二项式定理是什么这一步怎么得到的

这是一个使用二项式定理来展开多项式 $(x + 1)^3$ 的例子，目的是简化积分表达式。

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📘 什么是二项式定理？

二项式定理（Binomial Theorem）是一个公式，用于展开形如 $(a + b)^n$ 的表达式。其通式如下：

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

其中：

• $\binom{n}{k}$ 是组合数（“n 取 k”），表示从 n 个元素中选出 k 个的方式数。
• $a$ 和 $b$ 是变量或常数。
• $n$ 是非负整数。

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🧮 应用于 $(x + 1)^3$ 的展开

设 $a = x$，$b = 1$，$n = 3$，代入公式：

$$(x + 1)^3 = \binom{3}{0}x^3 + \binom{3}{1}x^2(1) + \binom{3}{2}x(1)^2 + \binom{3}{3}(1)^3$$ $$= 1 \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 + 3 \cdot x + 1$$

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✅ 所以图片中的这一行：

$$(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$$

是通过使用二项式定理展开得到的，便于后续代入被积函数简化积分过程。

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