بر اساس PDF ریاضی صنف دهم، فصل اول دربارهٔ پولینوم و فصل دوم دربارهٔ رابطه، جوره‌های مرتب و حاصل‌ضرب کارتیزینی است. در فهرست کتاب هم برای فصل اول موضوعاتی مثل افاده‌های الجبری، درجه، عملیات چهارگانه، قضیهٔ باقی‌مانده، قضیهٔ فکتور و تقسیم ترکیبی آمده و برای فصل دوم جوره‌های مرتب، مستوی کارتیزینی، حاصل‌ضرب کارتیزینی، رابطه، معکوس رابطه و رابطهٔ معادل ذکر شده است. (G10-Dr-Math.pdf)

فصل اول: پولینوم

۱. تشریح مهم

افادهٔ الجبری ترکیبی از عددها، متحول‌ها و عملیات ریاضی است؛ مثل:
3x² + 2x - 5

پولینوم افادهٔ الجبری‌ای است که توان متحول‌های آن اعداد صحیح غیرمنفی باشد. یعنی متحول نباید در مخرج، زیر جذر، یا با توان کسری/منفی بیاید.

مثال‌ها:
4x³ - 2x + 7 پولینوم است.
3/x + 1 پولینوم نیست، چون x در مخرج آمده است.
√x + 2 پولینوم نیست، چون x زیر جذر است.

اقسام پولینوم از نظر تعداد حدها:

نوع	معنا	مثال
مونوم	یک‌حده	5x²
باینوم	دوحده	x + 3
ترینوم	سه‌حده	x² + 2x + 1
مولتی‌نوم	چندحده	x³ + 2x² - x + 4

درجهٔ پولینوم:
در یک متحول، بزرگ‌ترین توان همان متحول است.
مثلاً درجهٔ 5x⁴ - 3x² + 1 برابر ۴ است.

در چند متحول، درجهٔ هر حد از جمع توان‌های همان حد به‌دست می‌آید و درجهٔ پولینوم، بزرگ‌ترین آن‌هاست.
مثلاً در 4x²y³ - 2xy + 7 درجهٔ حد اول 2+3=5 است، پس درجهٔ پولینوم ۵ می‌شود.

قیمت پولینوم:
یعنی به‌جای x عدد داده‌شده را می‌گذاریم.
مثلاً اگر P(x)=2x²-7x+1 باشد:
P(5)=2(25)-35+1=16

مجموع ضرایب پولینوم:
برای یافتن مجموع ضرایب، به‌جای همهٔ متحول‌ها عدد ۱ می‌گذاریم.
مثلاً اگر P(x)=x³+5x²-3x+2 باشد:
P(1)=1+5-3+2=5

جمع و تفریق پولینوم‌ها:
فقط حدهای مشابه باهم جمع یا تفریق می‌شوند.
حدهای مشابه حدهایی‌اند که متحول و توان‌شان یکسان باشد؛ مثل 3x² و -5x².

ضرب پولینوم‌ها:
هر حد پولینوم اول در هر حد پولینوم دوم ضرب می‌شود.
مثلاً:
(x-4)(x-5)=x²-5x-4x+20=x²-9x+20

قضیهٔ باقی‌مانده:
اگر پولینوم P(x) را بر x-a تقسیم کنیم، باقی‌مانده برابر P(a) است.
مثلاً باقی‌ماندهٔ تقسیم 2x³-x²-7 بر x-2 چنین است:
P(2)=2(8)-4-7=5

قضیهٔ فکتور:
اگر P(a)=0 شود، پس x-a فکتور پولینوم است.
مثلاً برای P(x)=x³+3x²+4x-28:
P(2)=8+12+8-28=0
پس x-2 فکتور این پولینوم است.

تقسیم ترکیبی:
روش کوتاه برای تقسیم پولینوم بر عبارت‌هایی مثل x-a است. از آن برای یافتن خارج‌قسمت، باقی‌مانده، فکتور و جذرهای معادله استفاده می‌شود.

---

سوالات و جواب‌های مهم فصل اول

سوال ۱: آیا 5x³ - 2x + 7 پولینوم است؟ درجهٔ آن چند است؟
جواب: بله، چون توان‌های x اعداد صحیح غیرمنفی‌اند. درجهٔ آن ۳ است.

سوال ۲: آیا 4/x + 2 پولینوم است؟
جواب: نخیر، چون x در مخرج آمده است.

سوال ۳: درجهٔ پولینوم 3x²y⁴ - 5xy + 8 چند است؟
جواب: درجهٔ حد اول 2+4=6 است؛ حد دوم درجهٔ ۲ دارد. پس درجهٔ پولینوم ۶ است.

سوال ۴: اگر P(x)=2x²-7x+1 باشد، P(5) را بیابید.
جواب:
P(5)=2(25)-7(5)+1=50-35+1=16

سوال ۵: مجموع ضرایب x³+5x²-3x+2 چند است؟
جواب:
P(1)=1+5-3+2=5

سوال ۶: جمع دو پولینوم زیر را بیابید:
A=3x²+2x+1 و B=-2x²+5x-6
جواب:
A+B=(3x²-2x²)+(2x+5x)+(1-6)
=x²+7x-5

سوال ۷: حاصل ضرب (x-4)(x-5) را بیابید.
جواب:
x²-5x-4x+20=x²-9x+20

سوال ۸: باقی‌ماندهٔ تقسیم P(x)=2x³-x²-7 بر x-2 را بیابید.
جواب:
P(2)=16-4-7=5
پس باقی‌مانده ۵ است.

