График синуса 1/x

Ниже описаны основные шаги и особенности построения графика функции

$$y = \sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).$$

---

1. Область определения

• Функция не определена в точке $x = 0$, поскольку $\frac{1}{x}$ там не существует.
• Следовательно, область определения: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

---

2. Поведение при больших $|x|$

Когда $|x|$ очень велико, $\tfrac{1}{x}$ близко к 0. Поскольку $\sin(t) \approx t$ при $t \to 0$, то:

$$\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) \approx \tfrac{1}{x}.$$

Таким образом, при $x \to \pm\infty$ значение $y$ стремится к 0. График “прилипает” к оси $Ox$, хотя строго равен 0 он не становится (кроме особых точек, см. ниже).

---

3. Поведение при $x \to 0$

Когда $x$ приближается к 0, $\tfrac{1}{x}$ по модулю становится очень большим (уходит в $\pm\infty$). Функция $\sin(t)$ при больших $|t|$ непрерывно колеблется между $-1$ и $+1$. Следовательно,

$$y = \sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)$$

начинает бесконечно быстро колебаться между $-1$ и $+1$ по мере приближения $x$ к 0 (с любой стороны). В точке $x=0$ функция не определена, и предела там нет (значения не успокаиваются вблизи 0, а «дрожат» между -1 и 1).

---

4. Чётность/нечётность

Проверим, является ли функция чётной или нечётной:

$$f(-x) = \sin\!\bigl(\tfrac{1}{-x}\bigr) = \sin\!\bigl(-\tfrac{1}{x}\bigr) = -\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr) = -f(x).$$

Значит, $f(x)$ — нечётная функция. График симметричен относительно начала координат (при повороте на $180^\circ$ вокруг $(0,0)$).

---

5. Ключевые точки (нули, максимумы, минимумы)

Чтобы лучше понять, как “гуляет” график:

• Нули. Из $\sin(\tfrac{1}{x}) = 0$ имеем $\tfrac{1}{x} = n\pi$, то есть:

  $$x = \frac{1}{n\pi}, \quad n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}.$$

  Именно в этих точках график пересекает ось $Ox$. Заметим, что чем больше $n$ по модулю, тем ближе $x$ к 0.

• Максимумы и минимумы. Из $\sin(t) = \pm 1$ имеем $t = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Значит

  $$\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{\tfrac{\pi}{2} + k\pi}.$$

  В этих точках достигаются локальные максимумы ($+1$) или минимумы ($-1$).

Вблизи $x=0$ такие точки всё теснее “прижимаются” к нулю, порождая бесконечное число пересечений с осью $Ox$ и касаний значений $\pm 1$.

---

6. Как схематически изобразить график

1. Разделите плоскость на две области: $x>0$ и $x<0$. В точке $x=0$ функция не определена, там будет вертикальный “разрыв” в чертеже.

2. Для $x>0$:

   • Отметьте несколько нулей, задав $n = 1, 2, 3, \dots$. Точки пересечения с осью: $x = \tfrac{1}{\pi}, \tfrac{1}{2\pi}, \tfrac{1}{3\pi}, \dots$. Они сдвигаются всё ближе к нулю.
   • Между соседними нулями на оси $Ox$ функция один раз поднимается до $+1$ и один раз опускается до $-1$.
   • При $x \to +\infty$ кривая затухает к $y=0$.

3. Для $x<0$:

   • Используйте нечётность: график для отрицательных $x$ получается зеркально-поворотной симметрией относительно начала координат. Другими словами, если у вас есть кривая для $x>0$, отразите её “через” начало координат, и получите часть для $x<0$.

4. Не забудьте подчеркнуть, что при $x \to 0$ волны становятся очень частыми, вплоть до “заштрихованного” типа изображения между -1 и 1 (если рисовать схематично от руки).

---

7. Итоговый вид

• При больших $|x|$ график плавно колеблется около $y=0$.
• Вблизи $x=0$ наблюдается бесконечно быстрое колебание от -1 до +1 без установления какого-либо предела.
• Точка $x=0$ исключена из области определения (там “пробел” на графике).
• График симметричен относительно начала координат (нечётная функция).

Ниже приведён упрощённый (очень условный) набросок для $x>0$ и его отражение для $x<0$. Чем ближе к 0, тем сильнее частота колебаний:

text
y
|       ...
|        \   /\
|         \ /  \
|-----+-----x=0-----+-------> x
|         / \  /
|        /   \/
|       ...

(Здесь “...” намекает на то, что волны сжимаются всё быстрее и быстрее при подходе к нулю.)

Таким образом, график $y = \sin\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)$ имеет бесконечное число колебаний около нуля при $x \to 0$, не имеет значения в точке $x=0$ и стремится к 0 при $|x|\to \infty$.