1 вар:(определения) радиус, диаметр является сере...

Ниже — готовые формулировки и доказательства для обоих вариантов. Часть пунктов — не определения, а теоремы/признаки, но для ответа у доски можно говорить так.

Вариант 1

1. Радиус

Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности.

2. Диаметр является серединным перпендикуляром хорды

Правильнее: если диаметр окружности перпендикулярен хорде, то он делит эту хорду пополам, то есть является её серединным перпендикуляром.

Доказательство:
Пусть хорда $AB$, центр окружности $O$, диаметр проходит через точку $M$ и перпендикулярен хорде $AB$.
Соединим $O$ с $A$ и $B$. Получим $OA = OB$, так как это радиусы одной окружности.
Треугольники $OMA$ и $OMB$ прямоугольные, у них общая сторона $OM$, а гипотенузы $OA$ и $OB$ равны.
Значит, треугольники равны. Следовательно, $AM = MB$.
Значит, диаметр делит хорду пополам и является серединным перпендикуляром хорды.

3. Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника.
Например, окружность, вписанная в треугольник, касается всех трёх его сторон.

4. Центр описанной окружности

Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

5. Признак касательной

Признак касательной: если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности.
Также часто используют формулировку: если прямая перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то эта прямая является касательной.

Доказательство признака через радиус:
Пусть $O$ — центр окружности, $A$ — точка на окружности, а прямая $a$ проходит через $A$ и перпендикулярна радиусу $OA$.
Так как $OA$ — кратчайшее расстояние от центра $O$ до прямой $a$, то любая другая точка прямой $a$, кроме $A$, находится от центра дальше, чем $A$.
Но $OA$ равно радиусу окружности. Значит, другие точки прямой $a$ не лежат на окружности.
Следовательно, прямая имеет с окружностью только одну общую точку $A$, значит, она является касательной.

---

Вариант 2

1. Хорда

Хорда окружности — это отрезок, соединяющий две точки окружности.

2. Диаметр окружности делит хорду пополам

Правильнее: диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Доказательство:
Пусть хорда $AB$, центр окружности $O$, диаметр пересекает хорду в точке $M$ и перпендикулярен ей.
Соединим $O$ с точками $A$ и $B$.
Так как $OA$ и $OB$ — радиусы одной окружности, то $OA = OB$.
Треугольники $OMA$ и $OMB$ прямоугольные. У них равны гипотенузы $OA$ и $OB$, а сторона $OM$ общая.
Значит, треугольники равны. Отсюда $AM = MB$.
Следовательно, диаметр делит хорду пополам.

3. Описанная окружность

Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.
Например, окружность, описанная около треугольника, проходит через все три его вершины.

4. Центр вписанной окружности

Центр вписанной окружности треугольника находится в точке пересечения биссектрис углов треугольника.

5. Признак касательной о радиусе

Признак касательной: если прямая перпендикулярна радиусу окружности, проведённому в точку на окружности, то эта прямая является касательной к окружности.

Доказательство:
Пусть $OA$ — радиус окружности, а прямая $a$ проходит через точку $A$ и $a \perp OA$.
Точка $A$ лежит на окружности, значит, расстояние от центра $O$ до точки $A$ равно радиусу.
Перпендикуляр $OA$ — кратчайшее расстояние от точки $O$ до прямой $a$. Поэтому все остальные точки прямой $a$ находятся от центра дальше, чем точка $A$.
Значит, они не принадлежат окружности.
Следовательно, прямая $a$ имеет с окружностью только одну общую точку $A$. Поэтому она является касательной.