10.4. (5 баллов) В лаборатории микроклимата исслед...

Сделаю обе задачи по очереди.

---

10.4. Влажный воздух и пар

Дано:

• $V_1 = 5{,}0\ \text{л}$ – первый сосуд (влажный воздух)
• $V_2 = 2{,}0\ \text{л}$ – второй сосуд (водяной пар)
• $P_1 = 3{,}0\ \text{атм}$ – давление в первом
• $\varphi_1 = 80{,}0\%$ – относительная влажность в первом
• $P_2 = 0{,}75\ \text{атм}$ – давление во втором (чистый пар)
• $T = 100^\circ\text{C} = \text{const}$
• Давление насыщенного пара при $100^\circ\text{C}$: $P_0 = 1{,}0\ \text{атм}$

Считаем газы идеальными, объемы жёсткие, температура одинакова и постоянна.

1. Начальные парциальные давления

В первом сосуде парциальное давление водяного пара:

$$p_{1w} = \varphi_1 \cdot P_0 = 0{,}80 \cdot 1{,}0 = 0{,}80\ \text{атм}$$

Тогда парциальное давление «сухого» воздуха:

$$p_{1a} = P_1 - p_{1w} = 3{,}0 - 0{,}80 = 2{,}20\ \text{атм}$$

Во втором сосуде находится только водяной пар:

$$p_{2w} = P_2 = 0{,}75\ \text{атм}$$

Воздуха там практически нет: $p_{2a} \approx 0$.

2. После открытия вентиля

Общий объём:

$$V = V_1 + V_2 = 5{,}0 + 2{,}0 = 7{,}0\ \text{л}$$

Количество вещества (для каждого компонента отдельно) пропорционально $pV$ при фиксированных $T$.

Для воздуха:

$$n_a = \frac{p_{1a} V_1}{RT} \quad\Rightarrow\quad p_a' = \frac{n_a RT}{V} = \frac{p_{1a} V_1}{V} = \frac{2{,}20\cdot 5{,}0}{7{,}0} = \frac{11}{7}\ \text{атм} \approx 1{,}57\ \text{атм}$$

Для водяного пара:

$$n_w = \frac{p_{1w} V_1 + p_{2w} V_2}{RT} \quad\Rightarrow\quad p_w' = \frac{n_w RT}{V} = \frac{0{,}80\cdot5{,}0 + 0{,}75\cdot2{,}0}{7{,}0} = \frac{4{,}0 + 1{,}5}{7{,}0} = \frac{5{,}5}{7{,}0} \approx 0{,}79\ \text{атм}$$

Проверка на насыщение: $p_w' \approx 0{,}79\ \text{атм} < P_0 = 1{,}0\ \text{атм}$,
значит, конденсации не будет, пар останется ненасыщенным.

3. Итоговое давление и относительная влажность

Полное давление:

$$P' = p_a' + p_w' \approx 1{,}57 + 0{,}79 \approx 2{,}36\ \text{атм}$$

Относительная влажность:

$$\varphi' = \frac{p_w'}{P_0} \cdot 100\% \approx 0{,}79 \cdot 100\% \approx 79\%$$

Ответ для 10.4:

$$\boxed{P' \approx 2{,}36\ \text{атм},\quad \varphi' \approx 79\%}$$

---

10.5. Паша в лодке

Дано:

• Длина лодки $L = 2{,}0\ \text{м}$
• Масса лодки $m = 10{,}0\ \text{кг}$
• Масса Паши $M = 80{,}0\ \text{кг}$
• Сила сопротивления воды: $F = -k v$, $k = 0{,}50\ \text{кг/с}$

Паша идет с носа на корму. Считаем движение строго по одной прямой.

---

[5] Смещение лодки при $k = 0$ (без сопротивления)

При отсутствии внешних горизонтальных сил (водой пренебрегаем) импульс системы «лодка + Паша» сохраняется, а изначально он равен нулю. Следовательно, центр масс системы остаётся на месте.

Обозначим:

• $x_B$ — координата лодки (например, ее центра),
• $x_M$ — координата Паши.

Положение центра масс:

$$x_{CM} = \frac{m x_B + M x_M}{m + M}$$

Пусть начально:

• Паша у носа, лодка неподвижна,
• примем $x_{CM}^{(0)} = 0$.

После того как Паша перейдёт на корму, он смещается относительно лодки на расстояние $L$.
Пусть лодка сдвинулась на расстояние $S_0$ (то, что нам нужно), тогда Паша относительно берега сместился на $S_0 - L$ или $S_0 + L$ — в зависимости от выбора направления. Удобнее записать «относительное» уравнение центра масс.

Стандартный вывод даёт:

$$S_0 = \frac{M}{M + m}\,L$$

Подставим числа:

$$S_0 = \frac{80}{80 + 10}\cdot 2{,}0 = \frac{80}{90}\cdot 2{,}0 = \frac{160}{90} = \frac{16}{9} \approx 1{,}78\ \text{м}$$

Ответ для [5]:

$$\boxed{S_0 \approx 1{,}78\ \text{м}}$$

(Лодка сдвинется примерно на 1,8 м в сторону, противоположную движению Паши.)

---

[6] Смещение лодки при наличии сопротивления $F = -k v$

Здесь ситуация гораздо тоньше.

Ключевой момент

У нас есть система «лодка + Паша» с единственной внешней горизонтальной силой — сопротивлением воды

$$F_{\text{внеш}} = -k v_B(t),$$

где $v_B$ — скорость лодки относительно воды.

Движение задаётся:

• внутренними усилиями Паши (как он разгоняется, тормозит, с какой скоростью идёт),
• и внешним сопротивлением воды.

Но в условии совсем не сказано, с какой именно временной зависимостью Паша двигается:

• идёт ли он равномерно относительно лодки;
• ускоряется / замедляется;
• старается ли он прийти в корму и одновременно остановиться относительно берега и т.п.

От этого движение лодки существенно зависит.

Если аккуратно записать уравнения движения для лодки и Паши, получится система, в которой:

• известно изменение координаты Паши относительно лодки: он проходит расстояние $L$;
• но неизвестна ни скорость этого движения во времени, ни ускорение,
• а сила сопротивления зависит как раз от мгновенной скорости лодки.

В итоге смещение лодки $S$ получается зависящим от того, как именно во времени Паша шёл. При разных «стилях ходьбы» результат будет разным, даже при одинаковых $M, m, L, k$.

То есть:

при данных в задаче величина $S$ однозначно не определяется — не хватает условий о характере движения Паши.

Чтобы действительно посчитать конкретное $S$, нужно дополнительно задать, например:

• что Паша идёт с постоянной скоростью относительно лодки; и
• считать, в какой момент времени мы считаем «полной остановкой» (лодки или Паши, относительно чего и т.д.).

Только после этого можно интегрировать уравнения и получить конкретную формулу и численное значение.

---

Что можно честно сказать про пункт [6]

1. S_0 для k=0 определяется однозначно:

   $$S_0 = \dfrac{M}{M+m} L \approx 1{,}78\ \text{м}.$$

2. При наличии сопротивления $F = -kv$ смещение $S$ зависит от того, как во времени Паша двигается по лодке (его профиль скорости/ускорения).
   В условии этого нет, поэтому строго с физической точки зрения задача в пункте [6] недоопределена – единственного правильного числа для $S$ из данных найти нельзя.

Если хочешь, я могу:

• разобрать конкретную модель, например «Паша идёт по лодке с постоянной скоростью $u$ относительно лодки»,
• выписать уравнения движения и получить формулу для $S(k, u, M, m, L)$,
  чтобы увидеть, как именно $S$ зависит от стиля движения.