线性变换的左逆元和右逆元相同如何证明

我们先回顾一个线性代数中的基本事实：

1. 如果一个线性变换 $T: V \to W$ 存在左逆（即有线性变换 $L: W \to V$ 使得 $L \circ T = \mathrm{id}_V$ ），那么 $T$ 一定是单射（injective）。
2. 如果同一个线性变换 $T$ 存在右逆（即有线性变换 $R: W \to V$ 使得 $T \circ R = \mathrm{id}_W$ ），那么 $T$ 一定是满射（surjective）。

现在，设线性变换 $T: V \to W$ 同时有左逆 $L$ 和右逆 $R$。这意味着：

• $L \circ T = \mathrm{id}_V \quad (1)$
• $T \circ R = \mathrm{id}_W \quad (2)$

根据前面的结论，(1) 表明 $T$ 是单射，(2) 表明 $T$ 是满射，所以 $T$ 其实是一个双射（同构）。对于双射线性映射，逆映射是唯一的。因此，如果有任何左逆或右逆存在，那么它们都必须和真正的“逆”相同。

形式化地说，由于 $T$ 可逆，其逆映射记作 $T^{-1}$，那么不论我们先验地得到的是“左逆”还是“右逆”，它都必须和 $T^{-1}$ 相同。也就是说，$L = T^{-1} = R$。

证明思路简述：

1. 有左逆 $\implies$ $T$ 单射。
2. 有右逆 $\implies$ $T$ 满射。
3. 单满射 $\implies$ $T$ 是同构，逆映射存在且唯一。
4. 因此若 $T$ 同时拥有左逆、右逆，那么二者必然和唯一的逆映射一致，即它们相等。

我们先回顾一下理论背景：

• 只存在左逆意味着线性映射 $T$ 是单射（injective）但不是满射（surjective）。
• 只存在右逆意味着线性映射 $T$ 是满射但不是单射。

若线性映射同时是单射又是满射，则它是同构，此时左逆与右逆必然相同，都是它的唯一逆映射。

下面给出两个具体的示例，分别说明“只存在左逆”与“只存在右逆”的情形。

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1. 只存在左逆的示例

考虑线性映射

$$T: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3, \quad T(x, y) = (\,x, \; y, \; 0\,).$$

• 这是一个单射映射，因为若 $(x_1, y_1)\neq (x_2, y_2)$，则 $(x_1, y_1, 0)\neq (x_2, y_2, 0)$。
• 然而它并不满射，因为 $\mathbb{R}^3$ 中比如向量 $(0,0,1)$ 不在 $T(\mathbb{R}^2)$ 的像中。

左逆构造
我们可以定义一个线性映射

$$L: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2, \quad L(x, y, z) = (\,x, \; y\,).$$

这样，就有

$$L \circ T(x,y) \;=\; L(x,y,0)\;=\;(x,y),$$

也就是

$$L \circ T \;=\; \mathrm{id}_{\mathbb{R}^2},$$

因此 $L$ 是 $T$ 的左逆。

但是，因为 $T$ 并不是满射，所以不可能存在一个映射 $R: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ 使得 $T \circ R = \mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}$。因此 $T$ 只有左逆，没有右逆。

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2. 只存在右逆的示例

考虑线性映射

$$T: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2, \quad T(x, y, z) = (\,x, \; y\,).$$

• 这是一个满射映射：任意 $(a,b)\in \mathbb{R}^2$，都有 $(a,b,0)\in \mathbb{R}^3$ 满足 $T(a,b,0)=(a,b)$。
• 然而它并不是单射：例如 $(0,0,1)$ 和 $(0,0,0)$ 映到同一个向量 $(0,0)$。

右逆构造
定义线性映射

$$R: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3, \quad R(a, b) = (\,a, \; b, \; 0\,).$$

则有

$$T \circ R(a,b) = T(a,b,0) = (a, b),$$

也就是

$$T \circ R \;=\; \mathrm{id}_{\mathbb{R}^2}.$$

这样 $R$ 就是 $T$ 的右逆。

因为 $T$ 不是单射，所以不可能存在 $L: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ 使得 $L \circ T = \mathrm{id}_{\mathbb{R}^3}$。因此 $T$ 只有右逆，没有左逆。

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总结

• 若一个线性映射只有左逆，则它必然是单射但不满射。
• 若一个线性映射只有右逆，则它必然是满射但不单射。
• 若它既是单射又是满射（即同构），则它的左逆与右逆必然合二为一，成为唯一的逆映射。

