logoChat01.ai

Моя задача -получить уравнения (24)-(27) (в статье...

Créé le : 4 novembre 2026

Répondu en utilisant GPT-6 Thinking par Chat01

Question

1402.6740v4.pdf
2207.03944v2.pdf
Kobayashi.pdf
изображение.png

Моя задача -получить уравнения (24)-(27) (в статье Бабичева) из уравнений (А2) - (А6) из статьи Кобаяши для теории Гаусса-Бонне. Я не очень понимаю следующий момент - с одной стороны в терминах Хорнедски Гаусс-Бонне задается K=X-V, G4=1/2- l^2*phi^2, а G3 и G5 равны нулю, но с другой стороны в статье Кобаяши (Generalized G-inflation: Inflation with the most general second-order field equation) в Аппендиксе А показывается, что в терминах Хорнедски Гаусс-Бонне переписывается через логарифмы. Какой подход является правильным? Как получить уравнения Бабичева из уравнений Кобаяши. Проведи очень подробный вывод со всеми выкладками и пояснениями.

Réflexion

Used pdfs skill

Réponse

Сначала сверю точные формулы в трёх приложенных статьях и их обозначения. Затем разберу, почему связь с RGB2R_{\mathrm{GB}}^2 требует логарифмических функций Хорндески, и последовательно выведу уравнения (24)–(27) Бабичева из фоновых уравнений Кобаяши. Особое внимание уделю знакам, коэффициентам и различию между RR и инвариантом Гаусса–Бонне.

Réflexion

Checking equation transcription

I’m verifying the rendered equation because the disputed term may involve φ′2+φφ′′\varphi'^2+\varphi\varphi'', not only φφ′′\varphi\varphi''. I’m also checking whether the stated G4G_4 term matches the intended curvature invariant.

Checked equation transcription

Reviewed Kobayashi 2014 A1 and Appendix 2011 log equations

Réflexion

Rechecking equation consistency

I’m testing whether equation (24) contains a typographical omission. The expected structure likely includes φφ′′+φ′2\varphi\varphi''+\varphi'^2, while the printed φφ′\varphi\varphi' appears dimensionally inconsistent and may affect the field-equation derivation.

Rechecked equation consistency

Deriving coupled equations

I’m reducing the general spherical equations for a quadratic coupling and checking whether the omitted second-derivative terms cancel. This should distinguish a genuine simplification from a transcription error.

Derived coupled equations

Réflexion

Confirming the omitted terms

I’m finding that equation (24) should contain φφ′′+φ′2\varphi\varphi''+\varphi'^2, not φφ′\varphi\varphi'. The latter is dimensionally inconsistent, so the published expression appears to contain a typographical error.

Confirmed the omitted terms

Réflexion

Extracting Kob appendix equations

Réponse

При подстановке обнаружилась важная деталь: в напечатанном уравнении (24) Бабичева член с φφ′\varphi\varphi' не совпадает с результатом вариации действия. Из уравнения (A.2) Кобаяши получается комбинация φφ′′+(φ′)2\varphi\varphi''+(\varphi')^2. Я проверяю это также через скалярное уравнение и геометрическую форму инварианта Гаусса–Бонне, чтобы отделить возможную опечатку от различий в обозначениях.

Réflexion

Summarizing the correction

I’m concluding that equation (24) contains a likely typo: the coupling contribution should involve φφ′′+φ′2\varphi\varphi''+\varphi'^2, not φφ′\varphi\varphi'. I’m also checking related coefficients for consistency.

Organizing reduced equations

I’m expressing the equations using the radial derivatives f′=ξφφ′f'=\xi_\varphi\varphi' and f′′=ξφφφ′2+ξφφ′′f''=\xi_{\varphi\varphi}\varphi'^2+\xi_\varphi\varphi''. This compact form makes the missing φ′2\varphi'^2 contribution explicit and easier to verify.

Presenting corrected equations

I’ve reduced the equations using f′=−2ℓ2φφ′f'=-2\ell^2\varphi\varphi' and f′′=−2ℓ2(φ′2+φφ′′)f''=-2\ell^2(\varphi'^2+\varphi\varphi''). This confirms the missing combination and provides a consistent way to rewrite the radial system.

Identifying consistency issues

I’m finding two likely typographical errors: equation (24) needs φ′2+φφ′′\varphi'^2+\varphi\varphi'', while an appendix coefficient appears dimensionally inconsistent as 2r2r and likely should be 2B2B.

Confirming coefficient cancellations

I’m confirming that the corrected appendix coefficient 2B2B makes logarithmic terms cancel properly. The reduced equations then reproduce the expected radial equations, while equation (24) still requires φ′2+φφ′′\varphi'^2+\varphi\varphi''.

Identifying two typos

I’m finding two likely typographical errors: equation (24) should contain φ′2+φφ′′\varphi'^2+\varphi\varphi'', and an appendix factor written as 2r2r should likely be 2B2B for the equations to remain consistent.

Corrected equations, organized reductions, and identified two typos

Searched 9 websites

Réflexion

Derived covariant scalar-tensor equations

Réflexion

Verified Gauss-Bonnet field equation derivation

Réflexion

Checking equation transcription

I’m verifying the rendered equation because the disputed term may involve φ′2+φφ′′\varphi'^2+\varphi\varphi'', not only φφ′′\varphi\varphi''. I’m also checking whether the stated G4G_4 term matches the intended curvature invariant.

Checked equation transcription

Checking the derivation

I’m verifying the reduced equations term by term. The algebra reproduces the stated equations, but two apparent typographical errors emerge: one missing φ′′+φ′2\varphi''+\varphi'^2 combination and one coefficient requiring 2B2B, not 2r2r.

Checked the derivation

Verified and analyzed Kobayashi and Babichev Gauss–Bonnet equations

Worked for 4m 39s

Réponse

Подробный вывод уравнений Бабичева из теории Хорндески

1. Главный вопрос: почему возникают два разных представления теории Гаусса–Бонне?

Здесь действительно есть принципиальный момент. Два приведённых вами набора функций Хорндески описывают разные теории.
Для действия Бабичева
S=∫d4x−g[R2−12∇μφ∇μφ−V(φ)−ℓ2φ2G],(1)\boxed{ S=\int d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac{R}{2} -\frac12\nabla_\mu\varphi\nabla^\mu\varphi -V(\varphi) -\ell^2\varphi^2\mathcal G \right], } \tag{1}
где
G=R2−4RμνRμν+RμνρσRμνρσ,\mathcal G= R^2-4R_{\mu\nu}R^{\mu\nu} +R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma},
нужно использовать именно логарифмическое представление, приведённое в приложении A статьи Generalized G-inflation (Kobayashi, Yamaguchi, Yokoyama, 2011).
Действие (1) — это уравнение (1) статьи Бабичева Shrouded black holes in Einstein-Gauss-Bonnet gravity, стр. 3. 2207.03944v2.pdf L100-L111

1.1. Что описывает ваш первый набор функций?

Вы предлагаете
K=X−V(φ),G3=0,K=X-V(\varphi),\qquad G_3=0,G4=12−ℓ2φ2,G5=0.G_4=\frac12-\ell^2\varphi^2,\qquad G_5=0.
Но в стандартной записи Хорндески
L4=G4(φ,X)R+G4X[(□φ)2−(∇μ∇νφ)2].\mathcal L_4= G_4(\varphi,X)R+ G_{4X}\left[ (\Box\varphi)^2- (\nabla_\mu\nabla_\nu\varphi)^2 \right].
Поскольку у вас G4G_4 не зависит от XX,
G4X=0.G_{4X}=0.
Следовательно,
L4=(12−ℓ2φ2)R.\mathcal L_4= \left(\frac12-\ell^2\varphi^2\right)R.
Таким образом, ваш набор функций даёт
SRicci=∫d4x−g[12R+X−V(φ)−ℓ2φ2R].(2)\boxed{ S_{\mathrm{Ricci}}= \int d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac12R+X-V(\varphi) -\ell^2\varphi^2R \right]. } \tag{2}
Это теория с неминимальной связью скалярного поля с скаляром Риччи RR, а не с инвариантом Гаусса–Бонне G\mathcal G.
Эти теории физически различны. Поэтому из (2) нельзя получить уравнения (24)–(27) Бабичева.

1.2. Правильные функции Хорндески

Введём общую функцию связи
ξ(φ)G.\xi(\varphi)\mathcal G.
В приложении A работы Кобаяши 2011 года, формулах (A.7)–(A.10), установлено соответствие
KGB=8ξ(4)X2(3−ln⁡X),G3,GB=4ξ(3)X(7−3ln⁡X),G4,GB=4ξ(2)X(2−ln⁡X),G5,GB=−4ξ(1)ln⁡X.(3)\begin{aligned} K_{\mathrm{GB}}&= 8\xi^{(4)}X^2(3-\ln X),\\ G_{3,\mathrm{GB}}&= 4\xi^{(3)}X(7-3\ln X),\\ G_{4,\mathrm{GB}}&= 4\xi^{(2)}X(2-\ln X),\\ G_{5,\mathrm{GB}}&= -4\xi^{(1)}\ln X. \end{aligned} \tag{3}
Здесь ξ(n)=dnξ/dφn\xi^{(n)}=d^n\xi/d\varphi^n. Эти функции воспроизводят связь ξ(φ)G\xi(\varphi)\mathcal G с точностью до полной дивергенции. Kobayashi.pdf L700-L760
Для модели Бабичева
ξ(φ)=−ℓ2φ2.\xi(\varphi)=-\ell^2\varphi^2.
Поэтому
ξφ=−2ℓ2φ,ξφφ=−2ℓ2,\xi_\varphi=-2\ell^2\varphi,\qquad \xi_{\varphi\varphi}=-2\ell^2,ξφφφ=ξφφφφ=0.\xi_{\varphi\varphi\varphi} =\xi_{\varphi\varphi\varphi\varphi}=0.
Подставляя это в (3) и добавляя обычные кинетический, потенциальный и гравитационный члены, получаем
K(φ,X)=X−V(φ),G3(φ,X)=0,G4(φ,X)=12−8ℓ2X(2−ln⁡∣X∣),G5(φ,X)=8ℓ2φln⁡∣X∣.(4)\boxed{ \begin{aligned} K(\varphi,X)&=X-V(\varphi),\\ G_3(\varphi,X)&=0,\\ G_4(\varphi,X)&= \frac12-8\ell^2X(2-\ln|X|),\\ G_5(\varphi,X)&= 8\ell^2\varphi\ln|X|. \end{aligned}} \tag{4}
Это и есть правильный набор функций Хорндески для теории Бабичева.
Я использую ln⁡∣X∣\ln|X|, потому что для статического радиального скалярного поля в сигнатуре (−+++)(-+++)
X=−12grrφ′2<0.X=-\frac12g^{rr}\varphi'^2<0.
Логарифмические производные при X≠0X\ne0 при этом остаются теми же, что в формулах Кобаяши:
dln⁡∣X∣dX=1X.\frac{d\ln|X|}{dX}=\frac1X.
Следует помнить, что это представление может быть сингулярным при X=0X=0, хотя исходное действие ξ(φ)G\xi(\varphi)\mathcal G регулярно. Поэтому все промежуточные равенства с логарифмами понимаются сначала в области X≠0X\ne0, а окончательные уравнения продолжаются в регулярные точки.
Далее выведем уравнения (24)–(27) непосредственно из фоновых уравнений Хорндески и отдельно проверим их геометрический смысл.

2. Как связаны обозначения двух статей

Теперь переходим к статье Kobayashi, Motohashi, Suyama (2014), Black hole perturbation in the most general scalar-tensor theory with second-order field equations II: the even-parity sector.
Именно в ней, в приложении A, находятся необходимые нам уравнения (A2)–(A6). Это не то же приложение, в котором Кобаяши в 2011 году выводил логарифмическое представление.

2.1. Метрика Кобаяши

Кобаяши использует
ds2=−A(r)dt2+dr2B(r)+r2dΩ2,(5)ds^2=-A(r)dt^2+\frac{dr^2}{B(r)} +r^2d\Omega^2, \tag{5}
где
dΩ2=dθ2+sin⁡2θ dϕ2.d\Omega^2=d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2.
В статье Бабичева метрика записана как
ds2=−eν(r)dt2+eλ(r)dr2+r2dΩ2.(6)ds^2=-e^{\nu(r)}dt^2+e^{\lambda(r)}dr^2 +r^2d\Omega^2. \tag{6}
Следовательно,
A(r)=eν(r),B(r)=e−λ(r).(7)\boxed{ A(r)=e^{\nu(r)},\qquad B(r)=e^{-\lambda(r)}. } \tag{7}
Отсюда
A′A=ν′,A′′A=ν′′+ν′2,B′B=−λ′,1B=eλ.(8)\boxed{ \begin{aligned} \frac{A'}A&=\nu',\\ \frac{A''}A&=\nu''+\nu'^2,\\ \frac{B'}B&=-\lambda',\\ \frac1B&=e^\lambda. \end{aligned}} \tag{8}
Здесь и далее штрих обозначает производную по rr.
Для скалярного поля φ=φ(r)\varphi=\varphi(r)
X=−12gμν∂μφ∂νφ=−B2φ′2.(9)X=-\frac12g^{\mu\nu} \partial_\mu\varphi\partial_\nu\varphi =-\frac B2\varphi'^2. \tag{9}
Продифференцируем:
X′=−12B′φ′2−Bφ′φ′′.X'=-\frac12B'\varphi'^2-B\varphi'\varphi''.
Поэтому
X′X=B′B+2φ′′φ′=−λ′+2φ′′φ′.(10)\boxed{ \frac{X'}X= \frac{B'}B+2\frac{\varphi''}{\varphi'} =-\lambda'+2\frac{\varphi''}{\varphi'}. } \tag{10}
Это соотношение понадобится во всех последующих преобразованиях.

2.2. Фоновые уравнения

В приложении A Кобаяши вводит четыре уравнения:
EA=0,EB=0,EC=0,Eφ=0.\mathcal E_A=0,\qquad \mathcal E_B=0,\qquad \mathcal E_C=0,\qquad \mathcal E_\varphi=0.
Первые три задаются соответственно формулами (A2), (A3), (A4). Для скалярного поля уравнение (A1) записано через функции JJ и SS, определённые в (A5), (A6):
Eφ=1r2BAddr(r2AB J)−S=0.(11)\boxed{ \mathcal E_\varphi= \frac1{r^2}\sqrt{\frac BA} \frac{d}{dr} \left(r^2\sqrt{AB}\,J\right)-S=0. } \tag{11}
Эти уравнения получены вариацией действия по метрическим функциям A,B,CA,B,C и полю φ\varphi, причём функцию C(r)C(r), отвечающую угловой части метрики, полагают равной единице только после вариации. Это важно для получения независимого углового уравнения. 1402.6740v4.pdf L785-L810
Соответствие с Бабичевым такое:
Бабичев (24) ⟵ EAB=0,Бабичев (25) ⟵ −EBB=0,Бабичев (26) ⟵ −2ECB=0,Бабичев (27) ⟵ EφB=0.(12)\boxed{ \begin{aligned} \text{Бабичев (24)}&\ \longleftarrow\ \frac{\mathcal E_A}{B}=0,\\ \text{Бабичев (25)}&\ \longleftarrow\ -\frac{\mathcal E_B}{B}=0,\\ \text{Бабичев (26)}&\ \longleftarrow\ -\frac{2\mathcal E_C}{B}=0,\\ \text{Бабичев (27)}&\ \longleftarrow\ \frac{\mathcal E_\varphi}{B}=0. \end{aligned}} \tag{12}
Умножение каждого уравнения на ненулевую функцию не меняет множество решений в области, где эта функция не обращается в нуль. Здесь мы работаем сначала вне горизонта, где B>0B>0.

3. Вычисляем все необходимые производные функций Хорндески

Чтобы не носить повсюду множители −2ℓ2-2\ell^2, введём обозначения
p(φ)=ξφ,q(φ)=ξφφ,s=ln⁡∣X∣.p(\varphi)=\xi_\varphi,\qquad q(\varphi)=\xi_{\varphi\varphi}, \qquad s=\ln|X|.
Для квадратичной связи
p=−2ℓ2φ,q=−2ℓ2.(13)p=-2\ell^2\varphi,\qquad q=-2\ell^2. \tag{13}
В этих обозначениях функции (4) имеют вид
K=X−V,G3=0,K=X-V,\quad G_3=0,G4=12+4qX(2−s),G5=−4ps.(14)G_4=\frac12+4qX(2-s),\qquad G_5=-4ps. \tag{14}
Теперь вычислим частные производные. При дифференцировании по XX поле φ\varphi считается независимой переменной.
Для KK:
KX=1,Kφ=−Vφ.(15)K_X=1,\qquad K_\varphi=-V_\varphi. \tag{15}
Для G3G_3:
G3=G3X=G3φ=⋯=0.(16)G_3=G_{3X}=G_{3\varphi}=\cdots=0. \tag{16}
Для G4G_4:
G4X=4q∂∂X[X(2−ln⁡∣X∣)]=4q[(2−ln⁡∣X∣)−1]=4q(1−s).\begin{aligned} G_{4X} &=4q\frac{\partial}{\partial X} [X(2-\ln|X|)]\\ &=4q[(2-\ln|X|)-1]\\ &=4q(1-s). \end{aligned}
Следовательно,
G4XX=−4qX.G_{4XX}=-\frac{4q}{X}.
Поскольку q=−2ℓ2q=-2\ell^2 не зависит от φ\varphi,
G4φ=G4φX=G4φφ=0.(17)G_{4\varphi}=G_{4\varphi X} =G_{4\varphi\varphi}=0. \tag{17}
Для G5G_5:
G5X=−4pX,G5XX=4pX2.G_{5X}=-\frac{4p}{X}, \qquad G_{5XX}=\frac{4p}{X^2}.
А при дифференцировании по полю
G5φ=−4qs,G5φX=−4qX,G5φφ=0.(18)G_{5\varphi}=-4qs, \qquad G_{5\varphi X}=-\frac{4q}{X}, \qquad G_{5\varphi\varphi}=0. \tag{18}
Итак, полный набор ненулевых величин для подстановки:
K=X−V,KX=1,Kφ=−Vφ,G4=12+4qX(2−s),G4X=4q(1−s),G4XX=−4qX,G5X=−4pX,G5XX=4pX2,G5φ=−4qs,G5φX=−4qX.(19)\boxed{ \begin{aligned} K&=X-V,& K_X&=1,& K_\varphi&=-V_\varphi,\\ G_4&=\frac12+4qX(2-s),& G_{4X}&=4q(1-s),& G_{4XX}&=-\frac{4q}{X},\\ G_{5X}&=-\frac{4p}{X},& G_{5XX}&=\frac{4p}{X^2},\\ G_{5\varphi}&=-4qs,& G_{5\varphi X}&=-\frac{4q}{X}. \end{aligned}} \tag{19}
Все остальные производные, входящие в (A2)–(A6), равны нулю.
Ещё одно удобное обозначение:
z:=X′X=B′B+2φ′′φ′.(20)z:=\frac{X'}X =\frac{B'}B+2\frac{\varphi''}{\varphi'}. \tag{20}
В дальнейшем мы будем группировать выражения по pp и qq.

4. Получение уравнения (24) Бабичева из (A2) Кобаяши

4.1. Выписываем оставшиеся члены (A2)

После подстановки G3=0G_3=0 и нулевых производных G4G_4 по φ\varphi формула (A2) сокращается до
EA=K+2r(1−Br−B′)G4+4Br(1r+z+B′B)XG4X+8BrXX′G4XX+Bφ′r2[(1−3B)z−2B′]XG5X−2B2φ′r2XX′G5XX−2r(1+Br+2Bz+B′)XG5φ+4Br(1r−z)X2G5φX.(21)\begin{aligned} \mathcal E_A={}&K +\frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)G_4\\ &+\frac{4B}{r} \left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)XG_{4X}\\ &+\frac{8B}{r}XX'G_{4XX}\\ &+\frac{B\varphi'}{r^2} \left[(1-3B)z-2B'\right]XG_{5X}\\ &-\frac{2B^2\varphi'}{r^2}XX'G_{5XX}\\ &-\frac2r\left(\frac{1+B}{r}+2Bz+B'\right) XG_{5\varphi}\\ &+\frac{4B}{r} \left(\frac1r-z\right)X^2G_{5\varphi X}. \end{aligned} \tag{21}
Это непосредственно ненулевые слагаемые (A2), без каких-либо предположений о решении A(r),B(r),φ(r)A(r),B(r),\varphi(r).
Для удобства разделим выражение на стандартную часть, зависящую от pp, и часть, зависящую от qq.

4.2. Стандартная часть

Из K=X−VK=X-V и постоянного члена G4=1/2G_4=1/2 имеем
EA(0)=X−V+2r(1−Br−B′)12=X−V+1−Br2−B′r.\begin{aligned} \mathcal E_A^{(0)} &=X-V+ \frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)\frac12\\ &=X-V+\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r. \end{aligned}
Используя X=−Bφ′2/2X=-B\varphi'^2/2,
EA(0)=−B2φ′2−V+1−Br2−B′r.(22)\boxed{ \mathcal E_A^{(0)} =-\frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r. } \tag{22}

4.3. Члены, пропорциональные qq

Подставим G4,G4X,G4XX,G5φ,G5φXG_4,G_{4X},G_{4XX},G_{5\varphi},G_{5\varphi X} из (19).
Получаем
EA(q)=4qX{2r(1−Br−B′)(2−s)+4Br(1r+z+B′B)(1−s)−8Brz+2sr(1+Br+2Bz+B′)−4Br(1r−z)}.(23)\begin{aligned} \mathcal E_A^{(q)} =4qX\Bigg\{& \frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)(2-s)\\ &+\frac{4B}{r} \left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)(1-s)\\ &-\frac{8B}{r}z\\ &+\frac{2s}{r} \left(\frac{1+B}{r}+2Bz+B'\right)\\ &-\frac{4B}{r}\left(\frac1r-z\right) \Bigg\}. \end{aligned} \tag{23}
Сначала соберём коэффициент при s=ln⁡∣X∣s=\ln|X|.
Он равен
Cs=−2r(1−Br−B′)−4Br(1r+z+B′B)+2r(1+Br+2Bz+B′).\begin{aligned} C_s={}&-\frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)\\ &-\frac{4B}{r}\left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)\\ &+\frac2r\left(\frac{1+B}{r}+2Bz+B'\right). \end{aligned}
Раскрываем скобки:
Cs=−2(1−B)r2+2B′r−4Br2−4Bzr−4B′r+2(1+B)r2+4Bzr+2B′r.\begin{aligned} C_s={}&-\frac{2(1-B)}{r^2} +\frac{2B'}r -\frac{4B}{r^2} -\frac{4Bz}r -\frac{4B'}r\\ &+\frac{2(1+B)}{r^2} +\frac{4Bz}r+\frac{2B'}r. \end{aligned}
Все слагаемые сокращаются:
Cs=0.\boxed{C_s=0.}
Таким образом, логарифмы исчезают из уравнения.
Теперь оставшаяся, не содержащая ss, часть фигурной скобки равна
C0=4r(1−Br−B′)+4Br(1r+z+B′B)−8Bzr−4Br(1r−z).\begin{aligned} C_0={}& \frac4r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right) +\frac{4B}{r}\left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)\\ &-\frac{8Bz}r-\frac{4B}{r}\left(\frac1r-z\right). \end{aligned}
Раскрывая скобки, получаем
C0=4(1−B)r2−4B′r+4Br2+4Bzr+4B′r−8Bzr−4Br2+4Bzr.\begin{aligned} C_0={}&\frac{4(1-B)}{r^2} -\frac{4B'}r+\frac{4B}{r^2} +\frac{4Bz}r+\frac{4B'}r\\ &-\frac{8Bz}r-\frac{4B}{r^2} +\frac{4Bz}r. \end{aligned}
Следовательно,
C0=4(1−B)r2.C_0=\frac{4(1-B)}{r^2}.
Поэтому
EA(q)=4qX4(1−B)r2.\mathcal E_A^{(q)} =4qX\frac{4(1-B)}{r^2}.
Подставляя X=−Bφ′2/2X=-B\varphi'^2/2,
EA(q)=8Bq(B−1)r2φ′2.(24a)\boxed{ \mathcal E_A^{(q)} =\frac{8Bq(B-1)}{r^2}\varphi'^2. } \tag{24a}

4.4. Члены, пропорциональные pp

Они возникают из G5XG_{5X} и G5XXG_{5XX}:
EA(p)=Bφ′r2[(1−3B)z−2B′](−4p)−2B2φ′r2XX′4pX2.\begin{aligned} \mathcal E_A^{(p)} ={}&\frac{B\varphi'}{r^2} [(1-3B)z-2B'](-4p)\\ &-\frac{2B^2\varphi'}{r^2}XX' \frac{4p}{X^2}. \end{aligned}
То есть
EA(p)=−4Bpφ′r2[(1−3B)z−2B′]−8B2pφ′r2z.\begin{aligned} \mathcal E_A^{(p)} ={}&-\frac{4Bp\varphi'}{r^2} [(1-3B)z-2B']\\ &-\frac{8B^2p\varphi'}{r^2}z. \end{aligned}
Объединим:
EA(p)=4Bpφ′r2[2B′−(1−B)z]=4pr2[2BB′φ′−B(1−B)φ′(B′B+2φ′′φ′)].\begin{aligned} \mathcal E_A^{(p)} &=\frac{4Bp\varphi'}{r^2} \left[2B'-(1-B)z\right]\\ &=\frac{4p}{r^2} \left[ 2BB'\varphi' -B(1-B)\varphi' \left(\frac{B'}B+2\frac{\varphi''}{\varphi'}\right) \right]. \end{aligned}
Отсюда
EA(p)=4pr2[(3B−1)B′φ′+2B(B−1)φ′′].(24b)\boxed{ \mathcal E_A^{(p)} =\frac{4p}{r^2} \left[ (3B-1)B'\varphi' +2B(B-1)\varphi'' \right]. } \tag{24b}

4.5. Объединяем результаты

Складывая (22), (24a), (24b), получаем
EA=−B2φ′2−V+1−Br2−B′r+4pr2[(3B−1)B′φ′+2B(B−1)φ′′]+8Bq(B−1)r2φ′2.(25a)\begin{aligned} \mathcal E_A={}& -\frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r\\ &+\frac{4p}{r^2} \left[ (3B-1)B'\varphi' +2B(B-1)\varphi'' \right]\\ &+\frac{8Bq(B-1)}{r^2}\varphi'^2. \end{aligned} \tag{25a}
Теперь используем
p=−2ℓ2φ,q=−2ℓ2.p=-2\ell^2\varphi,\qquad q=-2\ell^2.
Получаем
EA=−B2φ′2−V+1−Br2−B′r−8ℓ2r2(3B−1)B′φφ′+16ℓ2B(1−B)r2(φφ′′+φ′2).(25b)\begin{aligned} \mathcal E_A={}& -\frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r\\ &-\frac{8\ell^2}{r^2}(3B-1)B'\varphi\varphi'\\ &+\frac{16\ell^2 B(1-B)}{r^2} \left(\varphi\varphi''+\varphi'^2\right). \end{aligned} \tag{25b}
Здесь последние два члена образуют вклад связи с Гауссом–Бонне.

4.6. Переходим к метрике Бабичева

Подставляем
B=e−λ,B′=−Bλ′B=e^{-\lambda},\qquad B'=-B\lambda'
и делим всё уравнение на BB.
Из (25b) следует
0=−12φ′2−eλV+eλ−1r2+λ′r−8ℓ2r2(1−3e−λ)φφ′λ′+16ℓ2(1−e−λ)r2(φφ′′+φ′2).\begin{aligned} 0={}&-\frac12\varphi'^2-e^\lambda V +\frac{e^\lambda-1}{r^2} +\frac{\lambda'}r\\ &-\frac{8\ell^2}{r^2}(1-3e^{-\lambda}) \varphi\varphi'\lambda'\\ &+\frac{16\ell^2(1-e^{-\lambda})}{r^2} \left(\varphi\varphi''+\varphi'^2\right). \end{aligned}
Объединив слагаемые с λ′\lambda', имеем
0=1r[1−8ℓ2r(1−3e−λ)φφ′]λ′+eλ−1r2+16ℓ2(1−e−λ)r2(φφ′′+φ′2)−12φ′2−eλV(φ).(26)\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \frac1r \left[ 1-\frac{8\ell^2}{r} (1-3e^{-\lambda})\varphi\varphi' \right]\lambda'\\ &+\frac{e^\lambda-1}{r^2} +\frac{16\ell^2(1-e^{-\lambda})}{r^2} \left(\varphi\varphi''+\varphi'^2\right)\\ &-\frac12\varphi'^2-e^\lambda V(\varphi). \end{aligned}} \tag{26}
Это уравнение (tt)(tt), следующее из действия Бабичева и формулы (A2) Кобаяши.
Здесь обнаруживается расхождение с напечатанной формулой (24) Бабичева: вместо φφ′′+φ′2\varphi\varphi''+\varphi'^2 в ней стоит только φφ′\varphi\varphi'. Ниже я отдельно объясню, почему это, по всей видимости, опечатка, и проверю результат независимо.

5. Получение уравнения (25) Бабичева из (A3) Кобаяши

Теперь рассмотрим EB=0\mathcal E_B=0.

5.1. Стандартная часть

При K=X−VK=X-V, KX=1K_X=1 имеем
K−2XKX=−X−V.K-2XK_X=-X-V.
Из постоянного члена G4=1/2G_4=1/2 получаем
EB(0)=−X−V+2r(1−Br−BA′A)12.\begin{aligned} \mathcal E_B^{(0)} ={}&-X-V\\ &+\frac2r\left( \frac{1-B}{r}-B\frac{A'}A \right)\frac12. \end{aligned}
Итак,
EB(0)=B2φ′2−V+1−Br2−BrA′A.(27a)\boxed{ \mathcal E_B^{(0)} =\frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2} -\frac Br\frac{A'}A. } \tag{27a}

5.2. Вклад, пропорциональный qq

Подстановка (19) в соответствующие члены (A3) даёт
EB(q)=4qX{2r(1−Br−BA′A)(2−s)−4r(1−2Br−2BA′A)(1−s)−8Br(1r+A′A)−2sr(1−3Br−3BA′A)+4Br(1r+A′A)}.(27b)\begin{aligned} \mathcal E_B^{(q)} =4qX\Bigg\{& \frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B\frac{A'}A\right)(2-s)\\ &-\frac4r\left(\frac{1-2B}{r}-2B\frac{A'}A\right)(1-s)\\ &-\frac{8B}{r}\left(\frac1r+\frac{A'}A\right)\\ &-\frac{2s}{r} \left(\frac{1-3B}{r}-3B\frac{A'}A\right)\\ &+\frac{4B}{r}\left(\frac1r+\frac{A'}A\right) \Bigg\}. \end{aligned} \tag{27b}
И здесь коэффициенты при ss сокращаются. Но теперь сокращаются также и все остальные члены.
В результате
EB(q)=0.(27c)\boxed{\mathcal E_B^{(q)}=0.} \tag{27c}
Это важная особенность радиального уравнения: явного вклада, пропорционального ξφφ\xi_{\varphi\varphi}, в него после всех сокращений не остаётся.

