函数极值与拐点分析

我们来分析函数 $y = |x e^{-x}|$ 在 $x = 0$ 处的性质。

1. 函数的表达式

首先，将函数分段表示：

$$y = \begin{cases} x e^{-x} & \text{当 } x \geq 0 \\ -x e^{-x} & \text{当 } x < 0 \end{cases}$$

2. 求导分析

一阶导数：

• 当 $x > 0$ 时：

  $$y' = \frac{d}{dx}(x e^{-x}) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x)$$

• 当 $x < 0$ 时：

  $$y' = \frac{d}{dx}(-x e^{-x}) = -e^{-x} + x e^{-x} = e^{-x}(x - 1)$$

在 $x = 0$ 处的导数：

• 右导数（$x \to 0^+$）：

  $$y' = 1 - x \to 1$$

• 左导数（$x \to 0^-$）：

  $$y' = x - 1 \to -1$$

由于左右导数不相等，$x = 0$ 处有一个尖点（拐角）。

3. 极值分析

考察 $y$ 在 $x = 0$ 处的极值：

• 当 $x > 0$ 时，$y = x e^{-x}$，在 $x = 0$ 附近 $y$ 是正值且随着 $x$ 增大而增加到某个极大值后减小。
• 当 $x < 0$ 时，$y = -x e^{-x}$，由于 $x < 0$，$y$ 依然是正值且随着 $x$ 绝对值的增大而增大。

因此，$y$ 在 $x = 0$ 处取得最小值。

4. 凹凸性分析

二阶导数：

• 当 $x > 0$ 时：

  $$y'' = \frac{d}{dx} \left[ e^{-x}(1 - x) \right] = -e^{-x}(1 - x) - e^{-x} = -e^{-x}(2 - x)$$

• 当 $x < 0$ 时：

  $$y'' = \frac{d}{dx} \left[ e^{-x}(x - 1) \right] = -e^{-x}(x - 1) + e^{-x} = -e^{-x}(x - 2)$$

在 $x = 0$ 处的二阶导数：

• 右侧极限：

  $$y''(0^+) = -2$$

• 左侧极限：

  $$y''(0^-) = 2$$

由于二阶导数在 $x = 0$ 处从正变负，说明函数在此处有凹凸性变化，即存在拐点。

综上所述

• $x = 0$ 是 $y$ 的极小值点。
• 点 $(0, 0)$ 是曲线 $y$ 的拐点。

因此，正确答案是选项 (D)。

答案：

(D) $x = 0$ 是 $y$ 的极小值点，点 $(0, 0)$ 是曲线 $y$ 的拐点