реши все задания дай ответ с обьяснением

Решу по порядку №21–25.

---

21. Поезд и пешеход

Дано:

• скорость поезда $v_p = 57$ км/ч,
• скорость пешехода $v_{ч} = 3$ км/ч, идёт навстречу поезду,
• время, за которое поезд полностью проезжает мимо него: $t = 36$ с.

Относительная скорость поезда относительно пешехода:

$$v_{отн} = v_p + v_{ч} = 57 + 3 = 60 \text{ км/ч}.$$

Переводим в м/с:

$$60 \text{ км/ч} = 60\cdot\frac{1000}{3600} = 60\cdot\frac{5}{18} = \frac{300}{18} = \frac{50}{3}\,\text{м/с}.$$

Длина поезда равна пройденному за это время пути:

$$L = v_{отн}\, t = \frac{50}{3} \cdot 36 = 50\cdot 12 = 600\ \text{м}.$$

Ответ: поезд длиной $600$ м.

---

22. График функции и прямая $y = kx$

Функция:

$$y = \frac{(x^2 + 6{,}25)(x-1)}{1-x}.$$

Заметим, что $1 - x = -(x - 1)$, поэтому при $x \ne 1$:

$$y = \frac{(x^2 + 6{,}25)(x-1)}{1-x} = \frac{(x^2 + 6{,}25)(x-1)}{-(x-1)} = -(x^2 + 6{,}25).$$

То есть график – это парабола

$$y = -x^2 - 6{,}25$$

со выколотой точкой при $x=1$, потому что в исходной формуле знаменатель обращается в ноль.
При $x\to 1$ значение было бы

$$y = -1^2 - 6{,}25 = -7{,}25,$$

так что точка $(1; -7{,}25)$ отсутствует.

Одна общая точка с прямой $y = kx$

Решаем систему:

$$\begin{cases} y = -x^2 - 6{,}25, \\ y = kx, \end{cases} \quad x \ne 1.$$

Подставим:

$$kx = -x^2 - 6{,}25 \Rightarrow x^2 + kx + 6{,}25 = 0.$$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Возможные случаи:

1. Обычная парабола и прямая касаются (один корень).
   Тогда дискриминант равен нулю:

   $$D = k^2 - 4\cdot 6{,}25 = 0 \Rightarrow k^2 = 25 \Rightarrow k = 5 \text{ или } k = -5.$$

   Корни:

   $$x = -\frac{k}{2}.$$

   Для $k=5$: $x = -2{,}5\ne 1$.
   Для $k=-5$: $x = 2{,}5\ne 1$.
   В обоих случаях – ровно одна точка пересечения.

2. Два корня, но один из них $x = 1$ (точка выколота).
   Подставим $x=1$ в уравнение:

   $$1 + k + 6{,}25 = 0 \Rightarrow k = -7{,}25 = -\frac{29}{4}.$$

   Тогда уравнение имеет два корня, один из них $x=1$, второй – другой.
   Так как $x=1$ не входит в область определения, остаётся ровно одна реальная точка пересечения.

Итак, значения $k$, при которых общая точка ровно одна:

$$k = 5,\quad k = -5,\quad k = -\frac{29}{4}.$$

Итог по №22:

• График – парабола $y = -x^2 - 6{,}25$ с выколотой точкой $(1;\,-7{,}25)$.
• Прямая $y = kx$ имеет с ним ровно одну общую точку при $$k \in \left\{5,\ -5,\ -\frac{29}{4}\right\}.$$

---

23. Высота к гипотенузе

Катеты прямоугольного треугольника: $a = 18$ и $b = 24$.

1. Найдём гипотенузу:

   $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30.$$

2. Площадь можно выразить двумя способами:

   $$S = \frac12 ab = \frac12 c h,$$

   где $h$ – высота к гипотенузе.

   Отсюда:

   $$\frac12 ab = \frac12 c h \Rightarrow h = \frac{ab}{c} = \frac{18\cdot 24}{30}.$$

3. Посчитаем:

   $$h = \frac{432}{30} = \frac{72}{5} = 14{,}4.$$

Ответ: высота к гипотенузе равна $\displaystyle h = \frac{72}{5}$ (или $14{,}4$).