5.3. Вклад, пропорциональный pp

Из последних двух ненулевых членов, содержащих G5XG_{5X} и G5XXG_{5XX}, находим
EB(p)=Bφ′r2(1−5B)A′A(−4p)−2B2φ′r2A′A(4p).\begin{aligned} \mathcal E_B^{(p)} ={}&\frac{B\varphi'}{r^2}(1-5B) \frac{A'}A\left(-4p\right)\\ &-\frac{2B^2\varphi'}{r^2} \frac{A'}A\left(4p\right). \end{aligned}
Поэтому
EB(p)=−4Bpφ′r2A′A[(1−5B)+2B]=4B(3B−1)r2A′Apφ′.\begin{aligned} \mathcal E_B^{(p)} &=-\frac{4Bp\varphi'}{r^2}\frac{A'}A [(1-5B)+2B]\\ &=\frac{4B(3B-1)}{r^2} \frac{A'}A p\varphi'. \end{aligned}
Таким образом,
EB(p)=4B(3B−1)r2A′Apφ′.(27d)\boxed{ \mathcal E_B^{(p)} =\frac{4B(3B-1)}{r^2}\frac{A'}A p\varphi'. } \tag{27d}

5.4. Полное уравнение

Складываем:
EB=B2φ′2−V+1−Br2−BrA′A+4B(3B−1)r2A′Apφ′.\mathcal E_B= \frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2} -\frac Br\frac{A'}A +\frac{4B(3B-1)}{r^2} \frac{A'}A p\varphi'.
Подставляем p=−2ℓ2φp=-2\ell^2\varphi:
0=B2φ′2−V+1−Br2−BrA′A−8ℓ2B(3B−1)r2A′Aφφ′.(28)\begin{aligned} 0={}&\frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2}\\ &-\frac Br\frac{A'}A -\frac{8\ell^2B(3B-1)}{r^2} \frac{A'}A\varphi\varphi'. \end{aligned} \tag{28}
Теперь
B=e−λ,A′A=ν′.B=e^{-\lambda},\qquad \frac{A'}A=\nu'.
Делим на −B-B:
0=−12φ′2+eλV−eλ−1r2+ν′r+8ℓ2(3e−λ−1)r2ν′φφ′.\begin{aligned} 0={}&-\frac12\varphi'^2+e^\lambda V -\frac{e^\lambda-1}{r^2} +\frac{\nu'}r\\ &+\frac{8\ell^2(3e^{-\lambda}-1)}{r^2} \nu'\varphi\varphi'. \end{aligned}
Выносим ν′/r\nu'/r:
1r[1−8ℓ2r(1−3e−λ)φφ′]ν′−eλ−1r2−12φ′2+eλV(φ)=0.(29)\boxed{ \frac1r \left[ 1-\frac{8\ell^2}{r} (1-3e^{-\lambda})\varphi\varphi' \right]\nu' -\frac{e^\lambda-1}{r^2} -\frac12\varphi'^2 +e^\lambda V(\varphi)=0. } \tag{29}
Это в точности уравнение (25) Бабичева, включая все коэффициенты и знаки. 2207.03944v2.pdf L416-L422

6. Получение уравнения (26) Бабичева из (A4) Кобаяши

Теперь нужно получить угловое уравнение. Оно наиболее громоздкое, поэтому полезно провести вычисления в несколько этапов.
Сразу отмечу одну техническую тонкость: в приложенном PDF статьи Кобаяши в (A4) перед XX′G4XXXX'G_{4XX}, по-видимому, допущена опечатка. Напечатанный коэффициент 2r(2/r+A′/A)2r(2/r+A'/A) должен иметь вид 2B(2/r+A′/A)2B(2/r+A'/A). Именно последний результат согласуется с вариацией исходного действия и геометрической формой уравнений. Ниже покажу это на сокращениях.

6.1. Упрощаем геометрические выражения

Введём
D:=−A′2A2+2B′rB+A′B′AB+2(A′+rA′′)rA.(30)\begin{aligned} \mathcal D:={}& -\frac{A'^2}{A^2} +\frac{2B'}{rB} +\frac{A'B'}{AB} +\frac{2(A'+rA'')}{rA}. \end{aligned} \tag{30}
Также обозначим
C:=1rBA(rBAA′)′+B′r.(31)\mathcal C:= \frac1r\sqrt{\frac BA} \left(r\sqrt{\frac BA}A'\right)' +\frac{B'}r. \tag{31}
Вычислим производную в (31).
Поскольку
(BA)′=12BA(B′B−A′A),\left(\sqrt{\frac BA}\right)'= \frac12\sqrt{\frac BA} \left(\frac{B'}B-\frac{A'}A\right),
то
C=BA[A′′+A′r+A′2(B′B−A′A)]+B′r.\begin{aligned} \mathcal C={}& \frac BA\left[ A''+\frac{A'}r +\frac{A'}2 \left(\frac{B'}B-\frac{A'}A\right) \right]+\frac{B'}r. \end{aligned}
Раскрывая скобки, получаем
C=BA′′A+BrA′A+A′B′2A−B2A′2A2+B′r.\begin{aligned} \mathcal C={}& B\frac{A''}A +\frac Br\frac{A'}A +\frac{A'B'}{2A} -\frac{B}{2}\frac{A'^2}{A^2} +\frac{B'}r. \end{aligned}
Сравнив это с (30), обнаруживаем полезное тождество
C=B2D.(32)\boxed{\mathcal C=\frac B2\mathcal D.} \tag{32}
Оно позволит сократить логарифмические слагаемые в EC\mathcal E_C.

6.2. Стандартная часть EC\mathcal E_C

В (A4) при G4=1/2G_4=1/2, K=X−VK=X-V и отсутствии остальных функций остаётся
EC(0)=X−V−12C.\mathcal E_C^{(0)}=X-V-\frac12\mathcal C.
Подставляем определение C\mathcal C:
EC(0)=−B2φ′2−V−B2[A′′A−A′22A2+A′B′2AB+1r(A′A+B′B)].(33)\begin{aligned} \mathcal E_C^{(0)}={}& -\frac B2\varphi'^2-V\\ &-\frac B2\left[ \frac{A''}A-\frac{A'^2}{2A^2} +\frac{A'B'}{2AB} +\frac1r\left(\frac{A'}A+\frac{B'}B\right) \right]. \end{aligned} \tag{33}
Переходим к ν,λ\nu,\lambda:
A′′A−A′22A2=ν′′+12ν′2,\frac{A''}A-\frac{A'^2}{2A^2} =\nu''+\frac12\nu'^2,A′B′2AB=−12ν′λ′.\frac{A'B'}{2AB}=-\frac12\nu'\lambda'.
Следовательно,
EC(0)=−B2[ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)+φ′2+2eλV].(34)\boxed{ \mathcal E_C^{(0)} =-\frac B2 \left[ \nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right) (\nu'-\lambda') +\varphi'^2+2e^\lambda V \right]. } \tag{34}
Это стандартная часть углового уравнения Эйнштейна.

6.3. Члены, пропорциональные qq

Положим для краткости
α=2r+A′A,z=X′X.\alpha=\frac2r+\frac{A'}A, \qquad z=\frac{X'}X.
Подстановка производных G4G_4 и G5G_5 в (A4), с указанным исправлением коэффициента при G4XXG_{4XX}, даёт
EC(q)=4qX{−C(2−s)+BD(1−s2)−Bαz+Br[2z−rA′A(2r−z)]}.(35)\begin{aligned} \mathcal E_C^{(q)} =4qX\Bigg\{& -\mathcal C(2-s) +B\mathcal D\left(1-\frac s2\right)\\ &-B\alpha z +\frac Br\left[ 2z-r\frac{A'}A\left(\frac2r-z\right) \right] \Bigg\}. \end{aligned} \tag{35}
Рассмотрим первые два члена в фигурной скобке:
−C(2−s)+BD(1−s2).-\mathcal C(2-s) +B\mathcal D\left(1-\frac s2\right).
Используя C=BD/2\mathcal C=B\mathcal D/2, получаем
−BD2(2−s)+BD(1−s2)=−BD+BDs2+BD−BDs2=0.\begin{aligned} &-\frac{B\mathcal D}{2}(2-s) +B\mathcal D\left(1-\frac s2\right)\\ &=-B\mathcal D+\frac{B\mathcal D s}{2} +B\mathcal D-\frac{B\mathcal D s}{2}\\ &=0. \end{aligned}
Здесь снова исчезают все логарифмы.
Остаётся
EC(q)=4qXB[−(2r+A′A)z+2zr−A′A(2r−z)].\begin{aligned} \mathcal E_C^{(q)} =4qXB\Bigg[ &-\left(\frac2r+\frac{A'}A\right)z\\ &+\frac{2z}r -\frac{A'}A\left(\frac2r-z\right) \Bigg]. \end{aligned}
Раскрываем скобки:
−2zr−A′Az+2zr−2A′rA+A′Az=−2A′rA.-\frac{2z}r-\frac{A'}A z +\frac{2z}r-\frac{2A'}{rA}+\frac{A'}A z =-\frac{2A'}{rA}.
Поэтому
EC(q)=−8qBXrA′A.\mathcal E_C^{(q)} =-\frac{8qBX}{r}\frac{A'}A.
С учётом X=−Bφ′2/2X=-B\varphi'^2/2,
EC(q)=4qB2rA′Aφ′2.(36)\boxed{ \mathcal E_C^{(q)} =\frac{4qB^2}{r}\frac{A'}A\varphi'^2. } \tag{36}

6.4. Члены, пропорциональные pp

Теперь возьмём слагаемые с G5XG_{5X} и G5XXG_{5XX}.
После подстановки
XG5X=−4p,XX′G5XX=4pzXG_{5X}=-4p,\qquad XX'G_{5XX}=4pz
получаем
EC(p)=2B2pφ′r[2A′′A−A′2A2+A′A(2B′B+3z)]−4B2pφ′rA′Az.\begin{aligned} \mathcal E_C^{(p)} ={}&\frac{2B^2p\varphi'}r \left[ 2\frac{A''}A -\frac{A'^2}{A^2} +\frac{A'}A\left(2\frac{B'}B+3z\right) \right]\\ &-\frac{4B^2p\varphi'}r\frac{A'}A z. \end{aligned}
Выносим общий множитель:
EC(p)=2B2pφ′r[2A′′A−A′2A2+A′A(2B′B+z)].\begin{aligned} \mathcal E_C^{(p)} =\frac{2B^2p\varphi'}r \left[ 2\frac{A''}A-\frac{A'^2}{A^2} +\frac{A'}A\left(2\frac{B'}B+z\right) \right]. \end{aligned}
Используем
z=B′B+2φ′′φ′.z=\frac{B'}B+2\frac{\varphi''}{\varphi'}.
Тогда
EC(p)=2B2pr[(2A′′A−A′2A2+3A′AB′B)φ′+2A′Aφ′′].(37)\boxed{ \begin{aligned} \mathcal E_C^{(p)} =\frac{2B^2p}{r}\Bigg[ &\left( 2\frac{A''}A-\frac{A'^2}{A^2} +3\frac{A'}A\frac{B'}B \right)\varphi'\\ &+2\frac{A'}A\varphi'' \Bigg]. \end{aligned}} \tag{37}

6.5. Собираем полное уравнение

Складываем (34), (36) и (37):
EC=−B2[ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)+φ′2+2eλV]+4qB2rν′φ′2+2B2pr[(2ν′′+ν′2−3ν′λ′)φ′+2ν′φ′′].(38)\begin{aligned} \mathcal E_C={}& -\frac B2 \left[ \nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda') +\varphi'^2+2e^\lambda V \right]\\ &+\frac{4qB^2}{r}\nu'\varphi'^2\\ &+\frac{2B^2p}{r} \left[ (2\nu''+\nu'^2-3\nu'\lambda')\varphi' +2\nu'\varphi'' \right]. \end{aligned} \tag{38}
Здесь использовано
2A′′A−A′2A2+3A′AB′B=2ν′′+ν′2−3ν′λ′.2\frac{A''}A-\frac{A'^2}{A^2} +3\frac{A'}A\frac{B'}B =2\nu''+\nu'^2-3\nu'\lambda'.
Подставляем
p=−2ℓ2φ,q=−2ℓ2.p=-2\ell^2\varphi,\qquad q=-2\ell^2.
Получаем
EC=−B2[ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)+φ′2+2eλV]−8ℓ2B2rν′φ′2−4ℓ2B2r[(2ν′′+ν′2−3ν′λ′)φφ′+2ν′φφ′′].(39)\begin{aligned} \mathcal E_C={}& -\frac B2 \left[ \nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda') +\varphi'^2+2e^\lambda V \right]\\ &-\frac{8\ell^2B^2}{r}\nu'\varphi'^2\\ &-\frac{4\ell^2B^2}{r} \left[ (2\nu''+\nu'^2-3\nu'\lambda') \varphi\varphi' +2\nu'\varphi\varphi'' \right]. \end{aligned} \tag{39}
Теперь умножаем уравнение EC=0\mathcal E_C=0 на −2/B-2/B.
Первый член превращается в
ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)+φ′2+2eλV.\nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda') +\varphi'^2+2e^\lambda V.
Второй даёт
+16ℓ2Brν′φ′2.+\frac{16\ell^2B}{r}\nu'\varphi'^2.
Третий становится
8ℓ2Br[(2ν′′+ν′2−3ν′λ′)φφ′+2ν′φφ′′].\begin{aligned} \frac{8\ell^2B}{r}\Big[ &(2\nu''+\nu'^2-3\nu'\lambda') \varphi\varphi'\\ &+2\nu'\varphi\varphi'' \Big]. \end{aligned}
Объединяя последние два слагаемых и возвращаясь к B=e−λB=e^{-\lambda}, окончательно находим
0=ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)−8ℓ2e−λr(3ν′λ′−2ν′′−ν′2)φφ′+16ℓ2e−λrν′(φ′2+φφ′′)+φ′2+2eλV(φ).(40)\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda')\\ &-\frac{8\ell^2e^{-\lambda}}r \left(3\nu'\lambda'-2\nu''-\nu'^2\right) \varphi\varphi'\\ &+\frac{16\ell^2e^{-\lambda}}r \nu'\left(\varphi'^2+\varphi\varphi''\right)\\ &+\varphi'^2+2e^\lambda V(\varphi). \end{aligned}} \tag{40}
Это в точности уравнение (26) Бабичева. 2207.03944v2.pdf L423-L438
Обратите внимание на появление комбинации
φ′2+φφ′′.\varphi'^2+\varphi\varphi''.
Она возникает потому, что
ddr(φφ′)=φ′2+φφ′′.\frac{d}{dr}(\varphi\varphi') =\varphi'^2+\varphi\varphi''.
Это не случайное сочетание производных, а непосредственное следствие квадратичной функции связи ξ=−ℓ2φ2\xi=-\ell^2\varphi^2.

7. Получение скалярного уравнения (27) из (A5), (A6) Кобаяши

Теперь получим четвёртое уравнение. Здесь нам понадобятся функции JJ и SS, определённые Кобаяши в (A5) и (A6). 1402.6740v4.pdf L875-L905

7.1. Вычисление JJ

После обнуления G3G_3 и всех соответствующих производных G4G_4 исходное выражение (A5) принимает вид
J=φ′KX+2φ′(1−Br2−BrA′A)G4X−4Bφ′r(1r+A′A)XG4XX+1−3Br2A′AXG5X−2Br2A′AX2G5XX−2φ′(1−Br2−BrA′A)G5φ+2Bφ′r(1r+A′A)XG5φX.(41)\begin{aligned} J={}& \varphi'K_X\\ &+2\varphi' \left(\frac{1-B}{r^2}-\frac{B}{r}\frac{A'}A\right)G_{4X}\\ &-\frac{4B\varphi'}r \left(\frac1r+\frac{A'}A\right)XG_{4XX}\\ &+\frac{1-3B}{r^2}\frac{A'}A XG_{5X}\\ &-\frac{2B}{r^2}\frac{A'}A X^2G_{5XX}\\ &-2\varphi' \left(\frac{1-B}{r^2}-\frac{B}{r}\frac{A'}A\right)G_{5\varphi}\\ &+\frac{2B\varphi'}r \left(\frac1r+\frac{A'}A\right)XG_{5\varphi X}. \end{aligned} \tag{41}
Подставляем производные (19).
Сначала соберём вклады от G4XG_{4X} и G5φG_{5\varphi}:
2φ′(1−Br2−BrA′A)[4q(1−s)]−2φ′(1−Br2−BrA′A)(−4qs).\begin{aligned} &2\varphi' \left(\frac{1-B}{r^2}-\frac B r\frac{A'}A\right) \left[4q(1-s)\right]\\ &-2\varphi' \left(\frac{1-B}{r^2}-\frac B r\frac{A'}A\right)(-4qs). \end{aligned}
Логарифмы сокращаются, и сумма равна
8qφ′(1−Br2−BrA′A).8q\varphi' \left(\frac{1-B}{r^2}-\frac B r\frac{A'}A\right).
Вклады от G4XXG_{4XX} и G5φXG_{5\varphi X} дают
−4Bφ′r(1r+A′A)(−4q)+2Bφ′r(1r+A′A)(−4q)=8Bqφ′r(1r+A′A).\begin{aligned} &-\frac{4B\varphi'}r\left(\frac1r+\frac{A'}A\right)(-4q)\\ &+\frac{2B\varphi'}r\left(\frac1r+\frac{A'}A\right)(-4q)\\ &=\frac{8Bq\varphi'}r \left(\frac1r+\frac{A'}A\right). \end{aligned}
Суммируя оба результата,
J(q)=8qφ′(1−Br2−BrA′A)+8Bqφ′r(1r+A′A)=8qφ′r2.\begin{aligned} J^{(q)} ={}&8q\varphi' \left(\frac{1-B}{r^2}-\frac B r\frac{A'}A\right)\\ &+\frac{8Bq\varphi'}r \left(\frac1r+\frac{A'}A\right)\\ ={}&\frac{8q\varphi'}{r^2}. \end{aligned}
Теперь члены, содержащие pp:
J(p)=1−3Br2A′A(−4p)−2Br2A′A(4p)=4p(B−1)r2A′A.\begin{aligned} J^{(p)} ={}&\frac{1-3B}{r^2}\frac{A'}A(-4p)\\ &-\frac{2B}{r^2}\frac{A'}A(4p)\\ ={}&\frac{4p(B-1)}{r^2}\frac{A'}A. \end{aligned}
А из KX=1K_X=1 следует вклад φ′\varphi'.
В результате
J=φ′+8qr2φ′+4p(B−1)r2A′A.(42)\boxed{ J= \varphi' +\frac{8q}{r^2}\varphi' +\frac{4p(B-1)}{r^2}\frac{A'}A. } \tag{42}
Для квадратичной связи это
J=φ′−16ℓ2r2φ′−8ℓ2φ(B−1)r2ν′.(43)\boxed{ J=\varphi' -\frac{16\ell^2}{r^2}\varphi' -\frac{8\ell^2\varphi(B-1)}{r^2}\nu'. } \tag{43}

7.2. Вычисление SS

Теперь рассмотрим (A6).
При наших функциях Хорндески почти все члены обнуляются. Остаются
S=−Kφ−Bφ′r2(X′X+BA′A)XG5φX.S=-K_\varphi -\frac{B\varphi'}{r^2} \left( \frac{X'}X+B\frac{A'}A \right)XG_{5\varphi X}.
Поскольку
−Kφ=Vφ,XG5φX=−4q,-K_\varphi=V_\varphi,\qquad XG_{5\varphi X}=-4q,
получаем
S=Vφ+4qBφ′r2(X′X+BA′A).(44)\boxed{ S=V_\varphi+ \frac{4qB\varphi'}{r^2} \left( \frac{X'}X+B\frac{A'}A \right). } \tag{44}
Подставляем (10):
S=Vφ+4qBφ′r2(B′B+2φ′′φ′+BA′A).\begin{aligned} S={}&V_\varphi+ \frac{4qB\varphi'}{r^2} \left( \frac{B'}B+2\frac{\varphi''}{\varphi'} +B\frac{A'}A \right). \end{aligned}
То есть
S=Vφ+8qBr2φ′′+4qB′r2φ′+4qB2r2ν′φ′.(45)\boxed{ S=V_\varphi +\frac{8qB}{r^2}\varphi'' +\frac{4qB'}{r^2}\varphi' +\frac{4qB^2}{r^2}\nu'\varphi'. } \tag{45}

7.3. Подстановка в скалярное уравнение

Напомним (11):
Eφ=1r2BAddr(r2AB J)−S.\mathcal E_\varphi= \frac1{r^2}\sqrt{\frac BA} \frac{d}{dr} \left(r^2\sqrt{AB}\,J\right)-S.
Раскроем производную:
1r2BAddr(r2AB J)=BJ′+B(2r+12A′A+12B′B)J.\begin{aligned} &\frac1{r^2}\sqrt{\frac BA} \frac{d}{dr}\left(r^2\sqrt{AB}\,J\right)\\ &=BJ' +B\left( \frac2r+\frac12\frac{A'}A+\frac12\frac{B'}B \right)J. \end{aligned}
Поэтому
Eφ=B[J′+(2r+ν′−λ′2)J]−S.(46)\boxed{ \mathcal E_\varphi= B\left[ J'+ \left(\frac2r+\frac{\nu'-\lambda'}2\right)J \right]-S. } \tag{46}
Для краткости введём
P=2r+12(A′A+B′B).P=\frac2r+\frac12\left(\frac{A'}A+\frac{B'}B\right).
Тогда
Eφ=B(J′+PJ)−S.\mathcal E_\varphi=B(J'+PJ)-S.
Наша задача — подставить (42) и (45).

7.4. Сокращение членов с qq

Это самый содержательный этап вычисления.
Обозначим
Jq=8qφ′r2,Jp=4p(B−1)r2ν′.J_q=\frac{8q\varphi'}{r^2}, \qquad J_p=\frac{4p(B-1)}{r^2}\nu'.
Для квадратичной связи q=constq=\text{const}, но
dpdr=qφ′.(47)\frac{dp}{dr}=q\varphi'. \tag{47}
Вычислим производную JqJ_q:
Jq′=8qφ′′r2−16qφ′r3.J_q' =\frac{8q\varphi''}{r^2} -\frac{16q\varphi'}{r^3}.
Следовательно,
B(Jq′+PJq)=8qBr2φ′′−16qBr3φ′+8qBφ′r2(2r+ν′2+B′2B).\begin{aligned} B(J_q'+PJ_q) ={}&\frac{8qB}{r^2}\varphi'' -\frac{16qB}{r^3}\varphi'\\ &+\frac{8qB\varphi'}{r^2} \left( \frac2r+\frac{\nu'}2+\frac{B'}{2B} \right). \end{aligned}
Слагаемые с r−3r^{-3} сокращаются:
B(Jq′+PJq)=8qBr2φ′′+4qBr2ν′φ′+4qB′r2φ′.(48)\boxed{ B(J_q'+PJ_q)= \frac{8qB}{r^2}\varphi'' +\frac{4qB}{r^2}\nu'\varphi' +\frac{4qB'}{r^2}\varphi'. } \tag{48}
Но нужно учесть ещё производную pp, содержащуюся в JpJ_p.
Из p′=qφ′p'=q\varphi' возникает дополнительный член
BJp′∣p′=4qB(B−1)r2ν′φ′.(49)\left.BJ_p'\right|_{p'} = \frac{4qB(B-1)}{r^2}\nu'\varphi'. \tag{49}
Складывая (48) и (49), получаем полный вклад с qq:
[B(J′+PJ)]q=8qBr2φ′′+4qB′r2φ′+4qBr2ν′φ′+4qB(B−1)r2ν′φ′.\begin{aligned} \left[B(J'+PJ)\right]_q ={}&\frac{8qB}{r^2}\varphi'' +\frac{4qB'}{r^2}\varphi'\\ &+\frac{4qB}{r^2}\nu'\varphi' +\frac{4qB(B-1)}{r^2}\nu'\varphi'. \end{aligned}
Объединяем два последних слагаемых:
4qBr2ν′φ′+4qB(B−1)r2ν′φ′=4qB2r2ν′φ′.\frac{4qB}{r^2}\nu'\varphi' +\frac{4qB(B-1)}{r^2}\nu'\varphi' =\frac{4qB^2}{r^2}\nu'\varphi'.
Итак,
[B(J′+PJ)]q=8qBr2φ′′+4qB′r2φ′+4qB2r2ν′φ′.(50)\boxed{ \left[B(J'+PJ)\right]_q = \frac{8qB}{r^2}\varphi'' +\frac{4qB'}{r^2}\varphi' +\frac{4qB^2}{r^2}\nu'\varphi'. } \tag{50}
Сравним (50) с (45).
Они полностью совпадают с той частью SS, которая пропорциональна qq!
Следовательно,
[B(J′+PJ)−S]q=0.(51)\boxed{ \left[B(J'+PJ)-S\right]_q=0. } \tag{51}
Это принципиальный результат: все такие дополнительные члены взаимно сокращаются.

7.5. Оставшийся вклад от pp

Теперь считаем члены, содержащие pp, но не его радиальную производную, которую мы уже учли.
Из
Jp=4p(B−1)r2ν′J_p=\frac{4p(B-1)}{r^2}\nu'
получаем
Jp′∣p=const=4pr2[B′ν′+(B−1)ν′′−2(B−1)rν′].\begin{aligned} J_p'\big|_{p=\mathrm{const}} =\frac{4p}{r^2}\Big[ &B'\nu'+(B-1)\nu''\\ &-\frac{2(B-1)}r\nu' \Big]. \end{aligned}
Добавляем PJpPJ_p:
B(Jp′+PJp)∣p=4pBr2[B′ν′+(B−1)ν′′−2(B−1)rν′+(B−1)ν′(2r+ν′2+B′2B)].\begin{aligned} B(J_p'+PJ_p)\big|_p =\frac{4pB}{r^2}\Bigg[ &B'\nu'+(B-1)\nu''\\ &-\frac{2(B-1)}r\nu'\\ &+(B-1)\nu' \left(\frac2r+\frac{\nu'}2+\frac{B'}{2B}\right) \Bigg]. \end{aligned}
Сокращаем члены с 2/r2/r:
=4pBr2[(B−1)ν′′+12(B−1)ν′2+B′ν′+(B−1)B′2Bν′].\begin{aligned} =\frac{4pB}{r^2}\Bigg[ &(B-1)\nu'' +\frac12(B-1)\nu'^2\\ &+B'\nu' +\frac{(B-1)B'}{2B}\nu' \Bigg]. \end{aligned}
Последние два слагаемых объединяются:
B′ν′+(B−1)B′2Bν′=3B−12BB′ν′.B'\nu' +\frac{(B-1)B'}{2B}\nu' =\frac{3B-1}{2B}B'\nu'.
Следовательно,
[B(Jp′+PJp)]p=2pr2[B(B−1)(2ν′′+ν′2)+(3B−1)B′ν′].(52)\boxed{ \left[B(J_p'+PJ_p)\right]_p = \frac{2p}{r^2} \left[ B(B-1)(2\nu''+\nu'^2) +(3B-1)B'\nu' \right]. } \tag{52}
Теперь начинается самое интересное.

7.6. Откуда здесь появляется инвариант Гаусса–Бонне?

Для статической сферически-симметричной метрики (5) прямое вычисление кривизны даёт
G=2r2[B(B−1)(2ν′′+ν′2)+(3B−1)B′ν′].(53)\boxed{ \mathcal G= \frac2{r^2} \left[ B(B-1)(2\nu''+\nu'^2) +(3B-1)B'\nu' \right]. } \tag{53}
Сравните (52) и (53). Они отличаются только множителем p=ξφp=\xi_\varphi.
Таким образом,
[B(Jp′+PJp)]p=pG.\left[B(J_p'+PJ_p)\right]_p =p\mathcal G.
Следовательно, после всех сокращений полное скалярное уравнение принимает очень простой вид:
Eφ=B[φ′′+(2r+ν′−λ′2)φ′]−Vφ+ξφG=0.(54)\boxed{ \mathcal E_\varphi= B\left[ \varphi''+ \left(\frac2r+\frac{\nu'-\lambda'}2\right)\varphi' \right] -V_\varphi +\xi_\varphi\mathcal G=0. } \tag{54}
Это именно то скалярное уравнение, которое получается при непосредственной вариации исходного действия (1) по φ\varphi.

7.7. Приводим его к форме Бабичева

Подставляем
ξφ=−2ℓ2φ.\xi_\varphi=-2\ell^2\varphi.
Делим (54) на B=e−λB=e^{-\lambda}:
0=φ′′+(ν′−λ′2+2r)φ′−eλVφ−2ℓ2φeλG.(55)\begin{aligned} 0={}& \varphi''+ \left(\frac{\nu'-\lambda'}2+\frac2r\right)\varphi'\\ &-e^\lambda V_\varphi -2\ell^2\varphi e^\lambda\mathcal G. \end{aligned} \tag{55}
Теперь преобразуем G\mathcal G.
Из (53) с учётом B′=−Bλ′B'=-B\lambda' следует
G=2Br2[(B−1)(2ν′′+ν′2)−(3B−1)λ′ν′].\begin{aligned} \mathcal G={}& \frac{2B}{r^2} \left[ (B-1)(2\nu''+\nu'^2) -(3B-1)\lambda'\nu' \right]. \end{aligned}
Перегруппируем:
G=−4Br2[(1−B)(ν′′+ν′2−ν′λ′2)+Bν′λ′].(56)\begin{aligned} \mathcal G =-\frac{4B}{r^2}\Bigg[ &(1-B)\left( \nu''+\frac{\nu'^2-\nu'\lambda'}2 \right)\\ &+B\nu'\lambda' \Bigg]. \end{aligned} \tag{56}
Следовательно,
−2ℓ2φeλG=8ℓ2φr2[(1−B)(ν′′+ν′−λ′2ν′)+Bν′λ′].\begin{aligned} -2\ell^2\varphi e^\lambda\mathcal G =\frac{8\ell^2\varphi}{r^2}\Bigg[ &(1-B)\left( \nu''+\frac{\nu'-\lambda'}2\nu' \right)\\ &+B\nu'\lambda' \Bigg]. \end{aligned}
Возвращаем B=e−λB=e^{-\lambda}.
В результате
0=φ′′+(ν′−λ′2+2r)φ′+8ℓ2φr2[(1−e−λ)(ν′′+ν′−λ′2ν′)+e−λν′λ′]−eλVφ.(57)\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \varphi''+ \left( \frac{\nu'-\lambda'}2+\frac2r \right)\varphi'\\ &+\frac{8\ell^2\varphi}{r^2} \Bigg[ (1-e^{-\lambda}) \left( \nu''+\frac{\nu'-\lambda'}2\nu' \right)\\ &\hspace{4.5cm} +e^{-\lambda}\nu'\lambda' \Bigg]\\ &-e^\lambda V_\varphi. \end{aligned}} \tag{57}
Это в точности уравнение (27) Бабичева. 2207.03944v2.pdf L439-L452
Тем самым получено и последнее из четырёх требуемых уравнений.

8. Почему формулы с логарифмами воспроизводят исходную теорию?

Полезно теперь понять сам механизм, а не только алгебраическое совпадение.
Уравнения Хорндески построены из нескольких частей, в каждой из которых могут встречаться довольно сложные функции XX, в том числе ln⁡∣X∣\ln|X|.
Однако сами физические уравнения зависят не от отдельных функций K,G3,G4,G5K,G_3,G_4,G_5, а от их определённых сочетаний.
Мы явно увидели, что после подстановки
G4=12+4qX(2−ln⁡∣X∣),G5=−4pln⁡∣X∣G_4=\frac12+4qX(2-\ln|X|), \qquad G_5=-4p\ln|X|
все логарифмические слагаемые сокращаются.
В результате вклад Гаусса–Бонне выражается только через ξφ\xi_\varphi, ξφφ\xi_{\varphi\varphi}, производные поля и метрических функций.
Есть ещё одна проверка, которая особенно наглядно демонстрирует топологическую природу инварианта Гаусса–Бонне.

8.1. Гаусс–Бонне как полная производная

Из (56), используя
−g=r2sin⁡θAB,\sqrt{-g}=r^2\sin\theta\sqrt{\frac AB},
можно получить тождество
−g G=−4sin⁡θ ddr[AB(1−B)A′A].(58)\boxed{ \sqrt{-g}\,\mathcal G = -4\sin\theta\, \frac{d}{dr} \left[ \sqrt{AB}(1-B)\frac{A'}A \right]. } \tag{58}
Проверим его.
Обозначим
Q(r)=AB(1−B)ν′.Q(r)=\sqrt{AB}(1-B)\nu'.
Тогда
Q′=AB[(1−B)ν′′+1−B2(ν′+B′B)ν′−B′ν′].\begin{aligned} Q'=\sqrt{AB}\Bigg[ &(1-B)\nu''\\ &+\frac{1-B}{2} \left(\nu'+\frac{B'}B\right)\nu'\\ &-B'\nu' \Bigg]. \end{aligned}
Объединяя члены с B′B',
Q′=AB[(1−B)(ν′′+ν′22)+1−3B2BB′ν′].Q'=\sqrt{AB} \left[ (1-B)\left(\nu''+\frac{\nu'^2}{2}\right) +\frac{1-3B}{2B}B'\nu' \right].
Умножение на −4sin⁡θ-4\sin\theta воспроизводит −gG\sqrt{-g}\mathcal G, заданный формулой (53).
Таким образом, (58) доказано.

