if state in memo:
        return memo[state]
    if state == 0:
        memo[state] = False
        return False
    max_take = state // 2
    for move in range(1, max_take + 1):
        next_state = state - move
        if not can_win_limited(next_state, memo):
            memo[state] = True
            return True
    memo[state] = False
    return False

# Пример использования:
initial_state = 10
winner = "Первый игрок" if can_win_limited(initial_state) else "Второй игрок"
print(winner)  # Вывод зависит от конкретной стратегии

Общие советы для решения задач на теорию игр:

1. Понимание игры: Внимательно прочитайте условие и определите, какие ходы возможны и как определяется победа.

2. Математический анализ: Попробуйте найти закономерности или использовать известные теоремы (например, игра Ним и XOR-сумма).

3. Рекурсия и мемоизация: Для сложных игр используйте рекурсивные функции с мемоизацией, чтобы избежать повторных вычислений.

4. Динамическое программирование: Иногда задачи требуют построения таблиц выигрышных и проигрышных позиций.

5. Практика: Решайте разные задачи, чтобы лучше понять различные типы игр и подходы к их решению.

Заключение

Теория игр — интересная и важная тема в информатике, особенно на экзаменах. Понимание основных принципов и умение применять их на практике с помощью программирования на Python значительно облегчит решение подобных задач. Удачи на экзамене!

Конечно! Давайте создадим полный и подробный гайд по решению задач на теорию игр, ориентированный на подготовку к ЕГЭ по информатике 2025 года. Мы рассмотрим основные понятия, типичные типы задач, методы решения и примеры с использованием Python. Поскольку вы уже неплохо разбираетесь в Python, мы будем включать программные решения, которые помогут вам лучше понять материал и подготовиться к экзамену.

---

Содержание

1. Введение в теорию игр
2. Типы игр и основные понятия
3. Стратегии и выигрышные позиции
4. Основные методы решения задач на теорию игр
   • 4.1. Игра Ним и XOR-сумма
   • 4.2. Грейдевские числа и Гранди
   • 4.3. Минимакс и рекурсивные стратегии
5. Примеры задач из ЕГЭ по информатике на теорию игр
   • 5.1. Задача 19: Игра с кучками (Игра Ним)
   • 5.2. Задача 20: Определение выигрышных позиций с ограниченными ходами
   • 5.3. Задача 21: Игра с дополнительными условиями на ходы
6. Практические советы и рекомендации
7. Заключение

---

1. Введение в теорию игр

Теория игр — это раздел математики и информатики, изучающий стратегии взаимодействующих агентов (игроков) с противоположными или совпадающими интересами. В контексте ЕГЭ по информатике задачи на теорию игр обычно сводятся к определению выигрышной стратегии в определённой игре с заданными правилами.

Основная цель таких задач — определить, при правильной игре обоих игроков, кто победит (первый или второй игрок), или вывести оптимальные ходы для победы.

---

2. Типы игр и основные понятия

2.1. Типы игр

В теории игр различают множество типов игр, но для ЕГЭ по информатике наиболее распространены следующие:

1. Комбинаторные игры: игры с конечным числом ходов, без случайных элементов и скрытой информации. Обычно с двумя игроками, которые ходят по очереди.
2. Игры с кучками (например, игра Ним): игроки берут объекты из кучек по определённым правилам.
3. Игры с ограничениями на ходы: игроки могут совершать определённые ходы, ограниченные условиями задачи.

2.2. Основные понятия

• Игроки: участники игры, обычно два (Первый и Второй игрок).
• Ходы: действия, которые игроки могут совершать в игре.
• Позиция: текущее состояние игры.
• Выигрышная позиция: положение, из которого игрок может гарантированно выиграть при правильной игре.
• Проигрышная позиция: положение, из которого игрок не может избежать поражения при правильной игре оппонента.
• Стратегия: план действий игрока, определяющий его ход в любой позиции.
• Победитель: игрок, который совершает последний допустимый ход.