在回答这个问题之前，需要先区分有限维情况与无限维情况。结论和现象在这两种情况下会有本质差异：

• 若 $V$ 是有限维向量空间，则一个线性变换 $T: V \to V$ 如果存在左逆（或右逆），它就必然是可逆的，也就同时存在右逆（或左逆），并且左逆和右逆必须相同（即唯一的全局逆映射）。换言之，有限维情形下不可能“只存在左逆”或“只存在右逆”。
• 若 $V$ 是无限维向量空间，则有可能出现“只存在左逆”或“只存在右逆”的线性变换（也称为算子）。典型例子就是在序列空间上定义的“移位算子”。

下面分别讨论这两种情况，并给出示例。

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一、有限维情形

令 $V$ 是一个有限维向量空间，$T: V \to V$ 是它上的线性变换（即一个“线性自同态”或“内映射”）。我们有如下基本事实：

1. 若 $T$ 存在左逆 $L$（满足 $L \circ T = \mathrm{id}_V$），则 $T$ 必为单射。
2. 若 $T$ 存在右逆 $R$（满足 $T \circ R = \mathrm{id}_V$），则 $T$ 必为满射。
3. 在有限维情形下，单射 $\Longleftrightarrow$ 满射 $\Longleftrightarrow$ 可逆。
   • 更常见的说法是：在 $V$ 上，“$\mathrm{rank}(T) + \mathrm{nullity}(T) = \dim(V)$”；若 $T$ 单射则 $\mathrm{nullity}(T)=0$，必然导致 $\mathrm{rank}(T)=\dim(V)$，从而 $T$ 是满射；反之亦然。

因此，一旦 $T$ 存在左逆或右逆，就说明它既是单射又是满射，从而 $T$ 可逆；可逆映射的逆映射只有一个，这就说明了：在有限维情形中，$T$ 的左逆与右逆必然相同，并且都等于它的唯一逆映射。

换言之，在有限维空间中，不会出现“只存在左逆”或者“只存在右逆”而不同时存在另一个的状况。

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二、无限维情形

若 $V$ 是一个无限维向量空间，则“单射不一定满射，满射不一定单射”这种断裂就可能发生。此时，就可能出现“只存在左逆”或“只存在右逆”但并不同时可逆的算子。下面举经典的**移位算子（shift operator）**来说明。

1. 只存在左逆但没有右逆的示例

在实（或复）序列空间（例如所有双边无限序列，或者所有单边无限序列）上，定义“右移算子” $S_\text{right}$ 如下：

$$S_\text{right}(x_0, x_1, x_2, x_3, \dots) \;=\; (0, x_0, x_1, x_2, \dots).$$

• 这是一个单射映射：如果 $S_\text{right}(a) = S_\text{right}(b)$，则 $(0, a_0, a_1, \dots) = (0, b_0, b_1, \dots)$，从而 $(a_0,a_1,\dots)=(b_0,b_1,\dots)$ 即 $a=b$。
• 然而它并不满射：比如想得到 $(1,0,0,0,\dots)$，并不存在 $(x_0, x_1, \dots)$ 使得右移后得到首项为 1 的序列。

此时，因为它是单射，就有一个左逆 $L$，直观地说就是“丢掉最前面的 $0$ 并把后面的序列往前对齐”：

$$L(0, y_0, y_1, y_2, \dots) \;=\; (y_0, y_1, y_2, \dots),$$

这样

$$L \bigl(S_\text{right}(x_0, x_1, x_2, \dots)\bigr) \;=\; L(0, x_0, x_1, x_2, \dots) \;=\; (x_0, x_1, x_2, \dots),$$

即 $L \circ S_\text{right} = \mathrm{id}$。
但由于 $S_\text{right}$ 并不满射，无法构造 $R$ 使 $S_\text{right}\circ R=\mathrm{id}$。所以它只有左逆，没有右逆。

2. 只存在右逆但没有左逆的示例

在同一个序列空间上定义“左移算子” $S_\text{left}$：

$$S_\text{left}(x_0, x_1, x_2, x_3, \dots) \;=\; (x_1, x_2, x_3, \dots).$$

• 这是一个满射映射：给定任意序列 $(y_0,y_1,y_2,\dots)$，我们可以找一个原序列 $(x_0,x_1,x_2,\dots)$ 使得 $x_1=y_0,\,x_2=y_1,\dots$，例如选 $x_0$ 为任意值（常取 0），就能满足 $S_\text{left}(x_0,x_1,x_2,\dots)=(y_0,y_1,y_2,\dots)$。
• 但它并不是单射：例如 $$S_\text{left}(0,0,0,0,\dots) \;=\; (0,0,0,\dots), \quad S_\text{left}(1,0,0,0,\dots) \;=\;(0,0,0,\dots),$$ 二者映到同一个序列。