8.2. Следствие для действия

Рассмотрим только член Гаусса–Бонне:
SGB=∫d4x−g ξ(φ)G.S_{\mathrm{GB}}= \int d^4x\sqrt{-g}\,\xi(\varphi)\mathcal G.
После интегрирования по угловым координатам
SGB=−16π∫dt dr ξ(φ)Q′(r).S_{\mathrm{GB}} =-16\pi\int dt\,dr\, \xi(\varphi)Q'(r).
Интегрируем по частям:
−ξQ′=−ddr(ξQ)+ξ′Q.-\xi Q'=-\frac{d}{dr}(\xi Q)+\xi'Q.
Отбрасывая граничный член, получаем
SGB≐16π∫dt dr ξ′Q,S_{\mathrm{GB}}\doteq 16\pi\int dt\,dr\,\xi'Q,
где ≐\doteq означает равенство с точностью до граничного члена.
Поскольку
ξ′=ξφφ′,\xi'=\xi_\varphi\varphi',
находим
SGB≐16π∫dt dr ξφφ′AB(1−B)A′A.(59)\boxed{ S_{\mathrm{GB}}\doteq 16\pi\int dt\,dr\, \xi_\varphi\varphi' \sqrt{AB}(1-B)\frac{A'}A. } \tag{59}
Это очень показательный результат.
В четырёх измерениях интеграл от G\mathcal G при постоянном коэффициенте связи является топологическим. Он не даёт локального вклада в уравнения движения.
Когда коэффициент зависит от φ\varphi, локальная динамика появляется через производные ξ(φ)\xi(\varphi).
Именно поэтому все окончательные уравнения содержат ξφ\xi_\varphi, ξφφ\xi_{\varphi\varphi}, но не требуют явно сохранять логарифмы.
При этом (59) — редуцированное действие на сферически-симметричном анзаце. Для вывода всех независимых метрических уравнений, особенно углового, необходимо сохранять достаточную свободу вариации метрики.

9. Важное замечание об опечатках в приложенных формулах

Это стоит выделить отдельно, потому что иначе при попытке получить точное совпадение вы можете потратить много времени на поиск несуществующей алгебраической ошибки.

9.1. Уравнение (24) Бабичева

В предоставленной версии arXiv:2207.03944v2 на стр. 8 напечатано слагаемое
16ℓ2(1−e−λ)r2φφ′.\frac{16\ell^2(1-e^{-\lambda})}{r^2} \varphi\varphi'.
Однако из формулы (A2) Кобаяши однозначно следует
16ℓ2(1−e−λ)r2(φφ′′+φ′2).(60)\boxed{ \frac{16\ell^2(1-e^{-\lambda})}{r^2} \left(\varphi\varphi''+\varphi'^2\right). } \tag{60}
Это не вопрос выбора представления Хорндески.
Есть три независимых основания считать запись Бабичева опечаткой:
  1. Подстановка корректных функций G4,G5G_4,G_5 в (A2) даёт именно (60).
  2. Непосредственная вариация члена ξ(φ)G\xi(\varphi)\mathcal G приводит к той же комбинации, поскольку d2ξ/dr2=−2ℓ2(φ′2+φφ′′)d^2\xi/dr^2=-2\ell^2(\varphi'^2+\varphi\varphi'').
  3. В уравнении (26) самого Бабичева та же комбинация φ′2+φφ′′\varphi'^2+\varphi\varphi'' присутствует явно.
Таким образом, буквально получить напечатанное (24) из корректных уравнений Хорндески нельзя. Для согласованной системы требуется указанное исправление.
Я не нашёл независимого официального подтверждения этого исправления в виде опубликованного erratum; это вывод из прямой математической проверки предоставленных формул.

9.2. Уравнение (A4) Кобаяши

При буквальной подстановке в (A4) приложения к статье 2014 года обнаруживается аналогичное расхождение.
Член
+2r(2r+A′A)XX′G4XX+2r\left(\frac2r+\frac{A'}A\right)XX'G_{4XX}
в предоставленном PDF, по результатам проверки, должен иметь коэффициент
+2B(2r+A′A)XX′G4XX.(61)\boxed{ +2B\left(\frac2r+\frac{A'}A\right)XX'G_{4XX}. } \tag{61}
Именно с этим коэффициентом исчезают лишние члены с X′X', после чего получается (36) и правильное угловое уравнение (40).
Это также следует рассматривать как диагностированную опечатку, а не как документально подтверждённое авторское исправление.
Практически это означает, что при использовании длинных универсальных уравнений (A2)–(A6) следует проверять их согласованность с исходным действием. В данном случае независимая геометрическая вариация служит надёжной проверкой.

10. Итоговая проверка всех четырёх уравнений

Соберём результаты в одном месте.
Начинаем с действия
S=∫d4x−g[R2+X−V(φ)−ℓ2φ2G].S=\int d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac R2+X-V(\varphi)-\ell^2\varphi^2\mathcal G \right].
Его функции Хорндески:
K=X−V(φ),G3=0,G4=12−8ℓ2X(2−ln⁡∣X∣),G5=8ℓ2φln⁡∣X∣.\boxed{ \begin{aligned} K&=X-V(\varphi),\\ G_3&=0,\\ G_4&=\frac12-8\ell^2X(2-\ln|X|),\\ G_5&=8\ell^2\varphi\ln|X|. \end{aligned}}
Используем
A=eν,B=e−λ,X=−12Bφ′2.A=e^\nu,\qquad B=e^{-\lambda}, \qquad X=-\frac12B\varphi'^2.
Тогда:
Уравнение (tt)(tt):
0=λ′r[1−8ℓ2r(1−3e−λ)φφ′]+eλ−1r2+16ℓ2(1−e−λ)r2(φφ′′+φ′2)−12φ′2−eλV.\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \frac{\lambda'}r \left[1-\frac{8\ell^2}{r} (1-3e^{-\lambda})\varphi\varphi'\right]\\ &+\frac{e^\lambda-1}{r^2} +\frac{16\ell^2(1-e^{-\lambda})}{r^2} (\varphi\varphi''+\varphi'^2)\\ &-\frac12\varphi'^2-e^\lambda V. \end{aligned}}
Совпадает с (24) после исправления указанного слагаемого.
Уравнение (rr)(rr):
0=ν′r[1−8ℓ2r(1−3e−λ)φφ′]−eλ−1r2−12φ′2+eλV.\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \frac{\nu'}r \left[1-\frac{8\ell^2}{r} (1-3e^{-\lambda})\varphi\varphi'\right]\\ &-\frac{e^\lambda-1}{r^2} -\frac12\varphi'^2+e^\lambda V. \end{aligned}}
Совпадает с (25).
Уравнение (θθ)(\theta\theta):
0=ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)−8ℓ2e−λr(3ν′λ′−2ν′′−ν′2)φφ′+16ℓ2e−λrν′(φ′2+φφ′′)+φ′2+2eλV.\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \nu''+\left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda')\\ &-\frac{8\ell^2e^{-\lambda}}r (3\nu'\lambda'-2\nu''-\nu'^2) \varphi\varphi'\\ &+\frac{16\ell^2e^{-\lambda}}r \nu'(\varphi'^2+\varphi\varphi'')\\ &+\varphi'^2+2e^\lambda V. \end{aligned}}
Совпадает с (26), с учётом отмеченного исправления (A4) в исходной формуле Кобаяши.
Скалярное уравнение:
0=φ′′+(ν′−λ′2+2r)φ′+8ℓ2φr2[(1−e−λ)(ν′′+ν′−λ′2ν′)+e−λν′λ′]−eλVφ.\boxed{ \begin{aligned} 0={}&\varphi'' +\left(\frac{\nu'-\lambda'}2+\frac2r\right)\varphi'\\ &+\frac{8\ell^2\varphi}{r^2} \left[ (1-e^{-\lambda}) \left(\nu''+\frac{\nu'-\lambda'}2\nu'\right) +e^{-\lambda}\nu'\lambda' \right]\\ &-e^\lambda V_\varphi. \end{aligned}}
Совпадает с (27).
Я также выполнил символическую проверку всех четырёх равенств: после подстановки функций Хорндески, преобразования переменных и указанных исправлений разность левой части каждого выведенного уравнения и соответствующей левой части уравнения Бабичева тождественно равна нулю.

Дополнительная физическая проверка

Для шварцшильдовского фона
eν=e−λ=1−rSre^\nu=e^{-\lambda}=1-\frac{r_S}{r}
из (53) получаем
G=12rS2r6=48M2r6,rS=2M.\mathcal G=\frac{12r_S^2}{r^6} =\frac{48M^2}{r^6}, \qquad r_S=2M.
Тогда скалярное уравнение можно записать как
Bφ′′+(B′+2Br)φ′−Vφ−24ℓ2rS2r6φ=0.B\varphi'' +\left(B'+\frac{2B}{r}\right)\varphi' -V_\varphi -\frac{24\ell^2r_S^2}{r^6}\varphi=0.
У горизонта r=rSr=r_S, где B=0B=0 и B′=1/rSB'=1/r_S, условие регулярности даёт
φS′−24ℓ2rS3φS−rSVφ(φS)=0.\boxed{ \varphi'_S -\frac{24\ell^2}{r_S^3}\varphi_S -r_SV_\varphi(\varphi_S)=0. }
Это совпадает с уравнением (13) статьи Бабичева в приближении пробного скалярного поля. 2207.03944v2.pdf L184-L209

11. Что важно запомнить

Главное концептуальное различие состоит в следующем.
Неминимальная связь с RR:
f(φ)R⟺G4=f(φ),G3=G5=0,f(\varphi)R \quad\Longleftrightarrow\quad G_4=f(\varphi),\qquad G_3=G_5=0,
если не считать отдельно добавленных кинетического и потенциального членов.
Неминимальная связь с инвариантом Гаусса–Бонне:
ξ(φ)G⟺{KGB=8ξ(4)X2(3−ln⁡∣X∣),G3,GB=4ξ(3)X(7−3ln⁡∣X∣),G4,GB=4ξ(2)X(2−ln⁡∣X∣),G5,GB=−4ξ(1)ln⁡∣X∣.\xi(\varphi)\mathcal G \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} K_{\mathrm{GB}}=8\xi^{(4)}X^2(3-\ln|X|),\\ G_{3,\mathrm{GB}}=4\xi^{(3)}X(7-3\ln|X|),\\ G_{4,\mathrm{GB}}=4\xi^{(2)}X(2-\ln|X|),\\ G_{5,\mathrm{GB}}=-4\xi^{(1)}\ln|X|. \end{cases}
Для квадратичной связи ξ=−ℓ2φ2\xi=-\ell^2\varphi^2 функции KGBK_{\mathrm{GB}} и G3,GBG_{3,\mathrm{GB}} обращаются в нуль, но G4,GBG_{4,\mathrm{GB}} и G5,GBG_{5,\mathrm{GB}} остаются ненулевыми.
Логарифмы не означают наличия дополнительных физических степеней свободы: они относятся к выбранной форме записи лагранжиана. После объединения всех членов уравнений движения их явная зависимость от ln⁡∣X∣\ln|X| исчезает.
Поэтому для вашей задачи правильная последовательность такова: взять логарифмическое представление Гаусса–Бонне из работы Кобаяши 2011 года, добавить K=X−VK=X-V и G4=1/2G_4=1/2, затем подставить полный набор функций в уравнения (A2)–(A6) работы Кобаяши 2014 года и перейти к обозначениям Бабичева.
Результат: уравнения (25), (26), (27) воспроизводятся, а уравнение (24) в приложенной версии статьи Бабичева содержит расхождение, устраняемое заменой φφ′\varphi\varphi' на φφ′′+φ′2\varphi\varphi''+\varphi'^2. В приложенном (A4) Кобаяши также выявлено указанное выше несоответствие коэффициента при G4XXG_{4XX}.
Именно эти два места особенно важно учитывать, если вы хотите получить строгий алгебраический вывод, а не просто формальное сходство результатов.
Text version

Подробный вывод уравнений Бабичева из теории Хорндески

1. Главный вопрос: почему возникают два разных представления теории Гаусса–Бонне?

Здесь действительно есть принципиальный момент. Два приведённых вами набора функций Хорндески описывают разные теории.

Для действия Бабичева

S=∫d4x−g[R2−12∇μφ∇μφ−V(φ)−ℓ2φ2G],(1)\boxed{ S=\int d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac{R}{2} -\frac12\nabla_\mu\varphi\nabla^\mu\varphi -V(\varphi) -\ell^2\varphi^2\mathcal G \right], } \tag{1}

где

G=R2−4RμνRμν+RμνρσRμνρσ,\mathcal G= R^2-4R_{\mu\nu}R^{\mu\nu} +R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma},

нужно использовать именно логарифмическое представление, приведённое в приложении A статьи Generalized G-inflation (Kobayashi, Yamaguchi, Yokoyama, 2011).

Действие (1) — это уравнение (1) статьи Бабичева Shrouded black holes in Einstein-Gauss-Bonnet gravity, стр. 3.

1.1. Что описывает ваш первый набор функций?

Вы предлагаете

K=X−V(φ),G3=0,K=X-V(\varphi),\qquad G_3=0, G4=12−ℓ2φ2,G5=0.G_4=\frac12-\ell^2\varphi^2,\qquad G_5=0.

Но в стандартной записи Хорндески

L4=G4(φ,X)R+G4X[(□φ)2−(∇μ∇νφ)2].\mathcal L_4= G_4(\varphi,X)R+ G_{4X}\left[ (\Box\varphi)^2- (\nabla_\mu\nabla_\nu\varphi)^2 \right].

Поскольку у вас G4G_4 не зависит от XX,

G4X=0.G_{4X}=0.

Следовательно,

L4=(12−ℓ2φ2)R.\mathcal L_4= \left(\frac12-\ell^2\varphi^2\right)R.

Таким образом, ваш набор функций даёт

SRicci=∫d4x−g[12R+X−V(φ)−ℓ2φ2R].(2)\boxed{ S_{\mathrm{Ricci}}= \int d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac12R+X-V(\varphi) -\ell^2\varphi^2R \right]. } \tag{2}

Это теория с неминимальной связью скалярного поля с скаляром Риччи RR, а не с инвариантом Гаусса–Бонне G\mathcal G.

Эти теории физически различны. Поэтому из (2) нельзя получить уравнения (24)–(27) Бабичева.

1.2. Правильные функции Хорндески

Введём общую функцию связи

ξ(φ)G.\xi(\varphi)\mathcal G.

В приложении A работы Кобаяши 2011 года, формулах (A.7)–(A.10), установлено соответствие

KGB=8ξ(4)X2(3−ln⁡X),G3,GB=4ξ(3)X(7−3ln⁡X),G4,GB=4ξ(2)X(2−ln⁡X),G5,GB=−4ξ(1)ln⁡X.(3)\begin{aligned} K_{\mathrm{GB}}&= 8\xi^{(4)}X^2(3-\ln X),\\ G_{3,\mathrm{GB}}&= 4\xi^{(3)}X(7-3\ln X),\\ G_{4,\mathrm{GB}}&= 4\xi^{(2)}X(2-\ln X),\\ G_{5,\mathrm{GB}}&= -4\xi^{(1)}\ln X. \end{aligned} \tag{3}

Здесь ξ(n)=dnξ/dφn\xi^{(n)}=d^n\xi/d\varphi^n. Эти функции воспроизводят связь ξ(φ)G\xi(\varphi)\mathcal G с точностью до полной дивергенции.

Для модели Бабичева

ξ(φ)=−ℓ2φ2.\xi(\varphi)=-\ell^2\varphi^2.

Поэтому

ξφ=−2ℓ2φ,ξφφ=−2ℓ2,\xi_\varphi=-2\ell^2\varphi,\qquad \xi_{\varphi\varphi}=-2\ell^2, ξφφφ=ξφφφφ=0.\xi_{\varphi\varphi\varphi} =\xi_{\varphi\varphi\varphi\varphi}=0.

Подставляя это в (3) и добавляя обычные кинетический, потенциальный и гравитационный члены, получаем

K(φ,X)=X−V(φ),G3(φ,X)=0,G4(φ,X)=12−8ℓ2X(2−ln⁡∣X∣),G5(φ,X)=8ℓ2φln⁡∣X∣.(4)\boxed{ \begin{aligned} K(\varphi,X)&=X-V(\varphi),\\ G_3(\varphi,X)&=0,\\ G_4(\varphi,X)&= \frac12-8\ell^2X(2-\ln|X|),\\ G_5(\varphi,X)&= 8\ell^2\varphi\ln|X|. \end{aligned}} \tag{4}

Это и есть правильный набор функций Хорндески для теории Бабичева.

Я использую ln⁡∣X∣\ln|X|, потому что для статического радиального скалярного поля в сигнатуре (−+++)(-+++)

X=−12grrφ′2<0.X=-\frac12g^{rr}\varphi'^2<0.

Логарифмические производные при X≠0X\ne0 при этом остаются теми же, что в формулах Кобаяши:

dln⁡∣X∣dX=1X.\frac{d\ln|X|}{dX}=\frac1X.

Следует помнить, что это представление может быть сингулярным при X=0X=0, хотя исходное действие ξ(φ)G\xi(\varphi)\mathcal G регулярно. Поэтому все промежуточные равенства с логарифмами понимаются сначала в области X≠0X\ne0, а окончательные уравнения продолжаются в регулярные точки.

Далее выведем уравнения (24)–(27) непосредственно из фоновых уравнений Хорндески и отдельно проверим их геометрический смысл.

2. Как связаны обозначения двух статей

Теперь переходим к статье Kobayashi, Motohashi, Suyama (2014), Black hole perturbation in the most general scalar-tensor theory with second-order field equations II: the even-parity sector.

Именно в ней, в приложении A, находятся необходимые нам уравнения (A2)–(A6). Это не то же приложение, в котором Кобаяши в 2011 году выводил логарифмическое представление.

2.1. Метрика Кобаяши

Кобаяши использует

ds2=−A(r)dt2+dr2B(r)+r2dΩ2,(5)ds^2=-A(r)dt^2+\frac{dr^2}{B(r)} +r^2d\Omega^2, \tag{5}

где

dΩ2=dθ2+sin⁡2θ dϕ2.d\Omega^2=d\theta^2+\sin^2\theta\,d\phi^2.

В статье Бабичева метрика записана как

ds2=−eν(r)dt2+eλ(r)dr2+r2dΩ2.(6)ds^2=-e^{\nu(r)}dt^2+e^{\lambda(r)}dr^2 +r^2d\Omega^2. \tag{6}

Следовательно,

A(r)=eν(r),B(r)=e−λ(r).(7)\boxed{ A(r)=e^{\nu(r)},\qquad B(r)=e^{-\lambda(r)}. } \tag{7}

Отсюда

A′A=ν′,A′′A=ν′′+ν′2,B′B=−λ′,1B=eλ.(8)\boxed{ \begin{aligned} \frac{A'}A&=\nu',\\ \frac{A''}A&=\nu''+\nu'^2,\\ \frac{B'}B&=-\lambda',\\ \frac1B&=e^\lambda. \end{aligned}} \tag{8}

Здесь и далее штрих обозначает производную по rr.

Для скалярного поля φ=φ(r)\varphi=\varphi(r)

X=−12gμν∂μφ∂νφ=−B2φ′2.(9)X=-\frac12g^{\mu\nu} \partial_\mu\varphi\partial_\nu\varphi =-\frac B2\varphi'^2. \tag{9}

Продифференцируем:

X′=−12B′φ′2−Bφ′φ′′.X'=-\frac12B'\varphi'^2-B\varphi'\varphi''.

Поэтому

X′X=B′B+2φ′′φ′=−λ′+2φ′′φ′.(10)\boxed{ \frac{X'}X= \frac{B'}B+2\frac{\varphi''}{\varphi'} =-\lambda'+2\frac{\varphi''}{\varphi'}. } \tag{10}

Это соотношение понадобится во всех последующих преобразованиях.

2.2. Фоновые уравнения

В приложении A Кобаяши вводит четыре уравнения:

EA=0,EB=0,EC=0,Eφ=0.\mathcal E_A=0,\qquad \mathcal E_B=0,\qquad \mathcal E_C=0,\qquad \mathcal E_\varphi=0.

Первые три задаются соответственно формулами (A2), (A3), (A4). Для скалярного поля уравнение (A1) записано через функции JJ и SS, определённые в (A5), (A6):

Eφ=1r2BAddr(r2AB J)−S=0.(11)\boxed{ \mathcal E_\varphi= \frac1{r^2}\sqrt{\frac BA} \frac{d}{dr} \left(r^2\sqrt{AB}\,J\right)-S=0. } \tag{11}

Эти уравнения получены вариацией действия по метрическим функциям A,B,CA,B,C и полю φ\varphi, причём функцию C(r)C(r), отвечающую угловой части метрики, полагают равной единице только после вариации. Это важно для получения независимого углового уравнения.

Соответствие с Бабичевым такое:

Бабичев (24) ⟵ EAB=0,Бабичев (25) ⟵ −EBB=0,Бабичев (26) ⟵ −2ECB=0,Бабичев (27) ⟵ EφB=0.(12)\boxed{ \begin{aligned} \text{Бабичев (24)}&\ \longleftarrow\ \frac{\mathcal E_A}{B}=0,\\ \text{Бабичев (25)}&\ \longleftarrow\ -\frac{\mathcal E_B}{B}=0,\\ \text{Бабичев (26)}&\ \longleftarrow\ -\frac{2\mathcal E_C}{B}=0,\\ \text{Бабичев (27)}&\ \longleftarrow\ \frac{\mathcal E_\varphi}{B}=0. \end{aligned}} \tag{12}

Умножение каждого уравнения на ненулевую функцию не меняет множество решений в области, где эта функция не обращается в нуль. Здесь мы работаем сначала вне горизонта, где B>0B>0.

3. Вычисляем все необходимые производные функций Хорндески

Чтобы не носить повсюду множители −2ℓ2-2\ell^2, введём обозначения

p(φ)=ξφ,q(φ)=ξφφ,s=ln⁡∣X∣.p(\varphi)=\xi_\varphi,\qquad q(\varphi)=\xi_{\varphi\varphi}, \qquad s=\ln|X|.

Для квадратичной связи

p=−2ℓ2φ,q=−2ℓ2.(13)p=-2\ell^2\varphi,\qquad q=-2\ell^2. \tag{13}

В этих обозначениях функции (4) имеют вид

K=X−V,G3=0,K=X-V,\quad G_3=0, G4=12+4qX(2−s),G5=−4ps.(14)G_4=\frac12+4qX(2-s),\qquad G_5=-4ps. \tag{14}

Теперь вычислим частные производные. При дифференцировании по XX поле φ\varphi считается независимой переменной.

Для KK:

KX=1,Kφ=−Vφ.(15)K_X=1,\qquad K_\varphi=-V_\varphi. \tag{15}

Для G3G_3:

G3=G3X=G3φ=⋯=0.(16)G_3=G_{3X}=G_{3\varphi}=\cdots=0. \tag{16}

Для G4G_4:

G4X=4q∂∂X[X(2−ln⁡∣X∣)]=4q[(2−ln⁡∣X∣)−1]=4q(1−s).\begin{aligned} G_{4X} &=4q\frac{\partial}{\partial X} [X(2-\ln|X|)]\\ &=4q[(2-\ln|X|)-1]\\ &=4q(1-s). \end{aligned}

Следовательно,

G4XX=−4qX.G_{4XX}=-\frac{4q}{X}.

Поскольку q=−2ℓ2q=-2\ell^2 не зависит от φ\varphi,

G4φ=G4φX=G4φφ=0.(17)G_{4\varphi}=G_{4\varphi X} =G_{4\varphi\varphi}=0. \tag{17}

Для G5G_5:

G5X=−4pX,G5XX=4pX2.G_{5X}=-\frac{4p}{X}, \qquad G_{5XX}=\frac{4p}{X^2}.

А при дифференцировании по полю

G5φ=−4qs,G5φX=−4qX,G5φφ=0.(18)G_{5\varphi}=-4qs, \qquad G_{5\varphi X}=-\frac{4q}{X}, \qquad G_{5\varphi\varphi}=0. \tag{18}

Итак, полный набор ненулевых величин для подстановки:

K=X−V,KX=1,Kφ=−Vφ,G4=12+4qX(2−s),G4X=4q(1−s),G4XX=−4qX,G5X=−4pX,G5XX=4pX2,G5φ=−4qs,G5φX=−4qX.(19)\boxed{ \begin{aligned} K&=X-V,& K_X&=1,& K_\varphi&=-V_\varphi,\\ G_4&=\frac12+4qX(2-s),& G_{4X}&=4q(1-s),& G_{4XX}&=-\frac{4q}{X},\\ G_{5X}&=-\frac{4p}{X},& G_{5XX}&=\frac{4p}{X^2},\\ G_{5\varphi}&=-4qs,& G_{5\varphi X}&=-\frac{4q}{X}. \end{aligned}} \tag{19}

Все остальные производные, входящие в (A2)–(A6), равны нулю.

Ещё одно удобное обозначение:

z:=X′X=B′B+2φ′′φ′.(20)z:=\frac{X'}X =\frac{B'}B+2\frac{\varphi''}{\varphi'}. \tag{20}

В дальнейшем мы будем группировать выражения по pp и qq.

4. Получение уравнения (24) Бабичева из (A2) Кобаяши

4.1. Выписываем оставшиеся члены (A2)

После подстановки G3=0G_3=0 и нулевых производных G4G_4 по φ\varphi формула (A2) сокращается до

EA=K+2r(1−Br−B′)G4+4Br(1r+z+B′B)XG4X+8BrXX′G4XX+Bφ′r2[(1−3B)z−2B′]XG5X−2B2φ′r2XX′G5XX−2r(1+Br+2Bz+B′)XG5φ+4Br(1r−z)X2G5φX.(21)\begin{aligned} \mathcal E_A={}&K +\frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)G_4\\ &+\frac{4B}{r} \left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)XG_{4X}\\ &+\frac{8B}{r}XX'G_{4XX}\\ &+\frac{B\varphi'}{r^2} \left[(1-3B)z-2B'\right]XG_{5X}\\ &-\frac{2B^2\varphi'}{r^2}XX'G_{5XX}\\ &-\frac2r\left(\frac{1+B}{r}+2Bz+B'\right) XG_{5\varphi}\\ &+\frac{4B}{r} \left(\frac1r-z\right)X^2G_{5\varphi X}. \end{aligned} \tag{21}

Это непосредственно ненулевые слагаемые (A2), без каких-либо предположений о решении A(r),B(r),φ(r)A(r),B(r),\varphi(r).

Для удобства разделим выражение на стандартную часть, зависящую от pp, и часть, зависящую от qq.

4.2. Стандартная часть

Из K=X−VK=X-V и постоянного члена G4=1/2G_4=1/2 имеем

EA(0)=X−V+2r(1−Br−B′)12=X−V+1−Br2−B′r.\begin{aligned} \mathcal E_A^{(0)} &=X-V+ \frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)\frac12\\ &=X-V+\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r. \end{aligned}

Используя X=−Bφ′2/2X=-B\varphi'^2/2,

EA(0)=−B2φ′2−V+1−Br2−B′r.(22)\boxed{ \mathcal E_A^{(0)} =-\frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r. } \tag{22}

4.3. Члены, пропорциональные qq

Подставим G4,G4X,G4XX,G5φ,G5φXG_4,G_{4X},G_{4XX},G_{5\varphi},G_{5\varphi X} из (19).

Получаем

EA(q)=4qX{2r(1−Br−B′)(2−s)+4Br(1r+z+B′B)(1−s)−8Brz+2sr(1+Br+2Bz+B′)−4Br(1r−z)}.(23)\begin{aligned} \mathcal E_A^{(q)} =4qX\Bigg\{& \frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)(2-s)\\ &+\frac{4B}{r} \left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)(1-s)\\ &-\frac{8B}{r}z\\ &+\frac{2s}{r} \left(\frac{1+B}{r}+2Bz+B'\right)\\ &-\frac{4B}{r}\left(\frac1r-z\right) \Bigg\}. \end{aligned} \tag{23}

Сначала соберём коэффициент при s=ln⁡∣X∣s=\ln|X|.

Он равен

Cs=−2r(1−Br−B′)−4Br(1r+z+B′B)+2r(1+Br+2Bz+B′).\begin{aligned} C_s={}&-\frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)\\ &-\frac{4B}{r}\left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)\\ &+\frac2r\left(\frac{1+B}{r}+2Bz+B'\right). \end{aligned}

Раскрываем скобки:

Cs=−2(1−B)r2+2B′r−4Br2−4Bzr−4B′r+2(1+B)r2+4Bzr+2B′r.\begin{aligned} C_s={}&-\frac{2(1-B)}{r^2} +\frac{2B'}r -\frac{4B}{r^2} -\frac{4Bz}r -\frac{4B'}r\\ &+\frac{2(1+B)}{r^2} +\frac{4Bz}r+\frac{2B'}r. \end{aligned}

Все слагаемые сокращаются:

Cs=0.\boxed{C_s=0.}

Таким образом, логарифмы исчезают из уравнения.

Теперь оставшаяся, не содержащая ss, часть фигурной скобки равна

C0=4r(1−Br−B′)+4Br(1r+z+B′B)−8Bzr−4Br(1r−z).\begin{aligned} C_0={}& \frac4r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right) +\frac{4B}{r}\left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)\\ &-\frac{8Bz}r-\frac{4B}{r}\left(\frac1r-z\right). \end{aligned}

Раскрывая скобки, получаем

C0=4(1−B)r2−4B′r+4Br2+4Bzr+4B′r−8Bzr−4Br2+4Bzr.\begin{aligned} C_0={}&\frac{4(1-B)}{r^2} -\frac{4B'}r+\frac{4B}{r^2} +\frac{4Bz}r+\frac{4B'}r\\ &-\frac{8Bz}r-\frac{4B}{r^2} +\frac{4Bz}r. \end{aligned}

Следовательно,

C0=4(1−B)r2.C_0=\frac{4(1-B)}{r^2}.

Поэтому

EA(q)=4qX4(1−B)r2.\mathcal E_A^{(q)} =4qX\frac{4(1-B)}{r^2}.

Подставляя X=−Bφ′2/2X=-B\varphi'^2/2,

EA(q)=8Bq(B−1)r2φ′2.(24a)\boxed{ \mathcal E_A^{(q)} =\frac{8Bq(B-1)}{r^2}\varphi'^2. } \tag{24a}

4.4. Члены, пропорциональные pp

Они возникают из G5XG_{5X} и G5XXG_{5XX}:

EA(p)=Bφ′r2[(1−3B)z−2B′](−4p)−2B2φ′r2XX′4pX2.\begin{aligned} \mathcal E_A^{(p)} ={}&\frac{B\varphi'}{r^2} [(1-3B)z-2B'](-4p)\\ &-\frac{2B^2\varphi'}{r^2}XX' \frac{4p}{X^2}. \end{aligned}

То есть

EA(p)=−4Bpφ′r2[(1−3B)z−2B′]−8B2pφ′r2z.\begin{aligned} \mathcal E_A^{(p)} ={}&-\frac{4Bp\varphi'}{r^2} [(1-3B)z-2B']\\ &-\frac{8B^2p\varphi'}{r^2}z. \end{aligned}

Объединим:

EA(p)=4Bpφ′r2[2B′−(1−B)z]=4pr2[2BB′φ′−B(1−B)φ′(B′B+2φ′′φ′)].\begin{aligned} \mathcal E_A^{(p)} &=\frac{4Bp\varphi'}{r^2} \left[2B'-(1-B)z\right]\\ &=\frac{4p}{r^2} \left[ 2BB'\varphi' -B(1-B)\varphi' \left(\frac{B'}B+2\frac{\varphi''}{\varphi'}\right) \right]. \end{aligned}

Отсюда

EA(p)=4pr2[(3B−1)B′φ′+2B(B−1)φ′′].(24b)\boxed{ \mathcal E_A^{(p)} =\frac{4p}{r^2} \left[ (3B-1)B'\varphi' +2B(B-1)\varphi'' \right]. } \tag{24b}

4.5. Объединяем результаты

Складывая (22), (24a), (24b), получаем

EA=−B2φ′2−V+1−Br2−B′r+4pr2[(3B−1)B′φ′+2B(B−1)φ′′]+8Bq(B−1)r2φ′2.(25a)\begin{aligned} \mathcal E_A={}& -\frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r\\ &+\frac{4p}{r^2} \left[ (3B-1)B'\varphi' +2B(B-1)\varphi'' \right]\\ &+\frac{8Bq(B-1)}{r^2}\varphi'^2. \end{aligned} \tag{25a}

Теперь используем

p=−2ℓ2φ,q=−2ℓ2.p=-2\ell^2\varphi,\qquad q=-2\ell^2.