---

3. Стратегии и выигрышные позиции

3.1. Стратегии

Стратегия — это набор правил, по которым игрок выбирает свой ход в каждой возможной позиции игры. Существует две основных стратегии:

• Детерминированная стратегия: выбор хода основывается на чётких правилах без случайности.
• Случайная стратегия: выбор хода включает элемент случайности (чаще встречается в продвинутых задачах, но редко на ЕГЭ).

На ЕГЭ обычно рассматриваются детерминированные стратегии.

3.2. Выигрышные и проигрышные позиции

• Выигрышная позиция: из неё существует хотя бы один ход, ведущий во все возможные следующие позиции, которые являются проигрышными для оппонента.
• Проигрышная позиция: все возможные ходы из неё ведут в выигрышные позиции для оппонента.

Определение этих позиций позволяет разработать стратегию выигрыша.

---

4. Основные методы решения задач на теорию игр

4.1. Игра Ним и XOR-сумма

Игра Ним — классическая комбинаторная игра с кучками объектов. Правила:

• Есть несколько кучек камней.
• Игроки ходят по очереди, каждый за ход может взять любое количество камней из одной кучки.
• Выигрывает игрок, который взял последний камень.

Теорема Нима утверждает, что выигрышную стратегию можно определить с помощью XOR-суммы размеров кучек.

XOR-сумма (или Ним-сумма): побитовое исключающее ИЛИ (XOR) всех размеров кучек.

Правило выигрыша:

• Если XOR-сумма всех кучек равна 0, то выигрывает Второй игрок (при правильной игре обоих).
• Если XOR-сумма не равна 0, выигрывает Первый игрок.

Пример:

Кучки: [3, 4, 5]

XOR-сумма: 3 ^ 4 ^ 5 = (011) ^ (100) ^ (101) = 010 = 2 ≠ 0 → выигрывает Первый игрок.

4.2. Грейдевские числа и Гранди

Гранди (Grundy) число — числовое значение позиции в игре, определяющее её статус (выигрышная или проигрышная).

Для каждой позиции вычисляется Гранди число как минимальное неотрицательное целое число, которого нет среди Гранди чисел всех позиций, доступных из текущей.

Гранди числа позволяют свести множество игр к игре Ним, где каждая кучка соответствует позиции с определённым Гранди числом.

4.3. Минимакс и рекурсивные стратегии

Минимакс — метод, используемый для определения оптимальных ходов в играх с двумя игроками.

Алгоритм:

1. Для каждой возможной позиции оцениваем, является ли она выигрышной или проигрышной.
2. Если из текущей позиции есть хотя бы один ход, ведущий в проигрышную позицию для оппонента, то текущая позиция — выигрышная.
3. Иначе позиция — проигрышная.

Рекурсия и мемоизация используются для эффективного определения статуса позиций, избегая повторных вычислений.

---

5. Примеры задач из ЕГЭ по информатике на теорию игр

Давайте рассмотрим примеры задач 19-21 из ЕГЭ по информатике 2025 года, связанные с теорией игр. Поскольку конкретные условия задач неизвестны, будем исходить из типичных формулировок.

5.1. Задача 19: Игра с кучками (Игра Ним)

Условие:

В игре участвуют два игрока и три кучки камней, содержащие 3, 4 и 5 камней соответственно. Игроки по очереди берут любое количество камней из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последний камень. Определите, кто выиграет при правильной игре обоих игроков.

Решение:

Используем теорему Нима.

1. Вычисляем XOR-сумму размеров кучек:

   3 ^ 4 ^ 5 = (011) ^ (100) ^ (101) = (011 ^ 100) = 111; затем 111 ^ 101 = 010 = 2 ≠ 0.

2. Поскольку XOR-сумма ≠ 0, выигрывает Первый игрок.

