Реши подробно объясняя теорию

Ниже — подробные решения обоих вариантов. (Если тебе нужен только один — просто скажи “только вариант 1/2”, и я оставлю только его.)

---

Вариант 1

1) Проверка Коши–Римана, дифференцируемость/конформность

Дано

$$u=\frac{x^3-3xy^2}{(1+x^2+y^2)^2},\qquad v=\frac{3x^2y-y^3}{(1+x^2+y^2)^2}.$$

Замечаем:

$$z=x+iy,\quad z^3=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3),\quad 1+x^2+y^2=1+|z|^2.$$

То есть

$$f=u+iv=\frac{z^3}{(1+|z|^2)^2}.$$

Фактор $(1+|z|^2)^2=(1+z\bar z)^2$ зависит от $\bar z$, а голоморфная функция не должна зависеть от $\bar z$. Проверим через производную Виртингера:

$$\frac{\partial f}{\partial \bar z} = z^3\cdot \frac{\partial}{\partial \bar z}(1+z\bar z)^{-2} = z^3\cdot\bigl(-2\bigr)(1+z\bar z)^{-3}\cdot z = -\frac{2z^4}{(1+|z|^2)^3}.$$

Это равно нулю только при $z=0$. Значит:

• $f$ комплексно дифференцируема только в точке $z=0$ (в других точках К–Р не выполняются).
• В $z=0$: $f(z)\sim z^3\Rightarrow f'(0)=0$.
  Следовательно, конформности нет (конформна там, где голоморфна и $f'(z)\neq 0$).

Ответ: дифференцируема только в $0$, не конформна.

---

2) Найти $v(x,y)$, чтобы $f=u+iv$ была голоморфной, $v(0,0)=0$

По фото в этом месте часто путают буквы; чтобы задача имела решение, $u$ должен быть гармонической. Рабочая форма (которая делает $u$ гармонической) такая:

$$u(x,y)=e^x\bigl((1+y)\cos y + x\sin y\bigr).$$

(Эта $u$ действительно гармонична и является $\Re\bigl((1-iz)e^z\bigr)$.)

Проверка “теории”: если $f$ голоморфна, то $u$ гармонична и выполняются К–Р:

$$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.$$

Заметим, что

$$(1-iz)=(1+y)-ix,\qquad e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).$$

Тогда

$$(1-iz)e^z=e^x\Big((1+y)\cos y + x\sin y\Big) +i\,e^x\Big((1+y)\sin y - x\cos y\Big).$$

Значит гармоническая сопряжённая:

$$\boxed{\,v(x,y)=e^x\bigl((1+y)\sin y - x\cos y\bigr)\,}$$

и $v(0,0)=0$ выполняется.

---

3) Главная ветвь $\Log$ (разрез $(-\infty,0]$)

$$\Log z=\ln|z|+i\Arg z,\quad \Arg z\in(-\pi,\pi].$$

• $i:\ |i|=1,\Arg(i)=\pi/2\Rightarrow \boxed{\Log(i)= i\pi/2}$.
• $-i:\ |-i|=1,\Arg(-i)=-\pi/2\Rightarrow \boxed{\Log(-i)= -i\pi/2}$.
• $-1+i:\ |{-1+i}|=\sqrt2,\Arg=3\pi/4\Rightarrow \boxed{\Log(-1+i)=\tfrac12\ln2+i\,\tfrac{3\pi}{4}}$.

---

4) Лоран около $z=1$, тип точки и $\mathrm{Res}_{z=1}$

$$f(z)=\frac{e^z(z^2+1)}{(z-1)^2(z+2)}.$$

В $z=1$ — полюс 2-го порядка.

Пусть $w=z-1$. Тогда $z=1+w$, $z+2=3+w$. Разложение даёт (до “главная часть + 2 регулярных”):

$$f(z)=\frac{2e}{3}\frac1{w^2}+\frac{10e}{9}\frac1w+\frac{26e}{27}+\frac{37e}{81}w+\dots$$

Отсюда

$$\boxed{\mathrm{Res}_{z=1}f=\frac{10e}{9}},\qquad \text{тип: полюс порядка 2.}$$

---

5) Лоран около $z=0$, тип и вычет

$$g(z)=\frac{(\log(1+z))^2}{z^3},\qquad \log(1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\dots$$

Квадрат начинается с $z^2$, значит после деления на $z^3$ будет $\sim 1/z$: простой полюс.

