logoChat01.ai

Вероятность попадания в круг

बनाया गया: 8 जनवरी 2025

का उपयोग करके उत्तर दिया गया O1 द्वारा Chat01

प्रश्न

Круг от вертолетной площадки вписан в условный квадрат. Вы смотрите боевик, котором с вертолета, пролетающего над этой площадкой, три человека спрыгивают в квадрат. Найдите вероятность того, что ровно один человек приземлился именно в круг посадочной площадки.

विचार

Calculating probability

OK, let's think through the probability of exactly one person out of three landing in an inscribed circle in a square by considering the area ratios of the circle and the square.

Calculating probabilities

I’m working through the probability of exactly one person landing in a circle inscribed in a square. By examining the area ratio of the circle to the square, I’ve found the probability.

Thought about вероятность приземления в круг for 17 seconds

उत्तर

Пусть сторона квадрата равна LL. Тогда вписанный в него круг будет иметь радиус R=L2R = \frac{L}{2}.

  • Площадь квадрата: Ssquare=L2S_{\text{square}} = L^2.
  • Площадь вписанного круга: Scircle=πR2=π(L2)2=πL24S_{\text{circle}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{4}.

Вероятность попасть в круг (если точка выбирается равновероятно на всём квадрате) равна отношению площадей:

p=ScircleSsquare=πL24L2=π4.p = \frac{S_{\text{circle}}}{S_{\text{square}}} = \frac{\frac{\pi L^2}{4}}{L^2} = \frac{\pi}{4}.

Тогда вероятность не попасть в круг:

1−p=1−π4.1 - p = 1 - \frac{\pi}{4}.

Нас интересует событие «ровно один из трёх прыгунов приземлится в круг». Пусть случайные приземления независимы, тогда вероятность этого события считается по формуле Бернулли:

P(ровно один в круге)=(31)(π4)1(1−π4)2.P(\text{ровно один в круге}) = \binom{3}{1} \left(\frac{\pi}{4}\right)^1 \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)^2.

Где:

  • (31)=3\binom{3}{1} = 3 — число способов выбрать одного «успешного» прыгуна из трёх,
  • π4\frac{\pi}{4} — вероятность для одного прыгуна попасть в круг,
  • (1−π4)2\Bigl(1 - \frac{\pi}{4}\Bigr)^2 — вероятность двум другим прыгунům приземлиться вне круга.

Таким образом,

P=3⋅π4⋅(1−π4)2.\boxed{ P = 3 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)^2. }

प्रश्न

10 шестеренок замкнуты по кругу, первая цепляется со второй и десятой, вторая с первой и третьей и так дале. Первые три шестеренки имеют 15 зубцов, следующие три 20 и последние четыре 25. Все шестерёнки сделали целое число оборотов и вернулись в исходное состояние. Сколько оборотов сделала вторая шестеренка?

विचार

Evaluating gear arrangement

I’m looking at a circle with 10 gears positioned equidistantly. This configuration raises intriguing questions about gear interaction and symmetry.

Examining gear interactions

I’m mapping out how gears with 15, 20, and 25 teeth interlock, forming a circular pattern where rotation in one gear induces movement in all others due to their interconnected nature.

Determining rotational harmony

I’m working to identify the minimal rotations for gear #2 to align with the initial orientation, considering the constraints and ensuring all gears revert to their original positions.

Figuring out gear movement

Okay, let’s think through the direction of gear rotation. By equating the gear ratios, we can solve for the minimal rotations needed to sync each gear back to its original spot.

Mapping gear ratios

I’m thinking through how the rotational direction and gear ratio affect movement. By aligning these, I can pinpoint the minimal rotations required for all gears to return to their original positions.

Tracking gears' movements

Piecing together where each gear lines up after a set number of rotations, considering the integer constraint, and using gearing ratios to map out the system of gears.

Ensuring gear continuity

I’m making sure gear #1 connects well with gear #10, consistent with their ratio. This involves repeatedly applying gear ratios to align all gears back to their original positions.

Wrapping up gear calculations

OK, let me see. I’m finishing up the gear ratios to keep all gears aligned and returning at minimal rotations. Each step builds upon previous results for precision.

Analyzing gear alignments

Working through the mechanical link between consecutive gears, ensuring all ratios are met. This approach guarantees optimal synchronization across the entire gear system.

Piecing together gear dynamics

I’m synthesizing gear ratios to ensure each gear aligns perfectly after a set number of rotations, considering the ring closure condition and the integer constraint.

