微積分問題作成

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\chapter{微分法と積分法}
\section{多項式関数と微分}
\label{sec:polynomial-functions}
\begin{enumerate}[label=\Large\arabic*., leftmargin=1cm]
    \item 関数 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ について，以下の問いに答えよ（$x \in \mathbb{R}$）：
    \begin{enumerate}
        \item 関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
        \item $f(x)$ の極値を求め，それぞれの極値が最大値か最小値かを判定せよ。
        \item 関数 $f(x)$ のグラフが $x$ 軸と交わる点の個数を求めよ。
        \item 不定積分 $I = \int f(x) \, dx$ を求めよ。
        \item 定積分 $J = \int_0^2 f(x) \, dx$ の値を求めよ。
    \end{enumerate}
    \probleminfo{2024年 模擬試験 数学Ⅰ}{模擬試験作成}
    
    \item 実数 $a$ は $a > 0$ を満たすとする。関数
    $$
    f(x) = a x^3 - 3a x^2 + 3a x - a
    $$
    について、以下の問いに答えよ。
    \begin{enumerate}
        \item 関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
        \item 関数 $f(x)$ の増減区間を求めよ。
        \item 関数 $f(x)$ が $x = 1$ で極値を持つことを示せ。
        \item $f(x) = 0$ の解をすべて求めよ。
        \item 定積分 $I = \int_0^3 f(x) \, dx$ を求めよ。
    \end{enumerate}
    \probleminfo{2024年 模擬試験 数学Ⅱ}{模擬試験作成}

    \item 関数 $f(x) = e^{2x} - 4e^{x} + 4$ について，以下の問いに答えよ。
    \begin{enumerate}
        \item 導関数 $f'(x)$ を求めよ。
        \item 関数 $f(x)$ の極値を求め，それが極大値か極小値かを判定せよ。
        \item 関数 $f(x)$ が $x$ 軸と交わる点の座標を求めよ。
        \item 不定積分 $I = \int f(x) \, dx$ を求めよ。
        \item 定積分 $J = \int_{0}^{1} f(x) \, dx$ の値を求めよ。
    \end{enumerate}
    \probleminfo{2023年 模擬試験 数学Ⅰ}{模擬試験作成}
\end{enumerate}

\section{三角関数と積分}
\label{sec:trigonometric-integrals}
\begin{enumerate}
    \item 関数 $f(x) = \sin^2 x + \cos^3 x$ について，以下の問いに答えよ（$0 \leq x \leq 2\pi$）：
    \begin{enumerate}
        \item 関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
        \item 関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。
        \item 不定積分 $I = \int f(x) \, dx$ を求めよ。
        \item 定積分 $J = \int_{0}^{2\pi} f(x) \, dx$ の値を求めよ。
        \item 方程式 $f(x) = 1$ を満たす $x$ の解を $0 \leq x \leq 2\pi$ の範囲で求めよ。
    \end{enumerate}
    \probleminfo{2024年 模擬試験 数学Ⅱ}{模擬試験作成}

    \item 実数 $a$ は $0 < a < \pi$ を満たすとする。区間 $0 < x < 2\pi$ で定義された関数
    $$
    f(x) = a \sin x + \sin 2x
    $$
    について、以下の問いに答えよ。
    \begin{enumerate}
        \item $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
        \item 関数 $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。
        \item 方程式 $f(x) = 0$ の解の個数を $a$ の値によって分類せよ。
        \item $a$ の値が特定の条件を満たすとき、$f(x)$ の極大点の座標を求めよ。
        \item 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。
    \end{enumerate}
    \probleminfo{2024年 模擬試験 数学Ⅰ}{模擬試験作成}
\end{enumerate}

\section{指数関数・対数関数}
\label{sec:exponential-logarithmic-functions}
\begin{enumerate}[label=\Large\arabic*., leftmargin=1cm]
    \item 関数 $f(x) = \frac{e^x}{(x+1)^2}$ について，以下の問いに答えよ（$x > -1$）：
    \begin{enumerate}
        \item 導関数 $f'(x)$ を $f'(x) = \frac{g(x)}{(x+1)^3}$ と表すとき，$g(x)$ を求めよ。
        \item 関数 $g(x)$ の極値を求めよ。さらに，$x > -1$ の範囲で方程式 $g(x) = 0$ がただ一つの実数解を持つことを示せ。
        \item 関数 $f(x)$ の極値を求めよ。
        \item 定積分 $I = \int_0^1 \frac{e^x}{(x+1)} \, dx$ を求めよ。
        \item 曲線 $y = f(x)$，$x$ 軸および直線 $x = 1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。
    \end{enumerate}
    \probleminfo{2024年 模擬試験 数学Ⅱ}{模擬試験作成}
    
    \item 実数 $b$ は $b > 0$ を満たすとする。関数
    $$
    f(x) = b e^{2x} - 4e^{x} + 4
    $$
    について、以下の問いに答えよ。
    \begin{enumerate}
        \item 関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
        \item 関数 $f(x)$ の増減区間を求めよ。
        \item 関数 $f(x)$ が $x = 0$ で極値を持つことを示せ。
        \item $f(x) = 0$ の解をすべて求めよ。
        \item 定積分 $I = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx$ を求めよ。
    \end{enumerate}
    \probleminfo{2024年 模擬試験 数学Ⅰ}{模擬試験作成}
\end{enumerate}

