Есть число S. Сколькими способами можно набрать эт...

प्रश्न

Есть число S. Сколькими способами можно набрать эту сумму монетами в 1, 2 и 5 рублей?

विचार

Deriving the coin sum formula

The user asked about finding the number of ways to make a sum S using 1, 2, and 5 ruble coins. I can use a closed-form approach where, for each number of 5 ruble coins, the remainder can be filled by 2 ruble and 1 ruble coins. The formula sums the possibilities for each case, and I can also express it as a simplified piecewise formula. Let me provide the clear explanation in Russian.

Refining the coin sum formula

I’m refining the formula for calculating the number of ways to make a sum S using coins of 1, 2, and 5 rubles. I’ve considered splitting the sum into even and odd cases. For each type, I compute the corresponding sum, using integer arithmetic to handle the parity for even and odd terms efficiently. The closed-form formula can be quite detailed, though a loop formula might be simpler.

Thought for 39s

उत्तर

Если порядок монет не важен (т.е. считаем сочетания), то число способов — это число неотрицательных решений уравнения

x_1 + 2x_2 + 5x_5 = S.

Выбираем число монет по 5 рублей: $x_5 = k$ , где $k = 0,1,\dots,\left\lfloor \frac{S}{5}\right\rfloor$ .
Тогда остаётся сумма $R = S - 5k$ . Для неё число вариантов по 2 рубля:

x_2 = 0,1,\dots,\left\lfloor \frac{R}{2}\right\rfloor,

а $x_1$ (монеты по 1 рублю) определяется однозначно: $x_1 = R - 2x_2$ .

Значит, для фиксированного $k$ вариантов ровно $\left\lfloor \frac{S-5k}{2}\right\rfloor + 1$ , и итог:

\boxed{\;\;N(S)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor S/5\right\rfloor}\left(\left\lfloor \frac{S-5k}{2}\right\rfloor + 1\right)\;\;}

Пример: $S=10$

( \lfloor 10/2\rfloor+1 ) + ( \lfloor 5/2\rfloor+1 ) + ( \lfloor 0/2\rfloor+1 ) = 6+3+1 = 10.

प्रश्न

विचार

Deriving the coin sum formula

Refining the coin sum formula

उत्तर

इस प्रश्नोत्तर को साझा करें