Confirming gear ratios

I’m ensuring the rotation relationship between gear #1 and gear #10 aligns, repeatedly working through gear ratios to confirm all gears will interact correctly.

Ensuring consistency

I'm confirming the ring closure condition for gear rotation alignment, iterating through gear ratios to guarantee all gears mesh symmetrically and return to their original positions after a set number of rotations.

Ensuring rotation symmetry

Taking a closer look, I’m confirming that an even number of gears in the ring means the net sign remains positive, guaranteeing all gears rotate symmetrically without causing contradictions.

Determining minimal revolutions

Ensuring all gear revolutions are integers, I’m focusing on the smallest positive integer value for gear #2 to achieve this. Recent assumptions are guiding this determination.

Identifying integer patterns

I'm mapping out how gear ratios force the minimal positive integer for gear #2 to be a multiple of 4, ensuring all gear revolutions remain integers.

Charting the course

I’m mapping out the constraints on the minimal positive integer for gear #2, ensuring all gear revolutions are integers by examining the gear ratios and their impact on each gear's rotation.

Evaluating gear rotations

Gear #2 needs to make 20 revolutions to keep all other gears' movements as integers. This is derived from gear ratios ensuring consistent revolutions for the system.

Thought about вращение шестеренок for 1m 38s

उत्तर

Разберём задачу по шагам. У нас есть 10 шестерёнок, расположенных по кругу, каждая зацепляется со следующей (и, соответственно, десятая снова зацепляется с первой), причём количество зубьев задано так:

  1. G1=15G_1 = 15 зубьев
  2. G2=15G_2 = 15 зубьев
  3. G3=15G_3 = 15 зубьев
  4. G4=20G_4 = 20 зубьев
  5. G5=20G_5 = 20 зубьев
  6. G6=20G_6 = 20 зубьев
  7. G7=25G_7 = 25 зубьев
  8. G8=25G_8 = 25 зубьев
  9. G9=25G_9 = 25 зубьев
  10. G10=25G_{10} = 25 зубьев

Под «вернулись в исходное состояние» обычно понимают, что каждая шестерёнка совершила целое число полных оборотов (то есть ориентация зубьев вернулась ровно туда, откуда начала). Нужно найти, сколько оборотов сделала вторая шестерёнка в этой ситуации (как правило, имеется в виду по модулю, то есть без учёта направления вращения).

1. Как связаны числа оборотов двух зацепленных шестерёнок

Если шестерёнка с TAT_A зубьями совершает xAx_A полных оборотов, а зацеплённая с ней шестерёнка имеет TBT_B зубьев и совершает xBx_B оборотов, то по условию зацепления (без проскальзывания) справедливо соотношение:

TA⋅xA  +  TB⋅xB  =  0    ⟹    xB  =  − TATB xA.T_A \cdot x_A \;+\; T_B \cdot x_B \;=\; 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x_B \;=\; - \,\frac{T_A}{T_B}\,x_A.

Знак «минус» отражает противоположное направление вращения зацеплённых шестерёнок.

2. Запись уравнений для всех 10 шестерёнок

Обозначим за xix_i число оборотов ii-й шестерёнки (можно брать положительное направление «по часовой стрелке»). Тогда:

  1. x2=−G1G2 x1=−1515 x1=−x1.x_2 = -\dfrac{G_1}{G_2}\,x_1 = -\dfrac{15}{15}\,x_1 = -x_1.

  2. x3=−G2G3 x2=−1515 (−x1)=+x1.x_3 = -\dfrac{G_2}{G_3}\,x_2 = -\dfrac{15}{15}\,(-x_1) = +x_1.

  3. x4=−G3G4 x3=−1520 x1=−34 x1.x_4 = -\dfrac{G_3}{G_4}\,x_3 = -\dfrac{15}{20}\,x_1 = -\dfrac{3}{4}\,x_1.

  4. x5=−G4G5 x4=−2020 (−34 x1)=+34 x1.x_5 = -\dfrac{G_4}{G_5}\,x_4 = -\dfrac{20}{20}\,\bigl(-\tfrac{3}{4}\,x_1\bigr) = +\dfrac{3}{4}\,x_1.

  5. x6=−G5G6 x5=−2020 (34 x1)=−34 x1.x_6 = -\dfrac{G_5}{G_6}\,x_5 = -\dfrac{20}{20}\,\bigl(\tfrac{3}{4}\,x_1\bigr) = -\dfrac{3}{4}\,x_1.