سوال ۹: آیا x-2 فکتور x³+3x²+4x-28 است؟
جواب:
P(2)=8+12+8-28=0
بله، چون باقی‌مانده صفر شد.

---

فصل دوم: رابطه

۱. تشریح مهم

جورهٔ مرتب شکلی مانند (a,b) است که در آن ترتیب مهم است.
یعنی معمولاً:
(a,b) ≠ (b,a)

دو جورهٔ مرتب وقتی مساوی‌اند که عضو اول با عضو اول و عضو دوم با عضو دوم مساوی باشد:
اگر (a,b)=(c,d)، پس a=c و b=d.

مستوی کارتیزینی از دو محور تشکیل می‌شود:
محور افقی x و محور عمودی y.
نقطه‌ها به شکل (x,y) نوشته می‌شوند.

ربع‌ها:

ربع	علامت x	علامت y
اول	+	+
دوم	-	+
سوم	-	-
چهارم	+	-

اگر x صفر باشد، نقطه روی محور y است.
اگر y صفر باشد، نقطه روی محور x است.

حاصل‌ضرب کارتیزینی:
اگر A و B دو ست باشند، حاصل‌ضرب کارتیزینی A×B همهٔ جوره‌های مرتب (x,y) است که x∈A و y∈B.

مثلاً اگر:
A={1,2} و B={3,4}
پس:
A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}

تعداد عناصر A×B برابر است با:
تعداد عناصر A × تعداد عناصر B

معمولاً A×B با B×A مساوی نیست، چون ترتیب جوره‌ها فرق می‌کند.

رابطه:
هر ست فرعی از A×B را یک رابطه از A در B می‌گویند.
مثلاً اگر:
A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}
آن‌گاه {(1,3),(2,4)} یک رابطه از A در B است.

ناحیهٔ تعریف رابطه Domain:
مجموعهٔ عضوهای اول جوره‌های مرتب است.

ناحیهٔ قیمت Range:
مجموعهٔ عضوهای دوم جوره‌های مرتب است.

مثلاً اگر:
R={(1,2),(3,4),(5,2)}
پس:
Domain={1,3,5}
Range={2,4}

معکوس رابطه:
در معکوس رابطه، جای عضو اول و دوم هر جوره عوض می‌شود.
اگر:
R={(1,2),(3,4)}
پس:
R⁻¹={(2,1),(4,3)}

رابطهٔ معادل:
رابطه‌ای است که سه خاصیت داشته باشد:

۱. انعکاسی: هر عضو با خودش رابطه داشته باشد؛ مثل (a,a)
۲. تناظری: اگر (a,b) باشد، (b,a) هم باشد.
۳. انتقالی: اگر (a,b) و (b,c) باشد، پس (a,c) هم باشد.

رابطهٔ مساوات نمونهٔ رابطهٔ معادل است.

---

سوالات و جواب‌های مهم فصل دوم

سوال ۱: اگر (x-2, y+1)=(3,1) باشد، x و y را بیابید.
جواب:
x-2=3 → x=5
y+1=1 → y=0

سوال ۲: نقطهٔ (4,-5) در کدام ربع است؟
جواب:
x مثبت و y منفی است؛ پس در ربع چهارم قرار دارد.

سوال ۳: نقطهٔ (-2,3) در کدام ربع است؟
جواب:
x منفی و y مثبت است؛ پس در ربع دوم قرار دارد.

سوال ۴: اگر A={1,2} و B={3,4,5} باشد، A×B را بیابید.
جواب:
A×B={(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)}
تعداد عناصر آن ۶ است.

سوال ۵: آیا همیشه A×B = B×A است؟
جواب:
نخیر. چون در A×B عضو اول از A می‌آید، ولی در B×A عضو اول از B می‌آید.

سوال ۶: اگر R={(1,2),(3,4),(5,2)} باشد، Domain و Range را بیابید.
جواب:
Domain={1,3,5}
Range={2,4}

سوال ۷: معکوس رابطهٔ R={(1,2),(3,4),(-1,0)} را بیابید.
جواب:
R⁻¹={(2,1),(4,3),(0,-1)}

سوال ۸: اگر تعداد عناصر A برابر ۳ و تعداد عناصر B برابر ۲ باشد، تعداد جوره‌های مرتب A×B چند است؟
جواب:
3×2=6

سوال ۹: تعداد تمام رابطه‌ها از A در B در سوال بالا چند است؟
جواب:
چون A×B شش عضو دارد، تعداد تمام ست‌های فرعی آن:
2⁶=64
پس ۶۴ رابطه وجود دارد.

سوال ۱۰: رابطهٔ مساوات در A={1,3,5} را بنویسید.
جواب:
R={(1,1),(3,3),(5,5)}
این رابطه معادل است، چون انعکاسی، تناظری و انتقالی است.

سوال ۱۱: آیا R={(1,1),(2,2),(1,2)} روی A={1,2} رابطهٔ معادل است؟
جواب:
نخیر. چون اگر (1,2) در رابطه باشد، برای خاصیت تناظری باید (2,1) هم باشد، اما نیست.

سوال ۱۲: اگر R={(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)} روی A={1,2} باشد، آیا رابطهٔ معادل است؟
جواب:
بله. چون هر عضو با خودش آمده، جوره‌های معکوس هم وجود دارند و خاصیت انتقالی نیز برقرار است.