---

24. Подобие треугольников в трапеции

Дано: трапеция $ABCD$, основания $BC$ и $AD$ равны $2$ и $32$ соответственно, диагональ $BD = 8$.
Докажите, что $\triangle CBD \sim \triangle BDA$.

1. В трапеции основания параллельны:

   $$BC \parallel AD.$$

2. Рассмотрим угол при вершине $B$ в $\triangle CBD$ и угол при вершине $D$ в $\triangle BDA$:

   $$\angle CBD \text{ образован прямыми } CB \text{ и } BD;$$ $$\angle BDA \text{ образован прямыми } BD \text{ и } DA.$$

   Так как $CB \parallel AD$, эти углы равны как внутренние накрест лежащие:

   $$\angle CBD = \angle BDA.$$

3. Стороны, прилежащие к этим углам, пропорциональны:

   $$\frac{BC}{BD} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4},\qquad \frac{BD}{AD} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}.$$

   То есть

   $$\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD}.$$

4. Имеем:
   – один угол общего значения,
   – пары прилежащих к нему сторон пропорциональны.

По признаку подобия (по стороне, углу, стороне):

$$\triangle CBD \sim \triangle BDA.$$

---

25. Отрезок $CD$ в треугольнике с описанной окружностью

Дано:

• в $\triangle ABC$: $AB = 28$, $AC = 56$;
• $O$ – центр описанной окружности;
• прямая $BD$ перпендикулярна прямой $AO$ и пересекает сторону $AC$ в точке $D$.
  Найти $CD$.

Заметим, что $AC = 2\cdot AB$. Покажем, что при таком отношении сторон всегда получается

$$CD = \frac{3}{2}AB.$$

Сделаем координатное решение (очень удобно здесь).

1. Разместим треугольник в системе координат:

   $$A(0,0),\quad C(56,0) \ (\text{значит } AC=56),$$

   пусть точка $B$ имеет координаты

   $$B(28\cos\alpha,\ 28\sin\alpha),$$

   чтобы расстояние $AB = 28$.

2. Найдём центр описанной окружности $O$ для такого треугольника.
   Вычисление (через перпендикулярные серединные) даёт:

   $$O\bigl(28,\ \frac{28(1 - 2\cos\alpha)}{2\sin\alpha}\bigr).$$

3. Прямая $AO$ проходит через $A(0,0)$ и $O$. Её наклон:

   $$k_{AO} = \frac{y_O}{x_O} = \frac{1 - 2\cos\alpha}{2\sin\alpha}.$$

4. Прямая $BD$ перпендикулярна $AO$, поэтому её наклон

   $$k_{BD} = -\frac{1}{k_{AO}} = -\frac{2\sin\alpha}{1 - 2\cos\alpha}.$$

   Она проходит через точку $B\bigl(28\cos\alpha,\ 28\sin\alpha\bigr)$.

   Уравнение:

   $$y - 28\sin\alpha = k_{BD}(x - 28\cos\alpha).$$

5. Точка $D$ лежит на стороне $AC$, то есть на оси $Ox$ ($y=0$).
   Подставим $y=0$ и найдём $x_D$:

   $$-28\sin\alpha = k_{BD}(x_D - 28\cos\alpha).$$

   Подставляя $k_{BD}$ и упрощая, получаем

   $$x_D = 14.$$

   (подсчёт: получается $x_D = \frac{AB}{2} = 14$, и что важно — угол $\alpha$ исчезает, то есть результат не зависит от формы треугольника, только от длин $AB$ и $AC=2AB$).

6. Значит,

   $$AD = 14,\quad AC = 56 \Rightarrow CD = AC - AD = 56 - 14 = 42.$$

Ответ: $CD = 42$.

---

Итоговые ответы:

21. $600\ \text{м}$.
22. График: $y=-x^2-6{,}25$, $x\ne1$; значения $k$: $5$, $-5$, $-\dfrac{29}{4}$.
23. Высота к гипотенузе: $h = \dfrac{72}{5} = 14{,}4$.
24. $\triangle CBD \sim \triangle BDA$.
25. $CD = 42$.