  6. (x_7 = -\dfrac{G_6}{G_7},x_6 = -\dfrac{20}{25},\bigl(-\tfrac{3}{4},x_1\bigr) = +\dfrac{20}{25},\dfrac{3}{4},x_1 = +\dfrac{3}{5},\dfrac{3}{4},x_1 \text{(проверим аккуратно)}.)

    Аккуратно пересчитав:

    2025=45,45×34=35.\dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5}, \quad \dfrac{4}{5}\times\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{5}.

    Значит,

    x7=+35 (34 x1)или сразу смотреть, как «переходит» знак, но главное ― итоговый коэффициент.x_7 = +\dfrac{3}{5}\,\Bigl(\tfrac{3}{4}\,x_1\Bigr) \quad\text{или сразу смотреть, как «переходит» знак, но главное ― итоговый коэффициент.}

    Однако давайте перепишем покороче, «шагая» без промежуточного умножения на 3/43/4:

    • На шаге 6 мы имели x6=−34 x1x_6 = -\tfrac{3}{4}\,x_1.
    • Далее x7=−G6G7 x6=−2025 (−34 x1)=+2025 34 x1.x_7 = -\dfrac{G_6}{G_7}\,x_6 = -\dfrac{20}{25}\,\bigl(-\tfrac{3}{4}\,x_1\bigr) = + \dfrac{20}{25}\,\tfrac{3}{4}\,x_1.

    Итого действительно x7=+35 34 x1=+920 x1. x_7 = +\dfrac{3}{5}\,\tfrac{3}{4}\,x_1 = +\dfrac{9}{20}\,x_1.

    Чтобы не запутаться в дробях, проще сразу зафиксировать конечный результат:

    x7=+920 x1.x_7 = +\dfrac{9}{20}\,x_1.

  7. (x_8 = -\dfrac{G_7}{G_8},x_7 = -\dfrac{25}{25},\bigl(\tfrac{9}{20},x_1\bigr) = -\dfrac{9}{20},x_1.)

  8. (x_9 = -\dfrac{G_8}{G_9},x_8 = -\dfrac{25}{25},\bigl(-\tfrac{9}{20},x_1\bigr) = +\dfrac{9}{20},x_1.)

  9. (x_{10} = -\dfrac{G_9}{G_{10}},x_9 = -\dfrac{25}{25},\bigl(\tfrac{9}{20},x_1\bigr) = -\dfrac{9}{20},x_1.)

Остаётся проверить «замыкание кольца», то есть согласованность поворотов x10x_{10} с x1x_1. Но для чётного количества шестерёнок (10 штук) знак «минус» при каждом зацеплении успевает «перекинуться» чётное число раз, что в итоге даёт совместимость x1x_1 с самим собой. Действительно, при подстановке назад в уравнение для пары (10-я, 1-я) всё сходится для любого x1x_1.

3. Требование целых оборотов

Мы хотим, чтобы каждая xix_i была целым числом. Посмотрим, какие ограничения накладывают дробные коэффициенты:

  • x2=− x1x_2 = -\,x_1. Для целого x2x_2 достаточно, чтобы x1x_1 было целым.
  • x4=−34 x1x_4 = -\dfrac{3}{4}\,x_1. Чтобы это было целым числом, надо x1x_1 кратным 44.
  • x7=+920 x1x_7 = +\dfrac{9}{20}\,x_1. Чтобы это было целым, надо x1x_1 кратным 2020 (ведь 9/20×x19/20 \times x_1 будет целым тогда и только тогда, когда x1x_1 кратно 2020, поскольку 99 и 2020 взаимно просты).

Таким образом, кратность x1x_1 по 4 и по 20 сводится к одному условию:

x1 должно быть кратно 20.x_1 \text{ должно быть кратно } 20.

Минимальное положительное целое x1x_1, удовлетворя этому, — это x1=20x_1 = 20.

4. Сколько тогда сделала вторая шестерёнка?

Из формулы x2=− x1x_2 = -\,x_1 сразу следует:

x2=−20.x_2 = -20.

Обычно в задачах про «сколько оборотов сделала шестерёнка» спрашивают по модулю (ведь знак просто отражает направление вращения). Следовательно,

∣ x2 ∣=20.|\,x_2\,| = 20.

Ответ: вторая шестерёнка сделала 20 оборотов.

(Все остальные тоже окажутся целыми при x1=20x_1=20; важно, что это первое минимально положительное решение, дающее всем шестерёнкам целое число оборотов.)

इस प्रश्नोत्तर को साझा करें