Изменение среднего арифметического

Среднее арифметическое увеличилось на $\frac{1}{23}$.

В числовом виде это изменение составляет примерно $0{,}043$ (округлено до тысячных).

Таким образом, среднее арифметическое набора увеличилось на 0,043.

Для определения изменения среднего арифметического при добавлении числа $x$ к набору из 9 чисел со средним значением 6, рассмотрим следующее:

1. Исходные данные:

   • Количество чисел в наборе: 9
   • Среднее арифметическое: 6
   • Сумма всех чисел: $9 \times 6 = 54$

2. После добавления числа $x$:

   • Новое количество чисел: 10
   • Новая сумма: $54 + x$
   • Новое среднее арифметическое: $\frac{54 + x}{10}$

Сравнение нового среднего с исходным:

• Если $\frac{54 + x}{10} > 6$, то среднее увеличивается.
• Если $\frac{54 + x}{10} < 6$, то среднее уменьшается.
• Если $\frac{54 + x}{10} = 6$, то среднее не изменяется.

Упростим неравенства:

• $\frac{54 + x}{10} > 6$ $\Rightarrow$ $54 + x > 60$ $\Rightarrow$ $x > 6$
• $\frac{54 + x}{10} < 6$ $\Rightarrow$ $54 + x < 60$ $\Rightarrow$ $x < 6$
• $\frac{54 + x}{10} = 6$ $\Rightarrow$ $x = 6$

Теперь рассмотрим каждый случай:

а) $x = -7$

• $x = -7 < 6$
• Среднее арифметическое уменьшится.

б) $x = 6$

• $x = 6 = 6$
• Среднее арифметическое не изменится.

в) $x = 12$

• $x = 12 > 6$
• Среднее арифметическое увеличится.

Итог:

• а) Среднее уменьшается.
• б) Среднее остаётся неизменным.
• в) Среднее увеличивается.

Чтобы найти медиану исходного набора из 100 чисел, воспользуемся свойствами медианы и анализом изменений при удалении элементов.

Исходные данные:

• Количество чисел в наборе: 100
• Медиана исходного набора: $\frac{a_{50} + a_{51}}{2}$, где $a_{50}$ и $a_{51}$ — 50-е и 51-е числа в отсортированном наборе.

Сценарии удаления:

1. Удаление числа, после которого медиана становится 78:

   • При удалении одного числа из 100, остается 99 чисел.
   • Для набора из 99 чисел медиана — это 50-е число ($a'_{50}$).
   • Если медиана стала 78, значит $a'_{50} = 78$.
   • Это возможно только в том случае, если удалено число из нижней половины (то есть $a_1$ до $a_{50}$). При удалении такого числа, 50-е число исходного набора ($a_{51}$) становится новым медианным.
   • Следовательно, $a_{51} = 78$.

2. Удаление числа, после которого медиана становится 66:

   • Аналогично, медиана набора из 99 чисел теперь равна 66, то есть $a'_{50} = 66$.
   • Это возможно, если удалено число из верхней половины (то есть $a_{51}$ до $a_{100}$). В этом случае 50-е число исходного набора ($a_{50}$) остается медианным.
   • Следовательно, $a_{50} = 66$.

Определение исходной медианы:

Медиана исходного набора из 100 чисел рассчитывается как среднее арифметическое двух средних чисел:

$$\text{Медиана} = \frac{a_{50} + a_{51}}{2} = \frac{66 + 78}{2} = 72$$

Таким образом, медиана всего исходного набора равна 72.

Давайте решим задачу по предоставленному изображению.

a) Найти медиану в градусах Цельсия

Исходные данные (температуры в °C): 18, 14, 12, 14, 19, 23, 22, 27, 16

1. Сначала упорядочим данные по возрастанию: 12, 14, 14, 16, 18, 19, 22, 23, 27

2. Медиана — это центральное значение в упорядоченном наборе чисел. Поскольку чисел 9 (нечётное количество), медиана — это 5-е число:

\text{Медиана} = 18 \,^\circ\text{C}.

Ответ на пункт (a): 18 \,^\circ\text{C}

---

b) Найти медиану в градусах Фаренгейта

Формула для преобразования температур:

$$T^\circ F = 1.8 \cdot T^\circ C + 32$$

Сначала проверим, можно ли найти медиану, не переводя все измерения.

Порядок значений сохраняется при линейных преобразованиях. Формула для перевода в °F линейна ($T^\circ F = 1.8 \cdot T^\circ C + 32$), поэтому порядок температур не изменится. Медиана в шкале Фаренгейта будет соответствовать переводу медианы в шкале Цельсия.

1. Медиана в °C: $18^\circ \text{C}$

2. Переводим в °F:

$$T^\circ F = 1.8 \cdot 18 + 32 = 32.4 + 32 = 64.4^\circ \text{F}.$$

Ответ на пункт (b): 64.4 \,^\circ \text{F}

Можно найти медиану в шкале Фаренгейта, не переводя все значения, так как порядок сохраняется.

Решим задачу по изображению.

Дано:

Числа:

$$\frac{5}{9}, \frac{11}{9}, \frac{13}{9}, \frac{14}{9}$$

и числовая прямая, на которой точка примерно равна $0.5$.

Переведем дроби в десятичные числа:

1. $\frac{5}{9} \approx 0.555$
2. $\frac{11}{9} \approx 1.222$
3. $\frac{13}{9} \approx 1.444$
4. $\frac{14}{9} \approx 1.555$

Сравнение с отметкой:

На числовой прямой точка находится примерно на $0.555$, что совпадает с $\frac{5}{9}$.

