logoChat01.ai

Даны векторы: M ⃗ = 3 a ⃗ + 8 b ⃗ – 2 c ⃗ M =3 a...

Créé le : 4 octobre 2026

Répondu en utilisant GPT-5.6 Thinking par Chat01

Question

Даны векторы:
M
⃗

3
a
⃗
+
8
b
⃗
–
2
c
⃗
M
=3
a
+8
b
–2
c

N
⃗

a
⃗
–
3
b
⃗
N

a
–3
b

Известны:
∣
a
⃗
∣

2
∣
a
∣=2
∣
b
⃗
∣

4
∣
b
∣=4
угол между
a
⃗
a
и
b
⃗
b
равен
120
∘
120
∘

вектор
c
⃗
c
перпендикулярен
a
⃗
a
, то есть
c
⃗
⋅
a
⃗

0
c
⋅
a
=0
вектор
c
⃗
c
также перпендикулярен
b
⃗
b
, то есть
c
⃗
⋅
b
⃗

0
c
⋅
b
=0
Требуется найти скалярное произведение
M
⃗
⋅
N
⃗
M
⋅
N

Réflexion

Worked for a couple of seconds

Réponse

Найдём по формуле скалярного произведения:

M⃗=3a⃗+8b⃗−2c⃗,N⃗=a⃗−3b⃗.\vec M=3\vec a+8\vec b-2\vec c,\qquad \vec N=\vec a-3\vec b.

Сначала вычислим a⃗⋅b⃗\vec a\cdot\vec b:

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡120∘=2⋅4⋅(−12)=−4.\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos120^\circ =2\cdot4\cdot\left(-\frac12\right)=-4.

Также:

a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2=4,b⃗⋅b⃗=∣b⃗∣2=16.\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2=4,\qquad \vec b\cdot\vec b=|\vec b|^2=16.

Так как c⃗⊥a⃗\vec c\perp\vec a и c⃗⊥b⃗\vec c\perp\vec b,

c⃗⋅a⃗=c⃗⋅b⃗=0.\vec c\cdot\vec a=\vec c\cdot\vec b=0.

Раскроем произведение:

M⃗⋅N⃗=(3a⃗+8b⃗−2c⃗)⋅(a⃗−3b⃗)=3(a⃗⋅a⃗)−9(a⃗⋅b⃗)+8(b⃗⋅a⃗)−24(b⃗⋅b⃗)=3⋅4−9(−4)+8(−4)−24⋅16=12+36−32−384=−368.\begin{aligned} \vec M\cdot\vec N &=(3\vec a+8\vec b-2\vec c)\cdot(\vec a-3\vec b)\\ &=3(\vec a\cdot\vec a)-9(\vec a\cdot\vec b) +8(\vec b\cdot\vec a)-24(\vec b\cdot\vec b)\\ &=3\cdot4-9(-4)+8(-4)-24\cdot16\\ &=12+36-32-384\\ &=\boxed{-368}. \end{aligned}

Ответ: −368\boxed{-368}.

Partager cette Q&R