由于它是满射，就存在一个右逆 $R$（“把序列插入一项”）使得

$$S_\text{left} \circ R = \mathrm{id}.$$

但是它并不单射，所以不可能存在左逆。

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三、小结

1. 有限维空间下：

   • 一个线性变换 $T: V \to V$ 存在左逆 $\Longleftrightarrow$ 存在右逆 $\Longleftrightarrow$ $T$ 可逆。
   • 可逆映射的逆元只有一个，所以左逆和右逆必然相同。
   • 换言之，不会出现“只存在左逆”或“只存在右逆”的情况。

2. 无限维空间下：

   • 可能出现只存在左逆（但不满射）的例子，也可能出现只存在右逆（但不单射）的例子。
   • 移位算子是最常见的典型实例：
     • “右移”算子：只存在左逆，没有右逆。
     • “左移”算子：只存在右逆，没有左逆。

因此，针对你提到的“自己到自己的线性变换”（即 endomorphism）：“在有限维情形中，如果它有一边的逆，它就一定有另一边的逆，并且二者是一致的；而在无限维情形中，可能会出现只存在其中一个的逆，但这与算子是否是单射/满射的情况息息相关。”

设 $V$ 是一个 有限维 向量空间，$\dim V=n<\infty$， $T:V\to V$ 是线性变换。
我们将证明：

若 $T$ 有左逆 或 右逆，则

1. $T$ 必可逆；
2. 左逆、右逆都存在且两者相等（唯一）。

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1. 只要有左逆（或右逆），$T$ 就是双射

(a) 有左逆 $\Longrightarrow$ 单射

设存在线性算子 $L:V\to V$ 使

$$L\circ T=\operatorname{id}_V .$$

若 $v\in\ker T$，则 $T(v)=0$。两边同构 $L$ 得

$$v=L(T(v))=L(0)=0 ,$$

故 $\ker T=\{0\}$，所以 $T$ 单射。

(b) 有右逆 $\Longrightarrow$ 满射

设存在 $R:V\to V$ 使

$$T\circ R=\operatorname{id}_V .$$

对任意 $w\in V$，取 $v=R(w)$，则 $T(v)=w$。故像 $\operatorname{Im}T=V$，于是 $T$ 满射。

(c) 在有限维空间中

$$\text{单射}\;\Longleftrightarrow\;\text{满射}\;\Longleftrightarrow\;\text{可逆},$$

这是因为

$$\dim\ker T+\operatorname{rank}T=\dim V .$$

单射 $\Rightarrow\dim\ker T=0\Rightarrow\operatorname{rank}T=n\Rightarrow$ 满射；反向亦然。

结论

• 有左逆 $\Longrightarrow$ 单射 $\Longrightarrow$ 满射 $\Longrightarrow$ 有右逆；
• 有右逆 $\Longrightarrow$ 满射 $\Longrightarrow$ 单射 $\Longrightarrow$ 有左逆。

因此 存在一侧逆元就意味着 $T$ 可逆，另一侧逆元也必存在。

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2. 左逆 = 右逆 = 惟一逆映射

设 $L$ 为左逆，$R$ 为右逆，则

$$L\circ T=\operatorname{id}_V,\qquad T\circ R=\operatorname{id}_V .$$

先证明唯一性：

$$L \;=\;L\circ\operatorname{id}_V \;=\;L\circ(T\circ R) \;=\;(L\circ T)\circ R \;=\;\operatorname{id}_V\circ R \;=\;R .$$

再注意到 $T$ 已证可逆，设其唯一逆映射为 $T^{-1}$。
因为 $L\circ T=\operatorname{id}$，两边右乘 $T^{-1}$ 得

$$L=(L\circ T)\circ T^{-1}=T^{-1},$$

同理 $R=T^{-1}$。
于是

$$L=R=T^{-1},$$

左逆、右逆与全局逆映射三者 完全相同且唯一。

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3. 结论

在有限维向量空间 $V$ 中，对任何线性变换 $T:V\to V$：

• 若存在左逆（右逆）则 $T$ 必可逆；
• 可逆映射的逆元唯一，因此左逆与右逆不仅都存在，而且 必然相等。

这就证明了“有限维空间下左右逆元存在一个则两个就都存在且相等”。