Программное решение на Python:

python
def determine_winner_nim(piles):
    xor_sum = 0
    for pile in piles:
        xor_sum ^= pile
    return "Первый игрок" if xor_sum != 0 else "Второй игрок"

# Пример использования:
piles = [3, 4, 5]
winner = determine_winner_nim(piles)
print(winner)  # Вывод: Первый игрок

Объяснение кода:

• Функция determine_winner_nim принимает список размеров кучек.
• Вычисляется XOR-сумма всех кучек.
• Если сумма не равна нулю, выигрывает Первый игрок, иначе — Второй.

---

5.2. Задача 20: Определение выигрышных позиций с ограниченными ходами

Условие:

Есть кучка из n камней. Игроки по очереди берут из неё 1, 2 или 3 камня. Выигрывает тот, кто берет последний камень. Определите, выиграет ли Первый игрок при оптимальной игре обоих игроков, если n = 4.

Решение:

Эта игра является разновидностью игры Ним с одной кучкой и ограниченным числом камней, которые можно взять за ход. В данном случае, мы можем использовать динамическое программирование для определения выигрышных и проигрышных позиций.

1. Определим, для каждого числа камней от 0 до n, является ли позиция выигрышной (True) или проигрышной (False).

2. Базовые случаи:

   • dp[0] = False (проигрышная позиция, если камней нет).
   • dp[1] = True (можно взять 1 камень и выиграть).
   • dp[2] = True (можно взять 2 камня и выиграть).
   • dp[3] = True (можно взять 3 камня и выиграть).

3. Для n = 4:

   • Проверяем возможные ходы: взять 1, 2 или 3 камня.
   • После хода остается 3, 2 или 1 камень соответственно.
   • dp[4] будет False, если все позиции после ходов выигрышные для оппонента.
   • Поскольку dp[1], dp[2], и dp[3] — True, то dp[4] = False.

4. Следовательно, при n = 4 выигрывает Второй игрок.

Программное решение на Python:

python
def can_first_player_win(n):
    dp = [False] * (n + 1)
    # Базовые случаи
    if n >= 1:
        dp[1] = True
    if n >= 2:
        dp[2] = True
    if n >= 3:
        dp[3] = True
    # Вычисляем для остальных позиций
    for i in range(4, n + 1):
        # Проверяем, есть ли ход, который ведет в проигрышную позицию для оппонента
        if not dp[i - 1] or not dp[i - 2] or not dp[i - 3]:
            dp[i] = True
        else:
            dp[i] = False
    return "Первый игрок" if dp[n] else "Второй игрок"

# Пример использования:
n = 4
winner = can_first_player_win(n)
print(winner)  # Вывод: Второй игрок

Объяснение кода:

• Создаём массив dp, где dp[i] — может ли игрок выиграть при i камнях.
• Инициализируем базовые случаи: для 1, 2, 3 камней выигрышные.
• Для каждой позиции от 4 до n проверяем, существует ли ход (взять 1, 2 или 3 камня), после которого оппонент окажется в проигрышной позиции.
• Если такой ход существует, текущая позиция выигрышная (True), иначе — проигрышная (False).
• В конце определяем, кто выиграет при n камнях.

---

5.3. Задача 21: Игра с дополнительными условиями на ходы

Условие:

Игра начинается с кучки из n камней. Игроки по очереди берут из неё любое количество камней, но не более половины текущего количества камней (округление вниз). Например, если в кучке 5 камней, можно взять не более 2 камней. Выигрывает тот, кто берет последний камень. Определите, выиграет ли Первый игрок при n = 10.

Решение:

В этой задаче правила взятия камней зависят от текущего количества камней. Нужно определить, можно ли разработать стратегию, при которой Первый игрок всегда выигрывает.

Используем рекурсивный подход с мемоизацией.

1. Для каждой позиции i (количество камней), определяем, является ли она выигрышной.
2. Для текущего количества камней i, максимальное количество камней, которые можно взять: max_take = i // 2.
3. Перебираем все возможные ходы от 1 до max_take:
   • Если после хода (то есть при i - take) оппонент оказывается в проигрышной позиции, то текущая позиция выигрышная.
4. Если ни один ход не ведёт в проигрышную позицию для оппонента, текущая позиция проигрышная.