Получаем

EA=−B2φ′2−V+1−Br2−B′r−8ℓ2r2(3B−1)B′φφ′+16ℓ2B(1−B)r2(φφ′′+φ′2).(25b)\begin{aligned} \mathcal E_A={}& -\frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r\\ &-\frac{8\ell^2}{r^2}(3B-1)B'\varphi\varphi'\\ &+\frac{16\ell^2 B(1-B)}{r^2} \left(\varphi\varphi''+\varphi'^2\right). \end{aligned} \tag{25b}

Здесь последние два члена образуют вклад связи с Гауссом–Бонне.

4.6. Переходим к метрике Бабичева

Подставляем

B=e−λ,B′=−Bλ′B=e^{-\lambda},\qquad B'=-B\lambda'

и делим всё уравнение на BB.

Из (25b) следует

0=−12φ′2−eλV+eλ−1r2+λ′r−8ℓ2r2(1−3e−λ)φφ′λ′+16ℓ2(1−e−λ)r2(φφ′′+φ′2).\begin{aligned} 0={}&-\frac12\varphi'^2-e^\lambda V +\frac{e^\lambda-1}{r^2} +\frac{\lambda'}r\\ &-\frac{8\ell^2}{r^2}(1-3e^{-\lambda}) \varphi\varphi'\lambda'\\ &+\frac{16\ell^2(1-e^{-\lambda})}{r^2} \left(\varphi\varphi''+\varphi'^2\right). \end{aligned}

Объединив слагаемые с λ′\lambda', имеем

0=1r[1−8ℓ2r(1−3e−λ)φφ′]λ′+eλ−1r2+16ℓ2(1−e−λ)r2(φφ′′+φ′2)−12φ′2−eλV(φ).(26)\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \frac1r \left[ 1-\frac{8\ell^2}{r} (1-3e^{-\lambda})\varphi\varphi' \right]\lambda'\\ &+\frac{e^\lambda-1}{r^2} +\frac{16\ell^2(1-e^{-\lambda})}{r^2} \left(\varphi\varphi''+\varphi'^2\right)\\ &-\frac12\varphi'^2-e^\lambda V(\varphi). \end{aligned}} \tag{26}

Это уравнение (tt)(tt), следующее из действия Бабичева и формулы (A2) Кобаяши.

Здесь обнаруживается расхождение с напечатанной формулой (24) Бабичева: вместо φφ′′+φ′2\varphi\varphi''+\varphi'^2 в ней стоит только φφ′\varphi\varphi'. Ниже я отдельно объясню, почему это, по всей видимости, опечатка, и проверю результат независимо.

5. Получение уравнения (25) Бабичева из (A3) Кобаяши

Теперь рассмотрим EB=0\mathcal E_B=0.

5.1. Стандартная часть

При K=X−VK=X-V, KX=1K_X=1 имеем

K−2XKX=−X−V.K-2XK_X=-X-V.

Из постоянного члена G4=1/2G_4=1/2 получаем

EB(0)=−X−V+2r(1−Br−BA′A)12.\begin{aligned} \mathcal E_B^{(0)} ={}&-X-V\\ &+\frac2r\left( \frac{1-B}{r}-B\frac{A'}A \right)\frac12. \end{aligned}

Итак,

EB(0)=B2φ′2−V+1−Br2−BrA′A.(27a)\boxed{ \mathcal E_B^{(0)} =\frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2} -\frac Br\frac{A'}A. } \tag{27a}

5.2. Вклад, пропорциональный qq

Подстановка (19) в соответствующие члены (A3) даёт

EB(q)=4qX{2r(1−Br−BA′A)(2−s)−4r(1−2Br−2BA′A)(1−s)−8Br(1r+A′A)−2sr(1−3Br−3BA′A)+4Br(1r+A′A)}.(27b)\begin{aligned} \mathcal E_B^{(q)} =4qX\Bigg\{& \frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B\frac{A'}A\right)(2-s)\\ &-\frac4r\left(\frac{1-2B}{r}-2B\frac{A'}A\right)(1-s)\\ &-\frac{8B}{r}\left(\frac1r+\frac{A'}A\right)\\ &-\frac{2s}{r} \left(\frac{1-3B}{r}-3B\frac{A'}A\right)\\ &+\frac{4B}{r}\left(\frac1r+\frac{A'}A\right) \Bigg\}. \end{aligned} \tag{27b}

И здесь коэффициенты при ss сокращаются. Но теперь сокращаются также и все остальные члены.

В результате

EB(q)=0.(27c)\boxed{\mathcal E_B^{(q)}=0.} \tag{27c}

Это важная особенность радиального уравнения: явного вклада, пропорционального ξφφ\xi_{\varphi\varphi}, в него после всех сокращений не остаётся.

5.3. Вклад, пропорциональный pp

Из последних двух ненулевых членов, содержащих G5XG_{5X} и G5XXG_{5XX}, находим

EB(p)=Bφ′r2(1−5B)A′A(−4p)−2B2φ′r2A′A(4p).\begin{aligned} \mathcal E_B^{(p)} ={}&\frac{B\varphi'}{r^2}(1-5B) \frac{A'}A\left(-4p\right)\\ &-\frac{2B^2\varphi'}{r^2} \frac{A'}A\left(4p\right). \end{aligned}

Поэтому

EB(p)=−4Bpφ′r2A′A[(1−5B)+2B]=4B(3B−1)r2A′Apφ′.\begin{aligned} \mathcal E_B^{(p)} &=-\frac{4Bp\varphi'}{r^2}\frac{A'}A [(1-5B)+2B]\\ &=\frac{4B(3B-1)}{r^2} \frac{A'}A p\varphi'. \end{aligned}

Таким образом,

EB(p)=4B(3B−1)r2A′Apφ′.(27d)\boxed{ \mathcal E_B^{(p)} =\frac{4B(3B-1)}{r^2}\frac{A'}A p\varphi'. } \tag{27d}

5.4. Полное уравнение

Складываем:

EB=B2φ′2−V+1−Br2−BrA′A+4B(3B−1)r2A′Apφ′.\mathcal E_B= \frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2} -\frac Br\frac{A'}A +\frac{4B(3B-1)}{r^2} \frac{A'}A p\varphi'.

Подставляем p=−2ℓ2φp=-2\ell^2\varphi:

0=B2φ′2−V+1−Br2−BrA′A−8ℓ2B(3B−1)r2A′Aφφ′.(28)\begin{aligned} 0={}&\frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2}\\ &-\frac Br\frac{A'}A -\frac{8\ell^2B(3B-1)}{r^2} \frac{A'}A\varphi\varphi'. \end{aligned} \tag{28}

Теперь

B=e−λ,A′A=ν′.B=e^{-\lambda},\qquad \frac{A'}A=\nu'.

Делим на −B-B:

0=−12φ′2+eλV−eλ−1r2+ν′r+8ℓ2(3e−λ−1)r2ν′φφ′.\begin{aligned} 0={}&-\frac12\varphi'^2+e^\lambda V -\frac{e^\lambda-1}{r^2} +\frac{\nu'}r\\ &+\frac{8\ell^2(3e^{-\lambda}-1)}{r^2} \nu'\varphi\varphi'. \end{aligned}

Выносим ν′/r\nu'/r:

1r[1−8ℓ2r(1−3e−λ)φφ′]ν′−eλ−1r2−12φ′2+eλV(φ)=0.(29)\boxed{ \frac1r \left[ 1-\frac{8\ell^2}{r} (1-3e^{-\lambda})\varphi\varphi' \right]\nu' -\frac{e^\lambda-1}{r^2} -\frac12\varphi'^2 +e^\lambda V(\varphi)=0. } \tag{29}

Это в точности уравнение (25) Бабичева, включая все коэффициенты и знаки.

6. Получение уравнения (26) Бабичева из (A4) Кобаяши

Теперь нужно получить угловое уравнение. Оно наиболее громоздкое, поэтому полезно провести вычисления в несколько этапов.

Сразу отмечу одну техническую тонкость: в приложенном PDF статьи Кобаяши в (A4) перед XX′G4XXXX'G_{4XX}, по-видимому, допущена опечатка. Напечатанный коэффициент 2r(2/r+A′/A)2r(2/r+A'/A) должен иметь вид 2B(2/r+A′/A)2B(2/r+A'/A). Именно последний результат согласуется с вариацией исходного действия и геометрической формой уравнений. Ниже покажу это на сокращениях.

6.1. Упрощаем геометрические выражения

Введём

D:=−A′2A2+2B′rB+A′B′AB+2(A′+rA′′)rA.(30)\begin{aligned} \mathcal D:={}& -\frac{A'^2}{A^2} +\frac{2B'}{rB} +\frac{A'B'}{AB} +\frac{2(A'+rA'')}{rA}. \end{aligned} \tag{30}

Также обозначим

C:=1rBA(rBAA′)′+B′r.(31)\mathcal C:= \frac1r\sqrt{\frac BA} \left(r\sqrt{\frac BA}A'\right)' +\frac{B'}r. \tag{31}

Вычислим производную в (31).

Поскольку

(BA)′=12BA(B′B−A′A),\left(\sqrt{\frac BA}\right)'= \frac12\sqrt{\frac BA} \left(\frac{B'}B-\frac{A'}A\right),

то

C=BA[A′′+A′r+A′2(B′B−A′A)]+B′r.\begin{aligned} \mathcal C={}& \frac BA\left[ A''+\frac{A'}r +\frac{A'}2 \left(\frac{B'}B-\frac{A'}A\right) \right]+\frac{B'}r. \end{aligned}

Раскрывая скобки, получаем

C=BA′′A+BrA′A+A′B′2A−B2A′2A2+B′r.\begin{aligned} \mathcal C={}& B\frac{A''}A +\frac Br\frac{A'}A +\frac{A'B'}{2A} -\frac{B}{2}\frac{A'^2}{A^2} +\frac{B'}r. \end{aligned}

Сравнив это с (30), обнаруживаем полезное тождество

C=B2D.(32)\boxed{\mathcal C=\frac B2\mathcal D.} \tag{32}

Оно позволит сократить логарифмические слагаемые в EC\mathcal E_C.

6.2. Стандартная часть EC\mathcal E_C

В (A4) при G4=1/2G_4=1/2, K=X−VK=X-V и отсутствии остальных функций остаётся

EC(0)=X−V−12C.\mathcal E_C^{(0)}=X-V-\frac12\mathcal C.

Подставляем определение C\mathcal C:

EC(0)=−B2φ′2−V−B2[A′′A−A′22A2+A′B′2AB+1r(A′A+B′B)].(33)\begin{aligned} \mathcal E_C^{(0)}={}& -\frac B2\varphi'^2-V\\ &-\frac B2\left[ \frac{A''}A-\frac{A'^2}{2A^2} +\frac{A'B'}{2AB} +\frac1r\left(\frac{A'}A+\frac{B'}B\right) \right]. \end{aligned} \tag{33}

Переходим к ν,λ\nu,\lambda:

A′′A−A′22A2=ν′′+12ν′2,\frac{A''}A-\frac{A'^2}{2A^2} =\nu''+\frac12\nu'^2, A′B′2AB=−12ν′λ′.\frac{A'B'}{2AB}=-\frac12\nu'\lambda'.

Следовательно,

EC(0)=−B2[ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)+φ′2+2eλV].(34)\boxed{ \mathcal E_C^{(0)} =-\frac B2 \left[ \nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right) (\nu'-\lambda') +\varphi'^2+2e^\lambda V \right]. } \tag{34}

Это стандартная часть углового уравнения Эйнштейна.

6.3. Члены, пропорциональные qq

Положим для краткости

α=2r+A′A,z=X′X.\alpha=\frac2r+\frac{A'}A, \qquad z=\frac{X'}X.

Подстановка производных G4G_4 и G5G_5 в (A4), с указанным исправлением коэффициента при G4XXG_{4XX}, даёт

EC(q)=4qX{−C(2−s)+BD(1−s2)−Bαz+Br[2z−rA′A(2r−z)]}.(35)\begin{aligned} \mathcal E_C^{(q)} =4qX\Bigg\{& -\mathcal C(2-s) +B\mathcal D\left(1-\frac s2\right)\\ &-B\alpha z +\frac Br\left[ 2z-r\frac{A'}A\left(\frac2r-z\right) \right] \Bigg\}. \end{aligned} \tag{35}

Рассмотрим первые два члена в фигурной скобке:

−C(2−s)+BD(1−s2).-\mathcal C(2-s) +B\mathcal D\left(1-\frac s2\right).

Используя C=BD/2\mathcal C=B\mathcal D/2, получаем

−BD2(2−s)+BD(1−s2)=−BD+BDs2+BD−BDs2=0.\begin{aligned} &-\frac{B\mathcal D}{2}(2-s) +B\mathcal D\left(1-\frac s2\right)\\ &=-B\mathcal D+\frac{B\mathcal D s}{2} +B\mathcal D-\frac{B\mathcal D s}{2}\\ &=0. \end{aligned}

Здесь снова исчезают все логарифмы.

Остаётся

EC(q)=4qXB[−(2r+A′A)z+2zr−A′A(2r−z)].\begin{aligned} \mathcal E_C^{(q)} =4qXB\Bigg[ &-\left(\frac2r+\frac{A'}A\right)z\\ &+\frac{2z}r -\frac{A'}A\left(\frac2r-z\right) \Bigg]. \end{aligned}

Раскрываем скобки:

−2zr−A′Az+2zr−2A′rA+A′Az=−2A′rA.-\frac{2z}r-\frac{A'}A z +\frac{2z}r-\frac{2A'}{rA}+\frac{A'}A z =-\frac{2A'}{rA}.

Поэтому

EC(q)=−8qBXrA′A.\mathcal E_C^{(q)} =-\frac{8qBX}{r}\frac{A'}A.

С учётом X=−Bφ′2/2X=-B\varphi'^2/2,

EC(q)=4qB2rA′Aφ′2.(36)\boxed{ \mathcal E_C^{(q)} =\frac{4qB^2}{r}\frac{A'}A\varphi'^2. } \tag{36}

6.4. Члены, пропорциональные pp

Теперь возьмём слагаемые с G5XG_{5X} и G5XXG_{5XX}.

После подстановки

XG5X=−4p,XX′G5XX=4pzXG_{5X}=-4p,\qquad XX'G_{5XX}=4pz

получаем

EC(p)=2B2pφ′r[2A′′A−A′2A2+A′A(2B′B+3z)]−4B2pφ′rA′Az.\begin{aligned} \mathcal E_C^{(p)} ={}&\frac{2B^2p\varphi'}r \left[ 2\frac{A''}A -\frac{A'^2}{A^2} +\frac{A'}A\left(2\frac{B'}B+3z\right) \right]\\ &-\frac{4B^2p\varphi'}r\frac{A'}A z. \end{aligned}

Выносим общий множитель:

EC(p)=2B2pφ′r[2A′′A−A′2A2+A′A(2B′B+z)].\begin{aligned} \mathcal E_C^{(p)} =\frac{2B^2p\varphi'}r \left[ 2\frac{A''}A-\frac{A'^2}{A^2} +\frac{A'}A\left(2\frac{B'}B+z\right) \right]. \end{aligned}

Используем

z=B′B+2φ′′φ′.z=\frac{B'}B+2\frac{\varphi''}{\varphi'}.

Тогда

EC(p)=2B2pr[(2A′′A−A′2A2+3A′AB′B)φ′+2A′Aφ′′].(37)\boxed{ \begin{aligned} \mathcal E_C^{(p)} =\frac{2B^2p}{r}\Bigg[ &\left( 2\frac{A''}A-\frac{A'^2}{A^2} +3\frac{A'}A\frac{B'}B \right)\varphi'\\ &+2\frac{A'}A\varphi'' \Bigg]. \end{aligned}} \tag{37}

6.5. Собираем полное уравнение

Складываем (34), (36) и (37):

EC=−B2[ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)+φ′2+2eλV]+4qB2rν′φ′2+2B2pr[(2ν′′+ν′2−3ν′λ′)φ′+2ν′φ′′].(38)\begin{aligned} \mathcal E_C={}& -\frac B2 \left[ \nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda') +\varphi'^2+2e^\lambda V \right]\\ &+\frac{4qB^2}{r}\nu'\varphi'^2\\ &+\frac{2B^2p}{r} \left[ (2\nu''+\nu'^2-3\nu'\lambda')\varphi' +2\nu'\varphi'' \right]. \end{aligned} \tag{38}

Здесь использовано

2A′′A−A′2A2+3A′AB′B=2ν′′+ν′2−3ν′λ′.2\frac{A''}A-\frac{A'^2}{A^2} +3\frac{A'}A\frac{B'}B =2\nu''+\nu'^2-3\nu'\lambda'.

Подставляем

p=−2ℓ2φ,q=−2ℓ2.p=-2\ell^2\varphi,\qquad q=-2\ell^2.

Получаем

EC=−B2[ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)+φ′2+2eλV]−8ℓ2B2rν′φ′2−4ℓ2B2r[(2ν′′+ν′2−3ν′λ′)φφ′+2ν′φφ′′].(39)\begin{aligned} \mathcal E_C={}& -\frac B2 \left[ \nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda') +\varphi'^2+2e^\lambda V \right]\\ &-\frac{8\ell^2B^2}{r}\nu'\varphi'^2\\ &-\frac{4\ell^2B^2}{r} \left[ (2\nu''+\nu'^2-3\nu'\lambda') \varphi\varphi' +2\nu'\varphi\varphi'' \right]. \end{aligned} \tag{39}

Теперь умножаем уравнение EC=0\mathcal E_C=0 на −2/B-2/B.

Первый член превращается в

ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)+φ′2+2eλV.\nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda') +\varphi'^2+2e^\lambda V.

Второй даёт

+16ℓ2Brν′φ′2.+\frac{16\ell^2B}{r}\nu'\varphi'^2.

Третий становится

8ℓ2Br[(2ν′′+ν′2−3ν′λ′)φφ′+2ν′φφ′′].\begin{aligned} \frac{8\ell^2B}{r}\Big[ &(2\nu''+\nu'^2-3\nu'\lambda') \varphi\varphi'\\ &+2\nu'\varphi\varphi'' \Big]. \end{aligned}

Объединяя последние два слагаемых и возвращаясь к B=e−λB=e^{-\lambda}, окончательно находим

0=ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)−8ℓ2e−λr(3ν′λ′−2ν′′−ν′2)φφ′+16ℓ2e−λrν′(φ′2+φφ′′)+φ′2+2eλV(φ).(40)\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda')\\ &-\frac{8\ell^2e^{-\lambda}}r \left(3\nu'\lambda'-2\nu''-\nu'^2\right) \varphi\varphi'\\ &+\frac{16\ell^2e^{-\lambda}}r \nu'\left(\varphi'^2+\varphi\varphi''\right)\\ &+\varphi'^2+2e^\lambda V(\varphi). \end{aligned}} \tag{40}

Это в точности уравнение (26) Бабичева.

Обратите внимание на появление комбинации

φ′2+φφ′′.\varphi'^2+\varphi\varphi''.

Она возникает потому, что

ddr(φφ′)=φ′2+φφ′′.\frac{d}{dr}(\varphi\varphi') =\varphi'^2+\varphi\varphi''.

Это не случайное сочетание производных, а непосредственное следствие квадратичной функции связи ξ=−ℓ2φ2\xi=-\ell^2\varphi^2.

7. Получение скалярного уравнения (27) из (A5), (A6) Кобаяши

Теперь получим четвёртое уравнение. Здесь нам понадобятся функции JJ и SS, определённые Кобаяши в (A5) и (A6).

7.1. Вычисление JJ

После обнуления G3G_3 и всех соответствующих производных G4G_4 исходное выражение (A5) принимает вид

J=φ′KX+2φ′(1−Br2−BrA′A)G4X−4Bφ′r(1r+A′A)XG4XX+1−3Br2A′AXG5X−2Br2A′AX2G5XX−2φ′(1−Br2−BrA′A)G5φ+2Bφ′r(1r+A′A)XG5φX.(41)\begin{aligned} J={}& \varphi'K_X\\ &+2\varphi' \left(\frac{1-B}{r^2}-\frac{B}{r}\frac{A'}A\right)G_{4X}\\ &-\frac{4B\varphi'}r \left(\frac1r+\frac{A'}A\right)XG_{4XX}\\ &+\frac{1-3B}{r^2}\frac{A'}A XG_{5X}\\ &-\frac{2B}{r^2}\frac{A'}A X^2G_{5XX}\\ &-2\varphi' \left(\frac{1-B}{r^2}-\frac{B}{r}\frac{A'}A\right)G_{5\varphi}\\ &+\frac{2B\varphi'}r \left(\frac1r+\frac{A'}A\right)XG_{5\varphi X}. \end{aligned} \tag{41}

Подставляем производные (19).

Сначала соберём вклады от G4XG_{4X} и G5φG_{5\varphi}:

2φ′(1−Br2−BrA′A)[4q(1−s)]−2φ′(1−Br2−BrA′A)(−4qs).\begin{aligned} &2\varphi' \left(\frac{1-B}{r^2}-\frac B r\frac{A'}A\right) \left[4q(1-s)\right]\\ &-2\varphi' \left(\frac{1-B}{r^2}-\frac B r\frac{A'}A\right)(-4qs). \end{aligned}

Логарифмы сокращаются, и сумма равна

8qφ′(1−Br2−BrA′A).8q\varphi' \left(\frac{1-B}{r^2}-\frac B r\frac{A'}A\right).

Вклады от G4XXG_{4XX} и G5φXG_{5\varphi X} дают

−4Bφ′r(1r+A′A)(−4q)+2Bφ′r(1r+A′A)(−4q)=8Bqφ′r(1r+A′A).\begin{aligned} &-\frac{4B\varphi'}r\left(\frac1r+\frac{A'}A\right)(-4q)\\ &+\frac{2B\varphi'}r\left(\frac1r+\frac{A'}A\right)(-4q)\\ &=\frac{8Bq\varphi'}r \left(\frac1r+\frac{A'}A\right). \end{aligned}

Суммируя оба результата,

J(q)=8qφ′(1−Br2−BrA′A)+8Bqφ′r(1r+A′A)=8qφ′r2.\begin{aligned} J^{(q)} ={}&8q\varphi' \left(\frac{1-B}{r^2}-\frac B r\frac{A'}A\right)\\ &+\frac{8Bq\varphi'}r \left(\frac1r+\frac{A'}A\right)\\ ={}&\frac{8q\varphi'}{r^2}. \end{aligned}

Теперь члены, содержащие pp:

J(p)=1−3Br2A′A(−4p)−2Br2A′A(4p)=4p(B−1)r2A′A.\begin{aligned} J^{(p)} ={}&\frac{1-3B}{r^2}\frac{A'}A(-4p)\\ &-\frac{2B}{r^2}\frac{A'}A(4p)\\ ={}&\frac{4p(B-1)}{r^2}\frac{A'}A. \end{aligned}

А из KX=1K_X=1 следует вклад φ′\varphi'.

В результате

J=φ′+8qr2φ′+4p(B−1)r2A′A.(42)\boxed{ J= \varphi' +\frac{8q}{r^2}\varphi' +\frac{4p(B-1)}{r^2}\frac{A'}A. } \tag{42}

Для квадратичной связи это

J=φ′−16ℓ2r2φ′−8ℓ2φ(B−1)r2ν′.(43)\boxed{ J=\varphi' -\frac{16\ell^2}{r^2}\varphi' -\frac{8\ell^2\varphi(B-1)}{r^2}\nu'. } \tag{43}

7.2. Вычисление SS

Теперь рассмотрим (A6).

При наших функциях Хорндески почти все члены обнуляются. Остаются

S=−Kφ−Bφ′r2(X′X+BA′A)XG5φX.S=-K_\varphi -\frac{B\varphi'}{r^2} \left( \frac{X'}X+B\frac{A'}A \right)XG_{5\varphi X}.

Поскольку

−Kφ=Vφ,XG5φX=−4q,-K_\varphi=V_\varphi,\qquad XG_{5\varphi X}=-4q,

получаем

S=Vφ+4qBφ′r2(X′X+BA′A).(44)\boxed{ S=V_\varphi+ \frac{4qB\varphi'}{r^2} \left( \frac{X'}X+B\frac{A'}A \right). } \tag{44}

Подставляем (10):

S=Vφ+4qBφ′r2(B′B+2φ′′φ′+BA′A).\begin{aligned} S={}&V_\varphi+ \frac{4qB\varphi'}{r^2} \left( \frac{B'}B+2\frac{\varphi''}{\varphi'} +B\frac{A'}A \right). \end{aligned}

То есть

S=Vφ+8qBr2φ′′+4qB′r2φ′+4qB2r2ν′φ′.(45)\boxed{ S=V_\varphi +\frac{8qB}{r^2}\varphi'' +\frac{4qB'}{r^2}\varphi' +\frac{4qB^2}{r^2}\nu'\varphi'. } \tag{45}

7.3. Подстановка в скалярное уравнение

Напомним (11):

Eφ=1r2BAddr(r2AB J)−S.\mathcal E_\varphi= \frac1{r^2}\sqrt{\frac BA} \frac{d}{dr} \left(r^2\sqrt{AB}\,J\right)-S.

Раскроем производную:

1r2BAddr(r2AB J)=BJ′+B(2r+12A′A+12B′B)J.\begin{aligned} &\frac1{r^2}\sqrt{\frac BA} \frac{d}{dr}\left(r^2\sqrt{AB}\,J\right)\\ &=BJ' +B\left( \frac2r+\frac12\frac{A'}A+\frac12\frac{B'}B \right)J. \end{aligned}

Поэтому

Eφ=B[J′+(2r+ν′−λ′2)J]−S.(46)\boxed{ \mathcal E_\varphi= B\left[ J'+ \left(\frac2r+\frac{\nu'-\lambda'}2\right)J \right]-S. } \tag{46}

Для краткости введём

P=2r+12(A′A+B′B).P=\frac2r+\frac12\left(\frac{A'}A+\frac{B'}B\right).

Тогда

Eφ=B(J′+PJ)−S.\mathcal E_\varphi=B(J'+PJ)-S.

Наша задача — подставить (42) и (45).

7.4. Сокращение членов с qq

Это самый содержательный этап вычисления.

Обозначим

Jq=8qφ′r2,Jp=4p(B−1)r2ν′.J_q=\frac{8q\varphi'}{r^2}, \qquad J_p=\frac{4p(B-1)}{r^2}\nu'.

Для квадратичной связи q=constq=\text{const}, но

dpdr=qφ′.(47)\frac{dp}{dr}=q\varphi'. \tag{47}

Вычислим производную JqJ_q:

Jq′=8qφ′′r2−16qφ′r3.J_q' =\frac{8q\varphi''}{r^2} -\frac{16q\varphi'}{r^3}.

Следовательно,

B(Jq′+PJq)=8qBr2φ′′−16qBr3φ′+8qBφ′r2(2r+ν′2+B′2B).\begin{aligned} B(J_q'+PJ_q) ={}&\frac{8qB}{r^2}\varphi'' -\frac{16qB}{r^3}\varphi'\\ &+\frac{8qB\varphi'}{r^2} \left( \frac2r+\frac{\nu'}2+\frac{B'}{2B} \right). \end{aligned}

Слагаемые с r−3r^{-3} сокращаются:

B(Jq′+PJq)=8qBr2φ′′+4qBr2ν′φ′+4qB′r2φ′.(48)\boxed{ B(J_q'+PJ_q)= \frac{8qB}{r^2}\varphi'' +\frac{4qB}{r^2}\nu'\varphi' +\frac{4qB'}{r^2}\varphi'. } \tag{48}

Но нужно учесть ещё производную pp, содержащуюся в JpJ_p.

Из p′=qφ′p'=q\varphi' возникает дополнительный член

BJp′∣p′=4qB(B−1)r2ν′φ′.(49)\left.BJ_p'\right|_{p'} = \frac{4qB(B-1)}{r^2}\nu'\varphi'. \tag{49}

Складывая (48) и (49), получаем полный вклад с qq:

[B(J′+PJ)]q=8qBr2φ′′+4qB′r2φ′+4qBr2ν′φ′+4qB(B−1)r2ν′φ′.\begin{aligned} \left[B(J'+PJ)\right]_q ={}&\frac{8qB}{r^2}\varphi'' +\frac{4qB'}{r^2}\varphi'\\ &+\frac{4qB}{r^2}\nu'\varphi' +\frac{4qB(B-1)}{r^2}\nu'\varphi'. \end{aligned}

Объединяем два последних слагаемых:

4qBr2ν′φ′+4qB(B−1)r2ν′φ′=4qB2r2ν′φ′.\frac{4qB}{r^2}\nu'\varphi' +\frac{4qB(B-1)}{r^2}\nu'\varphi' =\frac{4qB^2}{r^2}\nu'\varphi'.

Итак,

[B(J′+PJ)]q=8qBr2φ′′+4qB′r2φ′+4qB2r2ν′φ′.(50)\boxed{ \left[B(J'+PJ)\right]_q = \frac{8qB}{r^2}\varphi'' +\frac{4qB'}{r^2}\varphi' +\frac{4qB^2}{r^2}\nu'\varphi'. } \tag{50}

Сравним (50) с (45).

Они полностью совпадают с той частью SS, которая пропорциональна qq!

Следовательно,

[B(J′+PJ)−S]q=0.(51)\boxed{ \left[B(J'+PJ)-S\right]_q=0. } \tag{51}

Это принципиальный результат: все такие дополнительные члены взаимно сокращаются.

7.5. Оставшийся вклад от pp

Теперь считаем члены, содержащие pp, но не его радиальную производную, которую мы уже учли.

Из

Jp=4p(B−1)r2ν′J_p=\frac{4p(B-1)}{r^2}\nu'

получаем

Jp′∣p=const=4pr2[B′ν′+(B−1)ν′′−2(B−1)rν′].\begin{aligned} J_p'\big|_{p=\mathrm{const}} =\frac{4p}{r^2}\Big[ &B'\nu'+(B-1)\nu''\\ &-\frac{2(B-1)}r\nu' \Big]. \end{aligned}

Добавляем PJpPJ_p:

B(Jp′+PJp)∣p=4pBr2[B′ν′+(B−1)ν′′−2(B−1)rν′+(B−1)ν′(2r+ν′2+B′2B)].\begin{aligned} B(J_p'+PJ_p)\big|_p =\frac{4pB}{r^2}\Bigg[ &B'\nu'+(B-1)\nu''\\ &-\frac{2(B-1)}r\nu'\\ &+(B-1)\nu' \left(\frac2r+\frac{\nu'}2+\frac{B'}{2B}\right) \Bigg]. \end{aligned}

Сокращаем члены с 2/r2/r:

=4pBr2[(B−1)ν′′+12(B−1)ν′2+B′ν′+(B−1)B′2Bν′].\begin{aligned} =\frac{4pB}{r^2}\Bigg[ &(B-1)\nu'' +\frac12(B-1)\nu'^2\\ &+B'\nu' +\frac{(B-1)B'}{2B}\nu' \Bigg]. \end{aligned}

Последние два слагаемых объединяются:

B′ν′+(B−1)B′2Bν′=3B−12BB′ν′.B'\nu' +\frac{(B-1)B'}{2B}\nu' =\frac{3B-1}{2B}B'\nu'.

Следовательно,

[B(Jp′+PJp)]p=2pr2[B(B−1)(2ν′′+ν′2)+(3B−1)B′ν′].(52)\boxed{ \left[B(J_p'+PJ_p)\right]_p = \frac{2p}{r^2} \left[ B(B-1)(2\nu''+\nu'^2) +(3B-1)B'\nu' \right]. } \tag{52}

Теперь начинается самое интересное.