Разложение:

$$\boxed{g(z)=\frac1z-1+\frac{11}{12}z-\frac56z^2+\dots}$$ $$\boxed{\mathrm{Res}_{z=0}g=1},\qquad \text{тип: простой полюс.}$$

---

6) $\mathrm{Res}_{z=\infty}$

$$h(z)=\frac{2z^2+3z-1}{z(z-1)}.$$

Разложим:

$$h(z)=2+\frac{1}{z}+\frac{4}{z-1}.$$

Сумма вычетов в конечных точках: $1+4=5$. А всегда верно:

$$\mathrm{Res}_\infty h = -\sum_{\text{конечные}}\mathrm{Res}.$$ $$\boxed{\mathrm{Res}_{\infty}h=-5.}$$

---

7) Интеграл

$$I_1=\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z(z-1)^2}\,dz.$$

Полюса внутри: $z=0$ (но там вычет 0, т.к. $\sin 0=0$), и $z=1$ (2-го порядка).

Пишем $\dfrac{\sin z}{z(z-1)^2}=\dfrac{\phi(z)}{(z-1)^2}$, где $\phi(z)=\dfrac{\sin z}{z}$ аналитична при $z=1$.
Для полюса 2-го порядка:

$$\mathrm{Res}_{z=1}=\phi'(1).$$ $$\phi'(z)=\frac{z\cos z-\sin z}{z^2}\Rightarrow \phi'(1)=\cos 1-\sin 1.$$

Тогда

$$\boxed{I_1=2\pi i(\cos 1-\sin 1).}$$

---

8) Интеграл

$$I_2=\oint_{|z-1|=2}\frac{e^z}{(z-1)^3(z+2)}\,dz.$$

Внутри контура только $z=1$ (полюс 3-го порядка). Используем формулу Коши для производных:

$$\oint \frac{F(z)}{(z-a)^{n+1}}dz=\frac{2\pi i}{n!}F^{(n)}(a).$$

Здесь $a=1$, $n=2$, $F(z)=\dfrac{e^z}{z+2}$. Тогда

$$I_2=\frac{2\pi i}{2!}F''(1).$$

Вычисляется:

$$F''(z)=\frac{e^z(z^2+2z+2)}{(z+2)^3}\Rightarrow F''(1)=\frac{5e}{27}.$$ $$\boxed{I_2=\pi i\cdot \frac{5e}{27}=\frac{5\pi i e}{27}.}$$

---

9) Лаплас: $\displaystyle I_3(s)=\int_0^\infty e^{-st}t^2\cos(2t)\,dt$, $\Re s>0$

$$\mathcal L\{\cos(at)\}=\frac{s}{s^2+a^2},\qquad \mathcal L\{t^n f(t)\}=(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}\mathcal L\{f(t)\}.$$

Берём $f(t)=\cos(2t)$, $n=2$:

$$I_3(s)=\frac{d^2}{ds^2}\Big(\frac{s}{s^2+4}\Big).$$

Производные дают:

$$\boxed{I_3(s)=\frac{2s(s^2-12)}{(s^2+4)^3}.}$$

---

10) Построить $f$ по вычетам и посчитать контурный интеграл

Простые полюса $z=1$ (Res=4) и $z=2$ (Res=-2), и $f(z)\to0$ при $z\to\infty$.

Берём сумму главных частей:

$$\boxed{f(z)=\frac{4}{z-1}-\frac{2}{z-2}}$$

(добавка целой функции, стремящейся к 0, по Лиувиллю равна 0).

Тогда для $|z|=4$ оба полюса внутри:

$$\oint_{|z|=4} f(z)\,dz=2\pi i(4-2)=\boxed{4\pi i}.$$

---

---

Вариант 2

1) К–Р для аналогичных $u,v$ (с другой степенью в знаменателе)

Если

$$f=\frac{z^3}{(1+|z|^2)^k}\quad (k\ge 1),$$

то $\partial f/\partial \bar z\neq 0$ при $z\ne 0$. Значит дифференцируемость только в $0$, и $f'(0)=0$ ⇒ не конформна.
Ответ: дифференцируема только в $0$, не конформна.

