реши

Обозначим левую шину как $A$, правую — $B$. $C=4\,\mu\text{F}$, $\varepsilon=10\,\text{В}$.

1) До замыкания ключа (ветвь с $2\varepsilon$ разомкнута)

Получается один замкнутый контур: сверху конденсатор $C$ между $A$ и $B$, снизу — батарея $\varepsilon$ и конденсатор $C$ последовательно между $A$ и $B$. Узел $B$ изолирован (подключён только к обкладкам конденсаторов), значит его суммарный заряд сохраняется и равен нулю:

$$q_{B,\text{верх}}+q_{B,\text{низ}}=0$$

Отсюда оба конденсатора в итоге имеют одинаковые по модулю напряжения, и по закону Кирхгофа:

$$U_1+U_2=\varepsilon,\quad U_1=U_2=\frac{\varepsilon}{2}.$$

Энергия в конденсаторах:

$$W_i=2\cdot\frac12 C\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^2=\frac{C\varepsilon^2}{4}.$$

2) После замыкания ключа

Идеальная батарея $2\varepsilon$ напрямую задаёт:

$$V_B - V_A = 2\varepsilon.$$

Тогда:

• верхний конденсатор: $U_{\text{верх}}=2\varepsilon$;
• нижний конденсатор стоит между узлом после батареи $\varepsilon$ (там потенциал $+\varepsilon$ относительно $A$) и узлом $B$ (потенциал $2\varepsilon$), значит

$$U_{\text{низ}}=\varepsilon-2\varepsilon=-\varepsilon,\quad |U_{\text{низ}}|=\varepsilon.$$

Энергия после:

$$W_f=\frac12 C(2\varepsilon)^2+\frac12 C(\varepsilon)^2=\frac{5}{2}C\varepsilon^2.$$ $$\Delta W = W_f-W_i=\left(\frac{5}{2}-\frac14\right)C\varepsilon^2=\frac{9}{4}C\varepsilon^2.$$

3) Работа источников

Посчитаем заряд, прошедший через источники (по изменению зарядов на «их» узлах):

Батарея $2\varepsilon$: узел $B$ до замыкания имел суммарный заряд 0. После:

$$q_{B}=C(2\varepsilon)+C(\varepsilon)=3C\varepsilon.$$

Значит через источник $2\varepsilon$ прошло $Q_2=3C\varepsilon$, работа

$$A_2=2\varepsilon\cdot Q_2=2\varepsilon\cdot 3C\varepsilon=6C\varepsilon^2.$$

Батарея $\varepsilon$: узел между батареей $\varepsilon$ и нижним конденсатором имел заряд $+C\frac{\varepsilon}{2}$ (до замыкания), стал $-C\varepsilon$ (после), то есть

$$Q_1=\Delta q = -C\varepsilon-\frac{C\varepsilon}{2}=-\frac{3}{2}C\varepsilon.$$

Работа:

$$A_1=\varepsilon Q_1=-\frac{3}{2}C\varepsilon^2.$$

Итого работа источников:

$$A=A_2+A_1=6C\varepsilon^2-\frac{3}{2}C\varepsilon^2=\frac{9}{2}C\varepsilon^2.$$

4) Теплота

$$Q_{\text{тепл}}=A-\Delta W=\frac{9}{2}C\varepsilon^2-\frac{9}{4}C\varepsilon^2=\frac{9}{4}C\varepsilon^2.$$

Подставим числа:

$$Q_{\text{тепл}}=\frac{9}{4}\cdot 4\cdot10^{-6}\cdot (10)^2 =\frac{9}{4}\cdot 4\cdot10^{-6}\cdot 100 =9\cdot10^{-4}\text{ Дж}=0.9\text{ мДж}.$$

Ответ: $0{,}9\ \text{мДж}$.