茶盒装箱问题

首先分析题目：

• 茶盒尺寸为：长20 cm，宽20 cm，高10 cm。
• 纸箱内尺寸为：30 cm × 30 cm × 30 cm。

步骤一：分别计算两者的体积

• 茶盒体积：
  $20 \text{cm} \times 20 \text{cm} \times 10 \text{cm} = 4000 \text{cm}^3$

• 纸箱体积：
  $30 \text{cm} \times 30 \text{cm} \times 30 \text{cm} = 27000 \text{cm}^3$

理论上最多装：
$\frac{27000}{4000} = 6.75$

最多为6盒，但需检查实际摆放方式。

步骤二：具体摆放方式分析

我们尝试具体摆放一下：

• 茶盒尺寸为20cm×20cm×10cm。
• 纸箱为30cm×30cm×30cm。

先考虑将茶盒高为10cm的面作为高度方向：

• 在高度方向：
  茶盒高度为10cm，纸箱高度为30cm，最多能放3层。

• 在长度和宽度方向：
  每个茶盒长宽均为20cm，纸箱长宽均为30cm。如果将茶盒的20cm×20cm面朝下放置，纸箱底面30cm×30cm中最多只能摆放1个茶盒（因为放入第二个就会占到40cm，超过30cm）。显然不合理。

再尝试将茶盒高为10cm的一面侧放：

• 若将茶盒的20cm×10cm的面朝下：

  • 30cm的一边可以摆放长度为20cm和10cm的两个盒子（共30cm）。
  • 另一边同样可以摆放长度为20cm和10cm的两个盒子（共30cm）。
  • 即底面可以摆放2×2=4个茶盒。
  • 高度方向为20cm的面垂直放置，由于箱子高为30cm，因此只能放一层（再放一层高度达到40cm，超过箱高）。
  • 这种摆法共放4个盒子。

• 若将茶盒的10cm×20cm侧面竖立：

  • 一条边30cm可以放入3个高度10cm的茶盒。
  • 另一条边30cm可放入长度20cm的盒子1个（20cm），剩余10cm宽无法再放入一个盒子（盒宽为20cm）。
  • 这种情况下每层最多能放入3个盒子。
  • 此时盒子高度方向为20cm，因此箱高30cm内只可放置一层。
  • 这种摆法共3个盒子，比之前少。

我们继续优化尝试：

• 综合分析发现最优摆法是：
  • 底面采用20cm×10cm朝下：
    • 第一层底面：放2×2共4盒，竖直高度20cm。
    • 纸箱总高度为30cm，剩余10cm高度空间。
    • 第二层：此时剩余高度为10cm，因此第二层只能再放置茶盒高度10cm朝上的方式摆放。 但我们再次检查发现，若第一层盒子20cm高度方向竖放，第二层若再放置一个盒子（10cm高），总高度正好30cm，但注意此时纸箱顶面尺寸为30cm×30cm，第二层盒子20cm×20cm的面需水平放置，则只能放置1个盒子（因2个盒子长度达40cm超过30cm限制）。
    • 因此，此时第一层放置4个盒子，第二层放置1个盒子，总共5个盒子。

再换另一种方式：

• 第一层：将茶盒20cm×20cm面平放在底面：
  • 底层只能放置1个盒子（20×20）。
• 但这样摆放显然数量少，不优。

综合以上所有摆法，得出最优解：

结论：

最多能装5个盒子。

摆放方法如下：

• 第一层（底层）：将4个茶盒侧立摆放（底面为20cm×10cm，竖直高度20cm），刚好占满底面（每条边分别是20cm+10cm=30cm）。
• 第二层（顶层）：在剩余10cm高度内，将1个茶盒平放（20cm×20cm的面朝下，高度10cm），正好放置在4个盒子上方空间中间。

最终答案：

• 最多装5个盒子。
• 具体方法为：底层竖立摆4盒，上层平放1盒。