Реши

Решения задач из файла (100_параметров__2026_День1.pdf)

1. Решить при всех $a$:

$$ax^2+2x-1=0.$$

Рассмотрим случаи.

Если $a=0$, получаем линейное уравнение:

$$2x-1=0 \Rightarrow x=\frac12.$$

Если $a\neq 0$, это квадратное уравнение:

$$D=2^2-4\cdot a\cdot(-1)=4+4a=4(1+a).$$

Тогда:

• при $a<-1$: $D<0$, решений нет;
• при $a=-1$: $D=0$,

$$x=\frac{-2}{2a}=\frac{-2}{-2}=1;$$

• при $a>-1,\ a\neq 0$:

$$x=\frac{-2\pm\sqrt{4+4a}}{2a} =\frac{-1\pm\sqrt{1+a}}{a}.$$

Ответ:

$$\begin{cases} a=0:\ x=\dfrac12,\\[4pt] a=-1:\ x=1,\\[4pt] a>-1,\ a\neq 0:\ x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+a}}{a},\\[6pt] a<-1:\ \text{решений нет.} \end{cases}$$

---

2. Найти все $a$, при которых

$$ax^2+4x+2=0$$

имеет единственное решение.

Единственное решение возможно в двух случаях:

1. Уравнение линейное: $a=0$. Тогда

$$4x+2=0$$

имеет одно решение.

2. Уравнение квадратное и дискриминант равен нулю:

$$D=16-8a=0 \Rightarrow a=2.$$

Ответ:

$$a\in\{0;\,2\}.$$

---

3. Найти $a$, если меньший корень уравнения

$$x^2-(8a-3)x+16a^2-12a=0$$

в 10 раз меньше большего.

Пусть больший корень равен $t$, тогда меньший:

$$\frac t{10}.$$

По Виету:

$$t+\frac t{10}=8a-3 \quad\Rightarrow\quad \frac{11t}{10}=8a-3,$$ $$t\cdot \frac t{10}=16a^2-12a \quad\Rightarrow\quad \frac{t^2}{10}=16a^2-12a.$$

Из первого:

$$t=\frac{10}{11}(8a-3).$$

Подставляем во второе:

$$\frac1{10}\left(\frac{10}{11}(8a-3)\right)^2=16a^2-12a.$$ $$\frac{10(8a-3)^2}{121}=16a^2-12a.$$ $$10(64a^2-48a+9)=121(16a^2-12a).$$ $$640a^2-480a+90=1936a^2-1452a.$$ $$1296a^2-972a=90.$$ $$72a^2-54a=5.$$ $$72a^2-54a-5=0.$$ $$D=54^2+4\cdot72\cdot5=2916+1440=4356=66^2.$$ $$a=\frac{54\pm 66}{144}.$$ $$a=\frac{120}{144}=\frac56 \quad\text{или}\quad a=\frac{-12}{144}=-\frac1{12}.$$

Проверим, где действительно меньший корень в 10 раз меньше большего.
При $a=-\frac1{12}$:

$$x^2+\frac{11}{3}x+\frac{10}{9}=0,$$

корни отрицательны, и «меньший» корень не может быть в 10 раз меньше большего в обычном порядке $x_1<x_2$.

При $a=\frac56$:

$$x^2-\frac{11}{3}x+\frac{10}{9}=0,$$

корни

$$\frac13 \quad\text{и}\quad \frac{10}{3},$$

и действительно

$$\frac13=\frac1{10}\cdot \frac{10}{3}.$$

Ответ:

$$a=\frac56.$$

---

4. При каком целом $a$ уравнения

$$4ax^2-5x+a=0,\qquad 3x^2+2ax-5=0$$

имеют хотя бы один общий корень?

Пусть $x$ — общий корень. Тогда

$$4ax^2-5x+a=0 \quad (1)$$ $$3x^2+2ax-5=0 \quad (2)$$

Из (2):

$$2ax=5-3x^2 \Rightarrow a=\frac{5-3x^2}{2x}, \quad x\neq 0.$$

Подставим в (1):

$$4x^2\cdot \frac{5-3x^2}{2x}-5x+\frac{5-3x^2}{2x}=0.$$

Умножим на $2x$:

$$4x(5-3x^2)-10x^2+(5-3x^2)=0.$$ $$20x-12x^3-10x^2+5-3x^2=0.$$ $$12x^3+13x^2-20x-5=0.$$

Подберём рациональные корни:

$$x=1:\ 12+13-20-5=0.$$

Значит,

$$12x^3+13x^2-20x-5=(x-1)(12x^2+25x+5).$$

Ещё:

$$12x^2+25x+5=0$$

имеет корень

$$x=-\frac14.$$

Итак, возможные общие корни:

$$x=1,\quad x=-\frac14,\quad x=-\frac53.$$

Найдём $a$ по формуле

$$a=\frac{5-3x^2}{2x}.$$

• при $x=1$:

$$a=\frac{5-3}{2}=1;$$

• при $x=-\frac14$:

$$a=\frac{5-3/16}{-1/2}=-\frac{77}{8}\notin \mathbb Z;$$

• при $x=-\frac53$:

$$a=\frac{5-25/3}{-10/3}=1.$$

Проверим ещё $a=-1$ напрямую:

$$-4x^2-5x-1=0 \Rightarrow 4x^2+5x+1=0,$$ $$3x^2-2x-5=0.$$

У них общий корень $x=-1$.

Значит, целые значения:

$$a=\pm1.$$

Ответ:

$$a=\pm1.$$

---

5. Найти все $a$, при которых решения неравенства

$$x^2+(3a-1)x-4a^2+6a-2\le 0$$

образуют отрезок длины больше 5.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен, решения неравенства имеют вид отрезка между корнями, если корни существуют. Длина этого отрезка равна разности корней:

$$L=\frac{\sqrt D}{1}=\sqrt D,$$

поскольку старший коэффициент равен 1.

Найдём дискриминант:

$$D=(3a-1)^2-4(1)(-4a^2+6a-2).$$ $$D=9a^2-6a+1+16a^2-24a+8 =25a^2-30a+9 =(5a-3)^2.$$

Значит,

$$L=\sqrt D=|5a-3|.$$

По условию:

$$|5a-3|>5.$$

Решаем:

$$5a-3>5 \quad \text{или} \quad 5a-3<-5.$$ $$5a>8 \Rightarrow a>\frac85,$$ $$5a<-2 \Rightarrow a<-\frac25.$$

Ответ:

$$a\in\left(-\infty;-\frac25\right)\cup\left(\frac85;+\infty\right).$$

Если хочешь, я могу ещё оформить всё в виде аккуратной записи для тетради, без лишних пояснений.