Ответ:

Число, которое отмечено на прямой, — $\frac{5}{9}$.
Правильный вариант: 1).

Дано:

• В наборе 10 чисел, их среднее арифметическое равно $4.8$.
  Сумма всех чисел набора: $$S = 4.8 \cdot 10 = 48.$$

Теперь рассмотрим каждый пункт.

---

a) К наибольшему числу набора прибавить 10

Если к наибольшему числу прибавить 10, то сумма набора увеличится на 10:

$$S_{\text{новое}} = 48 + 10 = 58.$$

Количество чисел не изменилось ($n = 10$), поэтому новое среднее арифметическое:

$$\text{Среднее} = \frac{S_{\text{новое}}}{n} = \frac{58}{10} = 5.8.$$

Ответ (a): $5.8$.

---

b) Из наибольшего числа набора вычесть 6

Если из наибольшего числа вычесть 6, то сумма набора уменьшится на 6:

$$S_{\text{новое}} = 48 - 6 = 42.$$

Количество чисел остаётся прежним ($n = 10$), поэтому новое среднее арифметическое:

$$\text{Среднее} = \frac{S_{\text{новое}}}{n} = \frac{42}{10} = 4.2.$$

Ответ (b): $4.2$.

---

Итог:

• (a): $5.8$
• (b): $4.2$

Давайте решим задачу.

Дано:

1. До этого года у гидролога было 50 наблюдений, среднее значение которых равно $1 \, \text{м} \, 21 \, \text{см}$ ($1.21 \, \text{м}$).
2. Этой весной он добавил ещё одно измерение, и новое среднее значение стало $1 \, \text{м} \, 20 \, \text{см}$ ($1.20 \, \text{м}$).
3. Нужно найти значение, полученное гидрологом этой весной.

---

Решение:

1. Найдём сумму предыдущих 50 наблюдений:

$$S_{\text{старое}} = 50 \cdot 1.21 = 60.5 \, \text{м}.$$

2. После добавления нового значения ($x$) сумма всех наблюдений стала равна:

$$S_{\text{новое}} = S_{\text{старое}} + x.$$

3. Среднее значение нового набора из 51 наблюдения равно $1.20 \, \text{м}$. Используем формулу среднего:

$$\frac{S_{\text{новое}}}{51} = 1.20.$$

4. Подставим $S_{\text{новое}} = S_{\text{старое}} + x$ в формулу:

$$\frac{60.5 + x}{51} = 1.20.$$

5. Умножим обе части на 51:

$$60.5 + x = 61.2.$$

6. Выразим $x$:

$$x = 61.2 - 60.5 = 0.7 \, \text{м}.$$

7. Переведём $0.7 \, \text{м}$ в сантиметры, чтобы проверить: это $70 \, \text{см}$.

---

Ответ:

Гидролог получил значение $0.7 \, \text{м}$ или $70 \, \text{см}$.

Давайте разберём задачу.

Дано:

1. В числовом наборе $100$ чисел.
2. Если удалить одно число, медиана оставшихся чисел будет равна $72$.
3. Если удалить другое число, медиана оставшихся чисел будет равна $64$.
4. Нужно найти медиану всего набора.

---

Пояснения:

• Медиана набора из $100$ чисел — это среднее арифметическое двух центральных чисел: $a_{50}$ и $a_{51}$ (так как чисел чётное количество).

$$\text{Медиана} = \frac{a_{50} + a_{51}}{2}.$$

---

1. Первый случай (медиана $72$): Если после удаления одного числа медиана оставшихся чисел равна $72$, это означает, что:

   $$a_{51} = 72.$$

2. Второй случай (медиана $64$): Если после удаления другого числа медиана оставшихся чисел равна $64$, это означает, что:

   $$a_{50} = 64.$$

---

Найдём медиану всего набора:

Медиана всего набора равна:

$$\text{Медиана} = \frac{a_{50} + a_{51}}{2} = \frac{64 + 72}{2} = 68.$$

---

Ответ:

Медиана всего набора: $68$.

Извините за путаницу. Давайте разберём задачу правильно и аккуратно:

---

1. Начало:
   • Число на доске: $1$.
   • Медианы, которые записывает Митя: $2$, $3$, $2.4$.

---

2. Первое добавленное число $x_2 = 3$:
   • Набор чисел: $[1, 3]$.
   • Медиана: $\frac{1 + 3}{2} = 2$, совпадает с первым числом в тетради.
   • Значит, $x_2 = 3$.

---

3. Второе добавленное число $x_3 = 2.4$:
   • Набор чисел: $[1, 3, 2.4]$.
   • После сортировки: $[1, 2.4, 3]$.
   • Медиана: центральное число $2.4$, совпадает с третьим числом в тетради.
   • Значит, $x_3 = 2.4$.

---

4. Третье добавленное число $x_4$:
   • Набор чисел: $[1, 3, 2.4, x_4]$.
   • После сортировки: набор будет $[1, 2.4, 3, x_4]$ или $[1, 2.4, x_4, 3]$, в зависимости от $x_4$.

---

5. Определяем $x_4$, чтобы медиана стала $3$:
   • При четырёх числах медиана — это среднее двух центральных чисел.
   • Два центральных числа: $3$ и $x_4$, если $x_4 \geq 3$.
   • Среднее двух центральных чисел: $$\frac{3 + x_4}{2} = 3.$$
   • Решим уравнение: $$3 + x_4 = 6 \implies x_4 = 3.$$

---

6. Ответ: Последнее число, которое записал Ваня, — $x_4 = 3$.