7.6. Откуда здесь появляется инвариант Гаусса–Бонне?

Для статической сферически-симметричной метрики (5) прямое вычисление кривизны даёт

G=2r2[B(B−1)(2ν′′+ν′2)+(3B−1)B′ν′].(53)\boxed{ \mathcal G= \frac2{r^2} \left[ B(B-1)(2\nu''+\nu'^2) +(3B-1)B'\nu' \right]. } \tag{53}

Сравните (52) и (53). Они отличаются только множителем p=ξφp=\xi_\varphi.

Таким образом,

[B(Jp′+PJp)]p=pG.\left[B(J_p'+PJ_p)\right]_p =p\mathcal G.

Следовательно, после всех сокращений полное скалярное уравнение принимает очень простой вид:

Eφ=B[φ′′+(2r+ν′−λ′2)φ′]−Vφ+ξφG=0.(54)\boxed{ \mathcal E_\varphi= B\left[ \varphi''+ \left(\frac2r+\frac{\nu'-\lambda'}2\right)\varphi' \right] -V_\varphi +\xi_\varphi\mathcal G=0. } \tag{54}

Это именно то скалярное уравнение, которое получается при непосредственной вариации исходного действия (1) по φ\varphi.

7.7. Приводим его к форме Бабичева

Подставляем

ξφ=−2ℓ2φ.\xi_\varphi=-2\ell^2\varphi.

Делим (54) на B=e−λB=e^{-\lambda}:

0=φ′′+(ν′−λ′2+2r)φ′−eλVφ−2ℓ2φeλG.(55)\begin{aligned} 0={}& \varphi''+ \left(\frac{\nu'-\lambda'}2+\frac2r\right)\varphi'\\ &-e^\lambda V_\varphi -2\ell^2\varphi e^\lambda\mathcal G. \end{aligned} \tag{55}

Теперь преобразуем G\mathcal G.

Из (53) с учётом B′=−Bλ′B'=-B\lambda' следует

G=2Br2[(B−1)(2ν′′+ν′2)−(3B−1)λ′ν′].\begin{aligned} \mathcal G={}& \frac{2B}{r^2} \left[ (B-1)(2\nu''+\nu'^2) -(3B-1)\lambda'\nu' \right]. \end{aligned}

Перегруппируем:

G=−4Br2[(1−B)(ν′′+ν′2−ν′λ′2)+Bν′λ′].(56)\begin{aligned} \mathcal G =-\frac{4B}{r^2}\Bigg[ &(1-B)\left( \nu''+\frac{\nu'^2-\nu'\lambda'}2 \right)\\ &+B\nu'\lambda' \Bigg]. \end{aligned} \tag{56}

Следовательно,

−2ℓ2φeλG=8ℓ2φr2[(1−B)(ν′′+ν′−λ′2ν′)+Bν′λ′].\begin{aligned} -2\ell^2\varphi e^\lambda\mathcal G =\frac{8\ell^2\varphi}{r^2}\Bigg[ &(1-B)\left( \nu''+\frac{\nu'-\lambda'}2\nu' \right)\\ &+B\nu'\lambda' \Bigg]. \end{aligned}

Возвращаем B=e−λB=e^{-\lambda}.

В результате

0=φ′′+(ν′−λ′2+2r)φ′+8ℓ2φr2[(1−e−λ)(ν′′+ν′−λ′2ν′)+e−λν′λ′]−eλVφ.(57)\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \varphi''+ \left( \frac{\nu'-\lambda'}2+\frac2r \right)\varphi'\\ &+\frac{8\ell^2\varphi}{r^2} \Bigg[ (1-e^{-\lambda}) \left( \nu''+\frac{\nu'-\lambda'}2\nu' \right)\\ &\hspace{4.5cm} +e^{-\lambda}\nu'\lambda' \Bigg]\\ &-e^\lambda V_\varphi. \end{aligned}} \tag{57}

Это в точности уравнение (27) Бабичева.

Тем самым получено и последнее из четырёх требуемых уравнений.

8. Почему формулы с логарифмами воспроизводят исходную теорию?

Полезно теперь понять сам механизм, а не только алгебраическое совпадение.

Уравнения Хорндески построены из нескольких частей, в каждой из которых могут встречаться довольно сложные функции XX, в том числе ln⁡∣X∣\ln|X|.

Однако сами физические уравнения зависят не от отдельных функций K,G3,G4,G5K,G_3,G_4,G_5, а от их определённых сочетаний.

Мы явно увидели, что после подстановки

G4=12+4qX(2−ln⁡∣X∣),G5=−4pln⁡∣X∣G_4=\frac12+4qX(2-\ln|X|), \qquad G_5=-4p\ln|X|

все логарифмические слагаемые сокращаются.

В результате вклад Гаусса–Бонне выражается только через ξφ\xi_\varphi, ξφφ\xi_{\varphi\varphi}, производные поля и метрических функций.

Есть ещё одна проверка, которая особенно наглядно демонстрирует топологическую природу инварианта Гаусса–Бонне.

8.1. Гаусс–Бонне как полная производная

Из (56), используя

−g=r2sin⁡θAB,\sqrt{-g}=r^2\sin\theta\sqrt{\frac AB},

можно получить тождество

−g G=−4sin⁡θ ddr[AB(1−B)A′A].(58)\boxed{ \sqrt{-g}\,\mathcal G = -4\sin\theta\, \frac{d}{dr} \left[ \sqrt{AB}(1-B)\frac{A'}A \right]. } \tag{58}

Проверим его.

Обозначим

Q(r)=AB(1−B)ν′.Q(r)=\sqrt{AB}(1-B)\nu'.

Тогда

Q′=AB[(1−B)ν′′+1−B2(ν′+B′B)ν′−B′ν′].\begin{aligned} Q'=\sqrt{AB}\Bigg[ &(1-B)\nu''\\ &+\frac{1-B}{2} \left(\nu'+\frac{B'}B\right)\nu'\\ &-B'\nu' \Bigg]. \end{aligned}

Объединяя члены с B′B',

Q′=AB[(1−B)(ν′′+ν′22)+1−3B2BB′ν′].Q'=\sqrt{AB} \left[ (1-B)\left(\nu''+\frac{\nu'^2}{2}\right) +\frac{1-3B}{2B}B'\nu' \right].

Умножение на −4sin⁡θ-4\sin\theta воспроизводит −gG\sqrt{-g}\mathcal G, заданный формулой (53).

Таким образом, (58) доказано.

8.2. Следствие для действия

Рассмотрим только член Гаусса–Бонне:

SGB=∫d4x−g ξ(φ)G.S_{\mathrm{GB}}= \int d^4x\sqrt{-g}\,\xi(\varphi)\mathcal G.

После интегрирования по угловым координатам

SGB=−16π∫dt dr ξ(φ)Q′(r).S_{\mathrm{GB}} =-16\pi\int dt\,dr\, \xi(\varphi)Q'(r).

Интегрируем по частям:

−ξQ′=−ddr(ξQ)+ξ′Q.-\xi Q'=-\frac{d}{dr}(\xi Q)+\xi'Q.

Отбрасывая граничный член, получаем

SGB≐16π∫dt dr ξ′Q,S_{\mathrm{GB}}\doteq 16\pi\int dt\,dr\,\xi'Q,

где ≐\doteq означает равенство с точностью до граничного члена.

Поскольку

ξ′=ξφφ′,\xi'=\xi_\varphi\varphi',

находим

SGB≐16π∫dt dr ξφφ′AB(1−B)A′A.(59)\boxed{ S_{\mathrm{GB}}\doteq 16\pi\int dt\,dr\, \xi_\varphi\varphi' \sqrt{AB}(1-B)\frac{A'}A. } \tag{59}

Это очень показательный результат.

В четырёх измерениях интеграл от G\mathcal G при постоянном коэффициенте связи является топологическим. Он не даёт локального вклада в уравнения движения.

Когда коэффициент зависит от φ\varphi, локальная динамика появляется через производные ξ(φ)\xi(\varphi).

Именно поэтому все окончательные уравнения содержат ξφ\xi_\varphi, ξφφ\xi_{\varphi\varphi}, но не требуют явно сохранять логарифмы.

При этом (59) — редуцированное действие на сферически-симметричном анзаце. Для вывода всех независимых метрических уравнений, особенно углового, необходимо сохранять достаточную свободу вариации метрики.

9. Важное замечание об опечатках в приложенных формулах

Это стоит выделить отдельно, потому что иначе при попытке получить точное совпадение вы можете потратить много времени на поиск несуществующей алгебраической ошибки.

9.1. Уравнение (24) Бабичева

В предоставленной версии arXiv:2207.03944v2 на стр. 8 напечатано слагаемое

16ℓ2(1−e−λ)r2φφ′.\frac{16\ell^2(1-e^{-\lambda})}{r^2} \varphi\varphi'.

Однако из формулы (A2) Кобаяши однозначно следует

16ℓ2(1−e−λ)r2(φφ′′+φ′2).(60)\boxed{ \frac{16\ell^2(1-e^{-\lambda})}{r^2} \left(\varphi\varphi''+\varphi'^2\right). } \tag{60}

Это не вопрос выбора представления Хорндески.

Есть три независимых основания считать запись Бабичева опечаткой:

  1. Подстановка корректных функций G4,G5G_4,G_5 в (A2) даёт именно (60).
  2. Непосредственная вариация члена ξ(φ)G\xi(\varphi)\mathcal G приводит к той же комбинации, поскольку d2ξ/dr2=−2ℓ2(φ′2+φφ′′)d^2\xi/dr^2=-2\ell^2(\varphi'^2+\varphi\varphi'').
  3. В уравнении (26) самого Бабичева та же комбинация φ′2+φφ′′\varphi'^2+\varphi\varphi'' присутствует явно.

Таким образом, буквально получить напечатанное (24) из корректных уравнений Хорндески нельзя. Для согласованной системы требуется указанное исправление.

Я не нашёл независимого официального подтверждения этого исправления в виде опубликованного erratum; это вывод из прямой математической проверки предоставленных формул.

9.2. Уравнение (A4) Кобаяши

При буквальной подстановке в (A4) приложения к статье 2014 года обнаруживается аналогичное расхождение.

Член

+2r(2r+A′A)XX′G4XX+2r\left(\frac2r+\frac{A'}A\right)XX'G_{4XX}

в предоставленном PDF, по результатам проверки, должен иметь коэффициент

+2B(2r+A′A)XX′G4XX.(61)\boxed{ +2B\left(\frac2r+\frac{A'}A\right)XX'G_{4XX}. } \tag{61}

Именно с этим коэффициентом исчезают лишние члены с X′X', после чего получается (36) и правильное угловое уравнение (40).

Это также следует рассматривать как диагностированную опечатку, а не как документально подтверждённое авторское исправление.

Практически это означает, что при использовании длинных универсальных уравнений (A2)–(A6) следует проверять их согласованность с исходным действием. В данном случае независимая геометрическая вариация служит надёжной проверкой.

10. Итоговая проверка всех четырёх уравнений

Соберём результаты в одном месте.

Начинаем с действия

S=∫d4x−g[R2+X−V(φ)−ℓ2φ2G].S=\int d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac R2+X-V(\varphi)-\ell^2\varphi^2\mathcal G \right].

Его функции Хорндески:

K=X−V(φ),G3=0,G4=12−8ℓ2X(2−ln⁡∣X∣),G5=8ℓ2φln⁡∣X∣.\boxed{ \begin{aligned} K&=X-V(\varphi),\\ G_3&=0,\\ G_4&=\frac12-8\ell^2X(2-\ln|X|),\\ G_5&=8\ell^2\varphi\ln|X|. \end{aligned}}

Используем

A=eν,B=e−λ,X=−12Bφ′2.A=e^\nu,\qquad B=e^{-\lambda}, \qquad X=-\frac12B\varphi'^2.

Тогда:

Уравнение (tt)(tt):

0=λ′r[1−8ℓ2r(1−3e−λ)φφ′]+eλ−1r2+16ℓ2(1−e−λ)r2(φφ′′+φ′2)−12φ′2−eλV.\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \frac{\lambda'}r \left[1-\frac{8\ell^2}{r} (1-3e^{-\lambda})\varphi\varphi'\right]\\ &+\frac{e^\lambda-1}{r^2} +\frac{16\ell^2(1-e^{-\lambda})}{r^2} (\varphi\varphi''+\varphi'^2)\\ &-\frac12\varphi'^2-e^\lambda V. \end{aligned}}

Совпадает с (24) после исправления указанного слагаемого.

Уравнение (rr)(rr):

0=ν′r[1−8ℓ2r(1−3e−λ)φφ′]−eλ−1r2−12φ′2+eλV.\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \frac{\nu'}r \left[1-\frac{8\ell^2}{r} (1-3e^{-\lambda})\varphi\varphi'\right]\\ &-\frac{e^\lambda-1}{r^2} -\frac12\varphi'^2+e^\lambda V. \end{aligned}}

Совпадает с (25).

Уравнение (θθ)(\theta\theta):

0=ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)−8ℓ2e−λr(3ν′λ′−2ν′′−ν′2)φφ′+16ℓ2e−λrν′(φ′2+φφ′′)+φ′2+2eλV.\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \nu''+\left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda')\\ &-\frac{8\ell^2e^{-\lambda}}r (3\nu'\lambda'-2\nu''-\nu'^2) \varphi\varphi'\\ &+\frac{16\ell^2e^{-\lambda}}r \nu'(\varphi'^2+\varphi\varphi'')\\ &+\varphi'^2+2e^\lambda V. \end{aligned}}

Совпадает с (26), с учётом отмеченного исправления (A4) в исходной формуле Кобаяши.

Скалярное уравнение:

0=φ′′+(ν′−λ′2+2r)φ′+8ℓ2φr2[(1−e−λ)(ν′′+ν′−λ′2ν′)+e−λν′λ′]−eλVφ.\boxed{ \begin{aligned} 0={}&\varphi'' +\left(\frac{\nu'-\lambda'}2+\frac2r\right)\varphi'\\ &+\frac{8\ell^2\varphi}{r^2} \left[ (1-e^{-\lambda}) \left(\nu''+\frac{\nu'-\lambda'}2\nu'\right) +e^{-\lambda}\nu'\lambda' \right]\\ &-e^\lambda V_\varphi. \end{aligned}}

Совпадает с (27).

Я также выполнил символическую проверку всех четырёх равенств: после подстановки функций Хорндески, преобразования переменных и указанных исправлений разность левой части каждого выведенного уравнения и соответствующей левой части уравнения Бабичева тождественно равна нулю.

Дополнительная физическая проверка

Для шварцшильдовского фона

eν=e−λ=1−rSre^\nu=e^{-\lambda}=1-\frac{r_S}{r}

из (53) получаем

G=12rS2r6=48M2r6,rS=2M.\mathcal G=\frac{12r_S^2}{r^6} =\frac{48M^2}{r^6}, \qquad r_S=2M.

Тогда скалярное уравнение можно записать как

Bφ′′+(B′+2Br)φ′−Vφ−24ℓ2rS2r6φ=0.B\varphi'' +\left(B'+\frac{2B}{r}\right)\varphi' -V_\varphi -\frac{24\ell^2r_S^2}{r^6}\varphi=0.

У горизонта r=rSr=r_S, где B=0B=0 и B′=1/rSB'=1/r_S, условие регулярности даёт

φS′−24ℓ2rS3φS−rSVφ(φS)=0.\boxed{ \varphi'_S -\frac{24\ell^2}{r_S^3}\varphi_S -r_SV_\varphi(\varphi_S)=0. }

Это совпадает с уравнением (13) статьи Бабичева в приближении пробного скалярного поля.

11. Что важно запомнить

Главное концептуальное различие состоит в следующем.

Неминимальная связь с RR:

f(φ)R⟺G4=f(φ),G3=G5=0,f(\varphi)R \quad\Longleftrightarrow\quad G_4=f(\varphi),\qquad G_3=G_5=0,

если не считать отдельно добавленных кинетического и потенциального членов.

Неминимальная связь с инвариантом Гаусса–Бонне:

ξ(φ)G⟺{KGB=8ξ(4)X2(3−ln⁡∣X∣),G3,GB=4ξ(3)X(7−3ln⁡∣X∣),G4,GB=4ξ(2)X(2−ln⁡∣X∣),G5,GB=−4ξ(1)ln⁡∣X∣.\xi(\varphi)\mathcal G \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} K_{\mathrm{GB}}=8\xi^{(4)}X^2(3-\ln|X|),\\ G_{3,\mathrm{GB}}=4\xi^{(3)}X(7-3\ln|X|),\\ G_{4,\mathrm{GB}}=4\xi^{(2)}X(2-\ln|X|),\\ G_{5,\mathrm{GB}}=-4\xi^{(1)}\ln|X|. \end{cases}

Для квадратичной связи ξ=−ℓ2φ2\xi=-\ell^2\varphi^2 функции KGBK_{\mathrm{GB}} и G3,GBG_{3,\mathrm{GB}} обращаются в нуль, но G4,GBG_{4,\mathrm{GB}} и G5,GBG_{5,\mathrm{GB}} остаются ненулевыми.

Логарифмы не означают наличия дополнительных физических степеней свободы: они относятся к выбранной форме записи лагранжиана. После объединения всех членов уравнений движения их явная зависимость от ln⁡∣X∣\ln|X| исчезает.

Поэтому для вашей задачи правильная последовательность такова: взять логарифмическое представление Гаусса–Бонне из работы Кобаяши 2011 года, добавить K=X−VK=X-V и G4=1/2G_4=1/2, затем подставить полный набор функций в уравнения (A2)–(A6) работы Кобаяши 2014 года и перейти к обозначениям Бабичева.

Результат: уравнения (25), (26), (27) воспроизводятся, а уравнение (24) в приложенной версии статьи Бабичева содержит расхождение, устраняемое заменой φφ′\varphi\varphi' на φφ′′+φ′2\varphi\varphi''+\varphi'^2. В приложенном (A4) Кобаяши также выявлено указанное выше несоответствие коэффициента при G4XXG_{4XX}.

Именно эти два места особенно важно учитывать, если вы хотите получить строгий алгебраический вывод, а не просто формальное сходство результатов.

Question

X ведь должен быть >0, чтобы LnX был определен. Можно ли везде заменить X на -X, тогда поменяются G_i и возможно знаки в уравнениях A2 - A6? Проведи расчеты в этом случае, уравнения так же сойдутся?

Réflexion

Проверяя преобразование знака

Я проверяю, что замена X→−XX\to -X согласуется не только с логарифмами, но и со всеми производными и уравнениями. Особенно важно отделить переобозначение переменной от изменения физической конвенции.

Проверил преобразование знака

Used pdfs skill

Réflexion

Refining the variable change

I’m distinguishing a genuine redefinition Y=−XY=-X from mechanically changing symbols. The transformed functions and derivatives must be updated together; otherwise, signs in the field equations can become inconsistent.

Verifying equation mappings

I’m checking each transformed term, including the scalar equation, while tracking X′X', second derivatives, and mixed derivatives. The sign changes appear consistent when every occurrence is rewritten through Y=−XY=-X.

Refined variable changes and verified equation mappings

Réflexion

Проверяя преобразование знака

Я проверяю, что замена X→−XX\to -X согласуется не только с логарифмами, но и со всеми производными и уравнениями. Особенно важно отделить переобозначение переменной от изменения физической конвенции.

Проверил преобразование знака

Réflexion

Preparing explicit equations

I’m now organizing the transformed equations in a compact notation, so each sign change can be checked directly rather than inferred from the original expressions.

Prepared explicit equations

Verified PDF calculations and transformed Horndeski equations, fixing scripts and Sympy updates

Worked for 2m 9s

Réponse

Замена X→−XX\to-X в теории Хорндески с Гауссом–Бонне

Да, можно перейти к положительной кинетической переменной и записать все логарифмы как ln⁡(−X)\ln(-X) или ln⁡Y\ln Y, где Y=−X>0Y=-X>0. При правильной замене переменных физические уравнения не изменятся, и мы снова получим уравнения Бабичева.
Но здесь нужно различать два способа преобразования:
  1. Оставить определение Кобаяши X=−12∇μφ∇μφX=-\frac12\nabla_\mu\varphi\nabla^\mu\varphi и заменить ln⁡X\ln X на ln⁡(−X)\ln(-X) в области X<0X<0. Тогда уравнения (A2)–(A6) менять не нужно.
  2. Ввести новую переменную Y=−X=+12∇μφ∇μφ>0Y=-X=+\frac12\nabla_\mu\varphi\nabla^\mu\varphi>0. Тогда функции K,G4,G5K,G_4,G_5 переписываются через YY, а производные по кинетической переменной в уравнениях Хорндески приобретают дополнительные знаки.
Рассмотрим оба способа и проверим результат.

1. Почему XX отрицателен в задаче Бабичева?

У Кобаяши используется определение
X=−12gμν∂μφ∂νφ.X=-\frac12g^{\mu\nu}\partial_\mu\varphi\partial_\nu\varphi.
Для статического скалярного поля φ=φ(r)\varphi=\varphi(r) и метрики
ds2=−A(r)dt2+dr2B(r)+r2dΩ2ds^2=-A(r)dt^2+\frac{dr^2}{B(r)}+r^2d\Omega^2
получаем
X=−12grr(φ′)2=−B2(φ′)2.X=-\frac12g^{rr}(\varphi')^2 =-\frac B2(\varphi')^2.
Вне горизонта чёрной дыры B>0B>0, поэтому
X<0(φ′≠0).\boxed{X<0\qquad(\varphi'\ne0).}
Таким образом, ваше замечание верно: вещественный ln⁡X\ln X в этой области не определён.
В первоначальной работе Generalized G-inflation формулы (A.7)–(A.10) применяются прежде всего к космологическому случаю φ=φ(t)\varphi=\varphi(t), когда градиент поля времениподобен и X=φ˙2/2>0X=\dot\varphi^2/2>0.
Для радиального поля необходимо аккуратно продолжить представление на область X<0X<0.

2. Первый способ: заменить ln⁡X\ln X на ln⁡(−X)\ln(-X)

В физической области X<0X<0
ln⁡(−X)=ln⁡∣X∣.\ln(-X)=\ln|X|.
Главное свойство этой функции:
∂∂Xln⁡(−X)=1−X(−1)=1X.\boxed{ \frac{\partial}{\partial X}\ln(-X) =\frac1{-X}(-1)=\frac1X. }
В частности,
d2dX2ln⁡(−X)=−1X2.\frac{d^2}{dX^2}\ln(-X)=-\frac1{X^2}.
То есть производные полностью совпадают с формальными производными ln⁡X\ln X.
Следовательно, если оставить прежнее определение XX, то все алгебраические сокращения, необходимые для восстановления связи с Гауссом–Бонне, сохраняются.
Для действия Бабичева
S=∫d4x−g[12R+X−V(φ)−ℓ2φ2G]S=\int d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac12R+X-V(\varphi) -\ell^2\varphi^2\mathcal G \right]
получаем
K(φ,X)=X−V(φ),G3(φ,X)=0,G4(φ,X)=12−8ℓ2X[2−ln⁡(−X)],G5(φ,X)=8ℓ2φln⁡(−X).(1)\boxed{ \begin{aligned} K(\varphi,X)&=X-V(\varphi),\\ G_3(\varphi,X)&=0,\\ G_4(\varphi,X)&= \frac12-8\ell^2X[2-\ln(-X)],\\ G_5(\varphi,X)&= 8\ell^2\varphi\ln(-X). \end{aligned}} \tag{1}
Здесь X<0X<0.
Можно проверить, например,
G4X=−8ℓ2∂∂X[X(2−ln⁡(−X))]=−8ℓ2[2−ln⁡(−X)−1]=−8ℓ2[1−ln⁡(−X)],\begin{aligned} G_{4X} &=-8\ell^2 \frac{\partial}{\partial X} \left[X(2-\ln(-X))\right]\\ &=-8\ell^2 \left[2-\ln(-X)-1\right]\\ &=\boxed{-8\ell^2[1-\ln(-X)]}, \end{aligned}
а также
G4XX=8ℓ2X,G5X=8ℓ2φX,G5XX=−8ℓ2φX2.\boxed{ G_{4XX}=\frac{8\ell^2}{X},\qquad G_{5X}=\frac{8\ell^2\varphi}{X},\qquad G_{5XX}=-\frac{8\ell^2\varphi}{X^2}. }
В этом варианте ни одно слагаемое в (A2)–(A6) не меняет знак дополнительно. Все знаки уже учитываются при вычислении производных и подстановке отрицательного XX.
Теперь рассмотрим более существенный случай: полную замену кинетической переменной.

3. Второй способ: вводим новую переменную Y=−X>0Y=-X>0

Определим
Y:=−X=12∇μφ∇μφ.(2)\boxed{ Y:=-X =\frac12\nabla_\mu\varphi\nabla^\mu\varphi. } \tag{2}
Для статического сферически-симметричного случая
Y=B2φ′2>0.(3)\boxed{ Y=\frac B2\varphi'^2>0. } \tag{3}
Чтобы не путать старые и новые функции, обозначим новые через K~,G~i\widetilde K,\widetilde G_i:
K~(φ,Y)=K(φ,−Y),G~i(φ,Y)=Gi(φ,−Y).\widetilde K(\varphi,Y)=K(\varphi,-Y), \qquad \widetilde G_i(\varphi,Y)=G_i(\varphi,-Y).
Для квадратичной связи с Гауссом–Бонне получаем
K~(φ,Y)=−Y−V(φ),G~3(φ,Y)=0,G~4(φ,Y)=12+8ℓ2Y(2−ln⁡Y),G~5(φ,Y)=8ℓ2φln⁡Y.(4)\boxed{ \begin{aligned} \widetilde K(\varphi,Y)&=-Y-V(\varphi),\\ \widetilde G_3(\varphi,Y)&=0,\\ \widetilde G_4(\varphi,Y)&= \frac12+8\ell^2Y(2-\ln Y),\\ \widetilde G_5(\varphi,Y)&= 8\ell^2\varphi\ln Y. \end{aligned}} \tag{4}
Обратите внимание на два изменения.
Во-первых, кинетическая часть теперь записана как
K~=−Y−V,\widetilde K=-Y-V,
а не Y−VY-V.
Действительно,
−12∇μφ∇μφ=−Y.-\frac12\nabla_\mu\varphi\nabla^\mu\varphi=-Y.
Во-вторых, перед YY в G~4\widetilde G_4 появился плюс:
−8ℓ2X(2−ln⁡(−X))→X=−Y+8ℓ2Y(2−ln⁡Y).-8\ell^2X(2-\ln(-X)) \quad\xrightarrow{X=-Y}\quad +8\ell^2Y(2-\ln Y).
А G~5\widetilde G_5 своего общего знака не меняет, поскольку в нём XX стоит только внутри логарифма.

3.1. Как изменяются производные?

Это главное правило всего вычисления.
Поскольку
Y=−X,∂Y∂X=−1,Y=-X, \qquad \frac{\partial Y}{\partial X}=-1,
по правилу дифференцирования сложной функции
GiX=∂G~i∂Y∂Y∂X=−G~iY.\begin{aligned} G_{iX} &=\frac{\partial \widetilde G_i}{\partial Y} \frac{\partial Y}{\partial X}\\ &=-\widetilde G_{iY}. \end{aligned}
Для второй производной
GiXX=∂∂X(−G~iY)=−G~iYY∂Y∂X=G~iYY.\begin{aligned} G_{iXX} &=\frac{\partial}{\partial X} \left(-\widetilde G_{iY}\right)\\ &=-\widetilde G_{iYY} \frac{\partial Y}{\partial X}\\ &=\widetilde G_{iYY}. \end{aligned}
Аналогично
GiφX=−G~iφY.G_{i\varphi X}=-\widetilde G_{i\varphi Y}.
Получаем общее правило:
∂m+nGi∂φm∂Xn=(−1)n∂m+nG~i∂φm∂Yn.(5)\boxed{ \frac{\partial^{m+n}G_i} {\partial\varphi^m\partial X^n} = (-1)^n \frac{\partial^{m+n}\widetilde G_i} {\partial\varphi^m\partial Y^n}. } \tag{5}
То есть знак меняется для нечётного числа производных по кинетической переменной.

3.2. Таблица замен для уравнений (A2)–(A6)

Выражение у КобаяшиПосле перехода к Y=−XY=-X
XX−Y-Y
X′X'−Y′-Y'
X′/XX'/XY′/YY'/Y
GiXG_{iX}−G~iY-\widetilde G_{iY}
GiXXG_{iXX}G~iYY\widetilde G_{iYY}
GiφXG_{i\varphi X}−G~iφY-\widetilde G_{i\varphi Y}
XGiXXG_{iX}YG~iYY\widetilde G_{iY}
X2GiXXX^2G_{iXX}Y2G~iYYY^2\widetilde G_{iYY}
XX′GiXXXX'G_{iXX}YY′G~iYYYY'\widetilde G_{iYY}
XGiφXG_{i\varphi}−YG~iφ-Y\widetilde G_{i\varphi}
XGiφXXG_{i\varphi X}YG~iφYY\widetilde G_{i\varphi Y}
X2GiφXX^2G_{i\varphi X}−Y2G~iφY-Y^2\widetilde G_{i\varphi Y}
Особенно важно последнее равенство. Нельзя считать, что каждый множитель X2X^2 сохраняет знак всего слагаемого: нужно учитывать также знак производной GiφXG_{i\varphi X}.

3.3. Меняется ли сам лагранжиан Хорндески?

Его форма через новые функции действительно меняется.
Обозначим
Q2=(□φ)2−(∇μ∇νφ)2Q_2=(\Box\varphi)^2 -(\nabla_\mu\nabla_\nu\varphi)^2
и
Q3=(□φ)3−3□φ(∇μ∇νφ)2+2(∇μ∇νφ)3.Q_3=(\Box\varphi)^3 -3\Box\varphi(\nabla_\mu\nabla_\nu\varphi)^2 +2(\nabla_\mu\nabla_\nu\varphi)^3.
В исходных обозначениях Кобаяши
L4=G4R+G4XQ2,\mathcal L_4=G_4R+G_{4X}Q_2,L5=G5Gμν∇μ∇νφ−16G5XQ3.\mathcal L_5= G_5G_{\mu\nu}\nabla^\mu\nabla^\nu\varphi -\frac16G_{5X}Q_3.
В переменной YY это становится
L~4=G~4R−G~4YQ2,(6)\boxed{ \widetilde{\mathcal L}_4 =\widetilde G_4R-\widetilde G_{4Y}Q_2, } \tag{6}L~5=G~5Gμν∇μ∇νφ+16G~5YQ3.(7)\boxed{ \widetilde{\mathcal L}_5 =\widetilde G_5G_{\mu\nu}\nabla^\mu\nabla^\nu\varphi +\frac16\widetilde G_{5Y}Q_3. } \tag{7}
Таким образом, знаки перед производными G4XG_{4X} и G5XG_{5X} в лагранжиане тоже меняются.
Это необходимо: мы переобозначили кинетическую переменную, а не изменили саму физическую теорию.
Если просто заменить XX на YY внутри функций, но оставить стандартные знаки перед G4YQ2G_{4Y}Q_2 и G5YQ3G_{5Y}Q_3, получится другое действие.

4. Вычисляем функции и производные через YY

Для компактности снова введём
p=ξφ=−2ℓ2φ,q=ξφφ=−2ℓ2.p=\xi_\varphi=-2\ell^2\varphi, \qquad q=\xi_{\varphi\varphi}=-2\ell^2.
Тогда (4) записывается как
K~=−Y−V,G~3=0,\widetilde K=-Y-V,\qquad \widetilde G_3=0,G~4=12−4qY(2−ln⁡Y),G~5=−4pln⁡Y.(8)\widetilde G_4=\frac12-4qY(2-\ln Y), \qquad \widetilde G_5=-4p\ln Y. \tag{8}
Теперь дифференцируем именно по YY.

