реши

Сумма всех коэффициентов многочлена равна значению этого многочлена при $x=1,\; y=1,\; z=1$.

$$(x+y-z)^{11}\Big|_{x=1,y=1,z=1} = (1+1-1)^{11} = 1^{11} = 1.$$

Ответ: $1$.

Потому что “сумма всех коэффициентов” — это ровно то, что получится, если в многочлене каждую переменную заменить на 1.

Объясню на идее:

1. Любой многочлен можно записать как сумму одночленов:

$$P(x,y,z)=\sum c_{a,b,c}\, x^a y^b z^c$$

где $c_{a,b,c}$ — коэффициенты.

2. Подставим $x=1,\;y=1,\;z=1$:

$$P(1,1,1)=\sum c_{a,b,c}\, 1^a\cdot 1^b\cdot 1^c=\sum c_{a,b,c}$$

потому что $1^k=1$ для любого $k$. То есть все одночлены превращаются просто в свои коэффициенты, и они складываются.

3. Применяем к задаче:

$$(x+y-z)^{11}\Big|_{1,1,1}=(1+1-1)^{11}=1^{11}=1.$$

Итак, сумма всех коэффициентов = 1.