Ускорение точки на обруче

Ниже приведено одно из самых коротких и наглядных решений этой задачи. Суть в том, что при соотношении радиусов $R : r = 2 : 1$ (где $r = R/2$) – точка на меньшем обруче, катящемся без проскальзывания внутри большего, описывает отрезок диаметра большого обруча (это известное свойство гипоциклоиды при $R=2r$). В частности, в моменты, когда эта точка совпадает с центром большого обруча, её ускорение оказывается равным просто

где $\varepsilon$ – угловое ускорение (по модулю) меньшего обруча относительно его собственного центра.

Краткое пояснение

1. Геометрия задачи.
   Пусть больший обруч имеет центр в точке $O$ и радиус $R$. Меньший обруч (радиуса $r = R/2$) катится внутри большого без проскальзывания. Центр меньшего обруча (обозначим его $O'$) тогда движется по окружности радиуса $\rho = R - r = R/2$.

2. Соотношение угловых скоростей при качении без проскальзывания.
   При качении без проскальзывания внутри большего обруча угловая скорость $\Omega$ центра $O'$ вокруг $O$ и собственная угловая скорость $\omega$ меньшего обруча связаны условием, что скорость точки касания равна нулю в неподвижной системе отсчёта.

   • Для случая $r = R/2$ получается $\Omega = \omega$ (по модулю).
   • Аналогично для угловых ускорений получаем $\dot{\Omega} = \varepsilon$ (опять же, по модулю).

3. Траектория особой точки на меньшем обруче.
   Рассмотрим точку $P$ на ободе меньшего обруча, которая в некоторый момент совпадает с центром $O$ большого обруча. Известно из теории гипоциклоид, что если $R = 2r$, то такая точка движется по прямой (диаметру большого обруча), совершая колебания от $-R$ до $+R$ вдоль этой прямой.

4. Находжение ускорения в момент прохождения центра большого обруча.
   По формулам для гипоциклоиды (или, что эквивалентно, просто диаметра) легко увидеть, что в момент, когда точка $P$ проходит через $O$, её полная (абсолютная) скорость не равна нулю, но при этом кривизна траектории там равна нулю (ведь это прямая), и потому нормальная (центростремительная) составляющая ускорения у точки исчезает.

   $$\text{Остаётся только касательная составляющая } a_{\tau} = R\,\varepsilon.$$

   Таким образом, в искомый момент

   $$\boxed{a = R\,\varepsilon.}$$

Почему нет члена с $\omega^2$?

Интуитивно может показаться, что должна появиться ещё и компонента $\omega^2 R$ (центростремительная), но в тот момент, когда точка $P$ совпадает с центром большого обруча, «радиус вращения» относительно этого центра мгновенно равен нулю – нет «рычага» для центростремительной составляющей, связанной именно с движением вокруг $O$. Формально же это видно из параметрического описания траектории (или из геометрии прямолинейного движения точки по диаметру): при $x = 0$ слагаемое $\omega^2 R \cos(\theta)$ зануляется из-за $\cos(\pi/2) = 0$.

Таким образом, ответ на задачу прост: ускорение точки на малом обруче, совпадающей в данный момент с центром большого, равно $R\,\varepsilon$ (по модулю).