---

2) Гармоническая сопряжённая (при корректной читаемой форме)

Типично здесь стоит симметричная функция

$$u(x,y)=e^x\bigl((1-y)\cos y - x\sin y\bigr)=\Re\bigl((1+iz)e^z\bigr).$$

Тогда

$$(1+iz)=(1-y)+ix,$$

и

$$(1+iz)e^z=e^x\Big((1-y)\cos y-x\sin y\Big)+ i\,e^x\Big((1-y)\sin y+x\cos y\Big).$$ $$\boxed{v(x,y)=e^x\bigl((1-y)\sin y+x\cos y\bigr)},\quad v(0,0)=0.$$

---

3) Главная ветвь $\Log$

• $\boxed{\Log(-i)=-i\pi/2}$.
• $\boxed{\Log(1-i)=\tfrac12\ln2-i\,\tfrac{\pi}{4}}$.
• $\boxed{\Log(2i)=\ln2+i\,\tfrac{\pi}{2}}$.

---

4) Лоран около $z=1$

$$f(z)=\frac{e^z(z^2+z+2)}{(z-1)^2(z+3)}.$$

Полюс 2-го порядка. Разложение (главная часть + 2 регулярных):

$$\boxed{f(z)=\frac{e}{(z-1)^2}+\frac{3e}{2}\frac1{z-1}+\frac{9e}{8}+\frac{49e}{96}(z-1)+\dots}$$ $$\boxed{\mathrm{Res}_{z=1}f=\frac{3e}{2}}.$$

---

5)

$$g(z)=\frac{(\log(1-z))^2}{z^3}$$ $$\boxed{g(z)=\frac1z+1+\frac{11}{12}z+\frac56z^2+\dots}$$

Тип: простой полюс, $\boxed{\mathrm{Res}_{0}=1}$.

---

6) $\mathrm{Res}_\infty$

$$h(z)=\frac{z^2-4z+3}{z(z+1)}=1+\frac{3}{z}-\frac{8}{z+1}.$$

Сумма конечных вычетов: $3+(-8)=-5$. Тогда

$$\boxed{\mathrm{Res}_\infty h=5.}$$

---

7)

$$I_1=\oint_{|z|=3}\frac{\cos z}{z^2(z-2)}dz.$$

Вычеты:

• при $z=2$: $\cos2/4$.
• при $z=0$ (2-й порядок): $\mathrm{Res}_0=\left(\frac{d}{dz}\frac{\cos z}{z-2}\right)_{z=0}=-\frac14$.
  Сумма: $(\cos2-1)/4$.

$$\boxed{I_1=2\pi i\cdot\frac{\cos2-1}{4}=\frac{\pi i}{2}(\cos2-1).}$$

---

8)

$$I_2=\oint_{|z+1|=2}\frac{e^z}{(z+1)^2z^3}\,dz.$$

Внутри: $z=-1$ (2-й порядок), $z=0$ (3-й порядок).

$$\mathrm{Res}_{-1}=\left(\frac{d}{dz}\frac{e^z}{z^3}\right)_{z=-1}=-\frac{4}{e}.$$ $$\mathrm{Res}_{0}=\frac1{2!}\left(\frac{d^2}{dz^2}\frac{e^z}{(z+1)^2}\right)_{z=0}=\frac32.$$ $$\boxed{I_2=2\pi i\left(\frac32-\frac{4}{e}\right)=\pi i\left(3-\frac{8}{e}\right).}$$

---

9)

$$\int_0^\infty e^{-st}t^2\cos(3t)\,dt =\frac{d^2}{ds^2}\Big(\frac{s}{s^2+9}\Big) =\boxed{\frac{2s(s^2-27)}{(s^2+9)^3}}.$$

---

10)

Полюса: $z=-1$ (Res=2), $z=3$ (Res=-3), и $f\to0$ при $\infty$:

$$\boxed{f(z)=\frac{2}{z+1}-\frac{3}{z-3}}.$$

На $|z|=5$ оба полюса внутри:

$$\boxed{\oint_{|z|=5}f(z)\,dz=2\pi i(2-3)=-2\pi i.}$$

---

Если хочешь, я могу:

• проверить точно 2-е задание по твоей распечатке (там важны знак и буква перед $\sin y$): просто пришли крупный фрагмент строки №2;
• или оформить решения “как в тетради” (аккуратно, с пояснениями, чтобы можно было сдавать).