Программное решение на Python:

python
def can_first_player_win_limited(n, memo=None):
    if memo is None:
        memo = {}
    if n in memo:
        return memo[n]
    if n == 0:
        memo[n] = False
        return False
    max_take = n // 2
    for take in range(1, max_take + 1):
        next_state = n - take
        # Если оппонент не может выиграть из следующего состояния
        if not can_first_player_win_limited(next_state, memo):
            memo[n] = True
            return True
    memo[n] = False
    return False

def determine_winner_limited(n):
    return "Первый игрок" if can_first_player_win_limited(n) else "Второй игрок"

# Пример использования:
n = 10
winner = determine_winner_limited(n)
print(winner)  # Вывод зависит от стратегии

Пояснение решения:

1. Рекурсивная функция can_first_player_win_limited:

   • Проверяет, может ли текущий игрок выиграть при n камнях.
   • Использует мемоизацию (memo), чтобы избежать повторных вычислений.
   • Базовый случай: n = 0 — проигрышная позиция.
   • Для текущего n вычисляется максимальное количество камней, которые можно взять: max_take = n // 2.
   • Перебираются все возможные ходы (1 до max_take).
   • Если найдётся ход, при котором оппонент не может выиграть (not can_win(next_state)), текущая позиция выигрышная.

2. Функция determine_winner_limited:

   • Возвращает, кто выиграет при заданном n.

Применение к n = 10:

Выполнив программу, получим:

Первый игрок

Почему Первый игрок выигрывает:

• Первый игрок может взять 5 камней (половину от 10), оставив оппоненту 5 камней.
• Оппонент может взять максимум 2 камня, оставив 3.
• Первый игрок может взять 1 камень, оставив 2.
• Оппонент может взять 1 камень, оставив 1.
• Первый игрок берет последний камень и выигрывает.

---

6. Практические советы и рекомендации

1. Понимание правил игры: Внимательно читайте условие задачи, определите, какие ходы разрешены и как определяется победитель.

2. Анализ позиций:

   • Определите, какие позиции являются базовыми (например, n = 0).
   • Постепенно расширяйте анализ, определяя выигрышные и проигрышные позиции.

3. Использование рекурсии и мемоизации:

   • Многие задачи на теорию игр сводятся к рекурсивному анализу позиций.
   • Используйте мемоизацию для оптимизации времени выполнения.

4. Изучение теорем и формул:

   • Теорема Нима и концепция XOR-суммы часто встречаются в задачах на кучки.
   • Понимание Гранди чисел поможет решать более сложные задачи.

5. Практика на примерах:

   • Решайте как можно больше типовых задач.
   • Анализируйте решения, чтобы лучше понимать методы.

6. Написание кода:

   • Практикуйтесь в написании программ для определения выигрышных позиций.
   • Это поможет автоматизировать процесс и проверять свои решения.

7. Проверка крайних случаев:

   • Проверяйте свои решения на маленьких значениях n, чтобы убедиться в правильности логики.

---

7. Заключение

Теория игр — важная и интересная тема в информатике, особенно на ЕГЭ. Понимание основных принципов, таких как выигрышные и проигрышные позиции, использование XOR-суммы в игре Ним, а также применение рекурсии и динамического программирования для определения стратегий, поможет вам успешно решать задачи на эту тему.

Основные шаги при решении задач на теорию игр:

1. Внимательно прочитайте условие и определите тип игры.
2. Определите базовые случаи и выведите закономерности для выигрышных позиций.
3. Используйте известные теоремы (например, теорему Нима) там, где это применимо.
4. Разработайте алгоритм решения, используя рекурсию, мемоизацию или динамическое программирование.
5. Реализуйте решение на Python, чтобы проверить свои выводы и убедиться в правильности подхода.
6. Практикуйтесь на разнообразных задачах, чтобы укрепить понимание материала.

Удачной подготовки и успешной сдачи ЕГЭ по информатике!