\section{媒介変数表示と面積}
\label{sec:parametric-representation-area}
\begin{enumerate}
    \item 関数 $f(x) = \sqrt{4x - x^2}$ $(0 \leq x \leq 4)$ に対して，曲線 $C: y = f(x)$ を考える。
    4以上の整数 $n$ に対して，曲線 $C$ 上の点 $(n, f(n))$ における $C$ の接線を $l_n$ とし，$l_n$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $x_n$ とする。以下の問いに答えよ。
    \begin{enumerate}
        \item $0 < x < 4$ のとき，導関数 $f'(x)$ を求めよ。さらに，$x_n$ を $n$ の式で表せ。
        \item $x = 2 + \cos t$ を満たす実数 $t$ を $x$ の式で表せ。ただし，$0 \leq t \leq \pi$ とする。
        \item $x = 2 + \cos t$ $(0 \leq t \leq \pi)$ とおくとき，不定積分 $I = \int f(x) \, dx$ を $t$ を用いた式で表せ。ただし，積分定数は省略してもよい。
        \item 曲線 $C$，$x$ 軸および接線 $l_n$ で囲まれた部分の面積 $S_n$ を $n$ の式で表せ。
        \item 数列 $\{T_n\}$ を $T_1 = 0$，$T_n = \frac{S_n}{\log n}$ $(n \geq 2)$ と定めるとき，次の極限値 $T$ を求めよ。
        $$
        T = \lim_{n \to \infty} T_n
        $$
    \end{enumerate}
    \probleminfo{2024年 模擬試験 数学Ⅱ}{模擬試験作成}
\end{enumerate}

\section{媒介変数表示と曲線}
\label{sec:parametric-curve}
\begin{enumerate}
    \item $t \geq 1$ で定義された $f(t)$ と $g(t)$ を
    $$
    f(t) = t^2 - 1, \quad g(t) = \sqrt{2t - 1}
    $$
    とする。座標平面上の曲線 $C$ が $x = f(t)$, $y = g(t)$ で表されるとき，以下の問いに答えよ：
    \begin{enumerate}
        \item 曲線 $C$ と $x$ 軸との共有点の座標を求めよ。
        \item 曲線 $C$ と直線 $y = t$ との共有点の座標を求めよ。
        \item 曲線 $C$ は不等式 $y \geq 0$ の表す領域に含まれることを示せ。
        \item 曲線 $C$ 上の点 $(3, \sqrt{5})$ における接線の方程式を求めよ。
        \item 曲線 $C$, 直線 $y = 1$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。
    \end{enumerate}
    \probleminfo{2024年 模擬試験 数学Ⅰ}{模擬試験作成}

    \item $t > 0$ で定義された関数 $f(t)$ と $g(t)$ を
    $$
    f(t) = \ln t, \quad g(t) = t^2
    $$
    とする。座標平面上の曲線 $C$ が $x = f(t)$, $y = g(t)$ で表されるとき，以下の問いに答えよ：
    \begin{enumerate}
        \item 曲線 $C$ と $y$ 軸との共有点の座標を求めよ。
        \item 曲線 $C$ と直線 $y = x^2$ との共有点の座標を求めよ。
        \item 曲線 $C$ 上の点 $(\ln 2, 4)$ における接線の方程式を求めよ。
        \item 曲線 $C$ と直線 $y = 4$ との交点の座標を求めよ。
        \item 曲線 $C$, 直線 $y = 4$ および $y = x^2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。
    \end{enumerate}
    \probleminfo{2024年 模擬試験 数学Ⅱ}{模擬試験作成}
\end{enumerate}

\section{不等式の証明}
\label{sec:inequality-proofs}
\begin{enumerate}
    \item 関数 $f(x) = x^{1/x}$ $(x > 0)$ について、以下の問いに答えよ。ただし、以下では $\ln$ は自然対数を表す。
    \begin{enumerate}
        \item 関数 $y = \ln f(x) = \frac{\ln x}{x}$ の導関数を求めよ。
        \item 関数 $f(x)$ の極値を求めよ。
        \item $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ と $\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求めよ。
        \item 関数 $f(x)$ の最大値を求めよ。
        \item 実数 $c > 0$ に対して、方程式 $f(x) = c$ が解を持つための条件を証明せよ。
    \end{enumerate}
    \probleminfo{2024年 模擬試験 数学Ⅰ}{模擬試験作成}

    \item 関数 $f(x) = \frac{\ln x}{x}$ $(x > 0)$ について，以下の問いに答えよ。
    \begin{enumerate}
        \item 導関数 $f'(x)$ を求めよ。
        \item 関数 $f(x)$ の増減区間を求めよ。
        \item 関数 $f(x)$ の最大値を求めよ。
        \item 定積分 $I = \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx$ を求めよ。
        \item 実数 $k > 0$ に対して、不等式
        $$
        \sum_{n=2}^{k} \frac{\ln n}{n^2} < \frac{1}{2} \left(1 - \frac{\ln (k+1)}{k+1}\right)
        $$
        が成り立つことを示せ。
    \end{enumerate}
    \probleminfo{2024年 模擬試験 数学Ⅱ}{模擬試験作成}
\end{enumerate}