已知函数${f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}+\sin x}$，则关于${a}$的不...

选 A．$(\sqrt3,2)$。

关键有两步：

1. 先求定义域

$$f(x)=\ln\frac{1+x}{1-x}+\sin x$$

要求

$$\frac{1+x}{1-x}>0\quad\Longrightarrow\quad -1<x<1.$$

因此题中两个自变量都必须属于 $(-1,1)$：

$$-1<a-2<1\Longrightarrow 1<a<3,$$ $$-1<a^2-4<1 \Longrightarrow 3<a^2<5.$$

结合 $1<a<3$，得到

$$\sqrt3<a<\sqrt5.$$

2. 判断 $f(x)$ 的符号

注意

$$f(-x)=-f(x),$$

所以 $f$ 是奇函数。并且在 $(-1,1)$ 上

$$f'(x)=\frac{2}{1-x^2}+\cos x>0,$$

故 $f(x)$ 严格递增，又 $f(0)=0$，因此

$$x<0\Rightarrow f(x)<0,\qquad x>0\Rightarrow f(x)>0.$$

在定义域 $\sqrt3<a<\sqrt5$ 内：

• 当 $\sqrt3<a<2$ 时， $$a-2<0,\qquad a^2-4<0,$$ 所以两个 $f$ 值都小于 0，原不等式成立；
• 当 $a=2$ 时，和为 $0$，不满足 $<0$；
• 当 $2<a<\sqrt5$ 时，两项都大于 0，不成立。

因此解集为

$$\boxed{(\sqrt3,2)}$$

答案：A。