4.1. Функция K~\widetilde K

K~Y=−1,K~φ=−Vφ.\boxed{ \widetilde K_Y=-1, \qquad \widetilde K_\varphi=-V_\varphi. }

4.2. Функция G~4\widetilde G_4

G~4Y=−4qddY[Y(2−ln⁡Y)]=−4q(1−ln⁡Y).\begin{aligned} \widetilde G_{4Y} &=-4q\frac{d}{dY}[Y(2-\ln Y)]\\ &=-4q(1-\ln Y). \end{aligned}
Поэтому
G~4Y=−4q(1−ln⁡Y),G~4YY=4qY.(9)\boxed{ \begin{aligned} \widetilde G_{4Y}&=-4q(1-\ln Y),\\ \widetilde G_{4YY}&=\frac{4q}{Y}. \end{aligned}} \tag{9}
В явном виде
G~4Y=8ℓ2(1−ln⁡Y),G~4YY=−8ℓ2Y.\widetilde G_{4Y}=8\ell^2(1-\ln Y), \qquad \widetilde G_{4YY}=-\frac{8\ell^2}{Y}.

4.3. Функция G~5\widetilde G_5

G~5Y=−4pY,G~5YY=4pY2,G~5φ=−4qln⁡Y,G~5φY=−4qY.(10)\begin{aligned} \widetilde G_{5Y} &=-\frac{4p}{Y},\\ \widetilde G_{5YY} &=\frac{4p}{Y^2},\\ \widetilde G_{5\varphi} &=-4q\ln Y,\\ \widetilde G_{5\varphi Y} &=-\frac{4q}{Y}. \end{aligned} \tag{10}
В явном виде
G~5Y=8ℓ2φY,G~5YY=−8ℓ2φY2,G~5φ=8ℓ2ln⁡Y,G~5φY=8ℓ2Y.\boxed{ \begin{aligned} \widetilde G_{5Y}&=\frac{8\ell^2\varphi}{Y},\\ \widetilde G_{5YY}&=-\frac{8\ell^2\varphi}{Y^2},\\ \widetilde G_{5\varphi}&=8\ell^2\ln Y,\\ \widetilde G_{5\varphi Y}&=\frac{8\ell^2}{Y}. \end{aligned}}
Теперь у нас есть полный набор функций для подстановки.

4.4. Производные YY по радиусу

Из
Y=B2φ′2Y=\frac B2\varphi'^2
следует
Y′=B′2φ′2+Bφ′φ′′.Y'=\frac{B'}2\varphi'^2+B\varphi'\varphi''.
Деля на YY, получаем
Y′Y=B′B+2φ′′φ′.(11)\boxed{ \frac{Y'}Y= \frac{B'}B+2\frac{\varphi''}{\varphi'}. } \tag{11}
Это совпадает с прежним отношением X′/XX'/X, потому что
X′X=−Y′−Y=Y′Y.\frac{X'}X =\frac{-Y'}{-Y} =\frac{Y'}Y.
Обозначим его через
z:=Y′Y.z:=\frac{Y'}Y.
В частности,
YG~4Y=−4qY(1−ln⁡Y),Y\widetilde G_{4Y} =-4qY(1-\ln Y),Y2G~4YY=4qY,Y^2\widetilde G_{4YY}=4qY,YG~5Y=−4p,Y\widetilde G_{5Y}=-4p,Y2G~5YY=4p,Y^2\widetilde G_{5YY}=4p,YG~5φY=−4q,Y2G~5φY=−4qY.(12)Y\widetilde G_{5\varphi Y}=-4q, \qquad Y^2\widetilde G_{5\varphi Y}=-4qY. \tag{12}
Эти простые комбинации — основа всех дальнейших сокращений.

5. Прямой расчёт (A2) в новой переменной YY

Покажем, что уравнения действительно сходятся, не ограничиваясь формальным утверждением об инвариантности замены.
Будем использовать обозначения
u=φ′,v=A′A=ν′,z=Y′Y.u=\varphi',\qquad v=\frac{A'}A=\nu', \qquad z=\frac{Y'}Y.

5.1. Преобразуем уравнение (A2)

После учёта G~3=0\widetilde G_3=0, G~4φ=0\widetilde G_{4\varphi}=0 и G~5φφ=0\widetilde G_{5\varphi\varphi}=0 формула (A2) Кобаяши переписывается так:
EA=K~+2r(1−Br−B′)G~4+4Br(1r+z+B′B)YG~4Y+8BrYY′G~4YY+Bur2[(1−3B)z−2B′]YG~5Y−2B2ur2YY′G~5YY+2r(1+Br+2Bz+B′)YG~5φ−4Br(1r−z)Y2G~5φY.(13)\begin{aligned} \mathcal E_A={}&\widetilde K +\frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)\widetilde G_4\\ &+\frac{4B}{r} \left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right) Y\widetilde G_{4Y}\\ &+\frac{8B}{r}YY'\widetilde G_{4YY}\\ &+\frac{Bu}{r^2}\left[(1-3B)z-2B'\right] Y\widetilde G_{5Y}\\ &-\frac{2B^2u}{r^2}YY'\widetilde G_{5YY}\\ &+\frac2r\left(\frac{1+B}{r}+2Bz+B'\right) Y\widetilde G_{5\varphi}\\ &-\frac{4B}{r}\left(\frac1r-z\right) Y^2\widetilde G_{5\varphi Y}. \end{aligned} \tag{13}
Сравните последние два слагаемых с исходной (A2): они приобрели противоположные знаки именно из-за преобразований
XG5φ=−YG~5φ,XG_{5\varphi}=-Y\widetilde G_{5\varphi},X2G5φX=−Y2G~5φY.X^2G_{5\varphi X} =-Y^2\widetilde G_{5\varphi Y}.

5.2. Подставляем производные функций

Сначала стандартная часть:
EA(0)=−Y−V+1r(1−Br−B′)=−B2u2−V+1−Br2−B′r.(14)\begin{aligned} \mathcal E_A^{(0)} &=-Y-V+ \frac1r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)\\ &=-\frac B2u^2-V+\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r. \end{aligned} \tag{14}
Теперь вклад, пропорциональный qq. Обозначим s=ln⁡Ys=\ln Y.
Прямая подстановка (8)–(12) в (13) даёт
EA(q)=−4qY{2r(1−Br−B′)(2−s)+4Br(1r+z+B′B)(1−s)−8Brz+2sr(1+Br+2Bz+B′)−4Br(1r−z)}.(15)\begin{aligned} \mathcal E_A^{(q)} =-4qY\Bigg\{& \frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)(2-s)\\ &+\frac{4B}{r} \left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)(1-s)\\ &-\frac{8B}{r}z\\ &+\frac{2s}{r} \left(\frac{1+B}{r}+2Bz+B'\right)\\ &-\frac{4B}{r}\left(\frac1r-z\right) \Bigg\}. \end{aligned} \tag{15}
Здесь логарифмические члены сокращаются.
Действительно, коэффициент при ss внутри фигурной скобки равен
Cs=−2r(1−Br−B′)−4Br(1r+z+B′B)+2r(1+Br+2Bz+B′)=0.\begin{aligned} C_s={}& -\frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)\\ &-\frac{4B}{r} \left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)\\ &+\frac2r\left(\frac{1+B}{r}+2Bz+B'\right)\\ ={}&0. \end{aligned}
Оставшиеся члены дают
C0=4r(1−Br−B′)+4Br(1r+z+B′B)−8Bzr−4Br(1r−z)=4(1−B)r2.\begin{aligned} C_0={}& \frac4r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right) +\frac{4B}{r}\left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)\\ &-\frac{8Bz}{r} -\frac{4B}{r}\left(\frac1r-z\right)\\ ={}&\frac{4(1-B)}{r^2}. \end{aligned}
Следовательно,
EA(q)=−16qY(1−B)r2=8qB(B−1)r2u2.(16)\begin{aligned} \mathcal E_A^{(q)} &=-\frac{16qY(1-B)}{r^2}\\ &=\boxed{\frac{8qB(B-1)}{r^2}u^2}. \end{aligned} \tag{16}
Теперь вклад pp:
EA(p)=−4pBur2[(1−3B)z−2B′]−8pB2ur2z.\begin{aligned} \mathcal E_A^{(p)} ={}&-\frac{4pBu}{r^2} \left[(1-3B)z-2B'\right]\\ &-\frac{8pB^2u}{r^2}z. \end{aligned}
Объединяем:
EA(p)=4pBur2[2B′−(1−B)z].\mathcal E_A^{(p)} =\frac{4pBu}{r^2} [2B'-(1-B)z].
Учитываем
z=B′B+2u′u.z=\frac{B'}B+2\frac{u'}u.
Тогда
EA(p)=4pr2[(3B−1)B′u+2B(B−1)u′].(17)\boxed{ \mathcal E_A^{(p)} =\frac{4p}{r^2} \left[(3B-1)B'u+2B(B-1)u'\right]. } \tag{17}

5.3. Итог (A2)

Складывая три части, получаем
EA=−Y−V+1−Br2−B′r+4pr2[(3B−1)B′u+2B(B−1)u′]+8qB(B−1)r2u2.(18)\boxed{ \begin{aligned} \mathcal E_A={}& -Y-V+\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r\\ &+\frac{4p}{r^2} \left[(3B-1)B'u+2B(B-1)u'\right]\\ &+\frac{8qB(B-1)}{r^2}u^2. \end{aligned}} \tag{18}
Здесь
Y=B2u2,p=−2ℓ2φ,q=−2ℓ2.Y=\frac B2u^2,\qquad p=-2\ell^2\varphi,\qquad q=-2\ell^2.
Таким образом, непосредственно в переменной Y>0Y>0 получаем
0=−B2φ′2−V+1−Br2−B′r−8ℓ2r2(3B−1)B′φφ′+16ℓ2B(1−B)r2(φφ′′+φ′2).(19)\begin{aligned} 0={}& -\frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r\\ &-\frac{8\ell^2}{r^2}(3B-1)B'\varphi\varphi'\\ &+\frac{16\ell^2B(1-B)}{r^2} (\varphi\varphi''+\varphi'^2). \end{aligned} \tag{19}
Заменяем B=e−λB=e^{-\lambda}, B′=−Bλ′B'=-B\lambda', делим на BB:
0=λ′r[1−8ℓ2r(1−3e−λ)φφ′]+eλ−1r2+16ℓ2(1−e−λ)r2(φφ′′+φ′2)−12φ′2−eλV.(20)\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \frac{\lambda'}r \left[ 1-\frac{8\ell^2}{r} (1-3e^{-\lambda})\varphi\varphi' \right]\\ &+\frac{e^\lambda-1}{r^2} +\frac{16\ell^2(1-e^{-\lambda})}{r^2} (\varphi\varphi''+\varphi'^2)\\ &-\frac12\varphi'^2-e^\lambda V. \end{aligned}} \tag{20}
Это тот же результат, который мы получили при использовании X<0X<0 и ln⁡(−X)\ln(-X).
Значит, изменение знака кинетической переменной не устраняет отмеченное ранее расхождение с напечатанной формулой (24) Бабичева: для согласованности с действием требуется комбинация φφ′′+φ′2\varphi\varphi''+\varphi'^2.

6. Проверка (A3) в переменной YY

Теперь проведём аналогичную подстановку для второго метрического уравнения.

6.1. Переписываем (A3)

После замены X=−YX=-Y формула принимает вид
EB=K~−2YK~Y+2r(1−Br−Bv)G~4−4r(1−2Br−2Bv)YG~4Y+8Br(1r+v)Y2G~4YY+Bur2(1−5B)vYG~5Y−2B2ur2vY2G~5YY−2r(1−3Br−3Bv)YG~5φ+4Br(1r+v)Y2G~5φY.(21)\begin{aligned} \mathcal E_B={}& \widetilde K-2Y\widetilde K_Y\\ &+\frac2r\left(\frac{1-B}{r}-Bv\right)\widetilde G_4\\ &-\frac4r\left(\frac{1-2B}{r}-2Bv\right) Y\widetilde G_{4Y}\\ &+\frac{8B}{r}\left(\frac1r+v\right) Y^2\widetilde G_{4YY}\\ &+\frac{Bu}{r^2}(1-5B)vY\widetilde G_{5Y}\\ &-\frac{2B^2u}{r^2}vY^2\widetilde G_{5YY}\\ &-\frac2r\left(\frac{1-3B}{r}-3Bv\right) Y\widetilde G_{5\varphi}\\ &+\frac{4B}{r}\left(\frac1r+v\right) Y^2\widetilde G_{5\varphi Y}. \end{aligned} \tag{21}

6.2. Стандартная часть

Используем
K~=−Y−V,K~Y=−1.\widetilde K=-Y-V,\qquad \widetilde K_Y=-1.
Получаем
K~−2YK~Y=−Y−V+2Y=Y−V.\begin{aligned} \widetilde K-2Y\widetilde K_Y &=-Y-V+2Y\\ &=Y-V. \end{aligned}
То есть
EB(0)=Y−V+1−Br2−Bvr.(22)\boxed{ \mathcal E_B^{(0)} =Y-V+\frac{1-B}{r^2}-\frac{Bv}{r}. } \tag{22}
Именно здесь особенно хорошо видно, почему нельзя сохранять K=Y−VK=Y-V: неверный знак дал бы неправильный кинетический вклад.

6.3. Вклад от qq

Для упрощения введём
M=1−Br−Bv,N=1−2Br−2Bv,M=\frac{1-B}{r}-Bv,\qquad N=\frac{1-2B}{r}-2Bv,P=1−3Br−3Bv.P=\frac{1-3B}{r}-3Bv.
Тогда подстановка производных G4,G5G_4,G_5 даёт
EB(q)=−4qY[2Mr(2−s)−4Nr(1−s)−4Br(1r+v)−2Psr].(23)\begin{aligned} \mathcal E_B^{(q)} =-4qY\Bigg[ &\frac{2M}{r}(2-s) -\frac{4N}{r}(1-s)\\ &-\frac{4B}{r}\left(\frac1r+v\right) -\frac{2Ps}{r} \Bigg]. \end{aligned} \tag{23}
Коэффициент при ss пропорционален
−2M+4N−2P.-2M+4N-2P.
Но
2N=M+P,2N=M+P,
поэтому
−2M+4N−2P=0.-2M+4N-2P=0.
Оставшаяся часть пропорциональна
4M−4N−4B(1r+v).4M-4N-4B\left(\frac1r+v\right).
Поскольку
M−N=B(1r+v),M-N=B\left(\frac1r+v\right),
эта часть тоже равна нулю.
Следовательно,
EB(q)=0.(24)\boxed{\mathcal E_B^{(q)}=0.} \tag{24}

6.4. Вклад от pp

В (21) остаются два члена:
EB(p)=−4pBur2(1−5B)v−8pB2ur2v.\begin{aligned} \mathcal E_B^{(p)} ={}&-\frac{4pBu}{r^2}(1-5B)v\\ &-\frac{8pB^2u}{r^2}v. \end{aligned}
Выносим общий множитель:
EB(p)=−4pBuvr2[(1−5B)+2B]=4pB(3B−1)r2uv.(25)\begin{aligned} \mathcal E_B^{(p)} &=-\frac{4pBuv}{r^2} [(1-5B)+2B]\\ &=\boxed{\frac{4pB(3B-1)}{r^2}uv}. \end{aligned} \tag{25}

6.5. Итог (A3)

Получаем
EB=Y−V+1−Br2−Bvr+4pB(3B−1)r2uv.(26)\boxed{ \mathcal E_B= Y-V+\frac{1-B}{r^2}-\frac{Bv}{r} +\frac{4pB(3B-1)}{r^2}uv. } \tag{26}
Подставляя Y=Bu2/2Y=Bu^2/2, v=ν′v=\nu', p=−2ℓ2φp=-2\ell^2\varphi, а затем умножая на −1/B-1/B, имеем
0=ν′r[1−8ℓ2r(1−3e−λ)φφ′]−eλ−1r2−12φ′2+eλV(φ).(27)\boxed{ \begin{aligned} 0={}&\frac{\nu'}r \left[ 1-\frac{8\ell^2}{r} (1-3e^{-\lambda})\varphi\varphi' \right]\\ &-\frac{e^\lambda-1}{r^2} -\frac12\varphi'^2 +e^\lambda V(\varphi). \end{aligned}} \tag{27}
Это точно совпадает с уравнением (25) Бабичева.
Итак, обе радиальные метрические компоненты получены уже в переменной Y>0Y>0, причём все явные логарифмы сократились.

7. Проверка углового уравнения (A4) в переменной YY

Для углового уравнения преобразование несколько сложнее.
Введём вспомогательные функции
C=1rBA(rBAA′)′+B′r\mathcal C= \frac1r\sqrt{\frac BA} \left(r\sqrt{\frac BA}A'\right)' +\frac{B'}r
и
D=−A′2A2+2B′rB+A′B′AB+2(A′+rA′′)rA.\mathcal D= -\frac{A'^2}{A^2} +\frac{2B'}{rB} +\frac{A'B'}{AB} +\frac{2(A'+rA'')}{rA}.
Они связаны тождеством
C=B2D.(28)\boxed{\mathcal C=\frac B2\mathcal D.} \tag{28}
Также обозначим
R=2A′′A−v2+v(2B′B+3z).\mathcal R= 2\frac{A''}A-v^2 +v\left(2\frac{B'}B+3z\right).

7.1. Формула (A4) после замены X=−YX=-Y

Учитывая ненулевые члены и применяя правила (5), получаем
EC=K~−CG~4+BYD(G~4Y+12G~5φ)+BY′(2r+v)(G~4Y+G~5φ)+2B(2r+v)YY′G~4YY−B2u2rR YG~5Y+Br[2z−rv(2r−z)]Y2G~5φY−B2uvrYY′G~5YY.(29)\begin{aligned} \mathcal E_C={}& \widetilde K-\mathcal C\widetilde G_4\\ &+BY\mathcal D \left( \widetilde G_{4Y} +\frac12\widetilde G_{5\varphi} \right)\\ &+BY'\left(\frac2r+v\right) \left( \widetilde G_{4Y}+\widetilde G_{5\varphi} \right)\\ &+2B\left(\frac2r+v\right) YY'\widetilde G_{4YY}\\ &-\frac{B^2u}{2r}\mathcal R\,Y\widetilde G_{5Y}\\ &+\frac Br \left[ 2z-rv\left(\frac2r-z\right) \right]Y^2\widetilde G_{5\varphi Y}\\ &-\frac{B^2uv}{r}YY'\widetilde G_{5YY}. \end{aligned} \tag{29}
Здесь я использую исправление коэффициента при G4XXG_{4XX}, о котором говорил в предыдущем ответе: 2B2B вместо напечатанного 2r2r. Важно не смешивать эту отдельную проблему исходной формулы с заменой кинетической переменной. Само преобразование X=−YX=-Y её не устраняет.

7.2. Вклад от qq

Подставляем производные (9), (10).
Сначала объединим все члены, пропорциональные qq:
EC(q)=4qY[C(2−s)−BD(1−s2)]+4qBY′(2r+v)−4qBYr[2z−rv(2r−z)].(30)\begin{aligned} \mathcal E_C^{(q)} ={}&4qY\left[ \mathcal C(2-s) -B\mathcal D\left(1-\frac s2\right) \right]\\ &+4qBY'\left(\frac2r+v\right)\\ &-\frac{4qBY}{r} \left[ 2z-rv\left(\frac2r-z\right) \right]. \end{aligned} \tag{30}
Теперь воспользуемся тождеством (28):
C(2−s)−BD(1−s2)=BD2(2−s)−BD(1−s2)=0.\begin{aligned} &\mathcal C(2-s) -B\mathcal D\left(1-\frac s2\right)\\ &=\frac{B\mathcal D}{2}(2-s) -B\mathcal D\left(1-\frac s2\right)\\ &=0. \end{aligned}
То есть логарифм снова исчезает.
Поскольку Y′=YzY'=Yz, оставшаяся часть (30) равна
EC(q)=4qBY[z(2r+v)−1r(2z−rv(2r−z))].\begin{aligned} \mathcal E_C^{(q)} =4qBY\Bigg[ &z\left(\frac2r+v\right)\\ &-\frac1r\left( 2z-rv\left(\frac2r-z\right) \right) \Bigg]. \end{aligned}
Раскрываем скобки:
2zr+vz−2zr+v(2r−z)=2vr.\begin{aligned} &\frac{2z}r+vz-\frac{2z}r +v\left(\frac2r-z\right)\\ &=\frac{2v}r. \end{aligned}
Следовательно,
EC(q)=8qBYvr.\mathcal E_C^{(q)} =\frac{8qBYv}{r}.
Подставляя Y=Bu2/2Y=Bu^2/2,
EC(q)=4qB2rvu2.(31)\boxed{ \mathcal E_C^{(q)} =\frac{4qB^2}{r}vu^2. } \tag{31}

7.3. Вклад от pp

Слагаемые с G~5Y\widetilde G_{5Y} и G~5YY\widetilde G_{5YY} дают
EC(p)=−B2u2rR(−4p)−B2uvrYY′(4pY2).\begin{aligned} \mathcal E_C^{(p)} ={}&-\frac{B^2u}{2r}\mathcal R \left(-4p\right)\\ &-\frac{B^2uv}{r}YY' \left(\frac{4p}{Y^2}\right). \end{aligned}
Отсюда
EC(p)=2pB2ur(R−2vz).\mathcal E_C^{(p)} =\frac{2pB^2u}{r}(\mathcal R-2vz).
Используем определение R\mathcal R:
R−2vz=2A′′A−v2+v(2B′B+z).\begin{aligned} \mathcal R-2vz ={}&2\frac{A''}A-v^2 +v\left(2\frac{B'}B+z\right). \end{aligned}
Далее
z=B′B+2u′u.z=\frac{B'}B+2\frac{u'}u.
Поэтому
R−2vz=2A′′A−v2+3vB′B+2vu′u.\mathcal R-2vz = 2\frac{A''}A-v^2 +3v\frac{B'}B +2v\frac{u'}u.
Получаем
EC(p)=2pB2r[(2A′′A−v2+3vB′B)u+2vu′].(32)\boxed{ \begin{aligned} \mathcal E_C^{(p)} =\frac{2pB^2}{r} \Bigg[ &\left( 2\frac{A''}A-v^2+3v\frac{B'}B \right)u\\ &+2vu' \Bigg]. \end{aligned}} \tag{32}

7.4. Стандартная часть

Оставшиеся слагаемые дают
EC(0)=−Y−V−12C.(33)\boxed{ \mathcal E_C^{(0)} =-Y-V-\frac12\mathcal C. } \tag{33}
С учётом Y=Bφ′2/2Y=B\varphi'^2/2 и перехода к метрическим функциям Бабичева это можно записать так:
EC(0)=−B2[ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)+φ′2+2VB].(34)\begin{aligned} \mathcal E_C^{(0)} =-\frac B2\Bigg[ &\nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda')\\ &+\varphi'^2+\frac{2V}{B} \Bigg]. \end{aligned} \tag{34}

7.5. Собираем результат

Теперь складываем (31)–(34). С учётом
A′′A=ν′′+ν′2,B′B=−λ′\frac{A''}A=\nu''+\nu'^2,\qquad \frac{B'}B=-\lambda'
получаем
EC=−B2[ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)+φ′2+2VB]+4qB2rν′φ′2+2pB2r[(2ν′′+ν′2−3ν′λ′)φ′+2ν′φ′′].(35)\begin{aligned} \mathcal E_C={}& -\frac B2 \left[ \nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda') +\varphi'^2+\frac{2V}{B} \right]\\ &+\frac{4qB^2}{r}\nu'\varphi'^2\\ &+\frac{2pB^2}{r} \left[ (2\nu''+\nu'^2-3\nu'\lambda')\varphi' +2\nu'\varphi'' \right]. \end{aligned} \tag{35}
Теперь ставим p=−2ℓ2φp=-2\ell^2\varphi, q=−2ℓ2q=-2\ell^2 и умножаем на −2/B-2/B.
Окончательно
0=ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)−8ℓ2e−λr(3ν′λ′−2ν′′−ν′2)φφ′+16ℓ2e−λrν′(φ′2+φφ′′)+φ′2+2eλV(φ).(36)\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda')\\ &-\frac{8\ell^2e^{-\lambda}}r (3\nu'\lambda'-2\nu''-\nu'^2) \varphi\varphi'\\ &+\frac{16\ell^2e^{-\lambda}}r \nu'(\varphi'^2+\varphi\varphi'')\\ &+\varphi'^2+2e^\lambda V(\varphi). \end{aligned}} \tag{36}
Это уравнение (26) Бабичева.
Таким образом, даже после полного перехода к Y=−X>0Y=-X>0 угловое уравнение совпадает с прежним результатом.

8. Проверка скалярного уравнения: преобразование (A5) и (A6)

Теперь осталось проверить самое важное с точки зрения физических знаков: уравнение движения скалярного поля.
У Кобаяши оно имеет вид
Eφ=1r2BAddr(r2AB J)−S=0.(37)\mathcal E_\varphi= \frac1{r^2}\sqrt{\frac BA} \frac{d}{dr}\left(r^2\sqrt{AB}\,J\right)-S=0. \tag{37}
Поэтому нужно отдельно преобразовать JJ и SS.

8.1. Функция JJ после перехода к YY

Введём
F=1−Br2−Bvr.F=\frac{1-B}{r^2}-\frac{Bv}{r}.
Применяя правила замены (5) к формуле (A5) Кобаяши, получаем
J=−uK~Y−2uFG~4Y+4Bur(1r+v)YG~4YY+1−3Br2vYG~5Y−2Bvr2Y2G~5YY−2uFG~5φ+2Bur(1r+v)YG~5φY.(38)\begin{aligned} J={}&-u\widetilde K_Y -2uF\widetilde G_{4Y}\\ &+\frac{4Bu}{r}\left(\frac1r+v\right) Y\widetilde G_{4YY}\\ &+\frac{1-3B}{r^2}vY\widetilde G_{5Y}\\ &-\frac{2Bv}{r^2}Y^2\widetilde G_{5YY}\\ &-2uF\widetilde G_{5\varphi}\\ &+\frac{2Bu}{r}\left(\frac1r+v\right) Y\widetilde G_{5\varphi Y}. \end{aligned} \tag{38}
Подставляем функции.
Из K~Y=−1\widetilde K_Y=-1
J(0)=u.J^{(0)}=u.
Члены, содержащие qq, равны
J(q)=8quF(1−s)+16qBur(1r+v)+8quFs−8qBur(1r+v).\begin{aligned} J^{(q)} ={}&8quF(1-s) +\frac{16qBu}{r}\left(\frac1r+v\right)\\ &+8quFs -\frac{8qBu}{r}\left(\frac1r+v\right). \end{aligned}
Сокращаем логарифмы:
J(q)=8quF+8qBur(1r+v)=8qu[1−Br2−Bvr+Br2+Bvr]=8qur2.(39)\begin{aligned} J^{(q)} &=8quF+\frac{8qBu}{r}\left(\frac1r+v\right)\\ &=8qu\left[ \frac{1-B}{r^2}-\frac{Bv}{r} +\frac{B}{r^2}+\frac{Bv}{r} \right]\\ &=\boxed{\frac{8qu}{r^2}}. \end{aligned} \tag{39}
А члены с pp дают
J(p)=−4p(1−3B)r2v−8pBr2v=4p(B−1)r2v.(40)\begin{aligned} J^{(p)} &=-\frac{4p(1-3B)}{r^2}v -\frac{8pB}{r^2}v\\ &=\boxed{\frac{4p(B-1)}{r^2}v}. \end{aligned} \tag{40}
Следовательно,
J=u+8qr2u+4p(B−1)r2v.(41)\boxed{ J=u+\frac{8q}{r^2}u +\frac{4p(B-1)}{r^2}v. } \tag{41}
Именно тот же JJ получился у нас в исходной переменной XX.

8.2. Функция SS в переменной YY

В (A6) после обнуления всех ненужных членов остаётся
S=−K~φ−Bur2(z+Bv)YG~5φY.(42)S=-\widetilde K_\varphi -\frac{Bu}{r^2} \left(z+Bv\right) Y\widetilde G_{5\varphi Y}. \tag{42}
Подставляем
K~φ=−Vφ,YG~5φY=−4q.\widetilde K_\varphi=-V_\varphi,\qquad Y\widetilde G_{5\varphi Y}=-4q.
Тогда
S=Vφ+4qBur2(z+Bv).S=V_\varphi+ \frac{4qBu}{r^2}(z+Bv).
Используем
z=B′B+2u′u.z=\frac{B'}B+2\frac{u'}u.
Следовательно,
S=Vφ+8qBr2u′+4qB′r2u+4qB2vr2u.(43)\boxed{ S=V_\varphi +\frac{8qB}{r^2}u' +\frac{4qB'}{r^2}u +\frac{4qB^2v}{r^2}u. } \tag{43}
Итак, оба выражения — JJ и SS — после замены кинетической переменной полностью совпадают с исходными результатами.

8.3. Подстановка JJ и SS в скалярное уравнение

Теперь окончательно проверим уравнение (37).
Раскроем радиальную производную:
Eφ=1r2BAddr(r2AB J)−S=B[J′+(2r+A′2A+B′2B)J]−S.\begin{aligned} \mathcal E_\varphi &=\frac1{r^2}\sqrt{\frac BA} \frac{d}{dr}(r^2\sqrt{AB}\,J)-S\\ &=B\left[ J'+\left(\frac2r+\frac{A'}{2A}+\frac{B'}{2B}\right)J \right]-S. \end{aligned}
Введём
P=2r+12(v+B′B).P=\frac2r+\frac12\left(v+\frac{B'}B\right).
Тогда
Eφ=B(J′+PJ)−S.(44)\boxed{\mathcal E_\varphi=B(J'+PJ)-S.} \tag{44}
Напомним, что
J=u+8qur2+4p(B−1)vr2,J=u+\frac{8qu}{r^2}+\frac{4p(B-1)v}{r^2},S=Vφ+8qBr2u′+4qB′r2u+4qB2vr2u.S=V_\varphi+\frac{8qB}{r^2}u' +\frac{4qB'}{r^2}u+\frac{4qB^2v}{r^2}u.
При дифференцировании важно помнить:
dpdr=qφ′=qu,dqdr=0.\frac{dp}{dr}=q\varphi'=qu,\qquad \frac{dq}{dr}=0.
Разделим результат на части.
Обычная кинетическая часть:
B(u′+Pu)−Vφ.(45)B(u'+Pu)-V_\varphi. \tag{45}
Члены с qq:
Дифференцируя 8qu/r28qu/r^2, получаем
B[(8qur2)′+P8qur2]=8qBr2u′+4qBvr2u+4qB′r2u.(46)\begin{aligned} B\left[ \left(\frac{8qu}{r^2}\right)' +P\frac{8qu}{r^2} \right] ={}&\frac{8qB}{r^2}u'\\ &+\frac{4qBv}{r^2}u +\frac{4qB'}{r^2}u. \end{aligned} \tag{46}
Кроме того, при дифференцировании pp в последнем члене JJ возникает
4B(B−1)vr2p′=4qB(B−1)vr2u.(47)\frac{4B(B-1)v}{r^2}p' =\frac{4qB(B-1)v}{r^2}u. \tag{47}
Сложим (46) и (47):
[B(J′+PJ)]q=8qBr2u′+4qB′r2u+4qB2vr2u.(48)\begin{aligned} \left[B(J'+PJ)\right]_q ={}&\frac{8qB}{r^2}u' +\frac{4qB'}{r^2}u\\ &+\frac{4qB^2v}{r^2}u. \end{aligned} \tag{48}
Это в точности qq-зависимая часть SS. Поэтому
[Eφ]q=0.(49)\boxed{\left[\mathcal E_\varphi\right]_q=0.} \tag{49}
Остаются только члены с pp, когда при дифференцировании pp считается постоянным:
[B(J′+PJ)]p=4pBr2[(B−1)v′+B′v+B−12v(v+B′B)].(50)\begin{aligned} \left[B(J'+PJ)\right]_p =\frac{4pB}{r^2}\Bigg[ &(B-1)v'+B'v\\ &+\frac{B-1}{2}v \left(v+\frac{B'}B\right) \Bigg]. \end{aligned} \tag{50}
После приведения подобных слагаемых
[B(J′+PJ)]p=2pr2[B(B−1)(2v′+v2)+(3B−1)B′v].(51)\boxed{ \left[B(J'+PJ)\right]_p =\frac{2p}{r^2} \left[ B(B-1)(2v'+v^2) +(3B-1)B'v \right]. } \tag{51}
Здесь v′=ν′′v'=\nu''.
Теперь сравним с инвариантом Гаусса–Бонне для нашей метрики:
G=2r2[B(B−1)(2ν′′+ν′2)+(3B−1)B′ν′].(52)\boxed{ \mathcal G= \frac2{r^2} \left[ B(B-1)(2\nu''+\nu'^2) +(3B-1)B'\nu' \right]. } \tag{52}
Таким образом, выражение (51) равно просто pGp\mathcal G.
И полное скалярное уравнение принимает вид
Eφ=B[φ′′+(2r+ν′−λ′2)φ′]−Vφ+pG=0.(53)\boxed{ \mathcal E_\varphi= B\left[ \varphi''+ \left(\frac2r+\frac{\nu'-\lambda'}2\right)\varphi' \right] -V_\varphi +p\mathcal G=0. } \tag{53}
С учётом p=ξφ=−2ℓ2φp=\xi_\varphi=-2\ell^2\varphi
□φ−Vφ−2ℓ2φG=0.(54)\boxed{ \Box\varphi-V_\varphi-2\ell^2\varphi\mathcal G=0. } \tag{54}
Это в точности уравнение, следующее из непосредственной вариации действия Бабичева по скалярному полю.

