Два маленьких проводящих шарика одинакового радиус...

प्रश्न

Два маленьких проводящих шарика одинакового радиуса и массы подвешены в воздухе на шелковых нитях длиной l каждая и связаны лёгкой, непроводящей, нерастяжимой нитью. В положении, когда нить не натянута, поверхности шариков соприкасаются. После того, как шарикам сообщили суммарный заряд 2q, они разошлись, связывающая их нить натянулась, а расстояние между их центрами стало равно s. Найти силу натяжения нити между шариками, если q = 1мкКл, s = 1м, l = 2м, m = 1г Принять g = 10м/с^2 . Ответ дать в мН и округлить до десятых.

विचार

Considering rounding and possible assumptions

The final answer should be 6.4 mN, but rounding to 6.3 or 6.5 could happen depending on the values for k and g. The mg tanθ term is not negligible since it's roughly 29% of Fe. But if the geometry changes, where the string is horizontal, then the center separation equals s. This affects how the spheres are positioned.

Clarifying geometry and final answer

The angle θ between the suspension thread and the vertical is given by tanθ = (s/2)/h, but we don’t know h. The horizontal separation between balls is determined by 2l sinθ = s, which holds regardless of threading orientation. The final tension force gives 6.4 mN. To answer the question, I should summarize the reasoning with relevant equations, including Coulomb’s law.

Outlining problem-solving steps

I don't need to use additional tools as this is a straightforward physics problem. The overall solution involves the following steps:

When each sphere is charged, both get charge q.
Using geometry: s = 2l sinθ, so sinθ = s/(2l).
Forces on the spheres include gravitational force, tension, and electrostatic force.
Equilibrium equations give tension and electrostatic force, leading to the final calculation of the tension τ once we plug in the values.

Thought for 4m 39s

उत्तर

Ищем силу натяжения нити между шариками.

После сообщения суммарного заряда $2q$ одинаковым проводящим шарикам заряд перераспределится поровну, то есть на каждом будет заряд

q = 1\,\text{мкКл} = 1\cdot 10^{-6}\,\text{Кл}.

1. Геометрия

Обозначим угол отклонения подвеса от вертикали через $\theta$ . Тогда расстояние между центрами шариков:

s = 2l\sin\theta \quad\Rightarrow\quad \sin\theta = \frac{s}{2l} = \frac{1}{2\cdot 2} = \frac{1}{4}.

Тогда

\cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4},

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}} \approx 0.258.

2. Силы, действующие на один шарик

На один шарик действуют:

сила тяжести $mg$ вниз;
натяжение верхней нити $T$ вдоль нити;
кулоновская сила отталкивания $F_e$ горизонтально от второго шарика;
сила натяжения соединяющей нити $\tau$ вдоль горизонтали к другому шарику.

Запишем равновесие по осям.

По вертикали:

T\cos\theta = mg \quad\Rightarrow\quad T = \frac{mg}{\cos\theta}.

По горизонтали (пусть направления выбраны так, что $F_e$ — отталкивание, а $\tau$ тянет к другому шарику):

F_e = T\sin\theta + \tau.

Отсюда:

T\sin\theta = \frac{mg}{\cos\theta}\sin\theta = mg\tan\theta,

\tau = F_e - mg\tan\theta.

3. Кулоновская сила

F_e = k\frac{q^2}{s^2},\quad k \approx 9\cdot 10^9\,\text{Н·м}^2/\text{Кл}^2, \quad q = 10^{-6}\,\text{Кл},\quad s = 1\,\text{м}.

F_e = 9\cdot 10^9\cdot\frac{(10^{-6})^2}{1^2} = 9\cdot 10^9\cdot 10^{-12} = 9\cdot 10^{-3}\,\text{Н} = 0.009\,\text{Н}.

4. Подстановка чисел

Масса $m = 1\,\text{г} = 10^{-3}\,\text{кг}$ , $g = 10\,\text{м/с}^2$ :

mg = 10^{-3}\cdot 10 = 0.01\,\text{Н}.

mg\tan\theta = 0.01 \cdot \frac{1}{\sqrt{15}} \approx 0.01\cdot 0.258 \approx 0.00258\,\text{Н}.

Тогда:

\tau = 0.009 - 0.00258 \approx 0.00642\,\text{Н}.

Переводим в миллиньютоны и округляем до десятых:

\tau \approx 6.42\,\text{мН} \approx 6.4\,\text{мН}.

Ответ: $\boxed{6.4\ \text{мН}}$ .