8.4. Получаем окончательную формулу Бабичева

Подставим B=e−λB=e^{-\lambda} в (52).
Инвариант Гаусса–Бонне можно представить следующим образом:
G=−4e−λr2[(1−e−λ)(ν′′+ν′(ν′−λ′)2)+e−λν′λ′].(55)\boxed{ \begin{aligned} \mathcal G=-\frac{4e^{-\lambda}}{r^2} \Bigg[ &(1-e^{-\lambda}) \left( \nu''+\frac{\nu'(\nu'-\lambda')}{2} \right)\\ &+e^{-\lambda}\nu'\lambda' \Bigg]. \end{aligned}} \tag{55}
Делим (53) на B=e−λB=e^{-\lambda}, заменяем pp и используем (55).
Получаем
0=φ′′+(ν′−λ′2+2r)φ′+8ℓ2φr2[(1−e−λ)(ν′′+ν′(ν′−λ′)2)+e−λν′λ′]−eλVφ.(56)\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \varphi''+ \left(\frac{\nu'-\lambda'}2+\frac2r\right)\varphi'\\ &+\frac{8\ell^2\varphi}{r^2} \Bigg[ (1-e^{-\lambda}) \left( \nu''+\frac{\nu'(\nu'-\lambda')}{2} \right)\\ &\hspace{3.5cm}+e^{-\lambda}\nu'\lambda' \Bigg]\\ &-e^\lambda V_\varphi. \end{aligned}} \tag{56}
Это в точности уравнение (27) Бабичева. 2207.03944v2.pdf L439-L452
Итак, все необходимые вычисления повторены с новой положительной кинетической переменной YY, а результаты совпали с предыдущим выводом.

9. Символьная проверка: совпадают ли действительно все четыре уравнения?

Помимо аналитических преобразований, я проверил равенства символьно с помощью SymPy.
Для этого я независимо записал ненулевые члены (A2)–(A6) в переменной YY, подставил производные G~i\widetilde G_i, а затем сравнил полученные выражения с результатами в исходной переменной XX.
Для всех пяти величин получилось
EA(Y)−EA(X)=0,EB(Y)−EB(X)=0,EC(Y)−EC(X)=0,J(Y)−J(X)=0,S(Y)−S(X)=0.(57)\boxed{ \begin{aligned} \mathcal E_A^{(Y)}-\mathcal E_A^{(X)}&=0,\\ \mathcal E_B^{(Y)}-\mathcal E_B^{(X)}&=0,\\ \mathcal E_C^{(Y)}-\mathcal E_C^{(X)}&=0,\\ J^{(Y)}-J^{(X)}&=0,\\ S^{(Y)}-S^{(X)}&=0. \end{aligned}} \tag{57}
Затем я сравнил уравнения в переменной YY с уравнениями Бабичева после перехода к A=eνA=e^\nu, B=e−λB=e^{-\lambda}.
ПроверкаРезультат
EA(Y)/B−B24corr\mathcal E_A^{(Y)}/B-\mathcal B_{24}^{\mathrm{corr}}00
−EB(Y)/B−B25-\mathcal E_B^{(Y)}/B-\mathcal B_{25}00
−2EC(Y)/B−B26-2\mathcal E_C^{(Y)}/B-\mathcal B_{26}00
Eφ(Y)/B−B27\mathcal E_\varphi^{(Y)}/B-\mathcal B_{27}00
Здесь B24corr\mathcal B_{24}^{\mathrm{corr}} означает уравнение (24) с исправлением, указанным выше. Для углового уравнения использована также отмеченная поправка к коэффициенту в (A4).
То есть после этих исправлений проверка не просто даёт похожие выражения — разность каждой пары левых частей тождественно равна нулю.

10. Два дополнительных замечания о математической корректности

10.1. Что происходит в точках Y=0Y=0?

Это действительно важный вопрос для чёрных дыр.
Поскольку
Y=B2φ′2,Y=\frac B2\varphi'^2,
возможна ситуация
Y⟶0Y\longrightarrow0
при r→rSr\to r_S, где rSr_S — радиус горизонта.
При этом
ln⁡Y⟶−∞.\ln Y\longrightarrow-\infty.
Следовательно, отдельные функции Хорндески и некоторые их производные становятся сингулярными.
Однако отсюда не следует сингулярность исходной теории Гаусса–Бонне.
Мы уже непосредственно продемонстрировали, что все логарифмы и отрицательные степени YY сокращаются в окончательных фоновых уравнениях.
Например,
YG~5Y=−4pY\widetilde G_{5Y}=-4p
остаётся конечным при Y→0Y\to0, хотя сама производная G~5Y=−4p/Y\widetilde G_{5Y}=-4p/Y расходится.
Также
Y2G~5YY=4pY^2\widetilde G_{5YY}=4p
остаётся конечным.
Поэтому при Y=0Y=0 правильная процедура состоит в том, чтобы сначала упростить полные уравнения в области Y>0Y>0, а затем исследовать их предел. В самой точке Y=0Y=0 нельзя без дополнительных оговорок подставлять сингулярные функции в промежуточные формулы Хорндески.
Особенно удобно использовать первоначальную форму действия
S=∫−g[R2−Y−V−ℓ2φ2G]d4x,S=\int\sqrt{-g} \left[\frac R2-Y-V-\ell^2\varphi^2\mathcal G\right]d^4x,
в которой никаких логарифмов вообще нет.

10.2. Логарифм размерной величины

Есть ещё один технический момент.
Строго говоря, аргумент логарифма должен быть безразмерным, поэтому корректнее писать
ln⁡(YY0),\ln\left(\frac{Y}{Y_0}\right),
где Y0>0Y_0>0 — фиксированная величина той же размерности, что и YY.
В научной литературе запись ln⁡Y\ln Y часто подразумевает именно такой выбор единиц.
Для нашей модели изменение Y0Y_0 не изменяет уравнения движения. Это можно непосредственно проверить: при сдвиге логарифма на константу соответствующие изменения G~4\widetilde G_4 и G~5\widetilde G_5 взаимно сокращаются в действии с точностью до полной дивергенции.
Таким образом, появление произвольного масштаба внутри логарифма не означает введения нового физического параметра в исходную теорию.

11. Окончательный ответ

В вашем вопросе есть два уровня преобразования, которые важно не смешивать.
Если используется кинетическая переменная Кобаяши
X=−12(∇φ)2,X=-\frac12(\nabla\varphi)^2,
то для статического радиального поля можно непосредственно работать с ln⁡(−X)\ln(-X). В этом случае (A2)–(A6) остаются без изменений, а функции Хорндески задаются формулой (1).
Если же вы хотите определять кинетическую переменную как положительную величину
Y=12(∇φ)2,Y=\frac12(\nabla\varphi)^2,
то правильный набор функций имеет вид
K~=−Y−V(φ),G~3=0,G~4=12+8ℓ2Y(2−ln⁡Y),G~5=8ℓ2φln⁡Y.\boxed{ \begin{aligned} \widetilde K&=-Y-V(\varphi),\\ \widetilde G_3&=0,\\ \widetilde G_4&=\frac12+8\ell^2Y(2-\ln Y),\\ \widetilde G_5&=8\ell^2\varphi\ln Y. \end{aligned}}
При этом в уравнениях (A2)–(A6) следует менять не только X→−YX\to-Y, но и все производные:
GiX=−G~iY,GiXX=G~iYY,GiφX=−G~iφY.\boxed{ G_{iX}=-\widetilde G_{iY},\qquad G_{iXX}=\widetilde G_{iYY},\qquad G_{i\varphi X}=-\widetilde G_{i\varphi Y}. }
После этого оба представления приводят к одним и тем же уравнениям движения.
Результат расчёта: уравнения Бабичева (25), (26) и (27) воспроизводятся точно; (24) воспроизводится с ранее выявленным исправлением. Для получения (26) из приложения Кобаяши также требуется отмеченное исправление коэффициента в (A4). Эти расхождения связаны с напечатанными формулами, а не с отрицательным знаком XX.
Для дальнейших аналитических вычислений я бы рекомендовал оставить стандартное определение Кобаяши X=−12(∇φ)2X=-\frac12(\nabla\varphi)^2 и использовать ln⁡(−X)\ln(-X) в области X<0X<0. Так будет проще сравнивать результаты с литературой и не придётся каждый раз переписывать все универсальные уравнения Хорндески.
Но если в вашей работе принято определение Y=+12(∇φ)2Y=+\frac12(\nabla\varphi)^2, оно совершенно допустимо — приведённый расчёт показывает, как выполнить переход без ошибок в знаках.
Text version

Замена X→−XX\to-X в теории Хорндески с Гауссом–Бонне

Да, можно перейти к положительной кинетической переменной и записать все логарифмы как ln⁡(−X)\ln(-X) или ln⁡Y\ln Y, где Y=−X>0Y=-X>0. При правильной замене переменных физические уравнения не изменятся, и мы снова получим уравнения Бабичева.

Но здесь нужно различать два способа преобразования:

  1. Оставить определение Кобаяши X=−12∇μφ∇μφX=-\frac12\nabla_\mu\varphi\nabla^\mu\varphi и заменить ln⁡X\ln X на ln⁡(−X)\ln(-X) в области X<0X<0. Тогда уравнения (A2)–(A6) менять не нужно.
  2. Ввести новую переменную Y=−X=+12∇μφ∇μφ>0Y=-X=+\frac12\nabla_\mu\varphi\nabla^\mu\varphi>0. Тогда функции K,G4,G5K,G_4,G_5 переписываются через YY, а производные по кинетической переменной в уравнениях Хорндески приобретают дополнительные знаки.

Рассмотрим оба способа и проверим результат.

1. Почему XX отрицателен в задаче Бабичева?

У Кобаяши используется определение

X=−12gμν∂μφ∂νφ.X=-\frac12g^{\mu\nu}\partial_\mu\varphi\partial_\nu\varphi.

Для статического скалярного поля φ=φ(r)\varphi=\varphi(r) и метрики

ds2=−A(r)dt2+dr2B(r)+r2dΩ2ds^2=-A(r)dt^2+\frac{dr^2}{B(r)}+r^2d\Omega^2

получаем

X=−12grr(φ′)2=−B2(φ′)2.X=-\frac12g^{rr}(\varphi')^2 =-\frac B2(\varphi')^2.

Вне горизонта чёрной дыры B>0B>0, поэтому

X<0(φ′≠0).\boxed{X<0\qquad(\varphi'\ne0).}

Таким образом, ваше замечание верно: вещественный ln⁡X\ln X в этой области не определён.

В первоначальной работе Generalized G-inflation формулы (A.7)–(A.10) применяются прежде всего к космологическому случаю φ=φ(t)\varphi=\varphi(t), когда градиент поля времениподобен и X=φ˙2/2>0X=\dot\varphi^2/2>0.

Для радиального поля необходимо аккуратно продолжить представление на область X<0X<0.

2. Первый способ: заменить ln⁡X\ln X на ln⁡(−X)\ln(-X)

В физической области X<0X<0

ln⁡(−X)=ln⁡∣X∣.\ln(-X)=\ln|X|.

Главное свойство этой функции:

∂∂Xln⁡(−X)=1−X(−1)=1X.\boxed{ \frac{\partial}{\partial X}\ln(-X) =\frac1{-X}(-1)=\frac1X. }

В частности,

d2dX2ln⁡(−X)=−1X2.\frac{d^2}{dX^2}\ln(-X)=-\frac1{X^2}.

То есть производные полностью совпадают с формальными производными ln⁡X\ln X.

Следовательно, если оставить прежнее определение XX, то все алгебраические сокращения, необходимые для восстановления связи с Гауссом–Бонне, сохраняются.

Для действия Бабичева

S=∫d4x−g[12R+X−V(φ)−ℓ2φ2G]S=\int d^4x\sqrt{-g} \left[ \frac12R+X-V(\varphi) -\ell^2\varphi^2\mathcal G \right]

получаем

K(φ,X)=X−V(φ),G3(φ,X)=0,G4(φ,X)=12−8ℓ2X[2−ln⁡(−X)],G5(φ,X)=8ℓ2φln⁡(−X).(1)\boxed{ \begin{aligned} K(\varphi,X)&=X-V(\varphi),\\ G_3(\varphi,X)&=0,\\ G_4(\varphi,X)&= \frac12-8\ell^2X[2-\ln(-X)],\\ G_5(\varphi,X)&= 8\ell^2\varphi\ln(-X). \end{aligned}} \tag{1}

Здесь X<0X<0.

Можно проверить, например,

G4X=−8ℓ2∂∂X[X(2−ln⁡(−X))]=−8ℓ2[2−ln⁡(−X)−1]=−8ℓ2[1−ln⁡(−X)],\begin{aligned} G_{4X} &=-8\ell^2 \frac{\partial}{\partial X} \left[X(2-\ln(-X))\right]\\ &=-8\ell^2 \left[2-\ln(-X)-1\right]\\ &=\boxed{-8\ell^2[1-\ln(-X)]}, \end{aligned}

а также

G4XX=8ℓ2X,G5X=8ℓ2φX,G5XX=−8ℓ2φX2.\boxed{ G_{4XX}=\frac{8\ell^2}{X},\qquad G_{5X}=\frac{8\ell^2\varphi}{X},\qquad G_{5XX}=-\frac{8\ell^2\varphi}{X^2}. }

В этом варианте ни одно слагаемое в (A2)–(A6) не меняет знак дополнительно. Все знаки уже учитываются при вычислении производных и подстановке отрицательного XX.

Теперь рассмотрим более существенный случай: полную замену кинетической переменной.

3. Второй способ: вводим новую переменную Y=−X>0Y=-X>0

Определим

Y:=−X=12∇μφ∇μφ.(2)\boxed{ Y:=-X =\frac12\nabla_\mu\varphi\nabla^\mu\varphi. } \tag{2}

Для статического сферически-симметричного случая

Y=B2φ′2>0.(3)\boxed{ Y=\frac B2\varphi'^2>0. } \tag{3}

Чтобы не путать старые и новые функции, обозначим новые через K~,G~i\widetilde K,\widetilde G_i:

K~(φ,Y)=K(φ,−Y),G~i(φ,Y)=Gi(φ,−Y).\widetilde K(\varphi,Y)=K(\varphi,-Y), \qquad \widetilde G_i(\varphi,Y)=G_i(\varphi,-Y).

Для квадратичной связи с Гауссом–Бонне получаем

K~(φ,Y)=−Y−V(φ),G~3(φ,Y)=0,G~4(φ,Y)=12+8ℓ2Y(2−ln⁡Y),G~5(φ,Y)=8ℓ2φln⁡Y.(4)\boxed{ \begin{aligned} \widetilde K(\varphi,Y)&=-Y-V(\varphi),\\ \widetilde G_3(\varphi,Y)&=0,\\ \widetilde G_4(\varphi,Y)&= \frac12+8\ell^2Y(2-\ln Y),\\ \widetilde G_5(\varphi,Y)&= 8\ell^2\varphi\ln Y. \end{aligned}} \tag{4}

Обратите внимание на два изменения.

Во-первых, кинетическая часть теперь записана как

K~=−Y−V,\widetilde K=-Y-V,

а не Y−VY-V.

Действительно,

−12∇μφ∇μφ=−Y.-\frac12\nabla_\mu\varphi\nabla^\mu\varphi=-Y.

Во-вторых, перед YY в G~4\widetilde G_4 появился плюс:

−8ℓ2X(2−ln⁡(−X))→X=−Y+8ℓ2Y(2−ln⁡Y).-8\ell^2X(2-\ln(-X)) \quad\xrightarrow{X=-Y}\quad +8\ell^2Y(2-\ln Y).

А G~5\widetilde G_5 своего общего знака не меняет, поскольку в нём XX стоит только внутри логарифма.

3.1. Как изменяются производные?

Это главное правило всего вычисления.

Поскольку

Y=−X,∂Y∂X=−1,Y=-X, \qquad \frac{\partial Y}{\partial X}=-1,

по правилу дифференцирования сложной функции

GiX=∂G~i∂Y∂Y∂X=−G~iY.\begin{aligned} G_{iX} &=\frac{\partial \widetilde G_i}{\partial Y} \frac{\partial Y}{\partial X}\\ &=-\widetilde G_{iY}. \end{aligned}

Для второй производной

GiXX=∂∂X(−G~iY)=−G~iYY∂Y∂X=G~iYY.\begin{aligned} G_{iXX} &=\frac{\partial}{\partial X} \left(-\widetilde G_{iY}\right)\\ &=-\widetilde G_{iYY} \frac{\partial Y}{\partial X}\\ &=\widetilde G_{iYY}. \end{aligned}

Аналогично

GiφX=−G~iφY.G_{i\varphi X}=-\widetilde G_{i\varphi Y}.

Получаем общее правило:

∂m+nGi∂φm∂Xn=(−1)n∂m+nG~i∂φm∂Yn.(5)\boxed{ \frac{\partial^{m+n}G_i} {\partial\varphi^m\partial X^n} = (-1)^n \frac{\partial^{m+n}\widetilde G_i} {\partial\varphi^m\partial Y^n}. } \tag{5}

То есть знак меняется для нечётного числа производных по кинетической переменной.

3.2. Таблица замен для уравнений (A2)–(A6)

Выражение у КобаяшиПосле перехода к Y=−XY=-X
XX−Y-Y
X′X'−Y′-Y'
X′/XX'/XY′/YY'/Y
GiXG_{iX}−G~iY-\widetilde G_{iY}
GiXXG_{iXX}G~iYY\widetilde G_{iYY}
GiφXG_{i\varphi X}−G~iφY-\widetilde G_{i\varphi Y}
XGiXXG_{iX}YG~iYY\widetilde G_{iY}
X2GiXXX^2G_{iXX}Y2G~iYYY^2\widetilde G_{iYY}
XX′GiXXXX'G_{iXX}YY′G~iYYYY'\widetilde G_{iYY}
XGiφXG_{i\varphi}−YG~iφ-Y\widetilde G_{i\varphi}
XGiφXXG_{i\varphi X}YG~iφYY\widetilde G_{i\varphi Y}
X2GiφXX^2G_{i\varphi X}−Y2G~iφY-Y^2\widetilde G_{i\varphi Y}

Особенно важно последнее равенство. Нельзя считать, что каждый множитель X2X^2 сохраняет знак всего слагаемого: нужно учитывать также знак производной GiφXG_{i\varphi X}.

3.3. Меняется ли сам лагранжиан Хорндески?

Его форма через новые функции действительно меняется.

Обозначим

Q2=(□φ)2−(∇μ∇νφ)2Q_2=(\Box\varphi)^2 -(\nabla_\mu\nabla_\nu\varphi)^2

и

Q3=(□φ)3−3□φ(∇μ∇νφ)2+2(∇μ∇νφ)3.Q_3=(\Box\varphi)^3 -3\Box\varphi(\nabla_\mu\nabla_\nu\varphi)^2 +2(\nabla_\mu\nabla_\nu\varphi)^3.

В исходных обозначениях Кобаяши

L4=G4R+G4XQ2,\mathcal L_4=G_4R+G_{4X}Q_2, L5=G5Gμν∇μ∇νφ−16G5XQ3.\mathcal L_5= G_5G_{\mu\nu}\nabla^\mu\nabla^\nu\varphi -\frac16G_{5X}Q_3.

В переменной YY это становится

L~4=G~4R−G~4YQ2,(6)\boxed{ \widetilde{\mathcal L}_4 =\widetilde G_4R-\widetilde G_{4Y}Q_2, } \tag{6} L~5=G~5Gμν∇μ∇νφ+16G~5YQ3.(7)\boxed{ \widetilde{\mathcal L}_5 =\widetilde G_5G_{\mu\nu}\nabla^\mu\nabla^\nu\varphi +\frac16\widetilde G_{5Y}Q_3. } \tag{7}

Таким образом, знаки перед производными G4XG_{4X} и G5XG_{5X} в лагранжиане тоже меняются.

Это необходимо: мы переобозначили кинетическую переменную, а не изменили саму физическую теорию.

Если просто заменить XX на YY внутри функций, но оставить стандартные знаки перед G4YQ2G_{4Y}Q_2 и G5YQ3G_{5Y}Q_3, получится другое действие.

4. Вычисляем функции и производные через YY

Для компактности снова введём

p=ξφ=−2ℓ2φ,q=ξφφ=−2ℓ2.p=\xi_\varphi=-2\ell^2\varphi, \qquad q=\xi_{\varphi\varphi}=-2\ell^2.

Тогда (4) записывается как

K~=−Y−V,G~3=0,\widetilde K=-Y-V,\qquad \widetilde G_3=0, G~4=12−4qY(2−ln⁡Y),G~5=−4pln⁡Y.(8)\widetilde G_4=\frac12-4qY(2-\ln Y), \qquad \widetilde G_5=-4p\ln Y. \tag{8}

Теперь дифференцируем именно по YY.

4.1. Функция K~\widetilde K

K~Y=−1,K~φ=−Vφ.\boxed{ \widetilde K_Y=-1, \qquad \widetilde K_\varphi=-V_\varphi. }

4.2. Функция G~4\widetilde G_4

G~4Y=−4qddY[Y(2−ln⁡Y)]=−4q(1−ln⁡Y).\begin{aligned} \widetilde G_{4Y} &=-4q\frac{d}{dY}[Y(2-\ln Y)]\\ &=-4q(1-\ln Y). \end{aligned}

Поэтому

G~4Y=−4q(1−ln⁡Y),G~4YY=4qY.(9)\boxed{ \begin{aligned} \widetilde G_{4Y}&=-4q(1-\ln Y),\\ \widetilde G_{4YY}&=\frac{4q}{Y}. \end{aligned}} \tag{9}

В явном виде

G~4Y=8ℓ2(1−ln⁡Y),G~4YY=−8ℓ2Y.\widetilde G_{4Y}=8\ell^2(1-\ln Y), \qquad \widetilde G_{4YY}=-\frac{8\ell^2}{Y}.

4.3. Функция G~5\widetilde G_5

G~5Y=−4pY,G~5YY=4pY2,G~5φ=−4qln⁡Y,G~5φY=−4qY.(10)\begin{aligned} \widetilde G_{5Y} &=-\frac{4p}{Y},\\ \widetilde G_{5YY} &=\frac{4p}{Y^2},\\ \widetilde G_{5\varphi} &=-4q\ln Y,\\ \widetilde G_{5\varphi Y} &=-\frac{4q}{Y}. \end{aligned} \tag{10}

В явном виде

G~5Y=8ℓ2φY,G~5YY=−8ℓ2φY2,G~5φ=8ℓ2ln⁡Y,G~5φY=8ℓ2Y.\boxed{ \begin{aligned} \widetilde G_{5Y}&=\frac{8\ell^2\varphi}{Y},\\ \widetilde G_{5YY}&=-\frac{8\ell^2\varphi}{Y^2},\\ \widetilde G_{5\varphi}&=8\ell^2\ln Y,\\ \widetilde G_{5\varphi Y}&=\frac{8\ell^2}{Y}. \end{aligned}}

Теперь у нас есть полный набор функций для подстановки.

4.4. Производные YY по радиусу

Из

Y=B2φ′2Y=\frac B2\varphi'^2

следует

Y′=B′2φ′2+Bφ′φ′′.Y'=\frac{B'}2\varphi'^2+B\varphi'\varphi''.

Деля на YY, получаем

Y′Y=B′B+2φ′′φ′.(11)\boxed{ \frac{Y'}Y= \frac{B'}B+2\frac{\varphi''}{\varphi'}. } \tag{11}

Это совпадает с прежним отношением X′/XX'/X, потому что

X′X=−Y′−Y=Y′Y.\frac{X'}X =\frac{-Y'}{-Y} =\frac{Y'}Y.

Обозначим его через

z:=Y′Y.z:=\frac{Y'}Y.

В частности,

YG~4Y=−4qY(1−ln⁡Y),Y\widetilde G_{4Y} =-4qY(1-\ln Y), Y2G~4YY=4qY,Y^2\widetilde G_{4YY}=4qY, YG~5Y=−4p,Y\widetilde G_{5Y}=-4p, Y2G~5YY=4p,Y^2\widetilde G_{5YY}=4p, YG~5φY=−4q,Y2G~5φY=−4qY.(12)Y\widetilde G_{5\varphi Y}=-4q, \qquad Y^2\widetilde G_{5\varphi Y}=-4qY. \tag{12}

Эти простые комбинации — основа всех дальнейших сокращений.

5. Прямой расчёт (A2) в новой переменной YY

Покажем, что уравнения действительно сходятся, не ограничиваясь формальным утверждением об инвариантности замены.

Будем использовать обозначения

u=φ′,v=A′A=ν′,z=Y′Y.u=\varphi',\qquad v=\frac{A'}A=\nu', \qquad z=\frac{Y'}Y.

5.1. Преобразуем уравнение (A2)

После учёта G~3=0\widetilde G_3=0, G~4φ=0\widetilde G_{4\varphi}=0 и G~5φφ=0\widetilde G_{5\varphi\varphi}=0 формула (A2) Кобаяши переписывается так:

EA=K~+2r(1−Br−B′)G~4+4Br(1r+z+B′B)YG~4Y+8BrYY′G~4YY+Bur2[(1−3B)z−2B′]YG~5Y−2B2ur2YY′G~5YY+2r(1+Br+2Bz+B′)YG~5φ−4Br(1r−z)Y2G~5φY.(13)\begin{aligned} \mathcal E_A={}&\widetilde K +\frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)\widetilde G_4\\ &+\frac{4B}{r} \left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right) Y\widetilde G_{4Y}\\ &+\frac{8B}{r}YY'\widetilde G_{4YY}\\ &+\frac{Bu}{r^2}\left[(1-3B)z-2B'\right] Y\widetilde G_{5Y}\\ &-\frac{2B^2u}{r^2}YY'\widetilde G_{5YY}\\ &+\frac2r\left(\frac{1+B}{r}+2Bz+B'\right) Y\widetilde G_{5\varphi}\\ &-\frac{4B}{r}\left(\frac1r-z\right) Y^2\widetilde G_{5\varphi Y}. \end{aligned} \tag{13}

Сравните последние два слагаемых с исходной (A2): они приобрели противоположные знаки именно из-за преобразований

XG5φ=−YG~5φ,XG_{5\varphi}=-Y\widetilde G_{5\varphi}, X2G5φX=−Y2G~5φY.X^2G_{5\varphi X} =-Y^2\widetilde G_{5\varphi Y}.

5.2. Подставляем производные функций

Сначала стандартная часть:

EA(0)=−Y−V+1r(1−Br−B′)=−B2u2−V+1−Br2−B′r.(14)\begin{aligned} \mathcal E_A^{(0)} &=-Y-V+ \frac1r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)\\ &=-\frac B2u^2-V+\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r. \end{aligned} \tag{14}

Теперь вклад, пропорциональный qq. Обозначим s=ln⁡Ys=\ln Y.

Прямая подстановка (8)–(12) в (13) даёт

EA(q)=−4qY{2r(1−Br−B′)(2−s)+4Br(1r+z+B′B)(1−s)−8Brz+2sr(1+Br+2Bz+B′)−4Br(1r−z)}.(15)\begin{aligned} \mathcal E_A^{(q)} =-4qY\Bigg\{& \frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)(2-s)\\ &+\frac{4B}{r} \left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)(1-s)\\ &-\frac{8B}{r}z\\ &+\frac{2s}{r} \left(\frac{1+B}{r}+2Bz+B'\right)\\ &-\frac{4B}{r}\left(\frac1r-z\right) \Bigg\}. \end{aligned} \tag{15}

Здесь логарифмические члены сокращаются.

Действительно, коэффициент при ss внутри фигурной скобки равен

Cs=−2r(1−Br−B′)−4Br(1r+z+B′B)+2r(1+Br+2Bz+B′)=0.\begin{aligned} C_s={}& -\frac2r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right)\\ &-\frac{4B}{r} \left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)\\ &+\frac2r\left(\frac{1+B}{r}+2Bz+B'\right)\\ ={}&0. \end{aligned}

Оставшиеся члены дают

C0=4r(1−Br−B′)+4Br(1r+z+B′B)−8Bzr−4Br(1r−z)=4(1−B)r2.\begin{aligned} C_0={}& \frac4r\left(\frac{1-B}{r}-B'\right) +\frac{4B}{r}\left(\frac1r+z+\frac{B'}B\right)\\ &-\frac{8Bz}{r} -\frac{4B}{r}\left(\frac1r-z\right)\\ ={}&\frac{4(1-B)}{r^2}. \end{aligned}

Следовательно,

EA(q)=−16qY(1−B)r2=8qB(B−1)r2u2.(16)\begin{aligned} \mathcal E_A^{(q)} &=-\frac{16qY(1-B)}{r^2}\\ &=\boxed{\frac{8qB(B-1)}{r^2}u^2}. \end{aligned} \tag{16}

Теперь вклад pp:

EA(p)=−4pBur2[(1−3B)z−2B′]−8pB2ur2z.\begin{aligned} \mathcal E_A^{(p)} ={}&-\frac{4pBu}{r^2} \left[(1-3B)z-2B'\right]\\ &-\frac{8pB^2u}{r^2}z. \end{aligned}

Объединяем:

EA(p)=4pBur2[2B′−(1−B)z].\mathcal E_A^{(p)} =\frac{4pBu}{r^2} [2B'-(1-B)z].

Учитываем

z=B′B+2u′u.z=\frac{B'}B+2\frac{u'}u.

Тогда

EA(p)=4pr2[(3B−1)B′u+2B(B−1)u′].(17)\boxed{ \mathcal E_A^{(p)} =\frac{4p}{r^2} \left[(3B-1)B'u+2B(B-1)u'\right]. } \tag{17}

5.3. Итог (A2)

Складывая три части, получаем

EA=−Y−V+1−Br2−B′r+4pr2[(3B−1)B′u+2B(B−1)u′]+8qB(B−1)r2u2.(18)\boxed{ \begin{aligned} \mathcal E_A={}& -Y-V+\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r\\ &+\frac{4p}{r^2} \left[(3B-1)B'u+2B(B-1)u'\right]\\ &+\frac{8qB(B-1)}{r^2}u^2. \end{aligned}} \tag{18}

Здесь

Y=B2u2,p=−2ℓ2φ,q=−2ℓ2.Y=\frac B2u^2,\qquad p=-2\ell^2\varphi,\qquad q=-2\ell^2.

Таким образом, непосредственно в переменной Y>0Y>0 получаем

0=−B2φ′2−V+1−Br2−B′r−8ℓ2r2(3B−1)B′φφ′+16ℓ2B(1−B)r2(φφ′′+φ′2).(19)\begin{aligned} 0={}& -\frac B2\varphi'^2-V +\frac{1-B}{r^2}-\frac{B'}r\\ &-\frac{8\ell^2}{r^2}(3B-1)B'\varphi\varphi'\\ &+\frac{16\ell^2B(1-B)}{r^2} (\varphi\varphi''+\varphi'^2). \end{aligned} \tag{19}

Заменяем B=e−λB=e^{-\lambda}, B′=−Bλ′B'=-B\lambda', делим на BB:

0=λ′r[1−8ℓ2r(1−3e−λ)φφ′]+eλ−1r2+16ℓ2(1−e−λ)r2(φφ′′+φ′2)−12φ′2−eλV.(20)\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \frac{\lambda'}r \left[ 1-\frac{8\ell^2}{r} (1-3e^{-\lambda})\varphi\varphi' \right]\\ &+\frac{e^\lambda-1}{r^2} +\frac{16\ell^2(1-e^{-\lambda})}{r^2} (\varphi\varphi''+\varphi'^2)\\ &-\frac12\varphi'^2-e^\lambda V. \end{aligned}} \tag{20}

Это тот же результат, который мы получили при использовании X<0X<0 и ln⁡(−X)\ln(-X).

Значит, изменение знака кинетической переменной не устраняет отмеченное ранее расхождение с напечатанной формулой (24) Бабичева: для согласованности с действием требуется комбинация φφ′′+φ′2\varphi\varphi''+\varphi'^2.

6. Проверка (A3) в переменной YY

Теперь проведём аналогичную подстановку для второго метрического уравнения.

6.1. Переписываем (A3)

После замены X=−YX=-Y формула принимает вид

EB=K~−2YK~Y+2r(1−Br−Bv)G~4−4r(1−2Br−2Bv)YG~4Y+8Br(1r+v)Y2G~4YY+Bur2(1−5B)vYG~5Y−2B2ur2vY2G~5YY−2r(1−3Br−3Bv)YG~5φ+4Br(1r+v)Y2G~5φY.(21)\begin{aligned} \mathcal E_B={}& \widetilde K-2Y\widetilde K_Y\\ &+\frac2r\left(\frac{1-B}{r}-Bv\right)\widetilde G_4\\ &-\frac4r\left(\frac{1-2B}{r}-2Bv\right) Y\widetilde G_{4Y}\\ &+\frac{8B}{r}\left(\frac1r+v\right) Y^2\widetilde G_{4YY}\\ &+\frac{Bu}{r^2}(1-5B)vY\widetilde G_{5Y}\\ &-\frac{2B^2u}{r^2}vY^2\widetilde G_{5YY}\\ &-\frac2r\left(\frac{1-3B}{r}-3Bv\right) Y\widetilde G_{5\varphi}\\ &+\frac{4B}{r}\left(\frac1r+v\right) Y^2\widetilde G_{5\varphi Y}. \end{aligned} \tag{21}

6.2. Стандартная часть

Используем

K~=−Y−V,K~Y=−1.\widetilde K=-Y-V,\qquad \widetilde K_Y=-1.

Получаем

K~−2YK~Y=−Y−V+2Y=Y−V.\begin{aligned} \widetilde K-2Y\widetilde K_Y &=-Y-V+2Y\\ &=Y-V. \end{aligned}

То есть

EB(0)=Y−V+1−Br2−Bvr.(22)\boxed{ \mathcal E_B^{(0)} =Y-V+\frac{1-B}{r^2}-\frac{Bv}{r}. } \tag{22}

Именно здесь особенно хорошо видно, почему нельзя сохранять K=Y−VK=Y-V: неверный знак дал бы неправильный кинетический вклад.

6.3. Вклад от qq

Для упрощения введём

M=1−Br−Bv,N=1−2Br−2Bv,M=\frac{1-B}{r}-Bv,\qquad N=\frac{1-2B}{r}-2Bv, P=1−3Br−3Bv.P=\frac{1-3B}{r}-3Bv.

Тогда подстановка производных G4,G5G_4,G_5 даёт

EB(q)=−4qY[2Mr(2−s)−4Nr(1−s)−4Br(1r+v)−2Psr].(23)\begin{aligned} \mathcal E_B^{(q)} =-4qY\Bigg[ &\frac{2M}{r}(2-s) -\frac{4N}{r}(1-s)\\ &-\frac{4B}{r}\left(\frac1r+v\right) -\frac{2Ps}{r} \Bigg]. \end{aligned} \tag{23}

Коэффициент при ss пропорционален

−2M+4N−2P.-2M+4N-2P.

Но

2N=M+P,2N=M+P,

поэтому

−2M+4N−2P=0.-2M+4N-2P=0.

Оставшаяся часть пропорциональна

4M−4N−4B(1r+v).4M-4N-4B\left(\frac1r+v\right).

Поскольку

M−N=B(1r+v),M-N=B\left(\frac1r+v\right),

эта часть тоже равна нулю.

Следовательно,

EB(q)=0.(24)\boxed{\mathcal E_B^{(q)}=0.} \tag{24}

6.4. Вклад от pp

В (21) остаются два члена:

EB(p)=−4pBur2(1−5B)v−8pB2ur2v.\begin{aligned} \mathcal E_B^{(p)} ={}&-\frac{4pBu}{r^2}(1-5B)v\\ &-\frac{8pB^2u}{r^2}v. \end{aligned}

Выносим общий множитель:

EB(p)=−4pBuvr2[(1−5B)+2B]=4pB(3B−1)r2uv.(25)\begin{aligned} \mathcal E_B^{(p)} &=-\frac{4pBuv}{r^2} [(1-5B)+2B]\\ &=\boxed{\frac{4pB(3B-1)}{r^2}uv}. \end{aligned} \tag{25}

6.5. Итог (A3)

Получаем

EB=Y−V+1−Br2−Bvr+4pB(3B−1)r2uv.(26)\boxed{ \mathcal E_B= Y-V+\frac{1-B}{r^2}-\frac{Bv}{r} +\frac{4pB(3B-1)}{r^2}uv. } \tag{26}

Подставляя Y=Bu2/2Y=Bu^2/2, v=ν′v=\nu', p=−2ℓ2φp=-2\ell^2\varphi, а затем умножая на −1/B-1/B, имеем

0=ν′r[1−8ℓ2r(1−3e−λ)φφ′]−eλ−1r2−12φ′2+eλV(φ).(27)\boxed{ \begin{aligned} 0={}&\frac{\nu'}r \left[ 1-\frac{8\ell^2}{r} (1-3e^{-\lambda})\varphi\varphi' \right]\\ &-\frac{e^\lambda-1}{r^2} -\frac12\varphi'^2 +e^\lambda V(\varphi). \end{aligned}} \tag{27}

Это точно совпадает с уравнением (25) Бабичева.

Итак, обе радиальные метрические компоненты получены уже в переменной Y>0Y>0, причём все явные логарифмы сократились.

7. Проверка углового уравнения (A4) в переменной YY

Для углового уравнения преобразование несколько сложнее.

Введём вспомогательные функции

C=1rBA(rBAA′)′+B′r\mathcal C= \frac1r\sqrt{\frac BA} \left(r\sqrt{\frac BA}A'\right)' +\frac{B'}r

и

D=−A′2A2+2B′rB+A′B′AB+2(A′+rA′′)rA.\mathcal D= -\frac{A'^2}{A^2} +\frac{2B'}{rB} +\frac{A'B'}{AB} +\frac{2(A'+rA'')}{rA}.

Они связаны тождеством

C=B2D.(28)\boxed{\mathcal C=\frac B2\mathcal D.} \tag{28}

Также обозначим

R=2A′′A−v2+v(2B′B+3z).\mathcal R= 2\frac{A''}A-v^2 +v\left(2\frac{B'}B+3z\right).

7.1. Формула (A4) после замены X=−YX=-Y

Учитывая ненулевые члены и применяя правила (5), получаем

EC=K~−CG~4+BYD(G~4Y+12G~5φ)+BY′(2r+v)(G~4Y+G~5φ)+2B(2r+v)YY′G~4YY−B2u2rR YG~5Y+Br[2z−rv(2r−z)]Y2G~5φY−B2uvrYY′G~5YY.(29)\begin{aligned} \mathcal E_C={}& \widetilde K-\mathcal C\widetilde G_4\\ &+BY\mathcal D \left( \widetilde G_{4Y} +\frac12\widetilde G_{5\varphi} \right)\\ &+BY'\left(\frac2r+v\right) \left( \widetilde G_{4Y}+\widetilde G_{5\varphi} \right)\\ &+2B\left(\frac2r+v\right) YY'\widetilde G_{4YY}\\ &-\frac{B^2u}{2r}\mathcal R\,Y\widetilde G_{5Y}\\ &+\frac Br \left[ 2z-rv\left(\frac2r-z\right) \right]Y^2\widetilde G_{5\varphi Y}\\ &-\frac{B^2uv}{r}YY'\widetilde G_{5YY}. \end{aligned} \tag{29}

Здесь я использую исправление коэффициента при G4XXG_{4XX}, о котором говорил в предыдущем ответе: 2B2B вместо напечатанного 2r2r. Важно не смешивать эту отдельную проблему исходной формулы с заменой кинетической переменной. Само преобразование X=−YX=-Y её не устраняет.

7.2. Вклад от qq

Подставляем производные (9), (10).

Сначала объединим все члены, пропорциональные qq:

EC(q)=4qY[C(2−s)−BD(1−s2)]+4qBY′(2r+v)−4qBYr[2z−rv(2r−z)].(30)\begin{aligned} \mathcal E_C^{(q)} ={}&4qY\left[ \mathcal C(2-s) -B\mathcal D\left(1-\frac s2\right) \right]\\ &+4qBY'\left(\frac2r+v\right)\\ &-\frac{4qBY}{r} \left[ 2z-rv\left(\frac2r-z\right) \right]. \end{aligned} \tag{30}

Теперь воспользуемся тождеством (28):

C(2−s)−BD(1−s2)=BD2(2−s)−BD(1−s2)=0.\begin{aligned} &\mathcal C(2-s) -B\mathcal D\left(1-\frac s2\right)\\ &=\frac{B\mathcal D}{2}(2-s) -B\mathcal D\left(1-\frac s2\right)\\ &=0. \end{aligned}

То есть логарифм снова исчезает.

Поскольку Y′=YzY'=Yz, оставшаяся часть (30) равна

EC(q)=4qBY[z(2r+v)−1r(2z−rv(2r−z))].\begin{aligned} \mathcal E_C^{(q)} =4qBY\Bigg[ &z\left(\frac2r+v\right)\\ &-\frac1r\left( 2z-rv\left(\frac2r-z\right) \right) \Bigg]. \end{aligned}

Раскрываем скобки:

2zr+vz−2zr+v(2r−z)=2vr.\begin{aligned} &\frac{2z}r+vz-\frac{2z}r +v\left(\frac2r-z\right)\\ &=\frac{2v}r. \end{aligned}

Следовательно,

EC(q)=8qBYvr.\mathcal E_C^{(q)} =\frac{8qBYv}{r}.

Подставляя Y=Bu2/2Y=Bu^2/2,

EC(q)=4qB2rvu2.(31)\boxed{ \mathcal E_C^{(q)} =\frac{4qB^2}{r}vu^2. } \tag{31}

7.3. Вклад от pp

Слагаемые с G~5Y\widetilde G_{5Y} и G~5YY\widetilde G_{5YY} дают

EC(p)=−B2u2rR(−4p)−B2uvrYY′(4pY2).\begin{aligned} \mathcal E_C^{(p)} ={}&-\frac{B^2u}{2r}\mathcal R \left(-4p\right)\\ &-\frac{B^2uv}{r}YY' \left(\frac{4p}{Y^2}\right). \end{aligned}

Отсюда

EC(p)=2pB2ur(R−2vz).\mathcal E_C^{(p)} =\frac{2pB^2u}{r}(\mathcal R-2vz).

Используем определение R\mathcal R:

R−2vz=2A′′A−v2+v(2B′B+z).\begin{aligned} \mathcal R-2vz ={}&2\frac{A''}A-v^2 +v\left(2\frac{B'}B+z\right). \end{aligned}

Далее

z=B′B+2u′u.z=\frac{B'}B+2\frac{u'}u.

Поэтому

R−2vz=2A′′A−v2+3vB′B+2vu′u.\mathcal R-2vz = 2\frac{A''}A-v^2 +3v\frac{B'}B +2v\frac{u'}u.

Получаем

EC(p)=2pB2r[(2A′′A−v2+3vB′B)u+2vu′].(32)\boxed{ \begin{aligned} \mathcal E_C^{(p)} =\frac{2pB^2}{r} \Bigg[ &\left( 2\frac{A''}A-v^2+3v\frac{B'}B \right)u\\ &+2vu' \Bigg]. \end{aligned}} \tag{32}

7.4. Стандартная часть

Оставшиеся слагаемые дают

EC(0)=−Y−V−12C.(33)\boxed{ \mathcal E_C^{(0)} =-Y-V-\frac12\mathcal C. } \tag{33}

С учётом Y=Bφ′2/2Y=B\varphi'^2/2 и перехода к метрическим функциям Бабичева это можно записать так:

EC(0)=−B2[ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)+φ′2+2VB].(34)\begin{aligned} \mathcal E_C^{(0)} =-\frac B2\Bigg[ &\nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda')\\ &+\varphi'^2+\frac{2V}{B} \Bigg]. \end{aligned} \tag{34}

7.5. Собираем результат

Теперь складываем (31)–(34). С учётом

A′′A=ν′′+ν′2,B′B=−λ′\frac{A''}A=\nu''+\nu'^2,\qquad \frac{B'}B=-\lambda'

получаем

EC=−B2[ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)+φ′2+2VB]+4qB2rν′φ′2+2pB2r[(2ν′′+ν′2−3ν′λ′)φ′+2ν′φ′′].(35)\begin{aligned} \mathcal E_C={}& -\frac B2 \left[ \nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda') +\varphi'^2+\frac{2V}{B} \right]\\ &+\frac{4qB^2}{r}\nu'\varphi'^2\\ &+\frac{2pB^2}{r} \left[ (2\nu''+\nu'^2-3\nu'\lambda')\varphi' +2\nu'\varphi'' \right]. \end{aligned} \tag{35}

Теперь ставим p=−2ℓ2φp=-2\ell^2\varphi, q=−2ℓ2q=-2\ell^2 и умножаем на −2/B-2/B.

Окончательно

0=ν′′+(ν′2+1r)(ν′−λ′)−8ℓ2e−λr(3ν′λ′−2ν′′−ν′2)φφ′+16ℓ2e−λrν′(φ′2+φφ′′)+φ′2+2eλV(φ).(36)\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \nu''+ \left(\frac{\nu'}2+\frac1r\right)(\nu'-\lambda')\\ &-\frac{8\ell^2e^{-\lambda}}r (3\nu'\lambda'-2\nu''-\nu'^2) \varphi\varphi'\\ &+\frac{16\ell^2e^{-\lambda}}r \nu'(\varphi'^2+\varphi\varphi'')\\ &+\varphi'^2+2e^\lambda V(\varphi). \end{aligned}} \tag{36}

Это уравнение (26) Бабичева.

Таким образом, даже после полного перехода к Y=−X>0Y=-X>0 угловое уравнение совпадает с прежним результатом.

8. Проверка скалярного уравнения: преобразование (A5) и (A6)

Теперь осталось проверить самое важное с точки зрения физических знаков: уравнение движения скалярного поля.

У Кобаяши оно имеет вид

Eφ=1r2BAddr(r2AB J)−S=0.(37)\mathcal E_\varphi= \frac1{r^2}\sqrt{\frac BA} \frac{d}{dr}\left(r^2\sqrt{AB}\,J\right)-S=0. \tag{37}

Поэтому нужно отдельно преобразовать JJ и SS.

8.1. Функция JJ после перехода к YY

Введём

F=1−Br2−Bvr.F=\frac{1-B}{r^2}-\frac{Bv}{r}.

Применяя правила замены (5) к формуле (A5) Кобаяши, получаем

J=−uK~Y−2uFG~4Y+4Bur(1r+v)YG~4YY+1−3Br2vYG~5Y−2Bvr2Y2G~5YY−2uFG~5φ+2Bur(1r+v)YG~5φY.(38)\begin{aligned} J={}&-u\widetilde K_Y -2uF\widetilde G_{4Y}\\ &+\frac{4Bu}{r}\left(\frac1r+v\right) Y\widetilde G_{4YY}\\ &+\frac{1-3B}{r^2}vY\widetilde G_{5Y}\\ &-\frac{2Bv}{r^2}Y^2\widetilde G_{5YY}\\ &-2uF\widetilde G_{5\varphi}\\ &+\frac{2Bu}{r}\left(\frac1r+v\right) Y\widetilde G_{5\varphi Y}. \end{aligned} \tag{38}

Подставляем функции.

Из K~Y=−1\widetilde K_Y=-1

J(0)=u.J^{(0)}=u.

Члены, содержащие qq, равны

J(q)=8quF(1−s)+16qBur(1r+v)+8quFs−8qBur(1r+v).\begin{aligned} J^{(q)} ={}&8quF(1-s) +\frac{16qBu}{r}\left(\frac1r+v\right)\\ &+8quFs -\frac{8qBu}{r}\left(\frac1r+v\right). \end{aligned}

Сокращаем логарифмы:

J(q)=8quF+8qBur(1r+v)=8qu[1−Br2−Bvr+Br2+Bvr]=8qur2.(39)\begin{aligned} J^{(q)} &=8quF+\frac{8qBu}{r}\left(\frac1r+v\right)\\ &=8qu\left[ \frac{1-B}{r^2}-\frac{Bv}{r} +\frac{B}{r^2}+\frac{Bv}{r} \right]\\ &=\boxed{\frac{8qu}{r^2}}. \end{aligned} \tag{39}

А члены с pp дают

J(p)=−4p(1−3B)r2v−8pBr2v=4p(B−1)r2v.(40)\begin{aligned} J^{(p)} &=-\frac{4p(1-3B)}{r^2}v -\frac{8pB}{r^2}v\\ &=\boxed{\frac{4p(B-1)}{r^2}v}. \end{aligned} \tag{40}

Следовательно,

J=u+8qr2u+4p(B−1)r2v.(41)\boxed{ J=u+\frac{8q}{r^2}u +\frac{4p(B-1)}{r^2}v. } \tag{41}

Именно тот же JJ получился у нас в исходной переменной XX.

8.2. Функция SS в переменной YY

В (A6) после обнуления всех ненужных членов остаётся

S=−K~φ−Bur2(z+Bv)YG~5φY.(42)S=-\widetilde K_\varphi -\frac{Bu}{r^2} \left(z+Bv\right) Y\widetilde G_{5\varphi Y}. \tag{42}

Подставляем

K~φ=−Vφ,YG~5φY=−4q.\widetilde K_\varphi=-V_\varphi,\qquad Y\widetilde G_{5\varphi Y}=-4q.

Тогда

S=Vφ+4qBur2(z+Bv).S=V_\varphi+ \frac{4qBu}{r^2}(z+Bv).

Используем

z=B′B+2u′u.z=\frac{B'}B+2\frac{u'}u.

Следовательно,

S=Vφ+8qBr2u′+4qB′r2u+4qB2vr2u.(43)\boxed{ S=V_\varphi +\frac{8qB}{r^2}u' +\frac{4qB'}{r^2}u +\frac{4qB^2v}{r^2}u. } \tag{43}

Итак, оба выражения — JJ и SS — после замены кинетической переменной полностью совпадают с исходными результатами.

8.3. Подстановка JJ и SS в скалярное уравнение

Теперь окончательно проверим уравнение (37).

Раскроем радиальную производную:

Eφ=1r2BAddr(r2AB J)−S=B[J′+(2r+A′2A+B′2B)J]−S.\begin{aligned} \mathcal E_\varphi &=\frac1{r^2}\sqrt{\frac BA} \frac{d}{dr}(r^2\sqrt{AB}\,J)-S\\ &=B\left[ J'+\left(\frac2r+\frac{A'}{2A}+\frac{B'}{2B}\right)J \right]-S. \end{aligned}

Введём

P=2r+12(v+B′B).P=\frac2r+\frac12\left(v+\frac{B'}B\right).

Тогда

Eφ=B(J′+PJ)−S.(44)\boxed{\mathcal E_\varphi=B(J'+PJ)-S.} \tag{44}

Напомним, что

J=u+8qur2+4p(B−1)vr2,J=u+\frac{8qu}{r^2}+\frac{4p(B-1)v}{r^2}, S=Vφ+8qBr2u′+4qB′r2u+4qB2vr2u.S=V_\varphi+\frac{8qB}{r^2}u' +\frac{4qB'}{r^2}u+\frac{4qB^2v}{r^2}u.

При дифференцировании важно помнить:

dpdr=qφ′=qu,dqdr=0.\frac{dp}{dr}=q\varphi'=qu,\qquad \frac{dq}{dr}=0.

Разделим результат на части.

Обычная кинетическая часть:

B(u′+Pu)−Vφ.(45)B(u'+Pu)-V_\varphi. \tag{45}

Члены с qq:

Дифференцируя 8qu/r28qu/r^2, получаем

B[(8qur2)′+P8qur2]=8qBr2u′+4qBvr2u+4qB′r2u.(46)\begin{aligned} B\left[ \left(\frac{8qu}{r^2}\right)' +P\frac{8qu}{r^2} \right] ={}&\frac{8qB}{r^2}u'\\ &+\frac{4qBv}{r^2}u +\frac{4qB'}{r^2}u. \end{aligned} \tag{46}

Кроме того, при дифференцировании pp в последнем члене JJ возникает

4B(B−1)vr2p′=4qB(B−1)vr2u.(47)\frac{4B(B-1)v}{r^2}p' =\frac{4qB(B-1)v}{r^2}u. \tag{47}

Сложим (46) и (47):

[B(J′+PJ)]q=8qBr2u′+4qB′r2u+4qB2vr2u.(48)\begin{aligned} \left[B(J'+PJ)\right]_q ={}&\frac{8qB}{r^2}u' +\frac{4qB'}{r^2}u\\ &+\frac{4qB^2v}{r^2}u. \end{aligned} \tag{48}

Это в точности qq-зависимая часть SS. Поэтому

[Eφ]q=0.(49)\boxed{\left[\mathcal E_\varphi\right]_q=0.} \tag{49}

Остаются только члены с pp, когда при дифференцировании pp считается постоянным:

[B(J′+PJ)]p=4pBr2[(B−1)v′+B′v+B−12v(v+B′B)].(50)\begin{aligned} \left[B(J'+PJ)\right]_p =\frac{4pB}{r^2}\Bigg[ &(B-1)v'+B'v\\ &+\frac{B-1}{2}v \left(v+\frac{B'}B\right) \Bigg]. \end{aligned} \tag{50}

После приведения подобных слагаемых

[B(J′+PJ)]p=2pr2[B(B−1)(2v′+v2)+(3B−1)B′v].(51)\boxed{ \left[B(J'+PJ)\right]_p =\frac{2p}{r^2} \left[ B(B-1)(2v'+v^2) +(3B-1)B'v \right]. } \tag{51}

Здесь v′=ν′′v'=\nu''.

Теперь сравним с инвариантом Гаусса–Бонне для нашей метрики:

G=2r2[B(B−1)(2ν′′+ν′2)+(3B−1)B′ν′].(52)\boxed{ \mathcal G= \frac2{r^2} \left[ B(B-1)(2\nu''+\nu'^2) +(3B-1)B'\nu' \right]. } \tag{52}

Таким образом, выражение (51) равно просто pGp\mathcal G.

И полное скалярное уравнение принимает вид

Eφ=B[φ′′+(2r+ν′−λ′2)φ′]−Vφ+pG=0.(53)\boxed{ \mathcal E_\varphi= B\left[ \varphi''+ \left(\frac2r+\frac{\nu'-\lambda'}2\right)\varphi' \right] -V_\varphi +p\mathcal G=0. } \tag{53}

С учётом p=ξφ=−2ℓ2φp=\xi_\varphi=-2\ell^2\varphi

□φ−Vφ−2ℓ2φG=0.(54)\boxed{ \Box\varphi-V_\varphi-2\ell^2\varphi\mathcal G=0. } \tag{54}

Это в точности уравнение, следующее из непосредственной вариации действия Бабичева по скалярному полю.

8.4. Получаем окончательную формулу Бабичева

Подставим B=e−λB=e^{-\lambda} в (52).

Инвариант Гаусса–Бонне можно представить следующим образом:

G=−4e−λr2[(1−e−λ)(ν′′+ν′(ν′−λ′)2)+e−λν′λ′].(55)\boxed{ \begin{aligned} \mathcal G=-\frac{4e^{-\lambda}}{r^2} \Bigg[ &(1-e^{-\lambda}) \left( \nu''+\frac{\nu'(\nu'-\lambda')}{2} \right)\\ &+e^{-\lambda}\nu'\lambda' \Bigg]. \end{aligned}} \tag{55}

Делим (53) на B=e−λB=e^{-\lambda}, заменяем pp и используем (55).

Получаем

0=φ′′+(ν′−λ′2+2r)φ′+8ℓ2φr2[(1−e−λ)(ν′′+ν′(ν′−λ′)2)+e−λν′λ′]−eλVφ.(56)\boxed{ \begin{aligned} 0={}& \varphi''+ \left(\frac{\nu'-\lambda'}2+\frac2r\right)\varphi'\\ &+\frac{8\ell^2\varphi}{r^2} \Bigg[ (1-e^{-\lambda}) \left( \nu''+\frac{\nu'(\nu'-\lambda')}{2} \right)\\ &\hspace{3.5cm}+e^{-\lambda}\nu'\lambda' \Bigg]\\ &-e^\lambda V_\varphi. \end{aligned}} \tag{56}

Это в точности уравнение (27) Бабичева.

Итак, все необходимые вычисления повторены с новой положительной кинетической переменной YY, а результаты совпали с предыдущим выводом.

9. Символьная проверка: совпадают ли действительно все четыре уравнения?

Помимо аналитических преобразований, я проверил равенства символьно с помощью SymPy.

Для этого я независимо записал ненулевые члены (A2)–(A6) в переменной YY, подставил производные G~i\widetilde G_i, а затем сравнил полученные выражения с результатами в исходной переменной XX.

Для всех пяти величин получилось

EA(Y)−EA(X)=0,EB(Y)−EB(X)=0,EC(Y)−EC(X)=0,J(Y)−J(X)=0,S(Y)−S(X)=0.(57)\boxed{ \begin{aligned} \mathcal E_A^{(Y)}-\mathcal E_A^{(X)}&=0,\\ \mathcal E_B^{(Y)}-\mathcal E_B^{(X)}&=0,\\ \mathcal E_C^{(Y)}-\mathcal E_C^{(X)}&=0,\\ J^{(Y)}-J^{(X)}&=0,\\ S^{(Y)}-S^{(X)}&=0. \end{aligned}} \tag{57}

Затем я сравнил уравнения в переменной YY с уравнениями Бабичева после перехода к A=eνA=e^\nu, B=e−λB=e^{-\lambda}.

ПроверкаРезультат
EA(Y)/B−B24corr\mathcal E_A^{(Y)}/B-\mathcal B_{24}^{\mathrm{corr}}00
−EB(Y)/B−B25-\mathcal E_B^{(Y)}/B-\mathcal B_{25}00
−2EC(Y)/B−B26-2\mathcal E_C^{(Y)}/B-\mathcal B_{26}00
Eφ(Y)/B−B27\mathcal E_\varphi^{(Y)}/B-\mathcal B_{27}00

Здесь B24corr\mathcal B_{24}^{\mathrm{corr}} означает уравнение (24) с исправлением, указанным выше. Для углового уравнения использована также отмеченная поправка к коэффициенту в (A4).

То есть после этих исправлений проверка не просто даёт похожие выражения — разность каждой пары левых частей тождественно равна нулю.

10. Два дополнительных замечания о математической корректности

10.1. Что происходит в точках Y=0Y=0?

Это действительно важный вопрос для чёрных дыр.

Поскольку

Y=B2φ′2,Y=\frac B2\varphi'^2,

возможна ситуация

Y⟶0Y\longrightarrow0

при r→rSr\to r_S, где rSr_S — радиус горизонта.

При этом

ln⁡Y⟶−∞.\ln Y\longrightarrow-\infty.

Следовательно, отдельные функции Хорндески и некоторые их производные становятся сингулярными.

Однако отсюда не следует сингулярность исходной теории Гаусса–Бонне.

Мы уже непосредственно продемонстрировали, что все логарифмы и отрицательные степени YY сокращаются в окончательных фоновых уравнениях.

Например,

YG~5Y=−4pY\widetilde G_{5Y}=-4p

остаётся конечным при Y→0Y\to0, хотя сама производная G~5Y=−4p/Y\widetilde G_{5Y}=-4p/Y расходится.

Также

Y2G~5YY=4pY^2\widetilde G_{5YY}=4p

остаётся конечным.

Поэтому при Y=0Y=0 правильная процедура состоит в том, чтобы сначала упростить полные уравнения в области Y>0Y>0, а затем исследовать их предел. В самой точке Y=0Y=0 нельзя без дополнительных оговорок подставлять сингулярные функции в промежуточные формулы Хорндески.

Особенно удобно использовать первоначальную форму действия

S=∫−g[R2−Y−V−ℓ2φ2G]d4x,S=\int\sqrt{-g} \left[\frac R2-Y-V-\ell^2\varphi^2\mathcal G\right]d^4x,

в которой никаких логарифмов вообще нет.

10.2. Логарифм размерной величины

Есть ещё один технический момент.

Строго говоря, аргумент логарифма должен быть безразмерным, поэтому корректнее писать

ln⁡(YY0),\ln\left(\frac{Y}{Y_0}\right),

где Y0>0Y_0>0 — фиксированная величина той же размерности, что и YY.

В научной литературе запись ln⁡Y\ln Y часто подразумевает именно такой выбор единиц.

Для нашей модели изменение Y0Y_0 не изменяет уравнения движения. Это можно непосредственно проверить: при сдвиге логарифма на константу соответствующие изменения G~4\widetilde G_4 и G~5\widetilde G_5 взаимно сокращаются в действии с точностью до полной дивергенции.

Таким образом, появление произвольного масштаба внутри логарифма не означает введения нового физического параметра в исходную теорию.

11. Окончательный ответ

В вашем вопросе есть два уровня преобразования, которые важно не смешивать.

Если используется кинетическая переменная Кобаяши

X=−12(∇φ)2,X=-\frac12(\nabla\varphi)^2,

то для статического радиального поля можно непосредственно работать с ln⁡(−X)\ln(-X). В этом случае (A2)–(A6) остаются без изменений, а функции Хорндески задаются формулой (1).

Если же вы хотите определять кинетическую переменную как положительную величину

Y=12(∇φ)2,Y=\frac12(\nabla\varphi)^2,

то правильный набор функций имеет вид

K~=−Y−V(φ),G~3=0,G~4=12+8ℓ2Y(2−ln⁡Y),G~5=8ℓ2φln⁡Y.\boxed{ \begin{aligned} \widetilde K&=-Y-V(\varphi),\\ \widetilde G_3&=0,\\ \widetilde G_4&=\frac12+8\ell^2Y(2-\ln Y),\\ \widetilde G_5&=8\ell^2\varphi\ln Y. \end{aligned}}

При этом в уравнениях (A2)–(A6) следует менять не только X→−YX\to-Y, но и все производные:

GiX=−G~iY,GiXX=G~iYY,GiφX=−G~iφY.\boxed{ G_{iX}=-\widetilde G_{iY},\qquad G_{iXX}=\widetilde G_{iYY},\qquad G_{i\varphi X}=-\widetilde G_{i\varphi Y}. }

После этого оба представления приводят к одним и тем же уравнениям движения.

Результат расчёта: уравнения Бабичева (25), (26) и (27) воспроизводятся точно; (24) воспроизводится с ранее выявленным исправлением. Для получения (26) из приложения Кобаяши также требуется отмеченное исправление коэффициента в (A4). Эти расхождения связаны с напечатанными формулами, а не с отрицательным знаком XX.

Для дальнейших аналитических вычислений я бы рекомендовал оставить стандартное определение Кобаяши X=−12(∇φ)2X=-\frac12(\nabla\varphi)^2 и использовать ln⁡(−X)\ln(-X) в области X<0X<0. Так будет проще сравнивать результаты с литературой и не придётся каждый раз переписывать все универсальные уравнения Хорндески.

Но если в вашей работе принято определение Y=+12(∇φ)2Y=+\frac12(\nabla\varphi)^2, оно совершенно допустимо — приведённый расчёт показывает, как выполнить переход без ошибок в знаках.

Partager cette Q&R